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大题保分练4　三角函数、解析几何、立体几何、概率统计
(满分60分　建议用时60分钟)
解答题：本题共4小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．(13分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且(tan B－1)(tan C－1)＝2．
(1)求A；
(2)若tan A，tan B，tan C构成等差数列，且△ABC的面积为12，求a的值．
2．(15分)设A，B分别是直线y＝2x和y＝－2x上的动点，且|AB|＝4，动点P为线段AB的中点．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)已知线段EF是圆C：(x＋2)2＋y2＝1的一条直径，求的最大值．
3．(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，E，F分别为线段PB，CD的中点，PF＝BF．
(1)求证：PB⊥平面AEF；
(2)求二面角P-BF-A的余弦值．
4．(17分)篮球是一项深受大众喜欢的运动．
(1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到如表所示的2×2列联表，依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关？
单位：人
性别 篮球运动 合计
喜爱篮球运动 不喜爱篮球运动
男性 60 40 100
女性 20 80 100
合计 80 120 200
(2)某校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为Pn，即P1＝1．
①求P3；
②证明：数列为等比数列，并比较第9次与第10次触球者是甲的概率的大小．
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d．
α 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
大题保分练4
1．解：(1)因为(tan B－1)(tan C－1)＝2，
所以tan Btan C－tan B－tan C＋1＝2，
即tan Btan C＝1＋tan B＋tan C，
因此tan A＝－tan(B＋C)＝－＝1．
由于A∈(0，π)，因此A＝．
(2)由题意知，2tan B＝tan A＋tan C，
因此2tan B＝tan A－tan(A＋B)＝1－，解得tan B＝2，tan C＝3，
故B，C∈，
因此sin A＝，sin B＝，sin C＝．
则由正弦定理，可设a＝k，b＝2k，k>0，
故S＝absin C＝3k2＝12，解得k＝2，
因此a＝．
2．解：(1)∵A，B分别是直线y＝2x和y＝－2x上的动点，
∴设A(x1，2x1)，B(x2，－2x2)，P(x，y)，
∵点P为线段AB的中点，
则
又∵|AB|＝＝4，∴16x2＋y2＝16，即x2＋＝1，
∴动点P的轨迹方程为x2＋＝1．
(2)∵线段EF是圆C：(x＋2)2＋y2＝1的一条直径，∴圆心为C(－2，0)，半径为1，
∴·＝()·()＝()·()＝，
∴·＝(x＋2)2＋y2－1＝－15x2＋4x＋19＝－15，
∵－1≤x≤1，∴当x＝·．
3．解：(1)证明：在菱形ABCD中，由∠ABC＝60°，知△ACD为正三角形，又F为线段CD的中点，则AF⊥CD，即AF⊥AB，
∵PA⊥平面ABCD，AF 平面ABCD，
∴AF⊥PA，又PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，∴AF⊥平面PAB，又PB 平面PAB，∴PB⊥AF，∵PF＝BF，E为线段PB的中点，∴PB⊥EF，又AF∩EF＝F，AF，EF 平面AEF，∴PB⊥平面AEF．
(2)如图，以AB，AF，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则B(2，0，0)，P(0，0，2)，F(0，，0)，＝(2，0，－2)，＝(－2，，0)，
设n＝(x，y，z)为平面PBF的法向量，由
令x＝，则y＝2，z＝，即n＝(，2，)为平面PBF的一个法向量，
易知m＝(0，0，1)为平面BFA的一个法向量，
∴cos〈m，n〉＝，
由图可知二面角P-BF-A为锐二面角，故其余弦值为．
4．解：(1)零假设为H0：喜爱篮球运动与性别无关．
根据列联表数据，经计算得χ2＝>10.828＝x0.001．
根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为喜爱篮球运动与性别有关．
(2)①由题意得，第2次触球者为乙、丙中的一个，第2次触球者传给包括甲的二人中的一人，故传给甲的概率为，故P3＝．
②证明：第n次触球者是甲的概率记为Pn，则当n≥2时，第n－1次触球者是甲的概率为Pn-1，第n－1次触球者不是甲的概率为1－Pn-1，
则Pn＝(1－Pn-1)，
从而Pn－，又P1－≠0，
所以为首项，－为公比的等比数列，
所以Pn＝，
所以P9＝，
P10＝，所以P9>P10，故第9次触球者是甲的概率比第10次触球者是甲的概率大．
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大题保分练4　三角函数、解析几何、立体几何、概率统计
题号
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(满分60分　建议用时60分钟)
解答题：本题共4小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．(13分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且(tan B－1)(tan C－1)＝2．
(1)求A；
(2)若tan A，tan B，tan C构成等差数列，且△ABC的面积为12，求a的值．
题号
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[解]　(1)因为(tan B－1)(tan C－1)＝2，
所以tan B tan C－tan B－tan C＋1＝2，
即tan B tan C＝1＋tan B＋tan C，
