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小题满分练1
(满分73分　建议用时40分钟)
一、单选题：每小题5分，共40分．
1．若i(z－1)＝1，则z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i
2．已知集合A＝{x|x2－3x＋2<0}，B＝{x|0A．(1，2) B．(0，2) C．(2，6) D．(1，6)
3．在△ABC中，已知a，b，c三边分别对应A，B，C三角，a＝5，b＝4，C＝，则c＝(　　)
A．3 B． C． D．
4．已知F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，过F且斜率为的直线交C于A，B两点，过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，线段A1F交y轴于A2，线段B1F交y轴于B2，|A2B2|＝2，则p的值为(　　)
A．2 B．4 C． D．2
5．已知在A，B，C三个地区发生了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区人口数量的比为3∶2∶1，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为(　　)
A． B． C． D．
6．已知为曲线y＝cos x与y＝sin (2x＋φ)(0≤φ<π)的一个交点的横坐标，则函数f(x)＝sin (2x＋φ)的一个单调递增区间为(　　)
A． B．
C． D．
7．已知点F(0，1)，圆M：x2＋(y＋1)2＝1上一动点P，以PF为直径的圆N交x轴于A，B两点，则|MN|的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
8．已知正四棱锥P-ABCD中，各棱长均相等，球O1是该四棱锥的内切球，球O2与球O1相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切；球O3与球O2相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，球O2的半径大于球O3的半径，则球O3与球O1的表面积之比为(　　)
A．7－4 B．97－56
C． D．
二、多选题：每小题6分，共18分．
9．下列说法正确的是(　　)
A．已知一组各不相同的数据xi(1≤i≤30，i∈N)，去掉其中最大和最小两个数据后，剩下的28个数据的22%分位数不等于原来数据的22%分位数
B．若事件A，B满足0C．若随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，且P(X≤4)＝0.6，则P(3D．已知具有线性相关关系的变量x，y，其经验回归方程为y＝0.4x－2m，若样本点中心为(m，3.2)，则m＝－4
10．关于三次函数f(x)＝x3＋ax＋2的叙述正确的是(　　)
A．当a＝1时，函数f(x)无极值点
B．函数f(x)的图象关于点(0，2)中心对称
C．过点(0，2)的切线有两条
D．当a<－3时，函数f(x)有3个零点
11．已知O为坐标原点，双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，以AF为直径的圆与y轴正半轴交于点D，过D且垂直于y轴的直线与C的某条渐近线交于点B，且AB与x轴垂直，双曲线的离心率为e，渐近线的斜率为k，则下列结论正确的是(　　)
A．＝1 B．e＝
C．e＝ D．k2＝e
三、填空题：每小题5分，共15分．
12．已知向量a＝(1，－2)，b＝(m，1)，若a⊥(a＋b)，则实数m＝________．
13．在的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中x5的系数为________．(用数字作答)
14．已知函数f(x)＝x3＋2ax2＋a2x在x＝1处取得极小值，则a＝________．
小题满分练1
1．C　[因为i(z－1)＝1，所以z＝＋1＝1－i．故选C．]
2．A　[根据题意，集合A＝{x|x2－3x＋2<0}＝(1，2)，B＝{x|0则A∩B＝(1，2)．故选A．]
3．B　[因为a＝5，b＝4，C＝，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝25＋16－2×5×4×＝21，所以c＝．故选B．]
4．C　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意可知A2B2为△FA1B1的中位线，
则|A1B1|＝2|A2B2|＝|y1－y2|＝4，
过F的直线方程为y＝消去x整理得y2－py－p2＝0，Δ>0，则y1＋y2＝p，y1y2＝－p2，
则|y1－y2|＝4＝p，解得p＝．故选C．]
5．C　[设事件D为这个人患流感，事件A1，A2，A3表示这个人来自A，B，C三个地区，
这三个地区人口数量的比为3∶2∶1，P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，
