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简单考点自主练3　排列、组合、二项式定理、古典概型
一、单选题
1．(2025·广东一模)某学校为了了解学生美育培养的情况，用分层随机抽样方法抽样调查，拟从美术、音乐、舞蹈兴趣小组中共抽取30名学生，已知该校美术、音乐、舞蹈兴趣小组分别有20，30，50名学生，则不同的抽样结果共有(　　)
种 种
种 种
2．(2025·上海杨浦二模)3名同学报名参加社团活动，有4个社团可以报名，这些社团招收人数不限，但每位同学只能报名其中1个社团，则这3位同学可能的报名结果共有(　　)
A．6种 B．24种 C．64种 D．81种
3．[教材母题改编]已知(4x＋a)(1－2x)4的所有项的系数和为5，则x2的系数为(　　)
A．－32 B．－8 C．24 D．48
4．用0～9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为(　　)
A．720 B．648 C．320 D．328
5．为了抒写乡村发展故事、展望乡村振兴图景、演绎民众身边日常、唱出百姓幸福心声，某地组织了2025年“美丽乡村”节目汇演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，则歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出的概率为(　　)
A． B． C． D．
6．(2025·宁夏银川二模)将1，2，3，…，9这9个数字填在3×3的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小．若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为(　　)
A．12 B．24 C．36 D．48
7．如图，用 6 种不同的颜色把图中 A，B，C，D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有(　　)
A．400 种 B．460 种 C．480 种 D．496 种
8．(2025·河南郑州二模)某高校计划安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名教师到4所不同的高中学校进行宣讲，每个学校至少安排1人，其中甲、乙必须安排在同一个学校的概率为(　　)
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，则下列结论正确的是(　　)
A．第5项的二项式系数最大
B．所有项的系数之和为1
C．有且仅有第6项的系数的绝对值最大
D．展开式中共有4项有理项
10．下列说法正确的是(　　)
＝39
B．若(2x－1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋…＋a8＝0
C．5555被8整除的余数为1
D．1.0510精确到0.1的近似数为1.6
11．某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，其余班没有劳动模范．本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是(　　)
A．若1班不再分配名额，则共有种分配方法
B．若1班有除劳动模范之外的学生参加，则共有种分配方法
C．若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法
D．若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法
三、填空题
12．2 025的不同正因数的个数为________．
13．已知多项式(x＋1)3(2x－3)2＝a1(x－1)5＋a2(x－1)4＋a3(x－1)3＋a4(x－1)2＋a5(x－1)＋a6，则a1＋a3＋a5＝________．
14．的展开式中，常数项为________．
简单考点自主练3
1．C　[由题意，美术组要抽取的学生数为30×＝6，音乐组要抽取的学生数为30×＝9，舞蹈组要抽取的学生数为30×＝15，由分步乘法计数原理可知，不同的抽样结果为种．故选C．]
2．C　[由题意可得每位同学有4种选择，根据分步乘法计数原理，共有43＝64种．故选C．]
3．B　[由题意，在(4x＋a)(1－2x)4中，令x＝1，得所有项的系数和为(4＋a)×(1－2)4＝5，解得a＝1，
故(4x＋a)(1－2x)4＝4x(1－2x)4＋(1－2x)4的展开式中，
x2的系数为4×13×(－2)1＋×12×(－2)2＝－32＋24＝－8．故选B．]
4．D　[若个位数字为0，十位和百位的排法种数为9×8＝72；
若个位数字不为0，则确定个位数字有4种方法，确定百位数字有8种方法，确定十位数字有8种方法，
所以排法种数为4×8×8＝256．
所以可以组成256＋72＝328个没有重复数字的三位偶数．故选D．]
5．A　[因为歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，有＝120种排法，又六个节目演出，共有＝720种排法，由古典概型概率公式可知，所求概率为P＝．故选A．]
6．A　[由每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小，得9在左上角，1在右下角，如图，
2，3排在d，f位置，有种方法，
从余下的4个数字中任取2个按从左到右由大到小排在a，b位置，有种方法，最后两个数字从上到下由大到小排在c，e位置，有1种方法，所以填写方格表的方法共有×1＝12(种)．故选A．]
7．C　[完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色．
当使用4种颜色时，A有6种涂法，B有5种涂法，C有4种涂法，D有3种涂法，所以共有6×5×4×3＝360种方法；
当使用3种颜色时，A和D涂同一种颜色，共有6种涂法，B有5种涂法，C有4种涂法，所以共有6×5×4＝120种方法．
所以不同的涂法共有360＋120＝480种．故选C．]
8．A　[将这6名教师分成四组，再分配到不同的学校．若教师人数为3，1，1，1，则不同的安排方法种数为＝480种；
若教师人数为2，2，1，1，则不同的安排方法种数为＝1 080种．
故不同的安排方法共有480＋1 080＝1 560种．
将这6名教师分成四组，再分配到不同的学校，甲、乙安排在同一个学校，
若教师人数为3，1，1，1，则不同的安排方法种数为＝96种；
若教师人数为2，2，1，1，则不同的安排方法种数为＝144种，
故不同的安排方法共有96＋144＝240种．所以所求事件的概率为．故选A．]
9．AB　[对于A，展开式中共有9项，二项式系数最大的项为第5项，A正确；
对于B，取x＝1，得所有项的系数和为(1－2)8＝1，B正确；
对于D，展开式的通项Tk+1＝x8-k·＝(－2)k，k∈N，k≤8，
当k∈{0，2，4，6，8}时，Tk+1是有理项，共有5项有理项，D错误；
由
得
即解得5≤k≤6，
则k＝5或k＝6，因此第6项和第7项的系数的绝对值最大，C错误．故选AB．]
