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微专题4　核能的计算
定位·学习目标
1.通过对核能计算方法的归纳,知道核能计算方法的多样性。
2.通过分析例题掌握核能计算方法在不同背景下的选用。
要点一　利用质能方程计算核能
要点归纳
1.根据核反应方程,计算核反应前和核反应后的质量亏损Δm。
2.根据爱因斯坦质能方程ΔE=Δmc2计算核能。
其中Δm的单位是千克,ΔE的单位是焦耳。
典例研习
[例1] 一个铀核U)衰变为钍核(Th)时释放一个α粒子。已知铀核的质量为3.853 13×10-25 kg,钍核的质量为3.786 57×10-25 kg,α粒子的质量为6.646 72×10-27 kg,光在真空中的速度为3×108 m/s。
(1)写出这个衰变过程的衰变方程;
(2)在这个衰变过程中释放的能量等于多少焦耳 (结果保留3位有效数字)
解析:(1)根据电荷数守恒和质量数守恒写出衰变方程为UThHe。
(2)衰变前后亏损的质量为Δm=mU-mTh-mα=0.000 092 8×10-25 kg,
释放的能量为ΔE=Δmc2,
解得ΔE≈8.35×10-13 J。
答案:(1UThHe (2)8.35×10-13 J
要点二　利用原子质量单位u计算核能
要点归纳
1.计算核反应前后用原子质量单位u表示的质量亏损。
2.1 u相当于931.5 MeV的能量。
3.根据ΔE=Δm×931.5 MeV计算核能。
典例研习
[例2] 用中子轰击锂核Li)发生核反应,生成氚核和α粒子,并释放出核能。已知中子、氚核、α粒子、锂核的质量分别是mn=1.008 7 u,
mH=3.016 0 u,mα=4.002 6 u,mLi=6.015 1 u,质量亏损1 u释放的核能为931.5 MeV。
(1)请写出核反应方程;
(2)设放出的能量全部由质量亏损获得,试求释放的核能;(结果保留1位小数)
(3)若反应前中子以0.3 MeV的动能和锂核正碰,且碰撞前二者具有等大反向的动量,核反应中放出的核能全部转化为动能,求反应后生成的α粒子和氚核的动能。
解析:(1)根据质量数与电荷数守恒,该核反应方程为 LinHHe。
(2)该核反应的质量亏损为
Δm=mn+mLi-mH-mα=0.005 2 u,
释放的核能ΔE=Δm·931.5 MeV,
解得ΔE=4.843 8 MeV≈4.8 MeV。
(3)根据p=mv,
Ek=mv2,
则有Ekn=,
EkLi=,
则有EkLi=Ekn=Ekn=0.05 MeV,
由于中子和锂核碰撞前二者具有等大反向的动量,即总动量为0,令反应后生成的α粒子和氚核的动能分别为Ekα、EkH,则有
0=-,
可得=≈,
又Ekα+EkH=ΔE+Ekn+EkLi,
解得Ekα≈2.21 MeV,EkH≈2.94 MeV。
答案:(1LinHHe
(2)4.8 MeV　(3)2.21 MeV　2.94 MeV
要点三　利用比结合能计算核能
要点归纳
　由于原子核的结合能=核子的比结合能×核子数,则核反应前原子核的总结合能与反应后新核的总结合能之差,就是核反应所释放(或吸收)的核能。
典例研习
[例3] 某次核反应中U变成Xe和Sr,同时释放出若干中子。U的平均结合能约为7.6 MeV,Xe的平均结合能约为8.4 MeV,
Sr的平均结合能约为8.7 MeV。
(1)把U分解成核子时,要吸收多少能量
(2)使相应的核子分别结合成Xe和Sr时,要释放出多少能量
(3)在这个核反应中是吸收能量还是释放能量,这个能量大约是多少
解析:(1)把U分解成核子时,要吸收的能量为
E1=235×7.6 MeV=1 786 MeV。
(2)使相应的核子结合成Xe要释放的能量为
E2=136×8.4 MeV=1 142.4 MeV,
使相应的核子结合成Sr要释放的能量为
E3=90×8.7 MeV=783 MeV。