又P(D|A1)＝6%，P(D|A2)＝5%，P(D|A3)＝4%，
故P(D)＝P(A1)·P(D|A1)＋P(A2)·P(D|A2)＋P(A3)·P(D|A3)
＝6%×．故选C．]
6．B　[根据题意，cos，由于0≤φ<π，
所以＋φ<＋φ＝，解得φ＝，所以f(x)＝sin，
令－＋2kπ≤2x＋＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z，
当k＝0时，一个单调递增区间为，当k＝1时，一个单调递增区间为，当k＝－1时，一个单调递增区间为.故选B．]
7．B　[设N(x，y)，P(x0，y0)，点F(0，1)，
由N为PF的中点，则可得
又因为P(x0，y0)在圆M：x2＋(y＋1)2＝1上，
所以(2x)2＋(2y)2＝1，即x2＋y2＝，
即圆心N的轨迹是以(0，0)为圆心，为半径的圆，而M(0，－1)，
则|MN|的取值范围为，即，
又当P(0，0)时，圆心N，此时圆N与x轴相切，不符合题意，此时|MN|＝．
故|MN|的取值范围为．故选B．]
8．B　[在正四棱锥P-ABCD中，令各棱长为2，O为正方形ABCD的中心，M，Q分别为边AB，CD的中点，过点P，M，Q的平面截正四棱锥P-ABCD得等腰△PMQ，截球O1、球O2、球O3，得对应球的截面大圆，如图所示．
显然OM＝1，PM＝，
令N为圆O1与PM相切的切点，则O1N⊥PM，设球O1的半径为R1，即O1N＝R1，
因为sin∠MPO＝，
则PO1＝R1，
显然，PO＝PO1＋OO1＝(＋1)R1，
设球O1与球O2相切于点T，则PT＝PO－2R1＝(－1)R1，
设球O2的半径为R2，同理可得PT＝(＋1)R2，即(－1)R1＝(＋1)R2，
即R2＝R1，即R2＝(2－)R1，
设球O2与球O3相切于点S，则PS＝PT－2R2＝(3－5)R1，
设球O3的半径为R3，同理可得PS＝(＋1)R3，
即R3＝(7－4)R1，
所以S3＝4π＝4π(97－56，
所以．故选B．]
9．AB　[A项，将原来30个数从小到大排列，30×22%＝6.6，则30个数的22%分位数为30个数中的第7个数，
去掉其中最大和最小两个数据后，28×22%＝6.16，故剩下的28个数据的22%分位数为28个数中的第7个数，
也是30个数中的第8个数，故两者不相等，故A项正确；
B项，P(A)＝P(A)(1－P(B))＝P(A)P()，所以A，相互独立，因此A，B也相互独立，故B项正确；
C项，因为P(X≤4)＝0.6，则P(3D项，将(m，3.2)代入y＝0.4x－2m，则3.2＝0.4m－2m，故m＝－2，故D项错误．
故选AB．]
10．ABD　[对于A，当a＝1时，f(x)＝x3＋x＋2，此时f'(x)＝3x2＋1>0，f(x)单调递增，无极值点，故A正确；
对于B，因为f(x)＋f(－x)＝x3＋ax＋2－x3－ax＋2＝4，
所以函数f(x)的图象关于点(0，2)中心对称，故B正确；
对于C，设切点(x1，f(x1))，则切线方程为y－f(x1)＝f'(x1)(x－x1)，
因为过点(0，2)，
所以2－f(x1)＝f'(x1)(－x1)，
即2－－ax1，
即2＝0，所以x1＝0，
即只有一个切点，即只有一条切线，故C错误；
对于D，f'(x)＝3x2＋a，当a<－3时，令f'(x)＝0，
即3x2＋a＝0，解得x＝－或x＝，
当x∈时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
又f(x)有极大值为f>f(0)＝2>0，所以若函数f(x)有3个零点，
则f(x)有极小值为f＋2<0，得到a<－3，故D正确．
故选ABD．]
11．ACD　[如图，
设F(c，0)，则以AF为直径的圆的方程为，
令x＝0，解得y2＝ac，所以点D(0，)，B(－a，)，
对于A，由上述分析，|AB|2＝ac，
|OA||OF|＝ac，所以＝1，故A正确；
对于B，|DF|2＝|OD|2＋|OF|2＝ac＋c2，＝1＋e≠e，故B错误；
对于C，|OD|2＝ac，|AO|2＝a2，所以＝e，故C正确；
对于D，由C选项知，e＝＝k2，故D正确．故选ACD．]
12．－3　[因为向量a＝(1，－2)，b＝(m，1)，
所以a＋b＝(m＋1，－1)．
因为a⊥(a＋b)，
所以m＋1＋2＝0，解得m＝－3．]
13．－160　[由于的展开式中只有第4项的二项式系数最大，
则展开式中共有7项，故n＋1＝7，解得n＝6，
所以的展开式通项为Tk+1＝·x2(6-k)··(－2)k·，
令12－＝5，解得k＝3，因此所求即为·(－2)3＝－160．]
14．－1　[因为函数f(x)＝x3＋2ax2＋a2x，则f'(x)＝3x2＋4ax＋a2，
又f(x)在x＝1处取得极小值，
则f'(1)＝3＋4a＋a2＝0，解得a＝－1或a＝－3，
当a＝－1时，f'(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)，
令f'(x)＝0，则x＝或x＝1，
当x∈时，f'(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
则在x＝1处取得极小值，
故当a＝－1时符合题意；
当a＝－3时，f'(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－3)(x－1)，
