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(共63张PPT)
创新考法 命题预测
新定义＋规律探究题型
A. 131 B. 130 C. 129 D. 128
A
B. 6 D. 3
A
3. （2025·宿迁模拟）我国古代数学中的
“杨辉三角”是重要的成就，它的发现比
欧洲早五百年左右，如图，这个三角形给
出了（a＋b）n（n＝1，2，3，4，5，6）
的展开式（按a的次数由大到小顺序排列）
的系数规律.例如，第三行的三个数1，2，
1，恰好对应（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着（a＋ b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4展开式中各项的系数.则（a＋b）6展 开式中各项系数的和为 .
64　
4. 观察下面的等式：42－22＝4×3，62－42＝4×5，82－62＝4×7，102－82 ＝4×9，…
（1）根据题目中规律的格式，写出202－182的结果为202－182 ＝ ；
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整 数）；
解： 根据上述等式，可得一般规律：第n个等式为（2n＋2）2－ （2n）2＝4（2n＋1）；
4×19　
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的.
解： 推理如下：等式左边＝（2n＋2）2－（2n）2＝4n2＋8n＋4－ 4n2＝8n＋4＝4（2n＋1）＝等式右边，故等式成立.
代数推理题型
5. （2024·成都）在综合实践活动中，数学兴趣小组对1～n这n个自然数 中，任取两数之和大于n的取法种数k进行了探究.发现：当n＝2时，只有 {1，2}一种取法，即k＝1；当n＝3时，有{1，3}和{2，3}两种取法，即k ＝2；当n＝4时，可得k＝4；….若n＝6，则k的值为 ；若n＝ 24，则k的值为 .
9　
144　
12或－4　
（1）求证：b2－12ac为非负数.
（2）若a，b，c均为奇数，m，n是否可以都为整数？说明你的理由.
过程性学习
9. （2025·贵州毕节模拟）习题课上，数学老师展示了解方程2（x－2）＝ （x－2）2时的两种错误解答过程：
甲：原方程可变形为：
2x－4＝x2＋4第一步
x2－2x＋8＝0第二步
x2－2x＋1＝9第三步
（x－1）2＝9第四步
则x－1＝±3第五步
∴x1＝4，x2＝－2第六步 乙：原方程可变形为：
2（x－2）－（x－2）2＝0第一步
（x－2）（2－x－2）＝0第二步
则x－2＝0或2－x－2＝0第三步
∴x1＝2，x2＝0第四步
（1）分别写出甲、乙的解答过程中是从第几步开始出现错误的；
解： 甲：原方程可变形为：2x－4＝x2－4x＋4第一步，故甲从第一 步开始出错；
乙：原方程可变形为：2（x－2）－（x－2）2＝0第一步，（x－2）（2 －x＋2）＝0第二步，故乙从第二步开始出错，∴甲从第一步开始出错， 乙从第二步开始出错.
（2）请写出正确的解答过程.
解： 2（x－2）＝（x－2）2（方法不唯一）
配方法：方程变形为：x2－6x＋8＝0，x2－6x＋9＝1，配方，得（x－3） 2＝1，则x－3＝1或x－3＝－1，x1＝4，x2＝2；
因式分解法：方程变形为：2（x－2）－（x－2）2＝0，（x－2）（2－x ＋2）＝0，则x－2＝0或4－x＝0，x1＝4，x2＝2.
10. 如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝OC. 求证：∠1＝∠2.
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠DOB＋∠B＝∠EOC＋∠C＝90°.
∵∠DOB＝∠EOC，
∴∠B＝∠C. ……第一步
又OA＝OA，OB＝OC，
∴△ABO≌△ACO. ……第二步
∴∠1＝∠2.……第三步
（1）小虎同学的证明过程中，第 步出现错误；
二　
（2）请写出正确的证明过程.
方法二：∵OD＝OE，∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠1＝∠2.
开放性试题
11. 下面的框中有一道应用题，但缺了一个条件.现有两个条件：
①如果买2个篮球和6个足球共需480元；
②如果买3个篮球和4个足球共需460元.
某体育用品店售卖一批篮球和足球.如果篮球与足球各买1个共需140 元；
（1）求一个篮球和一个足球的售价各是多少元.
