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小题满分练4
(满分73分　建议用时40分钟)
一、单选题：每小题5分，共40分．
1．在复平面内，复数i(－2－3i)对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合A＝{－4，－3，－2，－1，0，1，2}，B＝{x|x2－x－12<0}，则A∩B＝(　　)
A．{－2，－1，0，1，2} B．{－1，0，1}
C．{0，1，2} D．{－3，－2，－1，0，1，2}
3．已知向量a＝(3－m，3)，b＝(2，m＋4)，若|a－3b|＝|a＋3b|，则实数m＝(　　)
A．3 B．6 C．－6 D．－18
4．已知0<β<α<，且tan (α－2β)＝1，tan (α＋2β)＝2，则tan 2α＝(　　)
A．－3 B．－ C．－ 　D．
5．已知a＝30.2，b＝log52，c＝log32，则(　　)
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
6．若函数 是定义在R上的增函数，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1，8] B．[3，7] C．[4，7] D．(4，18]
7．设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l与C交于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第二象限，若△AF2B是以∠AF2B为直角的等腰直角三角形，则C的离心率为(　　)
A．2 B． C． D．3
8．已知函数f(x)＝x3＋x，数列{an}是等差数列，且a1 013<0，则f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 024)＋f(a2 025)的值(　　)
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．不能确定
二、多选题：每小题6分，共18分．
9．在一次比赛中，7名裁判员对运动员甲的评分分别为8.0，8.5，9.0，8.0，8.5，5.5，8.5，关于这组数据，下列说法正确的有(　　)
A．这组数据的中位数大于平均数
B．这组数据的80%分位数为8.5
C．这组数据的众数为8.0
D．去掉一个最低分和一个最高分后，新的一组数据的平均数会变大
10．在如图所示的透明的正三棱台形容器ABC-A1B1C1内注入一些水(容器厚度忽略不计)，水平放置时水平面DEF与底面平行，且水平面DEF与下底面ABC的距离为，AB＝6，A1B1＝2，正三棱台形容器ABC-A1B1C1的高为2，下列结论正确的有(　　)
A．正三棱台形容器ABC-A1B1C1的体积为
B．正三棱台形容器ABC-A1B1C1的侧面积为8
C．等边△DEF的边长为3
D．水的体积为
11．已知圆O：x2＋y2＝a，且a＞2，正方形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(－1，1)，C(－1，－1)，D(1，－1)，P(x0，y0)是正方形ABCD边上的动点，过坐标原点O作直线l：x0x＋y0y＝a的垂线，垂线与l交于点Q，点Q的轨迹记为曲线Γ，则下列结论正确的有(　　)
A．直线l与圆x2＋y2＝a相切
B．曲线Γ的周长为2aπ
C．曲线Γ所围成图形的面积为a2
D．圆O：x2＋y2＝a与曲线Γ没有公共点
三、填空题：每小题5分，共15分．
12．已知函数f(x)＝ln 为奇函数，则实数a＝________．
13．函数f(x)＝cos x－sin x在[0，π]上的最大值是________．
14．在一个装饰盒中有3个蓝色珠子(编号1，2，3)和3个绿色珠子(编号1，2，3)，现取出4个珠子排成一列．如果要求相同颜色的珠子不能相邻，相同编号的珠子也不能相邻，则满足条件的排列方式有________种．
小题满分练4
1．D　[因为i(－2－3i)＝3－2i，所以对应的点为(3，－2)，在第四象限．故选D．]
2．A　[由x2－x－12<0，得－3由A＝{－4，－3，－2，－1，0，1，2}，得A∩B＝{－2，－1，0，1，2}．故选A．]
3．D　[由|a－3b|＝|a＋3b|，得a2＋9b2－6a·b＝a2＋9b2＋6a·b，则a·b＝0，
因此2(3－m)＋3(m＋4)＝0，所以m＝－18．故选D．]
4．A　[因为tan(α－2β)＝1，tan(α＋2β)＝2，
所以tan 2α＝tan[(α－2β)＋(α＋2β)]＝＝－3．故选A．]