令f'(x)＝0，则x＝3或x＝1，
当x∈(－∞，1)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(1，3)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
则在x＝1处取得极大值，故a＝－3时不符合题意．]
1/2(共34张PPT)
小题满分练1
题号
1
3
5
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4
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14
√
(满分73分　建议用时40分钟)
一、单选题：每小题5分，共40分．
1．若i(z－1)＝1，则z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
C　[因为i(z－1)＝1，所以z＝＋1＝1－i．故选C．]
题号
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2．已知集合A＝{x|x2－3x＋2<0}，B＝{x|0A．(1，2) B．(0，2)
C．(2，6) D．(1，6)
√
A　[根据题意，集合A＝{x|x2－3x＋2<0}＝(1，2)，
B＝{x|0则A∩B＝(1，2)．故选A．]
题号
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3．在△ABC中，已知a，b，c三边分别对应A，B，C三角，a＝5，b＝4，C＝，则c＝(　　)
A．3 B． C． D．
√
B　[因为a＝5，b＝4，C＝，
由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝25＋16－2×5×4×＝21，
所以c＝．故选B．]
题号
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4．已知F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，过F且斜率为的直线交C于A，B两点，过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，线段A1F交y轴于A2，线段B1F交y轴于B2，|A2B2|＝2，则p的值为(　　)
A．2 B．4 C． D．2
√
题号
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C　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意可知A2B2为△FA1B1的中位线，
则|A1B1|＝2|A2B2|＝|y1－y2|＝4，
过F且斜率为的直线方程为y＝，
联立消去x整理得y2－py－p2＝0，Δ＞0，
则y1＋y2＝p，y1y2＝－p2，
则|y1－y2|＝4＝＝＝p，解得p＝．故选C．]
题号
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√
5．已知在A，B，C三个地区发生了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区人口数量的比为3∶2∶1，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为(　　)
A． B． C． D．
题号
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C　[设事件D为这个人患流感，事件A1，A2，A3表示这个人来自A，B，C三个地区，
这三个地区人口数量的比为3∶2∶1，P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，
又P(D|A1)＝6%，P(D|A2)＝5%，P(D|A3)＝4%，
故P(D)＝P(A1)·P(D|A1)＋P(A2)·P(D|A2)＋P(A3)·P(D|A3)
＝6%×＋5%×＋4%×＝．故选C．]
题号
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√
6．已知为曲线y＝cos x与y＝sin (2x＋φ)(0≤φ<π)的一个交点的横坐标，则函数f (x)＝sin (2x＋φ)的一个单调递增区间为(　　)
A． B．
C． D．
题号
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B　[根据题意，cos ＝sin ＝，由于0≤φ<π，
所以＋φ<，所以＋φ＝，解得φ＝，所以f (x)＝
sin ，
令－＋2kπ≤2x＋＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f (x)的单调递增区间为，k∈Z，
当k＝0时，一个单调递增区间为，
当k＝1时，一个单调递增区间为，
当k＝－1时，一个单调递增区间为．故选B．]
题号
