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【新课标·新思维——2026年中考数学一轮复习】
第二章 方程与不等式
2.3 一元二次方程
1．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程．
2．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等．
3．了解一元二次方程的根与系数的关系．
4．能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性．
1．一元二次方程的概念及解法
（1）一元二次方程的概念：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
（2）一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0) ．
其中ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项；a叫做二次项的系数，b叫做一次项的系数．
（3）一元二次方程(x+a)2=b，
当b>0时，解为；
当b=0时，解为；
当b<0时，方程无解．
配方：a2±2ab+ b2=(a±b)2．
（4）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是．
的解，．
2．一元二次方程根的判别式
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式为Δ＝b2－4ac.
（1）b2－4ac＞0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根．
（2）b2－4ac＝0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根．
（3）b2－4ac＜0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根．
3．一元二次方程的根与系数的关系
（1）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根，，则＝，＝．
（2）使用一元二次方程的根与系数的关系时，一是要先将一元二次方程化为一般形式；二是方程的解存在，即满足b2－4ac≥0．
4．一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题的一般步骤如下：
（1）审题：读懂题目，审清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系；
（2）设元：就是设未知数，根据题意，选择适当的未知量，并用字母（如x）表示出来，设元又分直接设元和间接设元；
（3）列方程：根据题目中给出的等量关系，列出符合题意的一元二次方程；
（4）解方程：求出所列方程的解；
（5）验根：检验未知数的值是否符合题意；
（6）写出答案．
■考点一 一元二次方程的相关概念
◇典例1：（2026·广西柳州·一模）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项．
【详解】解：A．含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B．含有根号，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
C．最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意；
D．只含一个未知数，最高次数为2，且为整式方程，符合题意．
故选：D．
◆变式训练
1．（2025·四川绵阳·一诊）一元二次方程的二次项系数，一次项系数及常数项分别是 ．
【答案】2，，
【分析】本题考查一元二次方程的基本概念，明确一元二次方程的“二次项系数、一次项系数、常数项”的定义是解题关键．
一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
【详解】解：
一元二次方程中，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
方程中，二次项系数为，一次项系数为，常数项为．
故答案为：2，，．
2．（2025·四川广元·一诊）根据实际问题中的相等关系，设未知数列出了下列方程，其中一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，
一元二次方程需满足：只含一个未知数、未知数最高次数为2、且为整式方程，逐一分析各选项．
【详解】解：选项A：含两个未知数x和y，不符合题意；
选项B：仅未知数x，最高次数2，整式方程，符合题意；
选项C：含分式，非整式方程，不符合题意；
选项D：化简得，即，为一元一次方程，不符合题意．
故选：B．
■考点二 一元二次方程的解法
◇典例2：（2025·吉林市·三模）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解一元二次方程，通过解方程逐一判断即可，掌握一元二次方程解法是解题的关键．
【详解】解：、，右边为负数，无实数根，不符合题意；
、，解得，即两个相等的实数根，符合题意；
、，解得，，有两个不等实根，不符合题意；
、，解得，有两个不等实根，不符合题意；
故选：．
◆变式训练
1．（2026·辽宁省抚顺市顺城区·中考一模）方程的根是 ．
【答案】，
【分析】此题考查了解一元二次方程，通过因式分解法求解方程即可．
【详解】解：．
∴．
∴或．
解得，．
故答案为：，
2．（2026·广西柳州·一模）解方程．
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题考查解一元二次方程．熟悉利用因式分解法（十字相乘法）和直接开平方法解一元二次方程的方法，是解题的关键．
（1）直接开平方法解一元二次方程：通过变形将常数项移项至等式右边，等式两边直接开平方，进而求解．
（2）因式分解法（十字相乘法）解一元二次方程：用十字相乘法分解为的形式，进而求解．
【详解】（1）解：，
移项，得：，
直接开平方，得：，
解得：，；
