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第19章 二次根式
19.1二次根式及其性质（第2课时）
（人教版）八年级
下
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
板书设计
01
教学目标
01
02
理解并掌握二次根式的两个核心性质 (????)2(a≥0)和????????=?|????|?，明确两个性质的本质区别与适用条件；
能灵活运用上述性质进行二次根式的计算和化简，解决具体数学问题；
在推导????????=|????|的过程中，通过对a的正负性分类讨论，提升逻辑推理能力与数学运算能力等数学核心素养。
?
03
02
章节导入
　　广播电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收听收看到广播电视节目的区域越广. 那么，广播电视塔高 h（单位：km）增加到一定的倍数，广播电视节目信号的传播半径 r（单位：km）是否也会增加到相应的倍数呢？
实际上，广播电视塔高 h 与广播电视节目信号的传播半径 r 之间存在近似关系 r = 2Rh，其中 R是地球半径，R ≈ 6 400 km．如果两个广播电视塔的高分别是 h1 km、h2 km，那么它们的传播半径之比是 2Rh12Rh2 .
与以往学过的整式和分式不同，这个式子中含有根号，如何化简这个式子呢？
?
02
新知导入
问题1 正数有平方根吗？负数呢？0呢？
正数、0都有平方根，但负数没有平方根.
问题2 计算下面两题：
①4=_________；② (?????)???? =_________?；③ ???? =_________.
?
2
4
0
03
新知讲解
我们知道，二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式????，必须满足以下两条：
?
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2）????表示一个数或式的算术平方根，可知????≥0.
?
性质1：二次根式的双重非负性
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
03
新知讲解
根据算术平方根的意义填空：
????????=____；?????.????????=____；????????????=____；?????????=____.
?
3
0.5
????????
?
0
探究
????是3的算术平方根，根据算术平方根的意义，
????是一个平方等于3的非负数,因此，(????)2=3.
同理，????.????，????????，????分别是????.????，????????，0的算术平方根，即得上面的等式.
?
03
新知讲解
根据算术平方根的意义填空：
????????=____；?????.????????=____；????????????=____；?????????=____.
?
3
0.5
????????
?
0
探究
把上述计算结论推广到一般，并用字母表示：
一般地， .
性质2：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
03
新知讲解
例1
计算： (1) (????.????)2； (2) (2????)2.
?
解：(1) (????.????)2 =1.5.
(2) (2????)2 =22×(????)2=4×5=20.
?
总结：对于形如(b????)2(a≥0)的式子，要结合积的乘方运算法则来计算，即(b????)2=b2·(????)2=b2·a=ab2.
?
03
新知讲解
探究
填空：
????????=?______；????.????????=?______；????????????=?______；?????????=?______.
根据算术平方根的意义，可以得到
????????=????；????.????????=????.????；????????????=????????；????????=????.
?
2
0.1
????????
?
0
一般地，???????? ＝a (a≥0) .
?
03
新知讲解
思考
当a为任意实数时，???????? 都有意义. 如果上式中的 a 为负实数，那么上式还成立吗？为什么？
?
(－6)2?=
?
(－9)2?=
?
(－11)2?=
?
62?
?
=6
?
92?
?
=9
?
112?
?
=11
?
一般地，???????? = －a (a＜ 0)
?
03
新知讲解
把得到的结论推广到一般，并用含字母的二次根式表示：
性质3：任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
总结
03
新知讲解
例2
化简：
(1) ????????. (2) (?????)????.
?
解：(1) ???????? =???????? =4.
(2) (?????)????=???????? =5.
?
03
新知讲解
计算 一般有两个步骤：
①去掉根号及被开方数的指数，写成绝对值的形式，即 =|a|；
②去掉绝对值符号，根据绝对值的意义进行化简，即|a|=
归纳
03
新知讲解
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}
(????)2
????????
不同点
表示的意义
包含的运算顺序
????的取值范围
结果的表达形式
相同点
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}
不同点
表示的意义
包含的运算顺序
结果的表达形式
相同点
(????)2与????????的结果都是非负数，且当a≥0时，
(????)2 =?????????.
?
????????=∣????∣=????????≥????,?????????＜????.
?
????)???? =?????????≥????.
?
????≥????
?
?????为任意实数.
?
先开方，再平方.
先平方，再开方.
表示非负数a的算术平方根的平方.
表示实数a的平方的算术平方根.
(????)2与????????的相同点与不同点？
?
04
课堂练习
基础题
1.下列各式中，正确的是 (　　)
A. =－3　　　　
B． ＝－3
C. ＝±3
D. ＝±3
B
04
课堂练习
基础题
2. 若????????????????? ＝a－???????? ，则a的取值范围是（　A　）
?
A. a≥????????
B. 0≤a≤????????
C. a≤????????
D. 一切实数
D. 一切实数
3. 若????+???? ＋b2＋4b＋4＝0，则ab的值为（　D　）
?
A. －2
B. 0
C. 1
D. 2
A
D
04
课堂练习
基础题
4. 化简：
（1） (?????）???? ＝?　6　；（2） ???????? ＝?　9　.
?
6　
9　
5.计算：
（1） （???? ）2； （2） ???????????????? ；
?
解：7
解：????????????
?
（3） (?????????）???? －（－???????? ）2；
?
解：0
（4） （?????????）???? .
?
解：???? －2
?
04
课堂练习
提升题
1. 下列各式一定成立的是（　B　）
A. （????＋????）???? ＝a＋b
B. （????????+????）???? ＝a2＋1
C. ????????????? ＝a－1
D. （????????）???? ＝ab
B
2. 已知2，5，m是某三角形的三边长，则化简（?????????）???? ＋（?????????）???? 的结果为（　D　）
?
A. 2m－10
B. 10－2m
C. 10
D. 4
D
04
课堂练习
拓展题
已知m＝???????????????? －5，求代数式m2＋10m－1的值.
?
解：∵ m＝???????????????? －5，
∴ m＋5＝???????????????? .
∴ m2＋10m－1＝（m＋5）2－26＝（???????????????? ）2－26＝1999
?
05
课堂小结
二次根式的性质
????≥0 (????≥0)(双重非负性)
?
(????)2=????(????≥0)
?
????????=?|????|?=?????(????≥????)，?????????(?????
06
板书设计
19.1二次根式及其性质（第2课时）
二次根式的性质：
????≥0 (????≥0)(双重非负性)
?
(????)2=????(????≥0)
?
????????=?|????|?=?????(????≥????)，?????????(?????
Thanks!
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