资源简介

小题满分练8
(满分73分　建议用时40分钟)
一、单选题：每小题5分，共40分．
1．已知集合A＝{x|lg x<1}，B＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，则A∩B＝(　　)
A．{3，6，9} B．{1，5，9}
C．{5，9} D．{1，3，5，7，9}
2．已知复数z满足(2＋i)z＝1，则z·＝(　　)
A． B． C． D．－
3．抛物线x2＝8y的准线方程为(　　)
A．y＝2 B．y＝－2 C．x＝－2 D．x＝2
4．如图，某社区为墙面A，B，C，D四块区域宣传标语进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域(共边)不能用同一颜色，若只有4种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂法有(　　)
A B
C D
A．12种 B．24种 C．48种 D．144种
5．已知等比数列{an}为递增数列，若a1a8＝2a4，a3＋a7＝，则a1＝(　　)
A． B． C．4 D．8
6．已知函数f(x)＝ex－a ln (ax－a)＋a(a＞0)，若关于x的不等式f(x)＞0恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．(0，e2] B．(0，e2) C．[1，e2] D．(1，e2)
7． 的展开式中x2的系数为(　　)
A．－60 B．－20 C．20 D．60
8．已知函数f(x)＝x3－6x＋7，直线l是曲线y＝f(x)的切线，如果切线l与曲线y＝f(x)有且只有一个公共点，那么这样的直线l有(　　)
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
二、多选题：每小题6分，共18分．
9．已知函数f(x)＝sin ，则(　　)
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)在区间内单调递增
C．f(x)的一个对称中心为
D．f(x)图象上所有的点向左平移个单位长度后关于y轴对称
10．已知圆O：x2＋y2＝8，直线l与圆O交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，点P为圆O上异于A，B的任意一点，若x1x2＋y1y2＝－4，x1＋y1＝x2＋y2>0，则(　　)
A．∠AOB＝
B．△PAB面积的最大值为6
C．直线l的方程为y＝－2x＋2
D．满足到直线l的距离为的点P有且仅有3个
11．某乒乓球比赛采用单淘汰制，即参赛选手按照随机组合方式逐轮进行比赛，每场比赛负方淘汰，胜方晋级到下一轮，直到最终决出冠亚军．现有运动员k(k∈N*且k≥2)名，随机编号到对阵位置，且所有运动员在任何一场比赛中获胜的概率均为．若甲、乙是其中的两名运动员，则下列结论中正确的有(　　)
A．若k＝8，则甲、乙在第1轮比赛中相遇的概率为
B．若k＝16，则甲、乙在第2轮比赛中相遇的概率为
C．若k＝2n(n∈N*且n≥4)，则甲、乙两人在第4轮比赛中相遇的概率为
D．若k＝2n(n∈N*)，则甲、乙两人在比赛中相遇的概率为
三、填空题：每小题5分，共15分．
12．某商场为优化服务，对顾客做满意度问卷调查，满意度采用计分制(满分100)．现随机抽取了其中10个数据依次为80，87，88，89，91，92，93，95，95，96，则这组数据的下四分位数为________．
13．已知sin (α－β)＝，且＝3，则cos (2α＋2β)＝________．
14．将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如反比例函数y＝“对勾”函数y＝x＋，“飘带”函数y＝x－等等，它们的图象都能由某条双曲线绕原点旋转得到．现将双曲线C1：＝1(a>0，b>0)绕原点旋转一个合适的角度，得到“飘带”函数y＝的图象C2，则双曲线C1的离心率为________．
小题满分练8
1．B　[由lg x<1得，lg x对于集合B，因为k∈Z，所以当k＝0时，x＝1；
当k＝1时，x＝5；当k＝2时，x＝9，
所以A∩B＝{1，5，9}．故选B．]
2．A　[由z＝i，则i，
所以z·＝＝．故选A．]
3．B　[由抛物线方程可知，抛物线焦点在y轴正半轴，且2p＝8，所以所求准线方程为y＝－＝－2．]
4．C　[三种颜色的涂法有两种，即A与D同色或B与C同色，
所以恰好使用3种颜色的涂法有·()＝48种．
故选C．]
5．A　[已知等比数列{an}，则a1a8＝a4a5＝2a4，
因为a4≠0，所以a5＝2，则a3a7＝＝4，
又a3＋a7＝，所以a3＝，a7＝8或a7＝，a3＝8，
因为等比数列{an}为递增数列，则a3＝，a7＝8，且公比q>0，
所以＝16，则q＝2，
故a1＝．
故选A．]
6．B　[因为f(x)＝ex－aln(ax－a)＋a>0(a>0)恒成立，所以>ln(x－1)＋ln a－1，所以ex-ln a＋x－ln a>ln(x－1)＋x－1，即ex-ln a＋x－ln a>eln(x-1)＋ln(x－1)．令g(x)＝ex＋x，易得g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以x－ln a>ln(x－1)，则有－ln a>ln(x－1)－x．因为ln(x－1)－x≤x－2－x＝－2，所以－ln a>－2，解得07．C　[的展开式的通项公式Tk+1＝，k＝0，1，2，3，4，5，6，取k＝3，可得T4＝，