（2）解：，
因式分解，得：，
解得：，．
■考点三 一元二次方程根的判别式
◇典例3：（2026·新疆阿克苏·模拟）关于一元二次方程，根的情况描述正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．有一个实数根
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握方程根的判别式与根的情况的关系是解题的关键．
先求出方程根的判别式的值，然后根据方程根的判别式与根的情况的关系即可解答．
【详解】解：方程，其中，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
◆变式训练
1．（2025·河南濮阳范县·摸底）已知关于x的一元二次方程有实数根，则a的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程有实根的条件，解决本题的关键是得到判别式非负列式求解．
利用一元二次方程有实数根的条件，判别式非负，列不等式求解的取值范围，进而得到最小值．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
则，且判别式，
即，解得，
故的最小值为．
故答案为：．
2．（2025·湖南衡阳·一模）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)当时，直接写出该方程的根．
【答案】(1)见解析；
(2),．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
（1）计算该一元二次方程根的判别式，并结合完全平方公式进行整理，即可解题；
（2）将代入一元二次方程进行整理，再结合因式分解法解整理后的一元二次方程即可．
【详解】（1）证明：由题知，
，
该方程总有两个实数根；
（2）解：当时，关于x的一元二次方程为，
整理得，
则或，
解得，．
■考点四 一元二次方程的根与系数的关系
◇典例4：（2025·山东省东营市·中考）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ）
A．0 B．25 C．26 D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，将，代入变形后的式子求解即可．
【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
，
故选：C．
◆变式训练
1．（2025·福建厦门·自主招生）设，是方程的两个根，那么的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根的概念和根与系数的关系，将高次项降次后代入求值
【详解】解：， 是方程 的根，
， ，，
，
．
故答案为： ．
2．（2025·四川绵阳游仙区·一诊）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若是方程的两个不相等的实数根，且满足，求k的值．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键：
（1）求出判别式的符号，即可得出结论；
（2）根据根与系数之间的关系，得到，结合，得到关于的方程进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴；
∴ 无论取何值，方程总有两个不等实根；
（2）解：由题意，，，
∴，
∴，
∴，
．
■考点五 实际问题与一元二次方程
◇典例5：（2025·山东滨州·中考）某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及年平均增长率的计算．从2023年初到2025年初是两年时间，设年平均增长率为x，则两年后的数量为初始数量乘以的平方．
【详解】解：∵ 初始数量为10万个，两年后数量为16.9万个，年平均增长率为x，
∴ 一年后数量为，两年后数量为，
∴ 可列方程：，
故选：B．
◆变式训练
1．（2025·威海·中考）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了正方体的展开图、正方形的性质、勾股定理以及一元二次方程的求解等知识；
如图，设，则，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：如图，设，则，
则在直角三角形中，由勾股定理可得：，
即，
解得：或（舍去），
∴正方体的棱长为cm，
故答案为：．
2．（2025·威海·中考）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为，根据题意可知种植园的面积等于一个长为，宽为的矩形面积，据此建立方程求解即可．
【详解】解：设小路的宽度为，
由题意得，，
整理得，
解得或（舍去），
答：小路的宽度为．
A 基础达标练
1．（2026·广西柳州·一模）若是一元二次方程的一个根，则（ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】D
【分析】本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
【详解】解：把代入一元二次方程，
得，
即．
故选：D．
2．（2025·山东潍坊·中考）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故选：．
3．（2026·新疆昌吉州呼图壁县·模拟）关于方程，下列说法不正确的是（ ）
A．该方程是一元二次方程
B．解方程时，两边同时除以即可
C．该方程适合用因式分解法求解
D．该方程有两个不等的实数根
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义、解法及根的判别式，掌握一元二次方程的定义、解法及根的判别式是解题的关键．
根据一元二次方程的定义、解法及根的判别式逐一判断即可求解．
【详解】解：A、方程整理得，故方程是一元二次方程，该说法正确，不合题意；
B、解方程时，方程两边先同时除以，会漏解，故该说法错误，符合题意；
C、，
移项得 ，
提取公因式得 ，
即 ，
∴ 方程根为 或 .