5．A　[由题意有a＝30.2>1，b＝log52＝，c＝log32＝，
又y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，
所以1，所以1>c>b，
所以a>1>c>b，即a>c>b．故选A．]
6．B　[由题意知，f(x)在(1，＋∞)上单调递增，可得a>1，f(x)在(－∞，1]上单调递增，
可得f'(x)＝3x2－6x＋a≥0在(－∞，1]上恒成立，
即a≥－3x2＋6x＝－3(x－1)2＋3在(－∞，1]上恒成立，
又当x＝1时，－3(x－1)2＋3取最大值为3，所以a≥3，
又f(x)＝ 是定义在R上的增函数，
所以1－3＋a＋2a－5≤2a，解得a≤7，
综上，实数a的取值范围为[3，7]，故选B．]
7．C　[设|AF2|＝m，则|BF2|＝m，由双曲线定义可知|AF1|＝m＋2a，|BF1|＝m－2a，
则|AB|＝|AF1|－|BF1|＝4a，
又△ABF2为等腰直角三角形，则|AB|＝|AF2|，
即4a＝m，得m＝2a，
则|AF2|＝2a，|AF1|＝(2＋2)a，
在△AF1F2中，由余弦定理的推论得
cos∠F1AF2＝，
即，
整理可得c2＝3a2，所以e2＝＝3，e＝．故选C．]
8．B　[函数y＝x3，y＝x均为奇函数且为增函数，则函数f(x)＝x3＋x为奇函数且为增函数，由数列{an}是等差数列，得a1＋a2 025＝2a1 013<0，即a1<－a2 025，
于是f(a1)即f(a1)＋f(a2 025)<0，同理f(a2)＋f(a2 024)<0，
f(a3)＋f(a2 023)<0，…，f(a1 012)＋f(a1 014)<0，f(a1 013)<0，
因此f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 024)＋f(a2 025)<0．故选B．]
9．ABD　[给定数据由小到大排列为5.5，8.0，8.0，8.5，8.5，8.5，9.0，对于A，平均数＝8.0，中位数为8.5，A正确；
对于B，由7×80%＝5.6，得这组数据的80%分位数为8.5，B正确；
对于C，这组数据的众数为8.5，C错误；
对于D，新数据组的平均数为＝8.3，D正确．
故选ABD．]
10．AC　[由题意知，等边△ABC的面积为，
等边△A1B1C1的面积为，又正三棱台形容器ABC-A1B1C1的高为2，所以正三棱台形容器ABC-A1B1C1的体积为×2×(9)＝，
故A正确；
设BC的中点为M，B1C1的中点为M1，△ABC的中心为O，△A1B1C1的中心为O1，则MM1为侧面梯形的高，如图所示，
在截面AA1M1M中，OO1＝2，AM＝3，A1M1＝，
所以MM1＝，
所以正三棱台形容器ABC-A1B1C1的侧面积为3××(2＋6)×，故B错误；
设等边△DEF的边长为x，由△ABC∽△DEF，所以，解得x＝3，
即DE＝3，故C正确；
等边△DEF的面积为，正三棱台ABC-DEF的高为，
所以水的体积V正三棱台ABC-DEF＝，故D错误．
故选AC．]
11．BCD　[如图，P(x0，y0)是正方形ABCD边上的动点，故|OP|≤，又a>2，
所以P(x0，y0)在圆：x2＋y2＝a的内部，即所以圆心(0，0)到直线l：x0x＋y0y＝a的距离d＝，
所以直线l与圆x2＋y2＝a相离，故A错误；
若P(1，0)，此时l：x＝a，
当x0＝1，－1≤y0≤1且y0≠0时，直线l：x＋y0y＝a过定点T(a，0)，
由－1≤y0≤1且y0≠0，可得－∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
所以直线l的倾斜角的取值范围为∪，
因为OQ与直线l垂直，所以曲线Γ是以OT＝a为直径的右半圆，如图所示，
其余类型同理可得，故曲线Γ如图所示：
故曲线Г的周长为2aπ，面积为a2＋2×π×a2，故BC正确；
又O与曲线Γ上点的距离d≥a，且a>2，
故d>，故圆O：x2＋y2＝a与曲线Γ没有公共点，D正确．故选BCD．]
12．－1　[由题意有f(－x)＝－f(x)
ln，
所以ln＝0 ln＝0，
即＝1，
化简整理得(a＋1)[(x2－4)a－(x2＋12)]＝0，解得a＝－1．经验证，当a＝－1时，原函数定义域为x>2或x<－2，关于原点对称，满足题意，故a＝－1．]
13.1　[f(x)＝cos x－sin x＝2 ＝2cos ，
当x∈[0，π]时，x＋，
所以由余弦函数的性质可知，当x＋时，即x＝0时，有f(x)max＝1．]
14.12　[设编号为n的蓝色珠子为An，编号为n的绿色珠子为Bn，
当同一个颜色的珠子取出个数为3个时，例如：A1，A2，A3，B1，无论怎么排列均无法满足相同颜色不相邻，舍去，所以取出的珠子中蓝色和绿色的个数均为2个，