(3)这个核反应放出的能量为E=E2+E3-E1=139.4 MeV>0
故会释放能量139.4 MeV。
答案:(1)1 786 MeV　(2)1 142.4 MeV 783 MeV
(3)释放能量　139.4 MeV
要点四　利用阿伏加德罗常数计算核能
要点归纳
　当计算某质量的核物质完全发生核反应所放出的能量时,需要用阿伏加德罗常数计算核能。
(1)根据物质的质量m和摩尔质量M,由N=NA 求出参与核反应的原子核的个数。
(2)由核反应过程求出该物质的一个原子核发生反应放出或吸收的能量E0(或直接从题目中找出E0)。
(3)再根据E=NE0求出总能量。
典例研习
[例4] 浙江秦山核电站是我国第一座自行设计、自行建造的核电站。发电站的核能来源于 U的裂变,核反应方程为n→BaKr+n。
(1)试计算一个铀235原子核裂变后释放的能量UBaKrn的质量分别为235.043 9 u、140.913 9 u、91.897 3 u、1.008 7 u,1 u相当于931.5 MeV能量)。
(2)1 kg铀235原子核发生上述裂变时能放出多少核能 这相当于完全燃烧多少煤释放的能量 (煤的热值为2.94×107 J/kg)
解析:(1)裂变反应的质量亏损为
Δm=(235.043 9+1.008 7-140.913 9-91.897 3-3×1.008 7)u
=0.215 3 u,
一个铀235原子核裂变后释放的能量为
ΔE=0.215 3×931.5 MeV≈200.6 MeV。
(2)1 kg铀235原子核中含原子核的个数为
N=NA=×6.02×1023≈2.56×1024,
1 kg铀235原子核发生裂变时释放的总能量
E=N·ΔE=2.56×1024×200.6 MeV
≈5.14×1026 MeV,
设完全燃烧煤的质量为m,有E=qm,
所以
m== kg
≈2 797.3 t。
答案:(1)200.6 MeV　(2)5.14×1026 MeV 2 797.3 t
1.我国自主研发的“华龙一号”反应堆技术利用铀235发生核裂变释放的能量发电,典型的核反应方程为UnBaKr+n。光速为3.0×108 m/s,若核反应的质量亏损为1 g,释放的核能为ΔE,则k和ΔE的值分别为(　B　)
A.2,9.0×1016 J B.3,9.0×1013 J
C.2,4.5×1016 J D.3,4.5×1013 J
解析:根据核反应前后质量数守恒有235+1=141+92+k,解得k=3;根据爱因斯坦质能方程可知核反应过程中质量亏损1 g所释放的能量为E=Δmc2=1×10-3×9.0×1016 J=9×1013 J,故A、C、D错误,B正确。
2.(多选)两个氘核聚变成氦核的同时释放一个粒子X,核反应方程为 HHHe+X,已知氘核质量为2.013 6 u,氦核质量为3.015 0 u,X质量为1.008 7 u,1 u质量相当于931.5 MeV,阿伏加德罗常数NA取6.0×1023 mol-1,下列说法正确的是(　AC　)
A.X为中子
B.通过增强磁场可以发生上述的聚变反应
C.平均每个核子能够释放约0.815 MeV能量
D.1 kg氘核发生核反应能够释放约9.78×1026 MeV 能量
解析:由质量数和电荷数守恒,知X为中子,A正确;聚变反应需要足够高的温度,B错误;该核反应的质量亏损为Δm=(2×2.013 6-1.008 7-
3.015 0)u=0.003 5 u,该核反应释放的核能为ΔE=0.003 5×
931.5 MeV≈3.26 MeV,平均每个核子能够释放的能量为E== MeV=
0.815 MeV,C正确;两个氘核聚变成氦核,所以1 kg氘核中含有氘核的对数n=(×NA)=(×6.0×1023)=1.5×1026,释放的能量为
E′=n·ΔE=1.5×1026×3.26 MeV=4.89×1026 MeV,D错误。
3.历史上第一次利用加速器实现的核反应,是利用加速后的质子 H轰击静止的Li,生成两个He,Li和He的结合能分别为E1和E2,质量分别为m1和m2。已知真空中的光速为c。
