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【新课标·新思维——2026年中考数学一轮复习】
第二章 方程与不等式
2.4 一元一次不等式(组)
1．结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质．
2．能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集．
3．能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题．
1．不等式的有关概念及其性质
（1）不等式的概念：用符号“＜”或“＞”表示不等关系的式子，叫作不等式；用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
（2）不等式的解、解集：使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解，不等式的所有的解组成不等式的解集．求不等式的解集的过程叫作解不等式．
（3）不等式的基本性质
①不等式两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
即：若a＜b，则a＋c＜b＋c（或a－c＜b－c）．
②不等式两边同乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
即：若a＞b，且c＞0，则ac＞bc或．
③不等式两边同乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
即：若a＞b，且c＜0，则ac＜bc，
注意：当不等式两边都乘（或除以）的式子中含有字母时，一定要对字母分类讨论．
2．一元一次不等式（组）的概念及解法
（1）一元一次不等式的概念：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式，叫作一元一次不等式．
（2）解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似：
去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.
（3）一元一次不等式组：把几个含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组.
（4）一元一次不等式组的解集：几个不等式的解集的公共部分，叫作由它们所组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集．
（5）一元一次不等式组解集的四种情况：
设a＞b，则
①
数轴上表示为：
解集：x＞a，
口诀：同大取大
②
数轴上表示为：
解集：x＜b，
口诀：同小取小
③
数轴上表示为：
解集：b＜x＜a，
口诀：大小小大中间找
④
数轴上表示为：
解集：无解，
口诀：大大小小无处找
3．一元一次不等式（组）的应用
（1）列不等式（组）解应用题的步骤：
①找出实际问题中的不等关系，设定未知数，列出不等式（组）；
②解不等式（组）；
③从不等式（组）的解集中求出符合题意的答案；
（2）利用不等式（组）对代数式进行比较，以确定最佳方案，获取最大收益．
■考点一 不等式的概念
◇典例1：（2025·河北沧州任丘·模拟）根据下图所示，可知x□20，则“□”内应填的符号是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查列不等式，根据图中重量的轻重可得结论．
【详解】解：由图可知，，
故选：B．
◆变式训练
1．（2025·河北衡水·模拟）若不等式“”可以表示“不超过3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是列不等式，理解语言表示不等关系的含义是关键，由不超过表示小于或等于可得答案．
【详解】解：不等式“”可以表示“不超过3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是：，
故选：A
2．（2025·广东云浮罗定·一模）如图所示的交通标志为某条城市公路某路段上汽车的最高时速不得超过，若某汽车的时速为，且该汽车没有超速，则下列不等式正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了列不等式的知识，明确题意是解答本题的关键．
根据不超过指的是小于等于，直接列不等式即可作答．
【详解】解：∵汽车的最高时速不得超过，某汽车的时速为，且该汽车没有超速，
∴，
故选：B．
■考点二 不等式的性质
◇典例2：（2025·四川绵阳·中考）设，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题关键．
根据不等式的基本性质逐一验证选项即可．
【详解】解：由，
∴，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C正确；
，故选项D错误，
故选：C．
◆变式训练
1．（2025·江苏省常州市·中考）若则 0．（填、或）．
【答案】
【分析】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．根据不等式的性质，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
2．（2025·福建厦门·自主招生）当取什么值时，不等式对一切实数都成立？
【答案】
【分析】本题考查了根的判别式，不等式的性质．
分和两种情况讨论，当时直接判断不等式是否成立；当时利用二次函数恒小于0的条件(开口向下且判别式小于0)求解k的取值范围．
【详解】解：当时，显然成立，
∴；
当时，不等式对一切实数x都成立，
∴，
解得，
综上，k的取值范围为．
■考点三 解一元一次不等式（组）