10．ABD　[对于A项，由二项式定理可知28＋…＋＝(2＋1)9＝39，故A项正确；
对于B项，令x＝0得a0＝1①，令x＝1得1＝a0＋a1＋a2＋…＋a8②，
由①②可得a1＋a2＋…＋a8＝0，故B项正确；
对于C项，5555＝(56－1)55＝5653－…＋560，
由此可得5555被8整除的余数为8－1＝7，故C项错误；
对于D项，1.0510＝(1＋0.05)10＝0.052＋…＋0.0510＝1＋0.5＋0.112 5＋…＝1.5＋0.112 5＋…，所以1.0510精确到0.1的近似数为1.6，故D项正确．
故选ABD．]
11．BD　[对于A，若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有种分配方法，故A错误；对于B，若1班有除劳动模范之外的学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有种分配方法，故B正确；对于C，D，若每个班至少3人参加，由于1班有2个劳模，故只需先满足每个班级有2个名额，还剩10个名额，再将10个名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额，故只需在10个名额中的9个空上放置5个隔板即可，故有＝126种，故C错误，D正确．故选BD．]
12.15　[因为2 025＝34×52，
则可设2 025的正因数为3m×5n，其中m∈{0，1，2，3，4}，n∈{0，1，2}，
由分步乘法计数原理可得2 025的不同正因数的个数为5×3＝15．]
13.9　[令x＝2可得33＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6，
令x＝0可得(－3)2＝－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6，
两式相减可得a1＋a3＋a5＝＝9．]
14．－873　[原问题可以理解为5个相乘，要想得到常数项，需要5个因式中出现x2，的展开式中，常数项为
··(－3)＋··(－3)3＋(－3)5＝30×(－3)＋20×(－3)3＋(－3)5＝－873．]
1/3(共27张PPT)
简单考点自主练3　排列、组合、二项式定理、古典概型
题号
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√
一、单选题
1．(2025·广东一模)某学校为了了解学生美育培养的情况，用分层随机抽样方法抽样调查，拟从美术、音乐、舞蹈兴趣小组中共抽取30名学生，已知该校美术、音乐、舞蹈兴趣小组分别有20，30，50名学生，则不同的抽样结果共有(　　)
A．种 B．种
C．种 D．种
题号
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C　[由题意，美术组要抽取的学生数为30×＝6，音乐组要抽取的学生数为30×＝9，舞蹈组要抽取的学生数为30×＝15，由分步乘法计数原理可知，不同的抽样结果为种．故选C．]
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2．(2025·上海杨浦二模)3名同学报名参加社团活动，有4个社团可以报名，这些社团招收人数不限，但每位同学只能报名其中1个社团，则这3位同学可能的报名结果共有(　　)
A．6种 B．24种 C．64种 D．81种
√
C　[由题意可得每位同学有4种选择，根据分步乘法计数原理，共有43＝64种．故选C．]
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3．[教材母题改编]已知(4x＋a)(1－2x)4的所有项的系数和为5，则x2的系数为(　　)
A．－32 B．－8 C．24 D．48
√
B　[由题意，在(4x＋a)(1－2x)4中，令x＝1，
得所有项的系数和为(4＋a)×(1－2)4＝5，解得a＝1，
故(4x＋a)(1－2x)4＝4x(1－2x)4＋(1－2x)4的展开式中，
x2的系数为×13×(－2)1＋×12×(－2)2＝－32＋24＝－8．故选B．]
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4．用0～9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为
(　　)
A．720 B．648 C．320 D．328
√
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D　[若个位数字为0，十位和百位的排法种数为9×8＝72；
若个位数字不为0，则确定个位数字有4种方法，
确定百位数字有8种方法，确定十位数字有8种方法，
所以排法种数为4×8×8＝256．
所以可以组成256＋72＝328个没有重复数字的三位偶数．
故选D．]
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5．为了抒写乡村发展故事、展望乡村振兴图景、演绎民众身边日常、唱出百姓幸福心声，某地组织了2025年“美丽乡村”节目汇演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，则歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出的概率为(　　)
A． B． C． D．
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A　[因为歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，有＝120种排法，又六个节目演出，共有＝720种排法，由古典概型概率公式可知，所求概率为P＝．故选A．]
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6．(2025·宁夏银川二模)将1，2，3，…，9这9个数字填在3×3的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小．若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为(　　)
A．12
B．24
C．36
D．48
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A　[由每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小，得9在左上角，1在右下角，如图，
2，3排在d，f位置，有种方法，
从余下的4个数字中任取2个按从左到右由大到小排在a，b位置，有种方法，最后两个数字从上到下由大到小排在c，e位置，有1种方法，所以填写方格表的方法共有×1＝12(种)．故选A．]
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7．如图，用 6 种不同的颜色把图中 A，B，C，D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有(　　)