（2）营业员在月底结算时发现售卖一个篮球获得的利润是售卖一个足球 获得利润的1.25倍.该店在这个月售卖了40个篮球和52个足球，共获利 816元，求一个篮球和一个足球的进价各是多少元.（利润＝售价－进价）
请你任选一．个．条件补充在上面的横线上（填序号），并按你补充的条件解 答（1）（2）两问.
解：选择条件①：
答：一个篮球的售价是90元，一个足球的售价是50元.
（2）设卖一个足球获得利润为a元，卖一个篮球获得的利润为1.25a元，
∴40×1.25a＋52a＝816，∴a＝8，
即卖一个足球获得利润为8元，卖一个篮球获得的利润为1.25a＝10元，
∴一个篮球的进价为90－10＝80（元），一个足球的进价为50－8＝42（元）.
答：一个篮球的进价为80元，一个足球的进价为42元.
选择条件②：
答：一个篮球的售价是100元，一个足球的售价是40元.
（2）设卖一个足球获得利润为a元，卖一个篮球获得的利润为1.25a元， ∴40×1.25a＋52a＝816，∴a＝8，即卖一个足球获得利润为8元，卖一 个篮球获得的利润为1.25a＝10元，∴一个篮球的进价为100－10＝90 （元），一个足球的进价为40－8＝32（元）.答：一个篮球的进价为90 元，一个足球的进价为32元.
12. （2025·泰州一模）如图，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，点B， E，C，F在同一直线上.
（1）从以下三个选项中：①∠ABC＝∠DEF＝90°，②AB＝DE，③ AC∥DF. 选择两个选项作为条件，使得结论△ABC≌△DEF成立，并写出 证明过程.
你选择的条件是 （填序号）.
①②或①③　
（2）连接CD，在（1）的条件下，请仅用无刻度的直尺作出CD的中点P （不写作法，保留作图痕迹）.
解： 如图，连接AF，其与CD的交点即为所 求作点P，∵△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠DFC，AC＝DF，∴AC∥DF， ∴∠PAC＝∠PFD，∠PCA＝∠PDF， ∴△APC≌△FPD（ASA），
∴PC＝DP，即点P是CD的中点.
跨学科应用
图1 图2
C
A. 实验开始时，冰块的温度为0 ℃
B. 加热1 min时，冰块的温度为－1 ℃
C. 加热2 min时，冰块的温度上升了4 ℃
D. 加热8 min后，温度计读数每分钟增加2 ℃
甲烷CH4 乙烷C2H6
A
丙烷C3H8
A. CnH2n＋2 B. CnHn＋1
C. CnH2n－2 D. CnHn＋3
图1 图2
图3 图4
（1）如图3，已知R1＝12 Ω，R3＝4 Ω，总电阻为12 Ω，求R2的值；
（2）如图4，已知R0为定值电阻，现有两个电阻R1和R2（R1＜R2），请问 如何摆放R1和R2的位置，能够使得总电阻最小？（在图中填写并证明）
图1 图2
图3 图4
16. （2025·吕梁模拟）跨学科学习：研究光的折射现象
学科背景：光从空气斜射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫作 光的折射.
学习目标1：光从空气斜射入水中时，入射角和折射角是否存在一次函数 关系；
学习过程1：如图1，当光从空气斜射入水中，折射光线向法线偏折，折射 角r小于入射角i.改变入射角i的大小，记录折射角r的大小.
图1 图2
数据记录：
入射角i（度） … 30 45 60 …
折射角r（度） … 22.3 32.7 42.1 …
学习目标2：为什么池水看起来比实际浅.
学习过程2：如图2，因为池底点A反射的光从水中
斜射向空气时会发生偏折，逆着折线光看去，就会
感觉这一点升高了.
图2
如图3，以水面所在直线为x轴，AA'所在直线为y轴，它们的交点为原点，建立平面直角坐标系.已知眼睛C的坐标为（5，2），点B的坐标为（2，0），点A的坐标为（0，－3）.（1个单位长度表示1 m）
图3
（1）光从空气斜射入水中时，入射角和折射角是否存在一次函数关 系？ （填“是”或“否”）.
（2）求人眼睛看到池底处的点A'比实际的点A处高多少？（即AA'的
长度）
否　
解决问题：
新定义探究
17. 在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣.借 助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算.