◇典例3：（2025·吉林省·中考）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题关键．
解一元一次不等式，通过移项即可求解．
【详解】解：不等式为，
移项，得：，
不等式的解集为．
故选：A．
◆变式训练
1．（2025·福建·中考）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查求不等式的解集，在数轴上表示解集，先求出不等式的解集，定边界，定方向，表示出不等式的解集即可．
【详解】解：，
，
，
∴；
在数轴上表示如图：
故选C．
2．（2025·天津·中考）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得____________；
(2)解不等式②，得____________；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为____________．
【答案】(1)
(2)
(3)作图见解析
(4)
【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，
（1）根据移项，合并同类项即可得解；
（2）根据移项，合并同类项即可得解；
（3）根据不等式的解集在数轴上表示的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线，据此画出图形；
（4）根据一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，据此确定不等式组的解集；
解题的关键是掌握：①不等式的解集在数轴上表示的方法；②一元一次不等式组的解集确定的原则．
【详解】（1）解：移项，得：，
合并同类项，得：，
∴解不等式①，得：，
故答案为：；
（2）移项，得：，
合并同类项，得：，
∴解不等式②，得：，
故答案为：；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图所示：
（4）原不等式组的解集为：，
故答案为：．
■考点四 解含参数的一元一次不等式（组）
◇典例4：（2025·福建厦门·自主招生）已知不等式的正整数解为1，2，3，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】此题考查一元一次不等式的整数解．根据题目中的不等式分三种情况讨论，可以求得x的取值范围，再根据不等式的正整数解恰是1，2，3，从而可以求得a的取值范围．
【详解】解：（1）当时，不等式的解集为：，
正整数解一定有无数个．故不满足条件．
（2）时，无论取何值，不等式恒成立；
（3）当时，不等式的解集为：，
∵不等式的正整数解为1，2，3，
∴，
解得．
故的取值范围是．
故答案为：．
◆变式训练
1．（2022·江苏南通海门·二模）已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值．
【详解】解：，
解①得，
解②得．
则不等式组的解集是．
∵解集中至少有5个整数解
∴整数解为：-1,0,1,2,3．
∴．
整数a的最小值是4．
故选C．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键．
2．（2025·四川眉山·中考）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．8 B．14 C．18 D．38
【答案】B
【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，先解不等式组，确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可．
【详解】解：
解①得：
解②得：，
∵关于x的不等式组至少有两个正整数解
∴不等式组的解集为．
∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数．
当时，解集包含，
此时．
分式方程化简为：，
解得．
要求解为正整数且，则为大于等于2的整数，
即为大于等于6的偶数．
∵，
∴或8，
当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件．
当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件．
则所有满足条件的整数之和为，
故选：B．
■考点五 一元一次不等式（组）的实际应用
◇典例5：（2026·江西·原创卷（三））☆跨学科物理 小明用天平称一个物体的质量，天平调节平衡后，他将两个该物体放在天平的左边，右边分别放两个、三个的砝码，天平状态如图所示，则该物体的质量m的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题意可知且，解不等式组即可得出答案．
【详解】解：由题图可知，且，
∴，
故选D．
◆变式训练
1．（2025·山东省淄博市·中考）爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个同学猜测该书价格的对话：
小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格（元）所在的范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查不等式组的应用，根据对话列不等式组，求出解集即可．
【详解】解：根据对话可得，
解得，
故答案为：．
2．（2025·西藏·中考）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表：
款式 成本（元/件） 售价（元/件）
甲 700 1000
乙 800 1200
根据以上信息，解答下列问题：
(1)列方程（组）解应用题
若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？
