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小题满分练7
(满分73分　建议用时40分钟)
一、单选题：每小题5分，共40分．
1．下列各组数据中方差最大的一组是(　　)
A．6，6，6，6，6 B．5，5，6，7，7
C．4，5，6，7，8 D．4，4，6，8，8
2．双曲线4x2－y2＝4的离心率为(　　)
A． B．2 C． D．
3．在四边形ABCD中，若，则“⊥”是“四边形ABCD是正方形”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．若cos ，α∈，则sin α＝(　　)
A． B． C． D．
5．在(1－2x－y)4的展开式中，x2y的系数为(　　)
A．－48 B．－24 C．24 D．48
6．若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z－1|的最大值是(　　)
A．1 B． C．2 D．
7．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1C1的中点，那么直线CP与B1D所成角的余弦值为(　　)
A． B． C． D．
8．数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝3n－1和bn＝4n－3(n∈N*)，设这两个数列的公共项构成集合A，则集合A∩{n|n≤2 026，n∈N*}中元素的个数为(　　)
A．167 B．168 C．169 D．170
二、多选题：每小题6分，共18分．
9．已知函数f(x)＝2sin cos ，则(　　)
A．f(x)的最大值为1
B．f(x)的最小正周期为π
C．f(x)在内单调递增
D．f(x)的图象关于x＝对称
10．已知等差数列{an}与等比数列{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则下列结论中正确的是(　　)
A．数列}是等比数列
B．Tn可能为2n－1
C．数列是等差数列
D．数列}是等比数列
11．已知函数f(x)＝x3－x2－x＋a(a∈R)的图象为曲线C，下列说法正确的有(　　)
A． a∈R，f(x)都有两个极值点
B． a∈R，f(x)都有三个零点
C． a∈R，曲线C都有对称中心
D． a∈R，使得曲线C有对称轴
三、填空题：每小题5分，共15分．
12．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑，已知在鳖臑A-BCD中，BC＝CD＝4，AB⊥平面BCD，当该鳖臑的外接球的表面积为48π时，则该鳖臑的体积为________．
13．有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为 ________．
14．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(1，0)，C的准线与x轴的交点为T，若过点T的直线l与C交于A，B两点，且|FA|＝3|FB|，则△TFA的面积等于________．
小题满分练7
1．D　[对于A，数据全部为6，相等，没有波动，所以方差为0．
对于B，平均数为＝6，方差s2＝＝0.8．
对于C，平均数为＝6，
方差s2＝ ＝2．
对于D，平均数为＝6，方差s2＝＝3.2．
通过比较可知，选项D的方差最大．故选D．]
2．D　[由4x2－y2＝4，得x2－＝1，
所以a2＝1，b2＝4，得c2＝a2＋b2＝5，
所以双曲线的离心率e＝．
故选D．]
3．B　[在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD为平行四边形，
若，则平行四边形ABCD为菱形，但不一定为正方形，
当四边形ABCD是正方形时，必有AC⊥BD，即有，
故“”是“四边形ABCD是正方形”的必要不充分条件．
故选B．]
4．A　[因为α∈<α＋，
所以sin，
因此sin α＝sin
＝sin－cossin
＝．
故选A．]
5．A　[由题意有Tk+1＝(1－2x)4-k·(－y)k＝(－1)k(1－2x)4-kyk，
当k＝1时，有(1－2x)3y，(1－2x)3中x2的系数为(－2x)2＝12x2，
所以x2y的系数为(－1)1×12＝－48．
故选A．]
6．B　[设复数i、－i在复平面内对应的点分别为A(0，1)，B(0，－1)，
复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点为Z(a，b)，
由|z＋i|＋|z－i|＝2，可知复数z在复平面内对应的点到A，B两点的距离之和为2，
而|AB|＝2，所以点Z(a，b)在线段AB上，故a＝0，b∈[－1，1]，
则|z－1|＝|bi－1|＝，
当b＝±1时，|z－1|取得最大值为．
故选B．]
7．D　[取BC的中点Q，连接B1Q，DQ．
因为正方形BB1C1C中，
CQ＝B1P＝，CQ∥B1P，
所以四边形B1PCQ是平行四边形，可得CP∥B1Q，
所以∠DB1Q(或其补角)就是异面直线CP与B1D所成的角，
Rt△PC1C中，CP＝，同理可得DQ＝，
在△B1DQ中，B1D＝，由余弦定理的推论得
cos∠DB1Q＝，
所以异面直线CP与B1D所成角的余弦值为．故选D．]
8．C　[由题意可知，数列{an}：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，…，
数列{bn}：1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，…，
将集合A中的元素由小到大进行排序，构成数列{cn}：5，17，29，…，
