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小题满分练3
(满分73分　建议用时40分钟)
一、单选题：每小题5分，共40分．
1．已知集合A＝{1，2，}，B＝{1，m}，若A∩B＝B，则m＝(　　)
A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或1
2．若复数z满足z(1－i)＝|1＋i|，则z＝(　　)
A．1－i B．1＋i C．2－2i D．2＋2i
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＋a6＝15－a10，则S11＝(　　)
A．40 B．45 C．50 D．55
4．某校从高二年级随机抽取部分学生参加交通安全知识测试，所得成绩的频率分布直方图如图所示，则可估计该校高二年级学生的交通安全知识测试成绩的中位数为(　　)
A．87.5 B．85 C．82.5 D．80
5．已知三个非零向量a，b，c，则“a，b，c共面”是“c＝λa＋μb(λ，μ∈R)”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知圆台的上底面半径、下底面半径、母线长之比为1∶2∶3，高为4，则该圆台的体积为(　　)
A． B． C．40π D．56π
7．(2025·河北邢台二模)若函数f(x)＝tex＋2ln ＋x(x>0)存在零点，则t的取值范围为(　　)
A． B．[1，＋∞)
C． D．(0，e]
8．已知双曲线E：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与E的右支交于A，B两点，若|AB|＝|AF1|，cos ∠BAF1＝，则E的离心率为(　　)
A． B． C．2 D．
二、多选题：每小题6分，共18分．
9．函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)
A．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
B．f(x)在上的值域为[－2，2]
C．f(x)在上单调递增
D．y＝f的图象关于原点对称
10．设抛物线E：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，过点P(0，3)的直线与抛物线E相交于点A，B，与x轴相交于点C，|AF|＝2，|BF|＝10，则(　　)
A．E的准线方程为y＝－2
B．p的值为2
C．|AB|＝4
D．△BFC的面积与△AFC的面积之比为9
11．已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x)可导，f(x－1)为奇函数，记函数g(x)＝(x＋1)f(x)，f′(x)，g′(x)分别是f(x)，g(x)的导函数，则(　　)
A．g′(－1)＝0
B．f′(x－1)＝f′(－x－1)
C．g′(x－1)＝g′(－x－1)
D．g(ln 1.02)三、填空题：每小题5分，共15分．
12．已知tan αtan β＝2，cos (α－β)＝，则cos (α＋β)＝________．
13．有甲、乙两袋，甲袋中有4个白球，1个红球；乙袋中有2个白球，2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则此球为红球的概率为________．
14．如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为4，且二面角A-BC-D的大小为，则·＝________．
小题满分练3
1．B　[由A∩B＝B，得B A，
因为B＝{1，m}，所以m≠1，
因为集合A＝{1，2，}，
所以m＝2或m＝，
解得m＝2或m＝0(m＝1不合题意舍去)，
所以m＝0或2．
故选B．]
2．B　[∵z(1－i)＝|1＋＝2，
∴z＝＝1＋i．
故选B．]
3．D　[由a2＋a6＝15－a10可得3a6＝15，即a6＝5，则S11＝＝11a6＝11×5＝55．故选D．]
4．C　[成绩落在[60，70)的频率为0.01×10＝0.1，
成绩落在[70，80)的频率为0.03×10＝0.3，
成绩落在[80，90)的频率为0.04×10＝0.4，
因为0.1＋0.3＝0.4<0.5，0.1＋0.3＋0.4＝0.8>0.5，所以中位数落在[80，90)内，
设中位数为x，则0.1＋0.3＋(x－80)×0.04＝0.5，解得x＝82.5．故选C．]
5．B　[由共面向量的基本定理可知，若三个非零向量a，b，c满足c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则a，b，c共面，反之，若三个非零向量a，b，c共面，当a，b共线，c与a，b不共线时，就不存在实数λ，μ使得c＝λa＋μb，
故“a，b，c共面”是“c＝λa＋μb(λ，μ∈R)”的必要不充分条件．
故选B．]
6．B　[设上底面的半径为r，则下底面的半径为2r，母线长为3r，
故4＝r，故r＝×4×[π()2＋π(2)2＋π×]＝．
故选B．]
7．A　[由题意得t>0，令f(x)＝0，
则ex+ln t＋2(x＋ln t)＝eln x＋2ln x，
令g(x)＝ex＋2x，
因为函数y＝ex，y＝2x均在R上单调递增，所以g(x)在R上单调递增，
所以由g(x＋ln t)＝g(ln x)，得x＋ln t＝ln x，即ln t＝ln x－x，
令h(x)＝ln x－x，x>0，则h'(x)＝，
当x∈(0，1)时，h'(x)>0，h(x)单调递增，
当x∈(1，＋∞)时，h'(x)<0，h(x)单调递减，
所以h(x)max＝h(1)＝－1，当x→0时，h(x)→－∞，
所以ln t≤－1，解得0故选A．]
8．C　[设|AB|＝|AF1|＝m，
则|AF2|＝m－2a，|BF2|＝2a．
因为|BF1|－|BF2|＝2a，所以|BF1|＝4a，在△ABF1中，cos∠BAF1
＝
＝，解得m＝8a．
在△AF1F2中，cos∠BAF1＝，解得c2＝4a2，所以离心率e＝＝2．故选C．]