(2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？
【答案】(1)生产甲、乙两款服装分别为件，件；
(2)生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润．
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，正确理解题意列得方程及函数解析式，掌握一次函数的性质是解题的关键．
（1）设生产甲、乙两款服装分别为件，件，根据该工厂共投入230000元来生产两款服装共300件，列方程组解题即可；
（2）设生产甲款服装件，则生产乙款服装件，获得的总利润为元，根据甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍，列出一元一次不等式组求出，再列出函数关系式，结合为正整数，根据函数的增减性解答即可．
【详解】（1）解：设生产甲、乙两款服装分别为件，件，
根据题意得，
解得：，
答：生产甲、乙两款服装分别为件，件；
（2）解：设生产甲款服装件，则生产乙款服装件，
根据题意得，
解得，
设获得的总利润为元，
∴，
∵，且为正整数，
∴当时，最大利润为（元），
则（件），
答：生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润．
A 基础达标练
1．（2025·四川攀枝花·中考）不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】本题主要考查不等式组的解集，分别求出不等式①②的解集，再求出不等式组的解集即可．
【详解】解：，
解①得，，
解②得，，
∴不等式组的解集是；
故选：A．
2．（2025·山东省济南市·中考）已知，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的基本性质，掌握三个性质是解决本题的关键．不等式的基本性质：基本性质1，不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；基本性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质即可得出答案．
【详解】解：A、，则，选项错误，不符合题意；
B、，则，选项错误，不符合题意；
C、，则，选项错误，不符合题意；
D、，则，即，选项正确，符合题意，
故选：D．
3．（2025·吉林长春·中考）下列不等式组无解的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的解集，根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出每个选项中不等式组的解集即可得到答案．
【详解】解：A、原不等式组的解集为，不符合题意；
B、原不等式组无解，符合题意；
C、原不等式组的解集为，不符合题意；
D、原不等式组的解集为，不符合题意；
故选：B．
4．（2025·内蒙古·中考）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．先解一元一次不等式组，再在数轴上表示即可．
【详解】解：，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的解集在数轴上表示是：
故选：C．
5．（2025·广西·中考）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．根据不等式的性质，在两边同时加上相同的正数，不等式方向不变，即可求解．
【详解】解：∵初始时，两杯水的质量分别为克和克，
∴加入克水后，两杯水的质量变为克和克，
∵，
∴，
故选：A
6．（2025·哈尔滨·中考）不等式组的解集是 ．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别求解两个一元一次不等式，然后确定不等式组的解集为两个解集的公共部分即可．
【详解】解：解不等式 ，得 ；
解不等式 ，得 ．
所以不等式组的解集是 ．
故答案为：．
7．（2025·四川南充·中考）不等式组的解集是，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集，熟知不等式组的解集取值规则是关键．
先分别求出每一个不等式的解集，再根据两个解集结合不等式组的解集求出m的取值范围即可．
【详解】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
∵不等式组的解集是，
∴，
∴．
故答案为：
8．关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是根据已知列出关于a的不等式组．先解含参的不等式组，根据不等式组恰有3个整数解得到关于a的不等式组，求解即可．根据解集的情况得到关于a的不等式组是解题的关键．
【详解】解：解不等式得：，
解不等式得：，
∵不等式组恰有3个整数解，
∴，
故答案为：．
9．（2025·湖南·模拟）我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住人，则还有人无宿舍住；若每间住人，其余宿舍住满，且有一间宿舍不空但所住的人数不足人．若设宿舍间数为，根据题意应满足的不等式（组）为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一元一次不等式组的实际应用，准确列出关系式是解题的关键．
根据总人数列式，利用最后一间宿舍人数大于等于1且小于5建立不等式组．
【详解】解：设宿舍间数为，则总人数为人，
若每间住7人，则前间住满，最后一间宿舍不空但所住人数不足5人，
即最后一间宿舍人数满足，
得，
即不等式组．
故答案为：．