用因式分解法解此方程最适宜，该说法正确，不合题意；
D、由得：
，
故方程有两个不相等的实数根，该说法正确，不合题意；
故选：．
4．（2025·广西南宁市第十四中学·质量评估）毕业将至，九（1）班全体学生互赠祝福卡，共赠祝福卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据每个同学都要送其他名同学一张祝福卡，因此总赠送祝福卡数是张，再根据共赠祝福卡1560张列方程即可．
【详解】解：设九（1）班共有x名学生，
由题意得：，
故选：B．
5．（2025·四川省广元市·中考）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程在几何图形面积问题中的应用，解题的关键是根据花卉带宽度相同的条件，正确表示出中间草坪的长和宽，再结合草坪面积与总面积的关系列出方程．
确定矩形总面积：矩形地面长、宽总面积为分析草坪的长和宽：花卉带宽度为且在四周，因此草坪的长需减去左右两侧花卉带宽度（共即草坪的宽需减去上下两侧花卉带宽度（共即列面积关系方程：草坪面积为且等于总面积的，由此确定方程形式．
【详解】解：根据题意，矩形地面的总面积为，草坪面积为总面积的，即草坪面积为．
∵花卉带宽度为，且分布在矩形四周，
∴中间草坪的长应等于原矩形的长减去左右两侧花卉带的总宽度（每侧宽即
草坪的宽应等于原矩形的宽减去上下两侧花卉带的总宽度（每侧宽即．
因此，草坪的面积可表示为结合面积关系可列方程：
故选：D．
6．（2025·山东临沂郯城·模拟）如果关于x的一元二次方程的一个根为1，那么多项式可因式分解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解及因式分解，将代入原方程，求出的值，然后再进行因式分解是解决问题的关键．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是1，
∴把代入，得，
解得：．
则
故答案为：．
7．（2025·四川成都·一诊）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ．
【答案】2038
【分析】本题考查一元二次方程根的定义，根与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．因为，是方程的实数根，可得，，代入要求的代数式进行计算即可．
【详解】解：是方程的实数根，
，
，是方程的两个实数根，
，
∴
故答案为：2038．
8．（2025·辽宁盘锦·一模）若关于的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据关于的一元二次方程有实数根，得出其根的判别式大于等于0，列不等式求解即可，特别注意二次项系数不为零．
根据一元二次方程的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，特别注意二次项系数不为零，解之即可得出的取值范围．
【详解】解：关于x的一元二次方程有实数根，
，
即，解得且，
的取值范围是且，
故答案为：且．
9．（2026·贵州遵义播州·一模）新定义：，例如：． 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据新定义将方程转化为一元二次方程，利用判别式求参数范围即可．
本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键．
【详解】解：由新定义得 ，
整理，得，
故．
由方程有实数根，
则判别式，
解得．
故答案为：．
10．（2026·陕西西安周至县·一模）周至水街位于陕西省西安市，是一条集休闲、娱乐、观光为一体的特色水街．这里以水为魂，融合了自然风光与人文景观，是游客体验关中风情的好去处．该景区推出一款文创产品深受消费者喜爱．已知该文创产品7月份的销量为1000件，9月份的销量为1690件，设该文创产品的销量月平均增长率为，根据题意可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意找出等量关系是解题的关键．
从7月到9月销量增长两个月，根据月平均增长率公式列出一元二次方程
【详解】解：设月平均增长率为x，则8月份销量为件，9月份销量为件，因此方程为，
故答案为．
11．（2025·陕西西安国际港务区铁一中陆港初中·一模）解方程：
【答案】，
【分析】本题考查了解一元二次方程，运用因式分解法进行解方程，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
则，
∴，
∴，．
B 强化提升练
12．（2025·四川泸州·中考）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；
(2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．
【答案】(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为
(2)最少购进甲种商品40件
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键．
（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可；
（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为；
（2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，
由题意得，，
∴，
解得，
∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件，
答：最少购进甲种商品40件．
13．（2025·福建泉州·模拟）如图，在中，，，，动点从点出发在射线上以的速度运动．设运动的时间为 ．
(1)直接填空：的长为___________；
(2)当是等腰三角形时，求的值．
【答案】(1)
(2)的值为或或．
【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、方程的解法，掌握等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用及“分类思想”的应用是解题关键．
(1)根据已知条件运用勾股定理计算即可；
