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大题保分练2　概率统计、导数、解析几何、数列
(满分60分　建议用时60分钟)
解答题：本题共4小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．(13分)为了了解某地25～40岁居民的工资(单位：元)情况，研究人员随机抽取了部分居民进行调查，所得数据统计如下表所示：
单位：人
性别 工资是否超过3 500元 合计
工资超过3 500元 工资不超过3 500元
男性 200 180
女性 280 240
合计
(1)完善上述表格并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为工资的多少与居民的性别有关？
(2)以频率估计概率，若在该地所有居民中随机抽取3人，求至少2人工资超过3 500元的概率．
附：χ2＝．
xα 0.05 0.01 0.001
α 3.841 6.635 10.828
2．(15分)已知函数f(x)＝x2－a ln x(a>0)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋3平行，证明：f(x)>恒成立．
3．(15分)在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为＝．
(1)求C的方程；
(2)当AB不垂直x轴时，设线段AB的中垂线与x轴的交点为P，求|OP|．
4．(17分)在①Sn＝n2－2n；②a1＝1，an＋1＝；③2－1＝an这三个条件中，请选择一个合适的条件，补充在下面横线上(只写序号)，并解答该题．
已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且对任意正整数n，有________ ．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn＜1．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
大题保分练2
1．解：(1)完善表格如下表所示：
单位：人
性别 工资是否超过3 500元 合计
工资超 过3 500元 工资不 超过3 500元
男性 200 180 380
女性 280 240 520
合计 480 420 900
零假设为H0：工资的多少与居民的性别之间无关联．
则χ2＝≈0.13<3.841，
故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，可以认为H0成立，
即不能认为工资的多少与居民的性别有关联．
(2)由题意知，工资超过3 500元的概率P＝．
记“至少2人工资超过3 500元”为事件A，
所以P(A)＝．
2．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝2x－，令f'(x)＝0，解得x＝．
当0时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增．
所以f(x)的单调递减区间为．
(2)证明：由已知可得f'(1)＝2－a＝1，所以a＝1，
由(1)可知，函数f(x)在上单调递增，
因此函数f(x)的最小值为f，得证．
3．解：(1)由题意知，离心率e＝，可得a2＝2b2，①
因为当AB⊥x轴时，线段AB中点的横坐标为－1，
所以直线AB的方程为x＝－1，
因为|AB|＝，所以A，B的坐标分别为，
代入C的方程，可得＝1，②
联立①②解得b2＝1，a2＝2，
所以C的方程为＋y2＝1．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为Q(－1，y0)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
因为＝ 1，＝ 1，所以＝ 0，可得＝－(y1－y2)(y1＋y2)，
即，所以y0＝，可得Q，因为线段AB的中垂线与x轴的交点为P，设P(n，0)，
又AB⊥PQ，所以，
解得n＝－，所以|OP|＝．
4．解：(1)不能选条件①，因为当n＝1时，a1＝S1＝12－2＝－1<0，不符合题意．故不能选条件①．
选条件②，由an+1＝，
得Sn+1－Sn＝，
即()＝＝1，
则{}是首项为1，公差为1的等差数列，则＋(n－1)×1＝n，则Sn＝n2．
当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝2n－1，
当n＝1时，a1＝1满足上式．
所以{an}的通项公式为an＝2n－1，n∈N*．
选条件③，因为2＝an＋1，
所以Sn＝，
当n＝1时，2－1＝a1，解得a1＝1；
当n≥2时，Sn－Sn-1＝an＝，
即(an－an-1－2)(an＋an-1)＝0，
因为an>0，所以an－an-1＝2，
则{an}是首项为1，公差为2的等差数列，
所以{an}的通项公式为an＝2n－1．
(2)证明：因为bn＝，所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋＋…＋＝1－．
因为f(x)＝>0，且在x>0时单调递减，
所以Tn＝1－<1，且Tn在n>0时递增，并在n＝1时取得最小值，
所以≤Tn<1．
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大题保分练2　概率统计、导数、解析几何、数列
题号
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3
2
4
(满分60分　建议用时60分钟)
解答题：本题共4小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．(13分)为了了解某地25～40岁居民的工资(单位：元)情况，研究人员随机抽取了部分居民进行调查，所得数据统计如下表所示：
单位：人
性别 工资是否超过3 500元 合计
工资超过3 500元 工资不超过3 500元 男性 200 180
女性 280 240
合计
题号
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(1)完善上述表格并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为工资的多少与居民的性别有关？