易知数列{cn}是首项为5，公差为12的等差数列，则cn＝5＋12(n－1)＝12n－7，
由cn＝12n－7≤2 026，可得n≤，
因此，集合A∩{n|n≤2 026，n∈N*}中元素的个数为169．故选C．]
9．AB　[f(x)＝2sin
＝sin 2
＝cos 2x，∴f(x)max＝1，故A正确；
最小正周期T＝＝π，故B正确；
当x∈时，t＝2x∈(0，π)，
∵y＝cos t在(0，π)内单调递减，
∴f(x)在内单调递减，故C错误；
f＝0，x＝不是函数f(x)的图象的对称轴，故D错误．故选AB．]
10．ABD　[由题设an+1－an＝d为定值，则＝2d>0且为定值，A正确；
若{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，则Tn＝＝2n－1，B正确；
对于数列，n＝1时无意义，故不可能为等差数列，C错误；
若{bn}的公比为q，则{，公比为q2的等比数列，D正确．故选ABD．]
11．AC　[f'(x)＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)， a∈R，令f'(x)＝0，得x1＝－，x2＝1，
当x∈时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x∈时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
a∈R，f(x)都有两个极值点－，1，故A选项正确；
因为当x→＋∞时，f(x)→＋∞；当x→－∞时，f(x)→－∞，
所以函数f(x)至少有一个零点，
f(x)的极大值f＋a(a∈R)，f(x)的极小值f(1)＝1－1－1＋a＝－1＋a(a∈R)，
当a＋<0，即a<－时，a－1<0，
所以函数f(x)与x轴仅有一个交点，
不满足 a∈R，f(x)都有三个零点，故选项B错误；
函数f'(x)＝3x2－2x－1是开口向上的二次函数，且为轴对称，此时对称轴的横坐标即为函数f(x)对称中心的横坐标，
令t(x)＝f'(x)＝3x2－2x－1，t'(x)＝6x－2＝0，x＝， a∈R，是曲线C的对称中心，故选项C正确；
由三次函数图象的性质知 a∈R，曲线C没有对称轴，选项D错误．故选AC．]
12．　[由已知，将三棱锥放在长方体中，如图所示．
所以三棱锥A-BCD的外接球即为长方体的外接球，
设三棱锥A-BCD的外接球的半径为R，
因为三棱锥A-BCD的外接球的表面积为48π，所以4πR2＝48π，解得R＝2，
因为BC＝CD＝4，
所以2，解得AB＝4，
所以该鳖臑的体积为VA-BCD＝S△BCD·AB＝．]
13．　[6个人拿6把钥匙共有种不同的拿法，记甲、乙恰好对门为事件A，
则事件A包括甲、乙拿了301与302，其余4人随意拿，共2种；
甲、乙拿了303与304，其余4人随意拿，共2种；
甲、乙拿了305与306，其余4人随意拿，共2种，
所以甲、乙两人恰好对门的拿法共有6种．
则甲、乙两人恰好对门的概率P(A)＝．]
14.2　[如图，因为抛物线C的焦点F(1，0)，所以＝1，解得p＝2，
则抛物线C的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1，T(－1，0)，
易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立整理得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，Δ>0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝1，
又|FA|＝x1＋1，|FB|＝x2＋1 ，
且|FA|＝3|FB|，
所以x1＋1＝3(x2＋1)，即x1＝3x2＋2，代入x1x2＝1，
整理得3＋2x2－1＝0，解得x2＝或x2＝－1(舍)，
所以x1＝3，＝4x＝12，所以|y1|＝2，S△TFA＝．]
1/2(共31张PPT)
小题满分练7
题号
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√
(满分73分　建议用时40分钟)
一、单选题：每小题5分，共40分．
1．下列各组数据中方差最大的一组是(　　)
A．6，6，6，6，6 B．5，5，6，7，7
C．4，5，6，7，8 D．4，4，6，8，8
题号
1
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D　[对于A，数据全部为6，相等，没有波动，所以方差为0．
对于B，平均数为＝6，方差s2＝＝0.8．
对于C，平均数为＝6，方差s2＝＝2．
对于D，平均数为＝6，方差s2＝＝3.2．
通过比较可知，选项D的方差最大．故选D．]
题号
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2．双曲线4x2－y2＝4的离心率为(　　)
A． B．2 C． D．
√
D　[由4x2－y2＝4，得x2－＝1，
所以a2＝1，b2＝4，得c2＝a2＋b2＝5，
所以双曲线的离心率e＝＝．故选D．]
题号
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3．在四边形ABCD中，若＝，则“⊥”是“四边形ABCD是正方形”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
√
题号
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B　[在四边形ABCD中，若＝，则四边形ABCD为平行四边形，
若⊥，则平行四边形ABCD为菱形，但不一定为正方形，