10．（2026·陕西西安周至县·一模）解不等式组：并把解集表示在如图所示的数轴上．
【答案】．见解析
【分析】本题考查求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集．分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可．
【详解】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
故原不等式组的解集为．
解集在数轴上表示如下图所示．
．
B 强化提升练
11．（2026·江苏连云港·连云港外国语学校·模拟）某中学开展爱心义卖活动，推出，两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个款帆布袋和3个款帆布袋共需31元，购买3个款帆布袋和2个款帆布袋共需34元．
(1)求，两款帆布袋的单价分别为多少元．
(2)某老师决定购买，两款帆布袋共12个，且购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的．当购买，两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？
【答案】(1)两款帆布袋的单价分别为8元和5元
(2)当购买款帆布袋4个，款帆布袋8个时，总费用最低，最低费用是72元
【分析】本题主要考查一次函数的应用，二元一次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是列出与的一次函数．
（1）设，两款帆布袋的单价分别为元，元，根据题意列出方程组，解得即可；
（2）设购买款帆布袋件，则购买款帆布袋 件，根据题意列不等式，求得的取值范围，设总费用为元，写出与的一次函数，再根据一次函数的性质即可作答．
【详解】（1）解：设，两款帆布袋的单价分别为元，元，
由题意得：，
解得：，
，两款帆布袋的单价分别为8元和5元；
（2）解：设购买款帆布袋个，则购买款帆布袋个，设总费用为元，
，
，
随的增大而增大．
购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的，
，
且为正整数，
当时，有最小值，最小值为，
此时，
购买，两款帆布袋分别为4个和8个时，总费用最低，最低费用为72元．
12．（2025·北京海淀人大附中·零模）某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式，其中精包装每盒，售价25元，简包装每盒，售价35元．
(1)在实践活动中，学生共售出草莓350，销售总收入为8500元，请问两种包装分别销售了多少盒？
(2)已知每个精包装盒的成本为1元，简包装盒的成本为元，现需要将草莓恰好整盒分装完，且使购买包装盒的成本不超过13元，是否存在符合要求的分装方案？请通过计算说明．
【答案】(1)售出精装草莓200盒，则简装草莓100盒
(2)不存在符合要求的分装方案
【分析】（1）设售出精装草莓x盒，简装草莓盒，根据题意，得，解答即可；
（2）设分装精装草莓m盒，则简装草莓盒，根据题意，，求出m的取值，再根据m，都为正整数，进行判断即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，熟练掌握解方程组，不等式是解题的关键．
【详解】（1）解：设售出精装草莓x盒，简装草莓盒，根据题意，得，
解得，
答：售出精装草莓200盒，则简装草莓盒．
（2）解：设分装精装草莓m盒，则简装草莓盒，根据题意，得
，
解得，
∵m是正整数，
∴，
此时，不合题意，
故不存在符合要求的分装方案．
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2026年中考一轮复习
2.4 一 元一次不等式(组)
方程与不等式
第2章
“—”
1．结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质．
2．能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集．
3．能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题．
1．不等式的有关概念及其性质
（1）不等式的概念：用符号“＜”或“＞”表示________关系的式子，叫作不等式；用“≠”表示不等关系的式子也是________．
（2）不等式的解、解集：使不等式成立的未知数的________叫作不等式的解，不等式的所有的________组成不等式的解集．求不等式的解集的过程叫作________．
不等
不等式
值
解
解不等式
（3）不等式的基本性质
①不等式两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向______．即：若a＜b，则a＋__＜b＋__（或a－__＜b－__）．
②不等式两边同乘（或除以）同一个正数，不等号的方向______．即：若a＞b，且c＞0，则ac＞___或．
③不等式两边同乘（或除以）同一个负数，不等号的方向________．即：若a＞b，且c＜0，则ac＜__，
注意：当不等式两边都乘（或除以）的式子中含有字母时，一定要对字母分类讨论．
不变
c
c
c
c
不变
bc
.
改变
bc
.
2．一元一次不等式（组）的概念及解法
（1）一元一次不等式的概念：只含有________未知数，并且未知数的次数是________的不等式，叫作一元一次不等式．
（2）解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似：
去分母，________，移项，____________，系数化为1.
一个
1
去括号
合并同类项
（3）一元一次不等式组：把几个含有同一个________的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组.