(2)根据已知条件运用“分类思想”分别构造以为底、为底、为底的等腰三角形，然后根据等腰三角形的判定与性质及勾股定理分别列出关于的方程，最后，逐一进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴．
故答案为：；
（2）解：①如图1，当为底时，点在上，， ．
作垂直平分，垂足为点，交于点，连接．
由（1）得： ．
∵垂直平分，
∴．
在中，，
即，
解得：．
②如图2，当为底时，点在的延长线上，．
∵，
∴，
解得：．
③如图2，当为底时，点在的延长线上，， ．
∵，，
∴（“三线合一”），
即，
解得：．
∴当是等腰三角形时，的值为或或．
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第二章 方程与不等式
2.3 一元二次方程
1．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程．
2．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等．
3．了解一元二次方程的根与系数的关系．
4．能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性．
1．一元二次方程的概念及解法
（1）一元二次方程的概念：只含有________个未知数（一元），并且未知数的最高次数是________的整式方程叫做一元二次方程．
（2）一元二次方程的一般形式是________ ．________其中________叫做二次项，________叫做一次项，________叫做常数项；________叫做二次项的系数，________叫做一次项的系数．
（3）一元二次方程(x+a)2=b，
当b>0时，解为；
当b=0时，解为；
当b<0时，方程________．
配方：a2±2ab+ ________=(a±________)2．
（4）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是．
的解，．
2．一元二次方程根的判别式
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式为Δ＝________.
（1）b2－4ac＞0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个________的实数根．
（2）b2－4ac＝0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个________的实数根．
（3）b2－4ac＜0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)________实数根．
3．一元二次方程的根与系数的关系
（1）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根，，则＝，＝．
（2）使用一元二次方程的根与系数的关系时，一是要先将一元二次方程化为一般形式；二是方程的解存在，即满足b2－4ac________0．
4．一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题的一般步骤如下：
（1）审题：读懂题目，审清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系；
（2）设元：就是设未知数，根据题意，选择适当的未知量，并用字母（如x）表示出来，设元又分直接设元和间接设元；
（3）列方程：根据题目中给出的等量关系，列出符合题意的一元二次方程；
（4）解方程：求出所列方程的解；
（5）验根：检验未知数的值是否符合题意；
（6）写出答案．
■考点一 一元二次方程的相关概念
◇典例1：（2026·广西柳州·一模）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2025·四川绵阳·一诊）一元二次方程的二次项系数，一次项系数及常数项分别是 ．
2．（2025·四川广元·一诊）根据实际问题中的相等关系，设未知数列出了下列方程，其中一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
■考点二 一元二次方程的解法
◇典例2：（2025·吉林市·三模）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2026·辽宁省抚顺市顺城区·中考一模）方程的根是 ．
2．（2026·广西柳州·一模）解方程．
(1)；
(2)．
■考点三 一元二次方程根的判别式
◇典例3：（2026·新疆阿克苏·模拟）关于一元二次方程，根的情况描述正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．有一个实数根
◆变式训练
1．（2025·河南濮阳范县·摸底）已知关于x的一元二次方程有实数根，则a的最小值是 ．
2．（2025·湖南衡阳·一模）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)当时，直接写出该方程的根．
■考点四 一元二次方程的根与系数的关系
◇典例4：（2025·山东省东营市·中考）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ）
A．0 B．25 C．26 D．
◆变式训练
1．（2025·福建厦门·自主招生）设，是方程的两个根，那么的值为 ．
2．（2025·四川绵阳游仙区·一诊）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若是方程的两个不相等的实数根，且满足，求k的值．
■考点五 实际问题与一元二次方程
◇典例5：（2025·山东滨州·中考）某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1．（2025·威海·中考）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为 ．
2．（2025·威海·中考）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度．
A 基础达标练
1．（2026·广西柳州·一模）若是一元二次方程的一个根，则（ ）
