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(共64张PPT)
第三章　函数
第6讲　对数与对数函数
1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a＞0，且a≠1)．
x＝logaN
logaM＋logaN
logaM－logaN
y＝logax
a>1 0图象
定义域 _________
值域 R
定点 过定点________
单调性 __________ __________
函数值的变化 当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0 当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0
(0，＋∞)
4．对数函数的图象与性质
(1，0)
增函数
减函数
5.反函数
指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝_______ (a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线_______ 对称．
logax
y＝x
3．对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
3．函数f(x)＝loga(x＋2)－2(a>0，且a≠1)的图象过定点___________．
解析：由loga1＝0(a>0，且a≠1)知，f(－1)＝loga(－1＋2)－2＝0－2＝－2，所以函数f(x)的图象过定点(－1，－2)．
(－1，－2)
4．(人教B必修第二册4.2.2练习B T3改编)求值：lg 5×lg 20＋(lg 2)2＝________．
解析：原式＝lg 5×lg (22×5)＋(lg 2)2＝lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝(lg 5)2＋2lg 2×lg 5＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝[lg (5×2)]2＝1.
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核心考向突破
考向一　对数的化简与求值
对数运算的策略
2．(2025·八省联考)已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)＝8，则a＝________．
解析：由f(ln 2)f(ln 4)＝8，可得aln 2·aln 4＝8，即aln 2＋ln 4＝a3ln 2＝8，也即(aln 2)3＝23，∵a>0且a≠1，∴aln 2＝2，两边取对数得ln 2·ln a＝ln 2，解得a＝e.
e
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考向二　对数函数的图象及其应用
(1)若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是(　　)
利用对数函数的图象可求解的两类热点问题
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其对数型图象的函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合思想求解．
　1.函数f(x)＝loga|x|＋1(0解析：由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出x>0时g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称，画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移1个单位长度即得f(x)的图象，结合图象知选A.
2．设x1，x2，x3均为实数，且e－x1＝ln x1，e－x2 ＝ln (x2＋1)，e－x3＝lg x3，则(　　)
A．x1C．x2考向三　对数函数的性质及其应用
角度1　比较对数值的大小
(1)(2025·安徽合肥模拟)已知a＝log0.62，b＝log20.6，c＝0.62，则(　　)
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
(2)(多选)若实数a，b，c满足loga2A．aC．c解析：由loga2比较对数值大小的方法
角度2　解对数不等式
(1)(2025·福建泉州模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若f(lg x)<0，则x的取值范围是(　　)
A．(0，1) B．(1，10)
C．(1，＋∞) D．(10，＋∞)
解析：根据奇函数的性质可知f(x)在R上单调递增，且f(0)＝0，因此不等式f(lg x)<0可化为f(lg x)对数不等式的类型及其解法
　1.(2025·贵阳模拟)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|logax>1，a>0，且a≠1}，若A∩B＝ ，则a的取值范围是________．
解析：由已知可得A＝{x|－1≤x≤3}，若a>1，则B＝{x|x>a}，由A∩B＝ ，得a≥3；若0[3，＋∞)
2．若loga(a2＋1)角度3　对数函数性质的综合应用
(1)(2025·深圳红岭教育集团统考)已知函数f(x)＝loga[x(a－x)](a>0，且a≠1)在(1，2)上单调递增，则a的取值范围为(　　)
A．(1，2] B．(1，4]
C．[2，＋∞) D．[4，＋∞)
(2)已知函数f(x)＝3＋log2x，x∈[1，16]，若函数g(x)＝[f(x)]2＋2f(x2)，则函数g(x)的最大值为________．
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解对数函数综合问题的三个关注点
(1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论．
(2)底数与1的大小关系．
(3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．
2．已知函数f(x)＝|ln x－a|＋a(a>0)在[1，e2]上的最小值为1，则a的值为________．
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课时作业
5．苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier，1550～1617)发明的对数及对数表(如下表)，为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间．即若是任何一个正实数N可以表示成N＝a×10n(1≤a<10，n∈Z)，则lg N＝n＋lg a(0≤lg a<1)，这样我们可以知道N的位数．已知正整数M31是35位数，则M的值为(　　)
A.3 　　　　　　　B．12 　　　　　　　C．13　　　　　　　 D．14
N 2 3 4 5 11 12 13 14 15
lg N 0.30 0.48 0.60 0.70 1.04 1.08 1.11 1.15 1.18
7．已知a＝log75，b＝log97，c＝log119，则(　　)
A．aC．b二、多项选择题
9.函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　)
A．a＞1 B．0＜c＜1
C．0＜a＜1 D．c＞1
解析：由图象可知0＜a＜1，令y＝0，得loga(x＋c)＝0，x＋c＝1，x＝1－c，由图象知0＜1－c＜1，故0＜c＜1.故选BC.
11．已知函数f(x)＝log2(1＋4x)－x，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)是偶函数 　B．函数f(x)是奇函数
C．函数f(x)在(－∞，0]上为增函数 　D．函数f(x)的值域为[1，＋∞)
ln 2
13．已知函数f(x)＝log2(x2－2ax＋3)．若函数f(x)的定义域为R，则实数a的取值范围是__________；若函数f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是________________________．
14．如图，已知过原点O的直线与函数y＝log8x的图象交于A，B两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图象交于C，D两点，若BC∥x轴，则梯形ABDC的面积为________．

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