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7．已知点f (0，1)，圆M：x2＋(y＋1)2＝1上一动点P，以PF为直径的圆N交x轴于A，B两点，则|MN|的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
√
题号
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B　[设N(x，y)，P(x0，y0)，点f (0，1)，
由N为PF的中点，则可得
即
又因为P(x0，y0)在圆M：x2＋(y＋1)2＝1上，
所以(2x)2＋(2y)2＝1，即x2＋y2＝，
即圆心N的轨迹是以(0，0)为圆心，为半径的圆，而M(0，－1)，
则|MN|的取值范围为，即，
又当P(0，0)时，圆心N，半径为，此时圆N与x轴相切，不符合题意，此时|MN|＝．
故|MN|的取值范围为．故选B．]
题号
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√
8．已知正四棱锥P-ABCD中，各棱长均相等，球O1是该四棱锥的内切球，球O2与球O1相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切；球O3与球O2相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，球O2的半径大于球O3的半径，则球O3与球O1的表面积之比为(　　)
A．7－4 B．97－56
C． D．
题号
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B　[在正四棱锥P-ABCD中，令各棱长为2，O为正方形ABCD的中心，M，Q分别为边AB，CD的中点，
过点P，M，Q的平面截正四棱锥P-ABCD得等腰△PMQ，截球O1、球O2、球O3，得对应球的截面大圆，如图所示．
显然OM＝1，PM＝＝，
令N为圆O1与PM相切的切点，则O1N⊥PM，设球O1的半径为R1，即O1N＝R1，因为sin ∠MPO＝＝＝，
则PO1＝R1，
显然，PO＝PO1＋OO1＝(＋1)R1，
设球O1与球O2相切于点T，则PT＝PO－2R1＝(－1)R1，
设球O2的半径为R2，同理可得PT＝(＋1)R2，
题号
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即(－1)R1＝(＋1)R2，
即R2＝R1，即R2＝(2－)R1，
设球O2与球O3相切于点S，则PS＝PT－2R2＝(3－5)R1，
设球O3的半径为R3，同理可得PS＝(＋1)R3，
即R3＝(7－4)R1，
所以S3＝＝，
所以＝＝97－56．故选B．]
题号
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题号
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√
二、多选题：每小题6分，共18分．
9．下列说法正确的是(　　)
A．已知一组各不相同的数据xi(1≤i≤30，i∈N)，去掉其中最大和最小两个数据后，剩下的28个数据的22%分位数不等于原来数据的22%分位数
B．若事件A，B满足0C．若随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，且P(X≤4)＝0.6，则P(3D．已知具有线性相关关系的变量x，y，其经验回归方程为y＝0.4x－2m，若样本点中心为(m，3.2)，则m＝－4
√
题号
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AB　[A项，将原来30个数从小到大排列，30×22%＝6.6，则30个数的22%分位数为30个数中的第7个数，
去掉其中最大和最小两个数据后，28×22%＝6.16，故剩下的28个数据的22%分位数为28个数中的第7个数，
也是30个数中的第8个数，故两者不相等，故A项正确；
B项，P(A相互独立，因此A，B也相互独立，故B项正确；
C项，因为P(X≤4)＝0.6，则P(3D项，将(m，3.2)代入y＝0.4x－2m，则3.2＝0.4m－2m，故m＝－2，故D项错误．
故选AB．]
题号
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√
10．关于三次函数f (x)＝x3＋ax＋2的叙述正确的是(　　)
A．当a＝1时，函数f (x)无极值点
B．函数f (x)的图象关于点(0，2)中心对称
C．过点(0，2)的切线有两条
D．当a<－3时，函数f (x)有3个零点
√
√
题号
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ABD　[对于A，当a＝1时，f (x)＝x3＋x＋2，此时f ′(x)＝3x2＋1>0，
f (x)单调递增，无极值点，故A正确；
对于B，因为f (x)＋f (－x)＝x3＋ax＋2－x3－ax＋2＝4，所以函数f (x)的图象关于点(0，2)中心对称，故B正确；
对于C，设切点(x1，f (x1))，则切线方程为y－f (x1)＝f ′(x1)(x－x1)，
因为过点(0，2)，