A． B．4 C． D．2
2．（2025·山东潍坊·中考）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·新疆昌吉州呼图壁县·模拟）关于方程，下列说法不正确的是（ ）
A．该方程是一元二次方程
B．解方程时，两边同时除以即可
C．该方程适合用因式分解法求解
D．该方程有两个不等的实数根
4．（2025·广西南宁市第十四中学·质量评估）毕业将至，九（1）班全体学生互赠祝福卡，共赠祝福卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·四川省广元市·中考）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·山东临沂郯城·模拟）如果关于x的一元二次方程的一个根为1，那么多项式可因式分解为 ．
7．（2025·四川成都·一诊）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ．
8．（2025·辽宁盘锦·一模）若关于的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ．
9．（2026·贵州遵义播州·一模）新定义：，例如：． 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围为 ．
10．（2026·陕西西安周至县·一模）周至水街位于陕西省西安市，是一条集休闲、娱乐、观光为一体的特色水街．这里以水为魂，融合了自然风光与人文景观，是游客体验关中风情的好去处．该景区推出一款文创产品深受消费者喜爱．已知该文创产品7月份的销量为1000件，9月份的销量为1690件，设该文创产品的销量月平均增长率为，根据题意可列方程为 ．
11．（2025·陕西西安国际港务区铁一中陆港初中·一模）解方程：
B 强化提升练
12．（2025·四川泸州·中考）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；
(2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．
13．（2025·福建泉州·模拟）如图，在中，，，，动点从点出发在射线上以的速度运动．设运动的时间为 ．
(1)直接填空：的长为___________；
(2)当是等腰三角形时，求的值．
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2026年中考一轮复习
2.3 一元二次方程
方程与不等式
第2章
“—”
1．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程．
2．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等．
3．了解一元二次方程的根与系数的关系．
4．能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性．
1．一元二次方程的概念及解法
（1）一元二次方程的概念：只含有________个未知数（一元），并且未知数的最高次数是________的整式方程叫做一元二次方程．
（2）一元二次方程的一般形式是___________________ ．其中______叫做二次项，______叫做一次项，______叫做常数项；______叫做二次项的系数，______叫做一次项的系数．
一
2
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
ax2
bx
c
a
b
（3）一元二次方程(x+a)2=b，
当b>0时，解为；
当b=0时，解为；
当b<0时，方程________．
配方：a2±2ab+ ____=(a±____)2．
（4）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是．
的解，．
无解
b2
b
2．一元二次方程根的判别式
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式为Δ＝________.
（1）b2－4ac＞0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个________的实数根．
（2）b2－4ac＝0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个________的实数根．
（3）b2－4ac＜0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)________实数根．
b2－4ac
不相等
相等
无
3．一元二次方程的根与系数的关系
（1）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根，，则＝，＝．
（2）使用一元二次方程的根与系数的关系时，一是要先将一元二次方程化为一般形式；二是方程的解存在，即满足b2－4ac______0．
≥
4．一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题的一般步骤如下：
（1）审题：读懂题目，审清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系；
（2）设元：就是设未知数，根据题意，选择适当的未知量，并用字母（如x）表示出来，设元又分直接设元和间接设元；
（3）列方程：根据题目中给出的等量关系，列出符合题意的一元二次方程；
（4）解方程：求出所列方程的解；
（5）验根：检验未知数的值是否符合题意；
（6）写出答案．
■考点一 一元二次方程的相关概念
◇典例1：（2026·广西柳州·一模）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
D
◆变式训练
1．（2025·四川绵阳·一诊）一元二次方程的二次项系数，一次项系数及常数项分别是 ．
2，，
2．（2025·四川广元·一诊）根据实际问题中的相等关系，设未知数列出了下列方程，其中一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
B
■考点二 一元二次方程的解法
◇典例2：（2025·吉林市·三模）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