(1)写出核反应方程;
(2)求质子的质量m。
解析:(1)核反应方程为HLi→2 He。
(2)释放的核能ΔE=2E2-E1,
根据ΔE=Δmc2=(m1+m-2m2)c2,
解得m=-m1+2m2。
答案:(1HLi→2 He
(2)-m1+2m2
课时作业
基础巩固练
考点一　利用质能方程计算核能
1.Na俘获1个α粒子后生成X并放出1个质子,已知 Na、α、X的核子平均质量分别为m1、m2、m3,质子质量为m4。则该核反应放出的核能为(　D　)
A.(m1+m2-m3-m4)c2
B.(11m1+2m2-13m3-m4)c2
C.(23m1+4m2-m3-m4)c2
D.(23m1+4m2-26m3-m4)c2
解析:根据质量数守恒可知X的质量数为26;根据爱因斯坦质能方程可知,释放的能量是E=(23m1+4m2-26m3-m4)c2,故选D。
2.铀核裂变的产物是多样的,一种典型的铀核裂变是生成钡核和氪核,其核反应方程为Un→Ba+Kr+n。已知铀核质量为390.313 9×10-27 kg,中子质量为1.674 9×10-27 kg,钡核质量为234.001 6×10-27 kg,氪核质量为152.604 7×10-27 kg,真空中的光速c=3×108 m/s,则该反应释放的能量为(　C　)
A.1.07×10-11 J B.1.61×10-11 J
C.3.22×10-11 J D.5.37×10-11 J
解析:根据爱因斯坦质能方程可知,一个铀核U发生上述核反应,释放的能量为ΔE=(mU-mBa-mKr-2mn)c2≈3.22×10-11 J,故选C。
考点二　利用原子质量单位u计算核能
3.有“人造太阳”之称的全超导托卡马克核聚变实验装置取得新突破,成功实现可重复的1.2亿摄氏度101 s和1.6亿摄氏度20 s等离子体运行。其内部发生的一种核聚变反应方程为H+XHen+17.6 MeV,已知 H的质量为2.013 6 uHe的质量为4.002 6 un的质量为1.008 7 u,1 u相当于931 MeV,则X的核子平均质量为(　C　)
A.3.016 6 u B.1.508 3 u
C.1.005 5 u D.1.008 7 u
解析:由核反应质量数守恒和核电荷数守恒可知X为 H,设 H的核子平均质量为m,由爱因斯坦质能方程得ΔE=(2.013 6+3m-4.002 6-
1.008 7)×931 MeV=17.6 MeV,解得m≈1.005 5 u,故A、B、D错误,
C正确。
4.(2021·海南卷)1932年,考克饶夫和瓦尔顿用质子加速器进行人工核蜕变实验,验证了质能关系的正确性。在实验中,锂原子核俘获一个质子后成为不稳定的铍原子核,随后又蜕变为两个相同的原子核,核反应方程为LiHBe→2X。已知 HLi、X的质量分别为m1=1.007 28 u、m2=7.016 01 u、m3=4.001 51 u,光在真空中的传播速度为c,则在该核反应中(　B　)
A.质量亏损Δm=4.021 78 u
B.释放的核能ΔE=(m1+m2-2m3)c2
C.铍原子核内的中子数是5
D.X表示的是氚原子核
解析:根据核反应方程满足质量数守恒和电荷数守恒,可知方程为 LiHBe→He,则Z=4,A=8,铍原子核内的中子数是4,X表示的是氦核,故C、D错误;核反应质量亏损为Δm=m1+m2-2m3=0.020 27 u,则释放的核能为ΔE=(m1+m2-2m3)c2,故A错误,B正确。
考点三　利用比结合能计算核能
5.核能是蕴藏在原子核内部的能量,合理利用核能,能有效缓解能源短缺问题。在核聚变实验中,核反应方程是HHHe+XH核的结合能为E1H核的结合能为E2He核的结合能为E3。则一次上述核反应过程中(　C　)
A.反应前后的动量不守恒
B.X为e
C.释放的核能大小为E3-E2-E1
D.电荷数守恒,质量数不守恒