令6－＝2，则k＝ N，即中不含平方项，
所以(－2)的展开式中x2的系数为＝20．故选C．]
8．B　[函数f(x)＝x3－6x＋7，对其求导得f'(x)＝3x2－6．
设切点为(a，f(a))，则切线斜率为f'(a)＝3a2－6．
又f(a)＝a3－6a＋7，
所以切线方程为y－(a3－6a＋7)＝(3a2－6)(x－a)，
化简得y＝(3a2－6)x－2a3＋7．
将切线l方程和曲线y＝f(x)方程联立得
x3－6x＋7＝(3a2－6)x－2a3＋7，
整理得x3－3a2x＋2a3＝0，
因式分解得(x－a)2(x＋2a)＝0，
解得x＝a或x＝－2a，
因为切线l与曲线y＝f(x)有且只有一个公共点，
所以a＝－2a，解得a＝0，
此时切线方程为y＝－6x＋7，对应唯一一条满足条件的直线．
故选B．]
9．ABC　[对于A，由周期公式可得最小正周期为＝π，正确；
对于B，由x∈，则2x－∈，由正弦函数的单调性可知f(x)在区间内单调递增，正确；
对于C，当x＝时，f＝sin＝0，正确；
对于D，f(x)图象上所有的点向左平移个单位长度后，得到g(x)＝sin sin的图象，显然图象关于y轴不对称，错误．故选ABC．]
10．BD　[对于A，依题意，·＝x1x2＋y1y2＝－4，|，
则cos∠AOB＝，而0≤∠AOB≤π，解得∠AOB＝，A错误；
对于B，|AB|＝2|OA|cos，圆心O到直线AB的距离为|OA|sin，
因此点P到直线AB距离的最大值为3，△PAB面积的最大值为，B正确；
对于C，由x1＋y1＝x2＋y2，得x1－x2＝－(y1－y2)，直线l的斜率k＝－1，
设直线l的方程为y＝－x＋m，则圆心O到直线l的距离为，解得m＝±2，由x1＋y1＝x2＋y2>0，
因此m＝2，直线l的方程为y＝－x＋2，C错误；
对于D，由圆O半径为2，圆心O到直线AB的距离为，
得圆O上到直线AB的距离为的点有且仅有3个，因此符合条件的点P有且仅有3个，D正确．故选BD．]
11．ACD　[对于A，k＝8时，甲的位置确定后，乙需在剩余7个位置中选择同一组的1个位置，概率为，故A正确；
对于B，当k＝16时，甲、乙在第2轮相遇，则甲、乙需在第一轮不相遇且在第一轮均晋级，概率为，又在第2轮同一组的概率为，故B错误；
对于C，当k＝2n(n∈N*且n≥4)时，甲、乙两人在第m轮比赛中相遇的概率为，
所以甲、乙两人在第4轮比赛中相遇的概率为，故C正确；
对于D，当k＝2n(n∈N*)时，甲、乙两人在比赛中相遇的概率为
·，故D正确．故选ACD．]
12.88　[10个数据从小到大排列为80，87，88，89，91，92，93，95，95，96，
则10×25%＝2.5，故这组数据的下四分位数为88．]
13．　[由＝3，
则sin αcos β＝3cos αsin β，
由sin(α－β)＝，得sin αcos β－cos αsin β＝，则2cos αsin β＝，
即cos αsin β＝，sin αcos β＝，
所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，
则cos(2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×．]
14．　[“飘带”函数y＝的渐近线为y＝x与y轴，
设两渐近线夹角为α，
则tan，解得tan α＝，
又tan α＝，整理得2tan2－2＝0，
由0<α<，解得tan，
所以旋转之前双曲线C1的一条渐近线的斜率为k＝tan＝2，
所以双曲线C1的离心率e＝
．]
1/3(共30张PPT)
小题满分练8
题号
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3
5
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4
6
8
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9
10
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√
(满分73分　建议用时40分钟)
一、单选题：每小题5分，共40分．
1．已知集合A＝{x|lg x<1}，B＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，则A∩B＝(　　)
A．{3，6，9} B．{1，5，9}
C．{5，9} D．{1，3，5，7，9}
题号
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B　[由lg x<1得，lg x所以A＝{x|0对于集合B，因为k∈Z，所以当k＝0时，x＝1；
当k＝1时，x＝5；当k＝2时，x＝9，
所以A∩B＝{1，5，9}．
故选B．]
题号
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2．已知复数z满足(2＋i)z＝1，则z·＝(　　)
A． B．
C． D．－
√
A　[由z＝＝＝i，则＝i，
所以z·＝＝．
故选A．]
题号
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3．抛物线x2＝8y的准线方程为(　　)
A．y＝2 B．y＝－2
C．x＝－2 D．x＝2
√
B　[由抛物线方程可知，抛物线焦点在y轴正半轴，且2p＝8，所以所求准线方程为y＝－＝－2．]