（4）一元一次不等式组的解集：几个不等式的解集的________部分，叫作由它们所组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的________．
未知数
公共
解集
（5）一元一次不等式组解集的四种情况：
设a＞b，则
①
数轴上表示为：

解集：________，
口诀：同大取大
x＞a
（5）一元一次不等式组解集的四种情况：
设a＞b，则
②
数轴上表示为：

解集：________，
口诀：同小取小
x＜b
（5）一元一次不等式组解集的四种情况：
设a＞b，则
③
数轴上表示为：

解集：________，
口诀：大小小大中间找
b＜x＜a
（5）一元一次不等式组解集的四种情况：
设a＞b，则
④
数轴上表示为：

解集：________，
口诀：大大小小无处找
无解
3．一元一次不等式（组）的应用
（1）列不等式（组）解应用题的步骤：
①找出实际问题中的不等关系，设定未知数，列出不等式（组）；
②解不等式（组）；
③从不等式（组）的解集中求出符合题意的答案；
（2）利用不等式（组）对代数式进行比较，以确定最佳方案，获取最大收益．
◇典例1：（2025·河北沧州任丘·模拟）根据下图所示，可知x□20，则“□”内应填的符号是（ ）
A． B． C． D．
■考点一 不等式的概念
B
◆变式训练
1．（2025·河北衡水·模拟）若不等式“”可以表示“不超过3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（ ）
A． B． C． D．
A
2．（2025·广东云浮罗定·一模）如图所示的交通标志为某条城市公路某路段上汽车的最高时速不得超过，若某汽车的时速为，且该汽车没有超速，则下列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
B
■考点二 不等式的性质
◇典例2：（2025·四川绵阳·中考）设，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
C
◆变式训练
1．（2025·江苏省常州市·中考）若则 0．（填、或）．
2．（2025·福建厦门·自主招生）当取什么值时，不等式对一切实数都成立？
解：当时，显然成立，
∴；
当时，不等式对一切实数x都成立，
∴，
解得，
综上，k的取值范围为．
■考点三 解一元一次不等式（组）
◇典例3：（2025·吉林省·中考）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
A
◆变式训练
1．（2025·福建·中考）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
C
2．（2025·天津·中考）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得____________；
(2)解不等式②，得____________；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为____________．
■考点四 解含参数的一元一次不等式（组）
◇典例4：（2025·福建厦门·自主招生）已知不等式的正整数解为1，2，3，则的取值范围是 ．
◆变式训练
1．（2022·江苏南通海门·二模）已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
C
2．（2025·四川眉山·中考）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．8 B．14 C．18 D．38
B
◇典例5：（2026·江西·原创卷（三））☆跨学科物理 小明用天平称一个物体的质量，天平调节平衡后，他将两个该物体放在天平的左边，右边分别放两个、三个的砝码，天平状态如图所示，则该物体的质量m的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
■考点五 一元一次不等式（组）的实际应用
D
◆变式训练
1．（2025·山东省淄博市·中考）爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个同学猜测该书价格的对话：
小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格（元）所在的范围是 ．
2．（2025·西藏·中考）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表：
款式 成本（元/件） 售价（元/件）
甲 700 1000
乙 800 1200
根据以上信息，解答下列问题：
(1)列方程（组）解应用题
若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？
（1）解：设生产甲、乙两款服装分别为件，件，
根据题意得，
解得：，
答：生产甲、乙两款服装分别为件，件；
(2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？
（2）解：设生产甲款服装件，则生产乙款服装件，
根据题意得，
解得，
设获得的总利润为元，
∴，
∵，且为正整数，
∴当时，最大利润为（元），
则（件），
答：生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润．
A 基础达标练
1．（2025·四川攀枝花·中考）不等式组的解集是（ ）
A． B．
C． D．或
A