所以2－f (x1)＝f ′(x1)(－x1)，即－ax1－2＝－ax1，
即＝0，所以x1＝0，
即只有一个切点，即只有一条切线，故C错误；
对于D，f ′(x)＝3x2＋a，当a<－3时，令f ′(x)＝0，
即3x2＋a＝0，解得x＝－或x＝，
当x∈时，f ′(x)>0，f (x)单调递增，
当x∈时，f ′(x)<0，f (x)单调递减，
题号
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当x∈时，f ′(x)>0，f (x)单调递增，
又f (x)有极大值为f >f (0)＝2>0，所以若函数f (x)有3个零点，
则f (x)有极小值为f ＝＋2<0，得到a<－3，故D正确．
故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
11．已知O为坐标原点，双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，以AF为直径的圆与y轴正半轴交于点D，过D且垂直于y轴的直线与C的某条渐近线交于点B，且AB与x轴垂直，双曲线的离心率为e，渐近线的斜率为k，则下列结论正确的是(　　)
A．＝1 B．e＝
C．e＝ D．k2＝e
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
ACD　[如图，
设f (c，0)，则以AF为直径的圆的方程为＋y2＝，
令x＝0，解得y2＝ac，所以点D(0，)，B(－a，)，
对于A，由上述分析，|AB|2＝ac，|OA||OF|＝ac，所以＝1，故A正确；
对于B，|DF|2＝|OD|2＋|OF|2＝ac＋c2，＝＝1＋＝1＋e≠e，故B错误；
对于C，|OD|2＝ac，|AO|2＝a2，所以＝＝e，故C正确；
对于D，由C选项知，e＝＝＝k2，故D正确．
故选ACD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
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10
11
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13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
三、填空题：每小题5分，共15分．
12．已知向量a＝(1，－2)，b＝(m，1)，若a⊥(a＋b)，则实数m＝________．
－3　[因为向量a＝(1，－2)，b＝(m，1)，
所以a＋b＝(m＋1，－1)．
因为a⊥(a＋b)，
所以m＋1＋2＝0，解得m＝－3．]
－3　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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12
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14
13．在的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中x5的系数为________．(用数字作答)
－160
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
－160　[由于的展开式中只有第4项的二项式系数最大，
则展开式中共有7项，故n＋1＝7，解得n＝6，
所以的展开式通项为Tk＋1＝·x2(6-k)·＝，
令12－＝5，解得k＝3，因此所求即为·(－2)3＝－160．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
14．已知函数f (x)＝x3＋2ax2＋a2x在x＝1处取得极小值，则a＝ ________．
－1　[因为函数f (x)＝x3＋2ax2＋a2x，
则f ′(x)＝3x2＋4ax＋a2，又f (x)在x＝1处取得极小值，
则f ′(1)＝3＋4a＋a2＝0，解得a＝－1或a＝－3，
当a＝－1时，f ′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)，令f ′(x)＝0，则x＝或x＝1，
－1
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
当x∈时，f ′(x)<0，f (x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0，f (x)单调递增，
则在x＝1处取得极小值，故当a＝－1时符合题意；
当a＝－3时，f ′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－3)(x－1)，
令f ′(x)＝0，则x＝3或x＝1，
当x∈(－∞，1)时，f ′(x)>0，f (x)单调递增；
当x∈(1，3)时，f ′(x)<0，f (x)单调递减，
则在x＝1处取得极大值，故a＝－3时不符合题意．]
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