因此tan A＝－tan (B＋C)＝－＝－＝1．
由于A∈(0，π)，因此A＝．
题号
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(2)由题意知，2tan B＝tan A＋tan C，
因此2tan B＝tan A－tan (A＋B)＝1－，
解得tan B＝2，tan C＝3，故B，C∈，
因此sin A＝，sin B＝，sin C＝．
则由正弦定理＝，可设a＝k，b＝2k，k＞0，
故S＝ab sin C＝3k2＝12，解得k＝2，因此a＝k＝2．
题号
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2．(15分)设A，B分别是直线y＝2x和y＝－2x上的动点，且|AB|＝4，动点P为线段AB的中点．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)已知线段EF是圆C：(x＋2)2＋y2＝1的一条直径，求·的最大值．
题号
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[解]　(1)∵A，B分别是直线y＝2x和y＝－2x上的动点，
∴设A(x1，2x1)，B(x2，－2x2)，P(x，y)，
∵点P为线段AB的中点，
则∴
又∵|AB|＝＝4，
∴16x2＋y2＝16，即x2＋＝1，∴动点P的轨迹方程为x2＋＝1．
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(2)∵线段EF是圆C：(x＋2)2＋y2＝1的一条直径，∴圆心为C(－2，0)，半径为1，
∴·＝()·()＝()·()＝－，
∴·＝(x＋2)2＋y2－1＝－15x2＋4x＋19＝－15＋，
∵－1≤x≤1，∴当x＝时，·取得最大值．
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3．(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，E，F分别为线段PB，CD的中点，PF＝BF．
(1)求证：PB⊥平面AEF；
(2)求二面角P-BF-A的余弦值．
题号
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[解]　(1)证明：在菱形ABCD中，由∠ABC＝60°，知△ACD为正三角形，又F为线段CD的中点，则AF⊥CD，即AF⊥AB，
∵PA⊥平面ABCD，AF 平面ABCD，
∴AF⊥PA，
又PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，
∴AF⊥平面PAB，又PB 平面PAB，∴PB⊥AF，
∵PF＝BF，E为线段PB的中点，∴PB⊥EF，
又AF∩EF＝F，AF，EF 平面AEF，
∴PB⊥平面AEF．
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(2)如图，以AB，AF，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则B(2，0，0)，P(0，0，2)，f (0，，0)，＝(2，0，－2)，＝(－2，，0)，
设n＝(x，y，z)为平面PBF的法向量，
由 得
令x＝，则y＝2，z＝，即n＝(，2，)为平面PBF的一个法向量，
易知m＝(0，0，1)为平面BFA的一个法向量，
∴cos 〈m，n〉＝＝＝，
由图可知二面角P-BF-A为锐二面角，故其余弦值为．
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4．(17分)篮球是一项深受大众喜欢的运动．
(1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到如表所示的2×2列联表，依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关？
单位：人
性别 篮球运动 合计
喜爱篮球运动 不喜爱篮球运动 男性 60 40 100
女性 20 80 100
合计 80 120 200
题号
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(2)某校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为Pn，即P1＝1．
①求P3；
题号
1
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②证明：数列为等比数列，并比较第9次与第10次触球者是甲的概率的大小．
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d．
α 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
题号
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题号
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[解]　(1)零假设为H0：喜爱篮球运动与性别无关．
根据列联表数据，经计算得
χ2＝＝>10.828＝x0.001．
根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为喜爱篮球运动与性别有关．
题号
1
3
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(2)①由题意得，第2次触球者为乙、丙中的一个，第2次触球者传给包括甲的二人中的一人，故传给甲的概率为，故P3＝．
②证明：第n次触球者是甲的概率记为Pn，则当n≥2时，第n－1次触球者是甲的概率为Pn－1，第n－1次触球者不是甲的概率为1－Pn－1，
则Pn＝(1－Pn－1)，
从而Pn－＝－，又P1－＝≠0，
题号
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所以是以为首项，－为公比的等比数列，
所以Pn＝＋，
所以P9＝＋>，
P10＝＋<，所以P9>P10，故第9次触球者是甲的概率比第10次触球者是甲的概率大．
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