当四边形ABCD是正方形时，必有AC⊥BD，即有⊥，
故“⊥”是“四边形ABCD是正方形”的必要不充分条件．故选B．]
题号
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4．若cos ＝，α∈，则sin α＝(　　)
A． B． C． D．
√
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A　[因为α∈，则＜α＋＜，
所以sin ＝＝＝，
因此sinα＝sin
＝sin cos －cos sin
＝＝．
故选A．]
题号
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√
5．在(1－2x－y)4的展开式中，x2y的系数为(　　)
A．－48 B．－24
C．24 D．48
A　[由题意有Tk＋1＝(1－2x)4-k(－y)k＝(－1)k(1－2x)4-kyk，
当k＝1时，有(1－2x)3y，(1－2x)3中x2的系数为(－2x)2＝12x2，
所以x2y的系数为(－1)1×12＝－48．
故选A．]
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√
6．若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z－1|的最大值是(　　)
A．1 B． C．2 D．
B　[设复数i、－i在复平面内对应的点分别为A(0，1)，B(0，－1)，
复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点为Z(a，b)，
由|z＋i|＋|z－i|＝2，可知复数z在复平面内对应的点到A，B两点的距离之和为2，
题号
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而|AB|＝2，所以点Z(a，b)在线段AB上，故a＝0，b∈[－1，1]，则|z－1|＝|bi－1|＝＝，当b＝±1时，|z－1|取得最大值为．
故选B．]
题号
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7．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1C1的中点，那么直线CP与B1D所成角的余弦值为(　　)
A． B． C． D．
√
D　[取BC的中点Q，连接B1Q，DQ．
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因为正方形BB1C1C中，CQ＝B1P＝，CQ∥B1P，
所以四边形B1PCQ是平行四边形，可得CP∥B1Q，
所以∠DB1Q(或其补角)就是异面直线CP与B1D所成的角，
Rt△PC1C中，CP＝＝，同理可得DQ＝，
在△B1DQ中，B1D＝，由余弦定理的推论得
cos ∠DB1Q＝＝，
所以异面直线CP与B1D所成角的余弦值为．故选D．]
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√
8．数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝3n－1和bn＝4n－3(n∈N*)，设这两个数列的公共项构成集合A，则集合A∩{n|n≤
2 026，n∈N*}中元素的个数为(　　)
A．167 B．168 C．169 D．170
题号
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C　[由题意可知，数列{an}：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，…，
数列{bn}：1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，…，
将集合A中的元素由小到大进行排序，构成数列{cn}：5，17，29，…，
易知数列{cn}是首项为5，公差为12的等差数列，则cn＝5＋12(n－1)＝12n－7，
由cn＝12n－7≤2 026，可得n≤＝169，
因此，集合A∩{n|n≤2 026，n∈N*}中元素的个数为169．故选C．]
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√
二、多选题：每小题6分，共18分．
9．已知函数f (x)＝2sin cos ，则(　　)
A．f (x)的最大值为1
B．f (x)的最小正周期为π
C．f (x)在内单调递增
D．f (x)的图象关于x＝对称
√
题号
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AB　[f (x)＝2sin cos
＝sin 2＝sin ＝cos 2x，∴f (x)max＝1，故A正确；
最小正周期T＝＝π，故B正确；
当x∈时，t＝2x∈(0，π)，∵y＝cos t在(0，π)内单调递减，
∴f (x)在内单调递减，故C错误；
f＝cos ＝0，x＝不是函数f (x)的图象的对称轴，故D错误．
故选AB．]
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√
10．已知等差数列{an}与等比数列{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则下列结论中正确的是(　　)
A．数列}是等比数列
B．Tn可能为2n－1
C．数列是等差数列
D．数列}是等比数列
√
√
题号
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ABD　[由题设an＋1－an＝d为定值，则＝＝2d＞0且为定值，A正确；