9．AD　[由题图可知，A＝2，，得T＝π，所以ω＝2，即f(x)＝2sin(2x＋φ)，
将点代入可得2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝，
所以f(x)＝2sin，
对于A，当x＝时，f(x)＝2sin＝2，故y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，故A正确；
对于B，当x∈时，2x＋，
则2sin∈[－1，2]，故B错误；
对于C，当x∈时，2x＋，
正弦函数在上不单调，故C错误；
对于D，y＝f＝2sin＝－2sin 2x，易知是奇函数，故D正确．故选AD．]
10．BD　[由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立可得x2－2pkx－6p＝0，Δ>0，
所以x1＋x2＝2pk，x1x2＝－6p，故y1y2＝＝9，因为|AF|＝2，|BF|＝10，
所以y1＝2－，y2＝10－，
则＝9，解得p＝2或p＝22，
因为2－>0，所以p＝2，则E的准线方程为y＝－1，故B正确，A错误；
又y1＝1，y2＝9，不妨取A(－2，1)，B(6，9)，所以|AB|＝，
＝9，故C错误，D正确．
故选BD．]
11．ABD　[对于A，因为f(x－1)为奇函数，故f(－x－1)＋f(x－1)＝0，令x＝0，则f(－1)＝0，
因为g(x)＝(x＋1)f(x)，
故g'(x)＝f(x)＋(x＋1)f'(x)，
故g'(－1)＝f(－1)＋0＝0，故A正确；
对于B，因为f(－x－1)＋f(x－1)＝0，则－f'(－x－1)＋f'(x－1)＝0，
故f'(x－1)＝f'(－x－1)，故B正确；
对于C，因为g(x－1)＝xf(x－1)，
g(－x－1)＝－xf(－x－1)＝xf(x－1)，故g(x－1)＝g(－x－1)，
故g'(x－1)＝－g'(－x－1)，故C错误；
对于D，因为f(x)为R上的增函数，
故f'(x)≥0，
而f(－1)＝0，故当x>－1时，f(x)>0，当x<－1时，f(x)<0，
故当x>－1时，g'(x)>0，当x<－1时，g'(x)<0，
故g(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，
而g(x－1)＝g(－x－1)，故x＝－1为g(x)的图象的对称轴，
故g(－1－)＝g(－1＋)，
设s(x)＝－1＋－ln(1＋x)，其中00，
故s'(x)在(0，1)上单调递增，
故s(x)>s(0)＝0，
故－1＋>ln(1＋x)，故－1＋>ln(1＋0.02)，
故－1＋>ln 1.02，
故g(ln 1.02)即g(ln 1.02)故选ABD．]
12．－　[依题意，tan αtan β＝＝2，则sin αsin β＝2cos αcos β，
由cos(α－β)＝，得cos αcos β＋sin αsin β＝，解得cos αcos β＝，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－cos αcos β＝－．]
13．　[由题意可知从甲袋中任取2个球有两种情况，2个白球或1个白球1个红球．
①从甲袋中取出2个白球的概率为，
放入乙袋后，乙袋此时有4个白球，2个红球，取到红球的概率为．
②从甲袋中取出1个白球1个红球的概率为，
放入乙袋后，乙袋此时有3个白球，3个红球，取到红球的概率为，
综上两种情况可知，从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取一球为红球的概率P＝．]
14．－4　[设F，G分别为BC，DE的中点，连接AF，FG，
因为正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为4，
所以AF⊥BC，AF＝，
在正方形BCDE中，FG∥CD，FG⊥BC，FG＝CD＝4，
所以∠AFG为二面角A-BC-D的平面角，
又因为二面角A-BC-D的大小为，
所以∠AFG＝··()
＝···×42＝－4．]
1/2(共33张PPT)
小题满分练3
题号
1
3
5
2
4
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9
10
11
12
13
14
√
(满分73分　建议用时40分钟)
一、单选题：每小题5分，共40分．
1．已知集合A＝{1，2，}，B＝{1，m}，若A∩B＝B，则m＝(　　)
A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或1
题号
1
3
5
2
4
6
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14
B　[由A∩B＝B，得B A，
因为B＝{1，m}，所以m≠1，
因为集合A＝{1，2，}，
所以m＝2或m＝，解得m＝2或m＝0(m＝1不合题意舍去)，
所以m＝0或2．
故选B．]
题号
1
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2．若复数z满足z(1－i)＝|1＋i|，则z＝(　　)
A．1－i B．1＋i
C．2－2i D．2＋2i
√
B　[∵z(1－i)＝|1＋i|＝＝2，
∴z＝＝＝1＋i．
故选B．]
题号
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3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＋a6＝15－a10，则S11＝(　　)
A．40 B．45 C．50 D．55
√
D　[由a2＋a6＝15－a10可得3a6＝15，即a6＝5，
则S11＝＝11a6＝11×5＝55．
故选D．]
题号
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14
4．某校从高二年级随机抽取部分学生参加交通安全知识测试，所得成绩的频率分布直方图如图所示，则可估计该校高二年级学生的交通安全知识测试成绩的中位数为(　　)