解析:核反应前后的动量守恒,故A错误;根据核反应过程中电荷数守恒和质量数守恒,可得X的电荷数为0,质量数为1,则X为n,故B、D错误;核反应过程中释放的核能大小为ΔQ=E3-(E1+E2)=E3-E2-E1,故C正确。
6.如图为太阳内部的一种轻核聚变的示意图,此反应需要超高温;另一种核反应是几个氦核He在高温高压的作用下变成一个C,此核反应是放热反应。已知He的比结合能为E1C的比结合能为E2,光速为c,下列说法正确的是(　D　)
A.图中所对应的核反应方程为 HHHen
B.另外一种核反应的方程为HeC
CC的比结合能小于He的比结合能
D.另外一种核反应中的质量亏损为
解析:题图所对应的核反应方程为HHHen,A项错误;另外一种核反应的方程式为He→C,B项错误;HeC是放热反应,则反应后的C比反应之前的He要稳定,比结合能越大,原子核越稳定,则C的比结合能大于He的比结合能,C项错误;对另外一种核反应,由能量守恒可得12E2-12E1=Δmc2,解得Δm=,D项正确。
考点四　利用阿伏加德罗常数计算核能
7.一个氘核和一个氚核发生核反应生成一个氦核的反应方程是 HHHen,此反应过程产生的质量亏损为Δm。已知阿伏加德罗常数为NA,真空中的光速为c。若1 mol氘和1 mol氚完全发生核反应生成氦,则在这个核反应中释放的能量为(　A　)
A.NAΔmc2 B.2NAΔmc2
C.4NAΔmc2 D.5NAΔmc2
解析:根据质能方程,一个氘核和一个氚核发生核反应,放出的能量为ΔE=Δmc2,因此1 mol氘和 1 mol 氚完全发生核反应,释放的能量为E=NAΔE=NAΔmc2,故A正确。
8.核能是一种相对来说高效清洁的能源。某同学通过相关资料查到:某核动力航空母舰的满载排水量为11.2万吨,其动力主要由两组核反应堆提供,核反应堆中主要的核反应是铀核U)的裂变,即用一个中子去轰击铀核。铀核裂变的产物很多,一种典型的铀核裂变是生成钡Ba)和氪Kr)。
(1)写出该裂变的核反应方程。
(2)已知U、Ba、Kr、中子的质量分别是235.043 9 u、140.913 9 u、91.897 3 u、1.008 7 u,1 u 相当于931.5 MeV的能量,则上述核反应过程中一个铀235核发生裂变产生的核能ΔE是多少 (计算结果保留到小数点后2位)
(3)假设一组核反应堆的功率P=3.0×106 kW,若一个铀235核裂变产生的能量为ΔE=3.21×10-11 J,则该航空母舰在海上航行一个月大约需要消耗多少千克铀235 (铀235的摩尔质量为0.235 kg/mol,一个月约为t=2.6×106 s,阿伏加德罗常数NA=6.0×1023 mol-1,计算结果保留3位有效数字)
解析:(1)根据质量数和电荷数守恒,则该裂变的核反应方程为UnBaKr+n。
(2)核反应中,质量亏损为
Δm=(235.043 9-140.913 9-91.897 3-2×1.008 7) u=0.215 3 u,
释放的核能为
ΔE=0.215 3×931.5 MeV≈200.55 MeV。
(3)一个月内核反应产生的总能量为E=2Pt,
参与核反应的铀核数目为N=,
一个月内,核反应堆消耗的铀核的物质的量为 n=,
所以一个月内消耗的铀235的质量为m=nM,
联立方程并代入数据可得m≈190 kg。
答案:(1UnBaKr+n
(2)200.55 MeV　(3)190 kg
综合提升练
9.(多选)质子与中子都是由三个夸克组成,其中质子由两个上夸克和一个下夸克组成,中子由两个下夸克和一个上夸克组成,形成过程中均可类比核聚变。β衰变时,核内的中子转化为一个质子和电子,质子质量约为1.672 6×10-27 kg,中子质量约为1.674 9×10-27 kg,电子质量约为9.109 6×10-31 kg,真空中光速c=3.00×108 m/s。下列说法正确的是(　AB　)
A.中子转化的核反应方程为nHe