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4．如图，某社区为墙面A，B，C，D四块区域宣传标语进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域(共边)不能用同一颜色，若只有4种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂法有(　　)
√
A B
C D
A．12种 B．24种 C．48种 D．144种
题号
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C　[三种颜色的涂法有两种，即A与D同色或B与C同色，
所以恰好使用3种颜色的涂法有＝48种．
故选C．]
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√
5．已知等比数列{an}为递增数列，若a1a8＝2a4，a3＋a7＝，则a1＝(　　)
A． B． C．4 D．8
题号
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A　[已知等比数列{an}，则a1a8＝a4a5＝2a4，
因为a4≠0，所以a5＝2，则a3a7＝＝4，
又a3＋a7＝，所以a3＝，a7＝8或a7＝，a3＝8，
因为等比数列{an}为递增数列，则a3＝，a7＝8，且公比q>0，
所以＝q4＝＝16，则q＝2，
故a1＝＝．
故选A．]
题号
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√
6．已知函数f (x)＝ex－a ln (ax－a)＋a(a＞0)，若关于x的不等式f (x)＞0恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．(0，e2] B．(0，e2)
C．[1，e2] D．(1，e2)
题号
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B　[因为f (x)＝ex－a ln (ax－a)＋a＞0(a＞0)恒成立，所以＞ln (x－1)＋ln a－1，所以ex－ln a＋x－ln a＞ln (x－1)＋x－1，即ex－ln a＋x－ln a＞eln (x-1)＋ln (x－1)．令g(x)＝ex＋x，易得g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以x－ln a＞ln (x－1)，则有－ln a＞ln (x－1)－x．因为
ln (x－1)－x≤x－2－x＝－2，所以－ln a＞－2，解得0＜a＜e2．所以实数a的取值范围为(0，e2)．]
题号
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7．(－2)的展开式中x2的系数为(　　)
A．－60 B．－20
C．20 D．60
√
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C　[的展开式的通项公式Tk＋1＝＝，k＝0，1，2，3，4，5，6，
取k＝3，可得T4＝，
令6－＝2，则k＝ N，即中不含平方项，
所以(－2)的展开式中x2的系数为＝20．故选C．]
题号
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√
8．已知函数f (x)＝x3－6x＋7，直线l是曲线y＝f (x)的切线，如果切线l与曲线y＝f (x)有且只有一个公共点，那么这样的直线l有(　　)
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
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B　[函数f (x)＝x3－6x＋7，对其求导得f ′(x)＝3x2－6．
设切点为(a，f (a))，则切线斜率为f ′(a)＝3a2－6．
又f (a)＝a3－6a＋7，
所以切线方程为y－(a3－6a＋7)＝(3a2－6)(x－a)，
化简得y＝(3a2－6)x－2a3＋7．
将切线l方程和曲线y＝f (x)方程联立得
x3－6x＋7＝(3a2－6)x－2a3＋7，
整理得x3－3a2x＋2a3＝0，
因式分解得(x－a)2(x＋2a)＝0，
解得x＝a或x＝－2a，
因为切线l与曲线y＝f (x)有且只有一个公共点，
所以a＝－2a，解得a＝0，
此时切线方程为y＝－6x＋7，对应唯一一条满足条件的直线．
故选B．]
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√
二、多选题：每小题6分，共18分．
9．已知函数f (x)＝sin ，则(　　)
A．f (x)的最小正周期为π
B．f (x)在区间内单调递增
C．f (x)的一个对称中心为
D．f (x)图象上所有的点向左平移个单位长度后关于y轴对称
√
√
题号
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ABC　[对于A，由周期公式可得最小正周期为＝π，正确；
对于B，由x∈，则2x－∈，由正弦函数的单调性可知
f (x)在区间内单调递增，正确；
对于C，当x＝时，f＝sin ＝0，正确；
对于D，f (x)图象上所有的点向左平移个单位长度后，得到g(x)＝
sin ＝sin 的图象，显然图象关于y轴不对称，错误．