A．87.5
B．85
C．82.5
D．80
√
题号
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C　[成绩落在[60，70)的频率为0.01×10＝0.1，
成绩落在[70，80)的频率为0.03×10＝0.3，
成绩落在[80，90)的频率为0.04×10＝0.4，
因为0.1＋0.3＝0.4<0.5，0.1＋0.3＋0.4＝0.8>0.5，
所以中位数落在[80，90)内，
设中位数为x，则0.1＋0.3＋(x－80)×0.04＝0.5，解得x＝82.5．
故选C．]
题号
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√
5．已知三个非零向量a，b，c，则“a，b，c共面”是“c＝λa＋μb(λ，μ∈R)”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题号
1
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B　[由共面向量的基本定理可知，若三个非零向量a，b，c满足c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则a，b，c共面，反之，若三个非零向量a，b，c共面，当a，b共线，c与a，b不共线时，就不存在实数λ，μ使得c＝λa＋μb，
故“a，b，c共面”是“c＝λa＋μb(λ，μ∈R)”的必要不充分条件．
故选B．]
题号
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√
6．已知圆台的上底面半径、下底面半径、母线长之比为1∶2∶3，高为4，则该圆台的体积为(　　)
A． B． C．40π D．56π
题号
1
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B　[设上底面的半径为r，则下底面的半径为2r，母线长为3r，
故4＝＝2r，故r＝，
故圆台的体积为×4×[π()2＋π(2)2＋π××2]＝．
故选B．]
题号
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7．(2025·河北邢台二模)若函数f (x)＝tex＋2ln ＋x(x>0)存在零点，则t的取值范围为(　　)
A． B．[1，＋∞)
C． D．(0，e]
√
题号
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A　[由题意得t＞0，令f (x)＝0，则ex＋ln t＋2(x＋ln t)＝eln x＋2ln x，
令g(x)＝ex＋2x，
因为函数y＝ex，y＝2x均在R上单调递增，
所以g(x)在R上单调递增，
所以由g(x＋ln t)＝g(ln x)，得x＋ln t＝ln x，即ln t＝ln x－x，
令h(x)＝ln x－x，x＞0，则h′(x)＝，
当x∈(0，1)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减，
所以h(x)max＝h(1)＝－1，当x→0时，h(x)→－∞，
所以ln t≤－1，解得0＜t≤，即t的取值范围为．
故选A．]
题号
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√
8．已知双曲线E：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与E的右支交于A，B两点，若|AB|＝|AF1|，
cos ∠BAF1＝，则E的离心率为(　　)
A． B． C．2 D．
题号
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C　[设|AB|＝|AF1|＝m，则|AF2|＝m－2a，|BF2|＝2a．
因为|BF1|－|BF2|＝2a，所以|BF1|＝4a，
在△ABF1中，cos ∠BAF1＝＝，解得m＝8a．
在△AF1F2中，cos ∠BAF1＝＝，解得c2＝4a2，所以离心率e＝＝2．
故选C．]
题号
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√
二、多选题：每小题6分，共18分．
9．函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)
A．y＝f (x)的图象关于直线x＝对称
B．f (x)在上的值域为[－2，2]
C．f (x)在上单调递增
D．y＝f的图象关于原点对称
√
题号
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AD　[由题图可知，A＝2，＝，得T＝π，所以ω＝2，
即f (x)＝2sin (2x＋φ)，
将点代入可得2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|＜，所以φ＝，所以f (x)＝2sin ，
对于A，当x＝时，f (x)＝2sin ＝2，故y＝f (x)的图象关于直线x＝对称，故A正确；
对于B，当x∈时，2x＋∈，
则2sin ∈[－1，2]，故B错误；
对于C，当x∈时，2x＋∈，
正弦函数在上不单调，故C错误；
对于D，y＝f ＝2sin ＝－2sin 2x，易知是奇函数，故D正确．
故选AD．]
题号
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题号
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14
√
10．设抛物线E：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，过点P(0，3)的直线与抛物线E相交于点A，B，与x轴相交于点C，|AF|＝2，|BF|＝10，则(　　)
A．E的准线方程为y＝－2
B．p的值为2
C．|AB|＝4
D．△BFC的面积与△AFC的面积之比为9
√
题号
1