当选取的蓝色和绿色珠子编号为两组相同编号时，例如：A1，A2，B1，B2时，当满足相同颜色不相邻时，无法满足相同编号不相邻，舍去，所以取出的珠子一定为两个蓝色两个绿色珠子，且蓝色和绿色珠子只有一个编号相同，例如：A1，A2，B1，B3，
所有取出情况如下：
A1，A2，B1，B3；A1，A2，B2，B3；A1，A3，B1，B2；A1，A3，B2，B3；A2，A3，B1，B3；A2，A3，B1，B2．
即共有6种取出方式，排列例如：A1B2A3B1、B1A3B2A1，相同编号只能在最前和最后，
一种选取方式下共有＝2种排列方式，所以总的排列方式有6×2＝12种．]
1/3(共29张PPT)
小题满分练4
题号
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√
(满分73分　建议用时40分钟)
一、单选题：每小题5分，共40分．
1．在复平面内，复数i(－2－3i)对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D　[因为i(－2－3i)＝3－2i，所以对应的点为(3，－2)，在第四象限．故选D．]
题号
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2．已知集合A＝{－4，－3，－2，－1，0，1，2}，B＝{x|x2－x－12<0}，则A∩B＝(　　)
A．{－2，－1，0，1，2}
B．{－1，0，1}
C．{0，1，2}
D．{－3，－2，－1，0，1，2}
√
题号
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A　[由x2－x－12<0，得－3由A＝{－4，－3，－2，－1，0，1，2}，得A∩B＝{－2，－1，0，1，2}．
故选A．]
题号
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3．已知向量a＝(3－m，3)，b＝(2，m＋4)，若|a－3b|＝|a＋3b|，则实数m＝(　　)
A．3 B．6 C．－6 D．－18
√
D　[由|a－3b|＝|a＋3b|，得a2＋9b2－6a·b＝a2＋9b2＋6a·b，则a·b＝0，
因此2(3－m)＋3(m＋4)＝0，所以m＝－18．故选D．]
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4．已知0<β<α<，且tan (α－2β)＝1，tan (α＋2β)＝2，则tan 2α＝(　　)
A．－3 B．－ C．－ D．
√
A　[因为tan (α－2β)＝1，tan (α＋2β)＝2，
所以tan 2α＝tan [(α－2β)＋(α＋2β)]＝＝＝－3．故选A．]
题号
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√
5．已知a＝30.2，b＝log52，c＝log32，则(　　)
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
A　[由题意有a＝30.2>1，b＝log52＝，c＝log32＝，
又y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，
所以1>，所以1＞c＞b，
所以a＞1＞c＞b，即a＞c＞b．故选A．]
题号
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√
6．若函数f (x)＝ 是定义在R上的增函数，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1，8] B．[3，7]
C．[4，7] D．(4，18]
题号
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B　[由题意知，f (x)在(1，＋∞)上单调递增，可得a>1，f (x)在
(－∞，1]上单调递增，
可得f ′(x)＝3x2－6x＋a≥0在(－∞，1]上恒成立，
即a≥－3x2＋6x＝－3(x－1)2＋3在(－∞，1]上恒成立，
又当x＝1时，－3(x－1)2＋3取最大值为3，所以a≥3，
又f (x)＝ 是定义在R上的增函数，
所以1－3＋a＋2a－5≤2a，解得a≤7，
综上，实数a的取值范围为[3，7]，故选B．]
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7．设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l与C交于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第二象限，若△AF2B是以∠AF2B为直角的等腰直角三角形，则C的离心率为(　　)