B.弱相互作用是引起β衰变的原因
C.上、下夸克的质量差为2.3×10-30 kg
D.一次β衰变释放出的能量为1.3×10-14 J
解析:β衰变时,核内的中子转化为一个质子和电子,根据质量数和电荷数守恒,可知该转化方程为nHe,故A正确;弱相互作用是引起原子核β衰变的原因,即引起中子-质子转变的原因,故B正确;由题中“形成过程中均可类比核聚变”可知,夸克形成质子、中子过程质量有亏损,故1.672 6×10-27 kg≠2m上+m下,1.674 9×10-27 kg≠m上+
2m下,所以无法计算上、下夸克的质量差,故C错误;β衰变中的质量亏损Δm=1.674 9×10-27 kg-1.672 6×10-27 kg-9.109 6×10-31 kg≈1.39×10-30 kg,释放出的能量为ΔE=Δmc2=1.39×10-30×9×1016 J≈1.25×10-13 J,故D错误。
10.太阳内部每天都进行着大量的核聚变反应,其中一种核聚变反应为两个氘核对心碰撞发生的核聚变HHHen。已知一个氘核H)的质量为m1,一个氦核He)的质量为m2,一个中子n)的质量为m3,下列说法正确的是(　D　)
A.氦核He)和中子n)的质量数之和小于两个氘核H)的质量数
之和
B.该核反应吸收的能量为E=(m1-m2-m3)c2
C.核反应前后系统总动量减小
D.该核反应释放的能量为E=(2m1-m2-m3)c2
解析:核聚变满足质量数守恒,则氦核He)和中子n)的质量数之和等于两个氘核H)的质量数之和,故A错误;核聚变反应释放能量,反应后有质量亏损,由爱因斯坦的质能方程可知该核反应释放的能量为E=Δmc2=(2m1-m2-m3)c2,故B错误,D正确;核聚变反应过程,系统的动量守恒,故C错误。
11.(多选)如图,硼中子俘获疗法是肿瘤治疗的新技术,其原理是进入癌细胞内的硼核B)吸收慢中子,转变成锂核Li)和α粒子,并释放出γ光子。已知核反应过程中质量亏损为Δm,γ光子的能量为E0,硼核的比结合能为E1,锂核的比结合能为E2,普朗克常量为h,真空中光速为c,正确的是(　AC　)
A.核反应方程为BnLiHe+γ
B.γ光子的波长λ=
C.核反应放出的能量E=Δmc2
D.氦核的比结合能E3=
解析:根据核反应中质量数和电荷数守恒可知,核反应方程为 BnLiHe+γ,故A正确;根据E0=h,可求得γ光子的波长
λ=h,故B错误;由质能方程可知,核反应中放出的能量E=Δmc2,
另外由能量关系可得E=7E2+4E3-10E1,解得E3=,故C正确,
D错误。
12.在太阳内部存在两个主要的核聚变反应过程:碳循环和质子—质子循环;其中碳循环反应过程如图所示。图中p、e+和νe分别表示质子、正电子和电子型中微子;粗箭头表示循环反应进行的先后次序。当从循环图顶端开始,质子p与C核发生反应生成N核,反应按粗箭头所示的次序进行,直到完成一个循环后,重新开始下一个循环。已知e+、p和He核的质量分别为0.511 MeV/c2、1.007 8 u和4.002 6 u
(1 u≈931.494 MeV/c2),电子型中微子νe的质量可以忽略。
(1)写出图中X和Y代表的原子核;
(2)写出一个碳循环所有的核反应方程;
(3)计算完成一个碳循环过程释放的核能。
解析:(1)图中X和Y代表的原子核分别为O和C。
(2)一个循环所有的核反应方程式依循环次序为pCN,
NC+e++νe,p+N,NOON+e++νe,
pNCHe。
(3)整个循环的核反应,相当于4pHe+2e++2νe,完成一个碳循环
过程释放的核能为ΔE=(4mp-mHe-2me)c2=[(4×1.007 8-4.002 6)×
931.494-2×0.511] MeV≈25.619 MeV。
答案:(1OC　 (2)见解析 (3)25.619 MeV(共27张PPT)
微专题4　核能的计算
「定位·学习目标」
1.通过对核能计算方法的归纳,知道核能计算方法的多样性。