若{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，则Tn＝＝2n－1，B正确；
对于数列，n＝1时无意义，故不可能为等差数列，C错误；
若{bn}的公比为q，则}是首项为，公比为q2的等比数列，D正确．故选ABD．]
题号
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√
11．已知函数f (x)＝x3－x2－x＋a(a∈R)的图象为曲线C，下列说法正确的有(　　)
A． a∈R，f (x)都有两个极值点
B． a∈R，f (x)都有三个零点
C． a∈R，曲线C都有对称中心
D． a∈R，使得曲线C有对称轴
√
题号
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AC　[f ′(x)＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)，
a∈R，令f ′(x)＝0，得x1＝－，x2＝1，当x∈时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增；当x∈时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，
a∈R，f (x)都有两个极值点－，1，故A选项正确；
因为当x→＋∞时，f (x)→＋∞；当x→－∞时，f (x)→－∞，
所以函数f (x)至少有一个零点，
f (x)的极大值f ＝－＋a＝＋a(a∈R)，
f (x)的极小值f (1)＝1－1－1＋a＝－1＋a(a∈R)，
当a＋＜0，即a＜－时，a－1＜0，
所以函数f (x)与x轴仅有一个交点，
不满足 a∈R，f (x)都有三个零点，故选项B错误；
函数f ′(x)＝3x2－2x－1是开口向上的二次函数，且为轴对称，此时对称轴的横坐标即为函数f (x)对称中心的横坐标，
题号
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令t(x)＝f ′(x)＝3x2－2x－1，t′(x)＝6x－2＝0，x＝， a∈R，是曲线C的对称中心，故选项C正确；
由三次函数图象的性质知 a∈R，曲线C没有对称轴，选项D错误．
故选AC．]
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三、填空题：每小题5分，共15分．
12．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑，已知在鳖臑A-BCD中，BC＝CD＝4，AB⊥平面BCD，当该鳖臑的外接球的表面积为48π时，则该鳖臑的体积为________．
　
题号
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　[由已知，将三棱锥放在长方体中，如图所示．
所以三棱锥A-BCD的外接球即为长方体的外接球，
设三棱锥A-BCD的外接球的半径为R，
因为三棱锥A-BCD的外接球的表面积为48π，
所以4πR2＝48π，解得R＝2，
因为BC＝CD＝4，所以2＝，解得AB＝4，
所以该鳖臑的体积为VA-BCD＝S△BCD·AB＝×4×4×4＝．]
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13．有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为 ________．
　
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　[6个人拿6把钥匙共有种不同的拿法，记甲、乙恰好对门为事件A，
则事件A包括甲、乙拿了301与302，其余4人随意拿，共种；
甲、乙拿了303与304，其余4人随意拿，共种；
甲、乙拿了305与306，其余4人随意拿，共种，
所以甲、乙两人恰好对门的拿法共有种．
则甲、乙两人恰好对门的概率P(A)＝＝．]
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14．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为f (1，0)，C的准线与x轴的交点为T，若过点T的直线l与C交于A，B两点，且|FA|＝3|FB|，则△TFA的面积等于________．
2　
题号
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2　[如图，因为抛物线C的焦点f (1，0)，所以＝1，解得p＝2，
则抛物线C的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1，T(－1，0)，
易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立整理得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，Δ＞0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝1，
又|FA|＝x1＋1，|FB|＝x2＋1 ，且|FA|＝3|FB|，
所以x1＋1＝3(x2＋1)，即x1＝3x2＋2，代入x1x2＝1，
整理得＋2x2－1＝0，解得x2＝或x2＝－1(舍)，
所以x1＝＝4x＝12，所以|y1|＝2，
S△TFA＝|TF||y1|＝2．]
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