A．400 种
B．460 种
C．480 种
D．496 种
√
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C　[完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色．
当使用4种颜色时，A有6种涂法，B有5种涂法，C有4种涂法，D有3种涂法，所以共有6×5×4×3＝360种方法；
当使用3种颜色时，A和D涂同一种颜色，共有6种涂法，B有5种涂法，C有4种涂法，所以共有6×5×4＝120种方法．
所以不同的涂法共有360＋120＝480种．
故选C．]
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8．(2025·河南郑州二模)某高校计划安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名教师到4所不同的高中学校进行宣讲，每个学校至少安排1人，其中甲、乙必须安排在同一个学校的概率为(　　)
A． B． C． D．
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A　[将这6名教师分成四组，再分配到不同的学校．若教师人数为3，1，1，1，则不同的安排方法种数为＝480种；
若教师人数为2，2，1，1，则不同的安排方法种数为＝
1 080种．
故不同的安排方法共有480＋1 080＝1 560种．
将这6名教师分成四组，再分配到不同的学校，甲、乙安排在同一个学校，
若教师人数为3，1，1，1，则不同的安排方法种数为＝96种；
若教师人数为2，2，1，1，则不同的安排方法种数为＝144种，
故不同的安排方法共有96＋144＝240种．所以所求事件的概率为．
故选A．]
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二、多选题
9．已知，则下列结论正确的是(　　)
A．第5项的二项式系数最大
B．所有项的系数之和为1
C．有且仅有第6项的系数的绝对值最大
D．展开式中共有4项有理项
√
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AB　[对于A，展开式中共有9项，二项式系数最大的项为第5项，A正确；
对于B，取x＝1，得所有项的系数和为(1－2)8＝1，B正确；
对于D，展开式的通项Tk+1＝x8-k＝(－2)k，k∈N，k≤8，
当k∈{0，2，4，6，8}时，Tk+1是有理项，共有5项有理项，D错误；
由得
即解得5≤k≤6，
则k＝5或k＝6，因此第6项和第7项的系数的绝对值最大，C错误．故选AB．]
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√
10．下列说法正确的是(　　)
＝39
B．若(2x－1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋…＋a8＝0
C．5555被8整除的余数为1
D．1.0510精确到0.1的近似数为1.6
√
√
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ABD　[对于A项，由二项式定理可知28＋…＋＝(2＋1)9＝39，故A项正确；
对于B项，令x＝0得a0＝1①，令x＝1得1＝a0＋a1＋a2＋…＋a8②，
由①②可得a1＋a2＋…＋a8＝0，故B项正确；
对于C项，5555＝(56－1)55＝5653－…＋560，
由此可得5555被8整除的余数为8－1＝7，故C项错误；
对于D项，1.0510＝(1＋0.05)10＝0.052＋…＋0.0510＝1＋0.5＋0.112 5＋…＝1.5＋0.112 5＋…，所以1.0510精确到0.1的近似数为1.6，故D项正确．
故选ABD．]
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11．某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，其余班没有劳动模范．本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是(　　)
A．若1班不再分配名额，则共有种分配方法
B．若1班有除劳动模范之外的学生参加，则共有种分配方法
C．若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法
D．若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法
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BD　[对于A，若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有种分配方法，故A错误；对于B，若1班有除劳动模范之外的学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有种分配方法，故B正确；对于C，D，若每个班至少3人参加，由于1班有2个劳模，故只需先满足每个班级有2个名额，还剩10个名额，再将10个名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额，故只需在10个名额中的9个空上放置5个隔板即可，故有＝126种，故C错误，D正确．故选BD．]
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三、填空题
12．2 025的不同正因数的个数为________．
15　[因为2 025＝34×52，
则可设2 025的正因数为3m×5n，其中m∈{0，1，2，3，4}，n∈{0，1，2}，
由分步乘法计数原理可得2 025的不同正因数的个数为5×3＝15．]
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13．已知多项式(x＋1)3(2x－3)2＝a1(x－1)5＋a2(x－1)4＋a3(x－1)3＋a4(x－1)2＋a5(x－1)＋a6，则a1＋a3＋a5＝________．
9　[令x＝2可得33＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6，
令x＝0可得(－3)2＝－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6，
两式相减可得a1＋a3＋a5＝＝9．]
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14．的展开式中，常数项为________．
－873　[原问题可以理解为5个相乘，要想得到常数项，需要5个因式中出现x2，的次数一致，余下因式取常数项即可，故的展开式中，常数项为
·(－3)＋·(－3)3＋(－3)5
＝30×(－3)＋20×(－3)3＋(－3)5＝－873．]
－873
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