B
◆变式训练
1．（2026·辽宁省抚顺市顺城区·中考一模）方程的根是 ．
，
2．（2026·广西柳州·一模）解方程．
(1)； (2)．
（1）解：移项，得：
，
直接开平方，得：
，
解得：
，；
（2）解：因式分解，得：
，
解得：
，．
■考点三 一元二次方程根的判别式
◇典例3：（2026·新疆阿克苏·模拟）关于一元二次方程，根的情况描述正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．有一个实数根
B
◆变式训练
1．（2025·河南濮阳范县·摸底）已知关于x的一元二次方程有实数根，则a的最小值是 ．
2．（2025·湖南衡阳·一模）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)当时，直接写出该方程的根．
（1）证明：由题知，
，
该方程总有两个实数根；
（2）解：当时，关于x的一元二次方程为，
整理得，
则或，
解得，．
2．（2025·湖南衡阳·一模）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)当时，直接写出该方程的根．
■考点四 一元二次方程的根与系数的关系
◇典例4：（2025·山东省东营市·中考）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ）
A．0 B．25 C．26 D．
C
◆变式训练
1．（2025·福建厦门·自主招生）设，是方程的两个根，那么的值为 ．
2．（2025·四川绵阳游仙区·一诊）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若是方程的两个不相等的实数根，且满足，求k的值．
（1）证明：∵，
∴；
∴ 无论取何值，方程总有两个不等实根；
2．（2025·四川绵阳游仙区·一诊）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若是方程的两个不相等的实数根，且满足，求k的值．
（2）解：由题意，，，
∴，
∴，
∴，．
■考点五 实际问题与一元二次方程
◇典例5：（2025·山东滨州·中考）某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
B
◆变式训练
1．（2025·威海·中考）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为 ．
2．（2025·威海·中考）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度．
解：设小路的宽度为，
由题意得，，
整理得，
解得或（舍去），
答：小路的宽度为．
A 基础达标练
1．（2026·广西柳州·一模）若是一元二次方程的一个根，则（ ）
A． B．4 C． D．2
D
2．（2025·山东潍坊·中考）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
D
3．（2026·新疆昌吉州呼图壁县·模拟）关于方程，下列说法不正确的是（ ）
A．该方程是一元二次方程
B．解方程时，两边同时除以即可
C．该方程适合用因式分解法求解
D．该方程有两个不等的实数根
B
4．（2025·广西南宁市第十四中学·质量评估）毕业将至，九（1）班全体学生互赠祝福卡，共赠祝福卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
B
5．（2025·四川省广元市·中考）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
D
6．（2025·山东临沂郯城·模拟）如果关于x的一元二次方程的一个根为1，那么多项式可因式分解为 ．
7．（2025·四川成都·一诊）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ．
2038
8．（2025·辽宁盘锦·一模）若关于的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ．
且
9．（2026·贵州遵义播州·一模）新定义：，例如：． 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围为 ．
10．（2026·陕西西安周至县·一模）周至水街位于陕西省西安市，是一条集休闲、娱乐、观光为一体的特色水街．这里以水为魂，融合了自然风光与人文景观，是游客体验关中风情的好去处．该景区推出一款文创产品深受消费者喜爱．已知该文创产品7月份的销量为1000件，9月份的销量为1690件，设该文创产品的销量月平均增长率为，根据题意可列方程为 ．
11．（2025·陕西西安国际港务区铁一中陆港初中·一模）解方程：
解：∵，
∴，
则，
∴，
∴，．
B 强化提升练
12．（2025·四川泸州·中考）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；
(2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．
（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为；
（2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，
由题意得，，
∴，解得，
∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件，
答：最少购进甲种商品40件．
13．（2025·福建泉州·模拟）如图，在中，，，，动点从点出发在射线上以的速度运动．设运动的时间为 ．
(1)直接填空：的长为___________
(2)当是等腰三角形时，求的值．
（2）解：①如图1，当为底时，点在上，， ．
作垂直平分，垂足为点，交于点，连接．
由（1）得： ．
∵垂直平分，
∴．
在中，，
即，解得：．
②如图2，当为底时，点在的延长线上，．
∵，
∴，
解得：．
③如图2，当为底时，点在的延长线上，
，．
∵，，
∴（“三线合一”），即，解得：．
∴当是等腰三角形时，的值为或或．
Thanks!
2
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