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第19章 二次根式
19.1二次根式及其性质（第1课时）
（人教版）八年级
下
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
板书设计
01
教学目标
01
02
理解二次根式的定义，能准确识别形如????（a≥0）的式子是二次根式，明确“根号形式”与“被开方数非负”的双重特征；
掌握二次根式有意义的条件，能熟练求解含字母的二次根式中字母的取值范围；
通过辨析、讨论、举例等活动，提升数学抽象和逻辑推理的核心素养。
?
03
02
章节导入
　　广播电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收听收看到广播电视节目的区域越广. 那么，广播电视塔高 h（单位：km）增加到一定的倍数，广播电视节目信号的传播半径 r（单位：km）是否也会增加到相应的倍数呢？
实际上，广播电视塔高 h 与广播电视节目信号的传播半径 r 之间存在近似关系 r = 2Rh，其中 R是地球半径，R ≈ 6 400 km．如果两个广播电视塔的高分别是 h1 km、h2 km，那么它们的传播半径之比是 2Rh12Rh2 .
与以往学过的整式和分式不同，这个式子中含有根号，如何化简这个式子呢？
?
02
新知导入
你能说出下列问题的结果吗？
（1）16的平方根是______，算术平方根是______.
（2）0的平方根是______，算术平方根是______.
（3）﹣2有没有平方根？有没有算术平方根？
±4
4
0
0
﹣2没有平方根，也没有算术平方根.
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根.
如果????2=a（x≥0），那么x称为a的算术平方根.
03
新知讲解
思考
用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征.
(1)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为
_______m.
(2)一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个边长为1
的正方形的面积之和，则大正方形的边长为_________.
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：s)与开始落下时离地面的高度h（单位：m)的关系近似为h=5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为_____.
????????
?
????????+????
?
????????
?
03
新知讲解
观察这些式子
（1）这些式子表示的意义是？
分别表示65，a2+1，h5的算术平方根．
?
（2）这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2；
含有“ ”.
②被开方数为非负数.
????????
?
????????+????
?
????????
?
03
新知讲解
二次根式
一般地，我们把形如????(a≥0)的式子叫作二次根式，二次根式也是代数式.
?
a叫作被开方数.
二次根式
的两个必备特征
1.含有二次根号“ ”（根指数为 2）；
2.被开方数必须是非负数.
03
新知讲解
解：
(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.
是否含二次根号
被开方数是不是非负数
二次根式
不是二次根式
是
是
否
否
分析：
下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？
03
新知讲解
二次根式的识别方法：
判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征：
(1)含根号且根指数为2(通常省略不写)；
(2)被开方数(式)为非负数．
注意 二次根式是在初始的外在形式上定义的，不能从化简结果上判断，如????是二次根式.像????+1（a≥0）这样的式子只能称为含有二次根式的式子，不能称为二次根式.
?
03
新知讲解
二次根式有意义的条件
1．二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数；反之也成立，
即： 有意义?a≥0.
2．二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数；反之也成立，
即： 无意义?a＜0.
解读
式子????只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是????为二次根式的前提条件.
?
03
新知讲解
例1
当x满足什么条件时，?????????在实数范围内有意义？
?
解：由?????????≥0，得
x≥2.
当x≥2时，?????????在实数范围内有意义.
?
03
新知讲解
思考
当x满足什么条件时， ????????在实数范围内有意义？????????呢？
?
{C4B1156A-380E-4F78-BDF5-A606A8083BF9}代数式
x满足的条件
????????
????????
{C4B1156A-380E-4F78-BDF5-A606A8083BF9}代数式
x满足的条件
x取任意实数
x取非负数
04
课堂练习
基础题
1.下列各式是二次根式的是( )
A. ????????+?????? B. ?????
C. ????? D. ????????
?
A
2.如果?????????是二次根式，那么x应满足的条件是（ ）
A.x≠2的实数 B.x≤2的实数 C.x≥2的实数 D.x＞0且x≠2的实数
?
B
04
课堂练习
基础题
3.当x 时，????????+????是二次根式.
?
≥-????????
?
4. 当a＝－3时，????????????? 的值是?　4　.
?
4　
04
课堂练习
基础题
5. 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）????????? ；
?
解：x≥2
（2） ????????+???? ；
?
解：x≥－????????
?
（3）????????+???? ；
?
解：x＞－1
（4） ????????????? ；
?
解：x≥4
04
课堂练习
提升题
1. 当x≥3时，式子????????????? 一定有意义，则实数m的取值范围是（　C　）
?
A. m＝9
B. m≤3
C. m≤9
D. m≥9
C
2. 使式子????????????? 有意义的最小整数a的值为?　3　.
3. 已知一个直角三角形的面积为12S，两条直角边的长之比为3∶4，则这个直角三角形的两条直角边的长分别为?　 　，?　 　（用含S的式子表示）.
?
3　
3???????? 　
?
4???????? 　
?
04
课堂练习
拓展题
请判断是否存在整数a，使它同时满足下列条件：① 式子????????????? 和????????????? 在实数范围内均有意义；② ???? 的值仍为整数；③ 若b＝???? ，则???? 也是整数.若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由.
?
解：存在　由条件①，可得&?????????????≥????，&?????????????≥????， 解得13≤a≤20.
∴ 整数a的取值可能为13，14，15，16，17，18，19，20.
其中，符合条件②的整数a只有16，且a＝16同时符合条件③.
∴ a的值为16
?
05
课堂小结
二次根式
在有意义条件下求字母的取值范围
定义
带有二次根号
被开方数必须为非负数
被开方数为非负数（a≥0)
06
板书设计
19.1二次根式及其性质（第1课时）
2. 二次根式有意义的条件：
1. 二次根式的概念：
Thanks!
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