2．（2025·山东省济南市·中考）已知，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
D
3．（2025·吉林长春·中考）下列不等式组无解的是（　　）
A． B． C． D．
B
4．（2025·内蒙古·中考）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
C
5．（2025·广西·中考）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（ ）
A． B．
C． D．
A
6．（2025·哈尔滨·中考）不等式组的解集是 ．
7．（2025·四川南充·中考）不等式组的解集是，则的取值范围是 ．
8．关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ．
9．（2025·湖南·模拟）我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住人，则还有人无宿舍住；若每间住人，其余宿舍住满，且有一间宿舍不空但所住的人数不足人．若设宿舍间数为，根据题意应满足的不等式（组）为 ．
10．（2026·陕西西安周至县·一模）解不等式组：并把解集表示在如图所示的数轴上．
解：解不等式得：，
解不等式得：，
故原不等式组的解集为．
解集在数轴上表示如下图所示．
B 强化提升练
11．（2026·江苏连云港·连云港外国语学校·模拟）某中学开展爱心义卖活动，推出，两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个款帆布袋和3个款帆布袋共需31元，购买3个款帆布袋和2个款帆布袋共需34元．
(1)求，两款帆布袋的单价分别为多少元．
(2)某老师决定购买，两款帆布袋共12个，且购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的．当购买，两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？
（1）解：设，两款帆布袋的单价分别为元，元，
由题意得：，
解得：，
，两款帆布袋的单价分别为8元和5元；
（2）解：设购买款帆布袋个，则购买款帆布袋个，设总费用为元，
，
，
随的增大而增大．
购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的，
，
且为正整数，
当时，有最小值，最小值为，
此时，
购买，两款帆布袋分别为4个和8个时，总费用最低，最低费用为72元．
12．（2025·北京海淀人大附中·零模）某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式，其中精包装每盒，售价25元，简包装每盒，售价35元．
(1)在实践活动中，学生共售出草莓350 ，销售总收入为8500元，请问两种包装分别销售了多少盒？
(2)已知每个精包装盒的成本为1元，简包装盒的成本为元，现需要将草莓恰好整盒分装完，且使购买包装盒的成本不超过13元，是否存在符合要求的分装方案？请通过计算说明．
（1）解：设售出精装草莓x盒，简装草莓盒，根据题意，得，
解得，
答：售出精装草莓200盒，则简装草莓盒．
（2）解：设分装精装草莓m盒，则简装草莓盒，根据题意，得
，
解得，
∵m是正整数，
∴，
此时，不合题意，
故不存在符合要求的分装方案．
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第二章 方程与不等式
2.4 一元一次不等式(组)
1．结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质．
2．能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集．
3．能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题．
1．不等式的有关概念及其性质
（1）不等式的概念：用符号“＜”或“＞”表示________关系的式子，叫作不等式；用“≠”表示不等关系的式子也是________．
（2）不等式的解、解集：使不等式成立的未知数的________叫作不等式的解，不等式的所有的________组成不等式的解集．求不等式的解集的过程叫作________．
（3）不等式的基本性质
①不等式两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向________．
即：若a＜b，则a＋____＜b＋____（或a－____＜b－____）．
②不等式两边同乘（或除以）同一个正数，不等号的方向________．
即：若a＞b，且c＞0，则ac＞____或．
③不等式两边同乘（或除以）同一个负数，不等号的方向________．
即：若a＞b，且c＜0，则ac＜____，
注意：当不等式两边都乘（或除以）的式子中含有字母时，一定要对字母分类讨论．
2．一元一次不等式（组）的概念及解法
（1）一元一次不等式的概念：只含有________未知数，并且未知数的次数是________的不等式，叫作一元一次不等式．
（2）解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似：
去分母，________，移项，________，系数化为1.
（3）一元一次不等式组：把几个含有同一个________的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组.