故选ABC．]
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√
10．已知圆O：x2＋y2＝8，直线l与圆O交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，点P为圆O上异于A，B的任意一点，若x1x2＋y1y2＝－4，x1＋y1＝x2＋y2>0，则(　　)
A．∠AOB＝
B．△PAB面积的最大值为6
C．直线l的方程为y＝－2x＋2
D．满足到直线l的距离为的点P有且仅有3个
√
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BD　[对于A，依题意，·＝x1x2＋y1y2＝－4，||＝||＝2，则cos ∠AOB＝＝－，而0≤∠AOB≤π，解得∠AOB＝，A错误；
对于B，|AB|＝2|OA|cos ＝2，圆心O到直线AB的距离为|OA|sin ＝，因此点P到直线AB距离的最大值为3，△PAB面积的最大值为×2×3＝6，B正确；
对于C，由x1＋y1＝x2＋y2，得x1－x2＝－(y1－y2)，
直线l的斜率k＝－1，
设直线l的方程为y＝－x＋m，则圆心O到直线l的距离为＝，解得m＝±2，由x1＋y1＝x2＋y2>0，
因此m＝2，直线l的方程为y＝－x＋2，C错误；
对于D，由圆O半径为2，圆心O到直线AB的距离为，得圆O上到直线AB的距离为的点有且仅有3个，因此符合条件的点P有且仅有3个，D正确．故选BD．]
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√
11．某乒乓球比赛采用单淘汰制，即参赛选手按照随机组合方式逐轮进行比赛，每场比赛负方淘汰，胜方晋级到下一轮，直到最终决出冠亚军．现有运动员k(k∈N*且k≥2)名，随机编号到对阵位置，且所有运动员在任何一场比赛中获胜的概率均为．若甲、乙是其中的两名运动员，则下列结论中正确的有(　　)
A．若k＝8，则甲、乙在第1轮比赛中相遇的概率为
B．若k＝16，则甲、乙在第2轮比赛中相遇的概率为
C．若k＝2n(n∈N*且n≥4)，则甲、乙两人在第4轮比赛中相遇的概率为
D．若k＝2n(n∈N*)，则甲、乙两人在比赛中相遇的概率为
√
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ACD　[对于A，k＝8时，甲的位置确定后，乙需在剩余7个位置中选择同一组的1个位置，概率为，故A正确；
对于B，当k＝16时，甲、乙在第2轮相遇，则甲、乙需在第一轮不相遇且在第一轮均晋级，概率为＝，又在第2轮同一组的概率为，故所求概率为＝，故B错误；
对于C，当k＝2n(n∈N*且n≥4)时，甲、乙两人在第m轮比赛中相遇的概率为，所以甲、乙两人在第4轮比赛中相遇的概率为＝，故C正确；
对于D，当k＝2n(n∈N*)时，甲、乙两人在比赛中相遇的概率为
＝·＝，故D正确．
故选ACD．]
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三、填空题：每小题5分，共15分．
12．某商场为优化服务，对顾客做满意度问卷调查，满意度采用计分制(满分100)．现随机抽取了其中10个数据依次为80，87，88，89，91，92，93，95，95，96，则这组数据的下四分位数为_____．
88　[10个数据从小到大排列为80，87，88，89，91，92，93，95，95，96，
则10×25%＝2.5，故这组数据的下四分位数为88．]
88　
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13．已知sin (α－β)＝，且＝3，则cos (2α＋2β)＝________．
　[由＝＝＝3，
则sin αcos β＝3cos αsin β，
由sin (α－β)＝，得sin αcos β－cos αsin β＝，
　
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则2cos αsin β＝，即cos αsin β＝，sin αcos β＝，
所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＝，则cos (2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝．]
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14．将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如反比例函数y＝，“对勾”函数y＝x＋，“飘带”函数y＝x－等等，它们的图象都能由某条双曲线绕原点旋转得到．现将双曲线C1：＝1(a>0，b>0)绕原点旋转一个合适的角度，得到“飘带”函数y＝的图象C2，则双曲线C1的离心率为________．
题号
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　[“飘带”函数y＝的渐近线为y＝x与y轴，
设两渐近线夹角为α，则tan＝，解得tanα＝，
又tan α＝，整理得2tan2＋3tan－2＝0，
由0<α<，解得tan ＝，所以旋转之前双曲线C1的一条渐近线的斜率为k＝tan＝＝2，
所以双曲线C1的离心率e＝＝＝．]
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