A．2 B． C． D．3
√
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C　[设|AF2|＝m，则|BF2|＝m，由双曲线定义可知|AF1|＝m＋2a，|BF1|＝m－2a，
则|AB|＝|AF1|－|BF1|＝4a，
又△ABF2为等腰直角三角形，则|AB|＝|AF2|，即4a＝m，
得m＝2a，则|AF2|＝2a，|AF1|＝(2＋2)a，
在△AF1F2中，由余弦定理的推论得
cos ∠F1AF2＝，即＝，
整理可得c2＝3a2，所以e2＝＝3，e＝．故选C．]
题号
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√
8．已知函数f (x)＝x3＋x，数列{an}是等差数列，且a1 013<0，则f (a1)＋f (a2)＋f (a3)＋…＋f (a2 024)＋f (a2 025)的值(　　)
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．不能确定
题号
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B　[函数y＝x3，y＝x均为奇函数且为增函数，则函数f (x)＝x3＋x为奇函数且为增函数，由数列{an}是等差数列，得a1＋a2 025＝2a1 013＜0，即a1＜－a2 025，
于是f (a1)＜f (－a2 025)＝－f (a2 025)，即f (a1)＋f (a2 025)＜0，同理f (a2)＋f (a2 024)＜0，
f (a3)＋f (a2 023)＜0，…，f (a1 012)＋f (a1 014)＜0，f (a1 013)＜0，
因此f (a1)＋f (a2)＋f (a3)＋…＋f (a2 024)＋f (a2 025)＜0．故选B．]
题号
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√
二、多选题：每小题6分，共18分．
9．在一次比赛中，7名裁判员对运动员甲的评分分别为8.0，8.5，9.0，8.0，8.5，5.5，8.5，关于这组数据，下列说法正确的有(　　)
A．这组数据的中位数大于平均数
B．这组数据的80%分位数为8.5
C．这组数据的众数为8.0
D．去掉一个最低分和一个最高分后，新的一组数据的平均数会变大
√
√
题号
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ABD　[给定数据由小到大排列为5.5，8.0，8.0，8.5，8.5，8.5，9.0，
对于A，平均数＝＝8.0，中位数为8.5，A正确；
对于B，由7×80%＝5.6，得这组数据的80%分位数为8.5，B正确；
对于C，这组数据的众数为8.5，C错误；
对于D，新数据组的平均数为＝8.3，D正确．故选ABD．]
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√
10．在如图所示的透明的正三棱台形容器ABC-A1B1C1内注入一些水(容器厚度忽略不计)，水平放置时水平面DEF与底面平行，且水平面DEF与下底面ABC的距离为，AB＝6，A1B1＝2，正三棱台形容器ABC-A1B1C1的高为2，下列结论正确的有(　　)
A．正三棱台形容器ABC-A1B1C1的体积为
B．正三棱台形容器ABC-A1B1C1的侧面积为8
C．等边△DEF的边长为3
D．水的体积为
√
题号
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AC　[由题意知，等边△ABC的面积为×6×6×＝9，
等边△A1B1C1的面积为×2×2×＝，又正三棱台形容器ABC-A1B1C1的高为2，所以正三棱台形容器ABC-A1B1C1的体积为×2×＝，
故A正确；
设BC的中点为M，B1C1的中点为M1，△ABC的中心为O，
△A1B1C1的中心为O1，则MM1为侧面梯形的高，如图所示，
在截面AA1M1M中，OO1＝2，AM＝3，A1M1＝，又＝2＝2，所以MM1＝＝，
所以正三棱台形容器ABC-A1B1C1的侧面积为3××(2＋6)×＝16，故B错误；
设等边△DEF的边长为x，由△ABC∽△DEF，所以＝，解得x＝3，即DE＝3，故C正确；
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等边△DEF的面积为×3×3×＝，正三棱台ABC-DEF的高为，