（4）一元一次不等式组的解集：几个不等式的解集的________部分，叫作由它们所组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的________．
（5）一元一次不等式组解集的四种情况：
设a＞b，则
①
数轴上表示为：
解集：________，
口诀：同大取大
②
数轴上表示为：
解集：________，
口诀：同小取小
③
数轴上表示为：
解集：________，
口诀：大小小大中间找
④
数轴上表示为：
解集：________，
口诀：大大小小无处找
3．一元一次不等式（组）的应用
（1）列不等式（组）解应用题的步骤：
①找出实际问题中的不等关系，设定未知数，列出不等式（组）；
②解不等式（组）；
③从不等式（组）的解集中求出符合题意的答案；
（2）利用不等式（组）对代数式进行比较，以确定最佳方案，获取最大收益．
■考点一 不等式的概念
◇典例1：（2025·河北沧州任丘·模拟）根据下图所示，可知x□20，则“□”内应填的符号是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2025·河北衡水·模拟）若不等式“”可以表示“不超过3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·广东云浮罗定·一模）如图所示的交通标志为某条城市公路某路段上汽车的最高时速不得超过，若某汽车的时速为，且该汽车没有超速，则下列不等式正确的是（ ）

A． B． C． D．
■考点二 不等式的性质
◇典例2：（2025·四川绵阳·中考）设，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2025·江苏省常州市·中考）若则 0．（填、或）．
2．（2025·福建厦门·自主招生）当取什么值时，不等式对一切实数都成立？
■考点三 解一元一次不等式（组）
◇典例3：（2025·吉林省·中考）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2025·福建·中考）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·天津·中考）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得____________；
(2)解不等式②，得____________；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为____________．
■考点四 解含参数的一元一次不等式（组）
◇典例4：（2025·福建厦门·自主招生）已知不等式的正整数解为1，2，3，则的取值范围是 ．
◆变式训练
1．（2022·江苏南通海门·二模）已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2025·四川眉山·中考）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．8 B．14 C．18 D．38
■考点五 一元一次不等式（组）的实际应用
◇典例5：（2026·江西·原创卷（三））☆跨学科物理 小明用天平称一个物体的质量，天平调节平衡后，他将两个该物体放在天平的左边，右边分别放两个、三个的砝码，天平状态如图所示，则该物体的质量m的范围是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2025·山东省淄博市·中考）爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个同学猜测该书价格的对话：
小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格（元）所在的范围是 ．
2．（2025·西藏·中考）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表：
款式 成本（元/件） 售价（元/件）
甲 700 1000
乙 800 1200
根据以上信息，解答下列问题：
(1)列方程（组）解应用题
若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？
(2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？
A 基础达标练
1．（2025·四川攀枝花·中考）不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．或
2．（2025·山东省济南市·中考）已知，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·吉林长春·中考）下列不等式组无解的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·内蒙古·中考）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·广西·中考）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·哈尔滨·中考）不等式组的解集是 ．
7．（2025·四川南充·中考）不等式组的解集是，则的取值范围是 ．
8．关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ．
9．（2025·湖南·模拟）我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住人，则还有人无宿舍住；若每间住人，其余宿舍住满，且有一间宿舍不空但所住的人数不足人．若设宿舍间数为，根据题意应满足的不等式（组）为 ．
10．（2026·陕西西安周至县·一模）解不等式组：并把解集表示在如图所示的数轴上．
B 强化提升练
11．（2026·江苏连云港·连云港外国语学校·模拟）某中学开展爱心义卖活动，推出，两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个款帆布袋和3个款帆布袋共需31元，购买3个款帆布袋和2个款帆布袋共需34元．
(1)求，两款帆布袋的单价分别为多少元．
(2)某老师决定购买，两款帆布袋共12个，且购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的．当购买，两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？
12．（2025·北京海淀人大附中·零模）某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式，其中精包装每盒，售价25元，简包装每盒，售价35元．
(1)在实践活动中，学生共售出草莓350，销售总收入为8500元，请问两种包装分别销售了多少盒？
(2)已知每个精包装盒的成本为1元，简包装盒的成本为元，现需要将草莓恰好整盒分装完，且使购买包装盒的成本不超过13元，是否存在符合要求的分装方案？请通过计算说明．
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