(2)以频率估计概率，若在该地所有居民中随机抽取3人，求至少2人工资超过3 500元的概率．
附：χ2＝．
xα 0.05 0.01 0.001
α 3.841 6.635 10.828
题号
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题号
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[解]　(1)完善表格如下表所示：
单位：人
性别 工资是否超过3 500元 合计
工资超过3 500元 工资不超过3 500元 男性 200 180 380
女性 280 240 520
合计 480 420 900
题号
1
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4
零假设为H0：工资的多少与居民的性别之间无关联．
则χ2＝≈0.13<3.841，
故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，可以认为H0成立，
即不能认为工资的多少与居民的性别有关联．
(2)由题意知，工资超过3 500元的概率P＝＝．
记“至少2人工资超过3 500元”为事件A，
所以P(A)＝＝．
题号
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3
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4
2．(15分)已知函数f (x)＝x2－a ln x(a>0)．
(1)求函数f (x)的单调区间；
(2)若曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线与直线y＝x＋3平行，证明：f (x)>恒成立．
题号
1
3
2
4
[解]　(1)f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝2x－，令f ′(x)＝0，解得x＝．
当0时，f ′(x)>0，函数f (x)单调递增．
所以f (x)的单调递减区间为，单调递增区间为．
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(2)证明：由已知可得f ′(1)＝2－a＝1，所以a＝1，
由(1)可知，函数f (x)在上单调递减，在上单调递增，
因此函数f (x)的最小值为f ＝－ln ＝ln 2>ln ＝，得证．
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3．(15分)在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，A，B为C上两点，线段AB中点的横坐标为－1，当AB⊥x轴时，|AB|＝．
(1)求C的方程；
(2)当AB不垂直x轴时，设线段AB的中垂线与x轴的交点为P，求|OP|．
题号
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[解]　(1)由题意知，离心率e＝＝＝，可得a2＝2b2，①
因为当AB⊥x轴时，线段AB中点的横坐标为－1，所以直线AB的方程为x＝－1，
因为|AB|＝，所以A，B的坐标分别为，
代入C的方程，可得＝1，②
联立①②解得b2＝1，a2＝2，
所以C的方程为＋y2＝1．
题号
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(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为Q(－1，y0)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
因为＝1，所以＝0，
可得＝－(y1－y2)(y1＋y2)，
即＝－，所以y0＝，可得Q，
因为线段AB的中垂线与x轴的交点为P，设P(n，0)，
又AB⊥PQ，所以＝－，解得n＝－，所以|OP|＝．
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4．(17分)在①Sn＝n2－2n；②a1＝1，an＋1＝；③2－1＝an这三个条件中，请选择一个合适的条件，补充在下面横线上(只写序号)，并解答该题．
已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且对任意正整数n，有________ ．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn＜1．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
题号
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[解]　(1)不能选条件①，因为当n＝1时，a1＝S1＝12－2＝－1＜0，不符合题意．故不能选条件①．
选条件②，由an＋1＝，
得Sn＋1－Sn＝，即()()＝，则＝1，则{}是首项为1，公差为1的等差数列，则＝＋(n－1)×1＝n，则Sn＝n2．
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，当n＝1时，a1＝1满足上式．
所以{an}的通项公式为an＝2n－1，n∈N*．
题号
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选条件③，因为2＝an＋1，
所以Sn＝，
当n＝1时，2－1＝a1，解得a1＝1；
当n≥2时，Sn－Sn－1＝an＝，
即(an－an－1－2)(an＋an－1)＝0，
因为an＞0，所以an－an－1＝2，
则{an}是首项为1，公差为2的等差数列，
所以{an}的通项公式为an＝2n－1．
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(2)证明：因为bn＝＝＝，
所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋…＋＝1－．
因为f (x)＝＞0，且在x＞0时单调递减，
所以Tn＝1－＜1，且Tn在n＞0时递增，并在n＝1时取得最小值，所以≤Tn＜1．
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