所以水的体积V正三棱台ABC-DEF＝＝，故D错误．
故选AC．]
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√
11．已知圆O：x2＋y2＝a，且a＞2，正方形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(－1，1)，C(－1，－1)，D(1，－1)，P(x0，y0)是正方形ABCD边上的动点，过坐标原点O作直线l：x0x＋y0y＝a的垂线，垂线与l交于点Q，点Q的轨迹记为曲线Γ，则下列结论正确的有(　　)
A．直线l与圆x2＋y2＝a相切
B．曲线Γ的周长为2aπ
C．曲线Γ所围成图形的面积为a2
D．圆O：x2＋y2＝a与曲线Γ没有公共点
√
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BCD　[如图，
P(x0，y0)是正方形ABCD边上的动点，故|OP|≤，又a＞2，
所以P(x0，y0)在圆：x2＋y2＝a的内部，即＜a，
所以圆心(0，0)到直线l：x0x＋y0y＝a的距离d＝＞，
所以直线l与圆x2＋y2＝a相离，故A错误；
若P(1，0)，此时l：x＝a，
当x0＝1，－1≤y0≤1且y0≠0时，直线l：x＋y0y＝a过定点T(a，0)，
由－1≤y0≤1且y0≠0，可得－∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
所以直线l的倾斜角的取值范围为，
因为OQ与直线l垂直，所以曲线Γ是以OT＝a为直径的右半圆，如图所示，
题号
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其余类型同理可得，故曲线Γ如图所示：
故曲线Г的周长为2aπ，面积为a2＋2×π×＝a2，故BC正确；
又O与曲线Γ上点的距离d≥a，且a＞2，
故d＞，故圆O：x2＋y2＝a与曲线Γ没有公共点，D正确．故选BCD．]
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12
13
14
三、填空题：每小题5分，共15分．
12．已知函数f (x)＝ln 为奇函数，则实数a＝________．
－1　[由题意有f (－x)＝－f (x)
ln ＝－ln ，
－1　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
所以ln ＋ln ＝0
ln ＝0，
即＝1，
化简整理得(a＋1)[(x2－4)a－(x2＋12)]＝0，解得a＝－1．经验证，当a＝－1时，原函数定义域为x＞2或x＜－2，关于原点对称，满足题意，故a＝－1．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
13．函数f (x)＝cos x－sin x在[0，π]上的最大值是________．
1　[f (x)＝cos x－sin x＝2
＝2cos ，
当x∈[0，π]时，x＋∈，
所以由余弦函数的性质可知，当x＋＝时，即x＝0时，有f (x)max＝1．]
1　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
14．在一个装饰盒中有3个蓝色珠子(编号1，2，3)和3个绿色珠子(编号1，2，3)，现取出4个珠子排成一列．如果要求相同颜色的珠子不能相邻，相同编号的珠子也不能相邻，则满足条件的排列方式有________种．
12　[设编号为n的蓝色珠子为An，编号为n的绿色珠子为Bn，
当同一个颜色的珠子取出个数为3个时，例如：A1，A2，A3，B1，无论怎么排列均无法满足相同颜色不相邻，舍去，所以取出的珠子中蓝色和绿色的个数均为2个，
12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
当选取的蓝色和绿色珠子编号为两组相同编号时，例如：A1，A2，B1，B2时，当满足相同颜色不相邻时，无法满足相同编号不相邻，舍去，所以取出的珠子一定为两个蓝色两个绿色珠子，且蓝色和绿色珠子只有一个编号相同，例如：A1，A2，B1，B3，
所有取出情况如下：
A1，A2，B1，B3；A1，A2，B2，B3；A1，A3，B1，B2；A1，A3，B2，B3；A2，A3，B1，B3；A2，A3，B1，B2．
即共有6种取出方式，排列例如：A1B2A3B1、B1A3B2A1，相同编号只能在最前和最后，
一种选取方式下共有＝2种排列方式，所以总的排列方式有6×2＝12种．]
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