2.通过分析例题掌握核能计算方法在不同背景下的选用。
突破·关键能力
要点一　利用质能方程计算核能
「要点归纳」
1.根据核反应方程,计算核反应前和核反应后的质量亏损Δm。
2.根据爱因斯坦质能方程ΔE=Δmc2计算核能。
其中Δm的单位是千克,ΔE的单位是焦耳。
「典例研习」
(1)写出这个衰变过程的衰变方程;
(2)在这个衰变过程中释放的能量等于多少焦耳 (结果保留3位有效数字)
答案:(2)8.35×10-13 J
解析:(2)衰变前后亏损的质量为
Δm=mU-mTh-mα=0.000 092 8×10-25 kg,
释放的能量为ΔE=Δmc2,
解得ΔE≈8.35×10-13 J。
要点二　利用原子质量单位u计算核能
「要点归纳」
1.计算核反应前后用原子质量单位u表示的质量亏损。
2.1 u相当于931.5 MeV的能量。
3.根据ΔE=Δm×931.5 MeV计算核能。
「典例研习」
(1)请写出核反应方程;
(2)设放出的能量全部由质量亏损获得,试求释放的核能;(结果保留1位小数)
答案:(2)4.8 MeV
解析:(2)该核反应的质量亏损为
Δm=mn+mLi-mH-mα=0.005 2 u,
释放的核能ΔE=Δm·931.5 MeV,
解得ΔE=4.843 8 MeV≈4.8 MeV。
(3)若反应前中子以0.3 MeV的动能和锂核正碰,且碰撞前二者具有等大反向的动量,核反应中放出的核能全部转化为动能,求反应后生成的α粒子和氚核的动能。
答案:(3)2.21 MeV　2.94 MeV
要点三　利用比结合能计算核能
「要点归纳」
由于原子核的结合能=核子的比结合能×核子数,则核反应前原子核的总结合能与反应后新核的总结合能之差,就是核反应所释放
(或吸收)的核能。
「典例研习」
答案:(1)1 786 MeV
答案:(2)1 142.4 MeV 783 MeV
(3)在这个核反应中是吸收能量还是释放能量,这个能量大约是多少
答案:(3)释放能量　139.4 MeV
解析:(3)这个核反应放出的能量为
E=E2+E3-E1=139.4 MeV>0
故会释放能量139.4 MeV。
要点四　利用阿伏加德罗常数计算核能
「要点归纳」
当计算某质量的核物质完全发生核反应所放出的能量时,需要用阿伏加德罗常数计算核能。
(2)由核反应过程求出该物质的一个原子核发生反应放出或吸收的能量E0(或直接从题目中找出E0)。
(3)再根据E=NE0求出总能量。
「典例研习」
答案:(1)200.6 MeV
解析:(1)裂变反应的质量亏损为
Δm=(235.043 9+1.008 7-140.913 9-91.897 3-3×1.008 7)u=
0.215 3 u,
一个铀235原子核裂变后释放的能量为
ΔE=0.215 3×931.5 MeV≈200.6 MeV。
答案:(2)5.14×1026 MeV 2 797.3 t
(2)1 kg铀235原子核发生上述裂变时能放出多少核能 这相当于完全燃烧多少煤释放的能量 (煤的热值为2.94×107 J/kg)
检测·学习效果
1
2
3
B
A.2,9.0×1016 J B.3,9.0×1013 J
C.2,4.5×1016 J D.3,4.5×1013 J
解析:根据核反应前后质量数守恒有235+1=141+92+k,解得k=3;根据爱因斯坦质能方程可知核反应过程中质量亏损1 g所释放的能量为E=Δmc2=1×10-3×9.0×1016 J=9×1013 J,故A、C、D错误,B正确。
A.X为中子
B.通过增强磁场可以发生上述的聚变反应
C.平均每个核子能够释放约0.815 MeV能量
D.1 kg氘核发生核反应能够释放约9.78×1026 MeV 能量
AC
1
2
3
1
2
3
1
2
3
(1)写出核反应方程;
1
2
3
(2)求质子的质量m。
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