3
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BD　[由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立可得x2－2pkx－6p＝0，Δ＞0，
所以x1＋x2＝2pk，x1x2＝－6p，故y1y2＝＝9，
因为|AF|＝2，|BF|＝10，所以y1＝2－，y2＝10－，
则＝9，解得p＝2或p＝22，
因为2－＞0，所以p＝2，则E的准线方程为y＝－1，故B正确，A错误；
又y1＝1，y2＝9，不妨取A(－2，1)，B(6，9)，
所以|AB|＝＝8，
＝＝＝9，故C错误，D正确．
故选BD．]
题号
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题号
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√
11．已知f (x)是定义在R上的增函数，且f (x)可导，f (x－1)为奇函数，记函数g(x)＝(x＋1)f (x)，f ′(x)，g′(x)分别是f (x)，g(x)的导函数，则(　　)
A．g′(－1)＝0
B．f ′(x－1)＝f ′(－x－1)
C．g′(x－1)＝g′(－x－1)
D．g(ln 1.02)√
√
题号
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ABD　[对于A，因为f (x－1)为奇函数，故f (－x－1)＋f (x－1)＝0，令x＝0，则f (－1)＝0，
因为g(x)＝(x＋1)f (x)，故g′(x)＝f (x)＋(x＋1)f ′(x)，
故g′(－1)＝f (－1)＋0＝0，故A正确；
对于B，因为f (－x－1)＋f (x－1)＝0，
则－f ′(－x－1)＋f ′(x－1)＝0，
故f ′(x－1)＝f ′(－x－1)，故B正确；
对于C，因为g(x－1)＝xf (x－1)，g(－x－1)＝－xf (－x－1)＝xf (x－1)，故g(x－1)＝g(－x－1)，
故g′(x－1)＝－g′(－x－1)，故C错误；
对于D，因为f (x)为R上的增函数，故f ′(x)≥0，
而f (－1)＝0，故当x>－1时，f (x)>0，当x<－1时，f (x)<0，
故当x>－1时，g′(x)>0，当x<－1时，g′(x)<0，
故g(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，
而g(x－1)＝g(－x－1)，故x＝－1为g(x)的图象的对称轴，
故g(－1－)＝g(－1＋)，
题号
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设s(x)＝－1＋－ln (1＋x)，其中0s′(x)＝＝＝>0，
故s′(x)在(0，1)上单调递增，故s(x)>s(0)＝0，
故－1＋>ln (1＋x)，故－1＋>ln (1＋0.02)，
故－1＋>ln 1.02，
故g(ln 1.02)即g(ln 1.02)故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
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12
13
14
三、填空题：每小题5分，共15分．
12．已知tan αtan β＝2，cos (α－β)＝，则cos (α＋β)＝________．
－　[依题意，tan αtan β＝＝2，
则sin αsin β＝2cos αcos β，
由cos (α－β)＝，得cos αcos β＋sin αsin β＝，解得cos αcos β＝，所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－cos αcos β＝－．]
－　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
13．有甲、乙两袋，甲袋中有4个白球，1个红球；乙袋中有2个白球，2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则此球为红球的概率为________．
　[由题意可知从甲袋中任取2个球有两种情况，2个白球或1个白球1个红球．
①从甲袋中取出2个白球的概率为＝＝，放入乙袋后，乙袋此时有4个白球，2个红球，取到红球的概率为＝．
　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
②从甲袋中取出1个白球1个红球的概率为＝＝，
放入乙袋后，乙袋此时有3个白球，3个红球，取到红球的概率为＝，
综上两种情况可知，从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取一球为红球的概率P＝＝．]
题号
1
3
5
2
4
6
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13
14
14．如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为4，且二面角A-BC-D的大小为，则·＝________ ．
－4　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
－4　[设F，G分别为BC，DE的中点，连接AF，FG，
因为正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为4，
所以AF⊥BC，AF＝＝2，
在正方形BCDE中，FG∥CD，FG⊥BC，FG＝CD＝4，
所以∠AFG为二面角A-BC-D的平面角，
又因为二面角A-BC-D的大小为，
所以∠AFG＝，
所以·＝·()
＝··＋·＝2×4××42＝－4．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
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