小米设计一种新运算“ ”，即对任意有理数a，b，满足如下规律： a b＝｜a＋b｜，称此种运算为“绝佳”运算.
例如，5 （－2）＝｜5＋（－2）｜＝3；（2）（－2） 4＝｜（－2） ＋4｜＝2.
【探究一：两个数“绝佳”运算】
（1）填空：①3 （－4）＝ ；
②（－4） 3＝ ；
1　
1　
满足
（2）①若3 x＝7，则x＝ ；
②若（－3） x＝x x，则x＝ ；
4或－10　
1或－3　
【探究二：三个数“绝佳”运算】
（3）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足 结合律.
18. （2025·百色模拟）【探究与证明】
【新定义】顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角 形”.
图1 图2 图3
（1）如图1，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶 点.则∠BAD
∠CAE（填“＞”“＜”或“＝”）；
＝　
（2）如图2，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶 点，连接BD，CE，试猜想线段BD，CE的大小关系，并证明你的结论；
图2
（3）如图3，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶 点，点D，点E均在△ABC外，连接BD，CE交于点M，连接AM，求 证：MA平分∠BME.
图3
19. （2024·甘孜州）【定义与性质】如图，记二次函数y＝a（x－b）2 ＋c和y＝－a（x－p）2＋q（a≠0）的图象分别为抛物线C和C1.
定义：若抛物线C1的顶点Q（p，q）在抛物线C上，则称C1是C的伴随 抛物线.
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点P （b，c）也在C1上.
【理解与运用】
2　
±1　
备用图
【思考与探究】
（2）设函数y＝x2－2kx＋4k＋5的图象为抛物线C2.
①若函数y＝－x2＋dx＋e的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物 线，求d，e的值；
②若抛物线C2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0）（x1＜ x2），请直接写出x1的取值范围.
x＝5，∴抛物线C0与x轴交于（－1，0），（5，0）两个点，当抛物线C2 的顶点在（－1，0）下方时，抛物线C2与x轴有两个交点，∴x1＜－1.
∵若C2是C0的伴随抛物线，则C0也是C2的伴随抛物线，即C0的顶点也在 C2上，∴（2，9）在C2上，当抛物线C2顶点在（5，0）下方时，2＜x1＜5. 综上所述，2＜x1＜5或x1＜－1.
项目式学习
20. （2025·日照模拟）项目式学习
项目主题：测量学校旗杆的高度
项目背景：国旗是国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感 受到祖国的伟大.同学们想知道学校旗杆的高度，但无法直接测量，学习 了勾股定理后，“创新”小组在老师的指导下，利用所学知识展开了项目 学习.
项目步骤：
测量工具 皮尺、旗杆顶端的绳子
模型
抽象
图1 图2
测量方
案及相
关数据 ①如图1，线段AB表示旗杆高度，将系在旗杆顶端的绳子垂直 到地面，并多出了一段BC，小乐同学用皮尺测出BC的长为 0.5 m；
②如图2，小新同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平 移动，直到绳子拉直为止，此时该同学直立于地面点E处，小 雷同学用皮尺测出BE的长为8 m；
③小新的身高为1.5 m.
问题解决：根据“创新”小组的测量方案及数据，要求出学校旗杆的高 度，“智慧”小组想到了过点D作DF⊥AB于点F，则BF＝DE＝1.5 m. 请根据“智慧”小组的思路完成下列问题：
（1）直接写出线段AB与AD之间的数量关系： ；
AB＋0.5＝AD　
（2）求出学校旗杆的高度.
图2
解：如图2，过点D作DF⊥AB于点F，设AB＝x m，则BF＝DE＝1.5 m，DF＝BE＝8 m，AF＝AB－BF＝（x－1.5）m，AD＝（x＋0.5） m，
在Rt△ADF中，由勾股定理，得AF2＋DF2＝AD2，
∴（x－1.5）2＋82＝（x＋0.5）2，
解得x＝16.5，∴AB＝16.5 m.
答：学校旗杆的高度为16.5 m.
21. （2025·吕梁二模）综合与实践
学习主题：探究电流最值
课题背景：数学在电工电子中有着广泛的应用，可以帮助工程师进行 电路设计和分析，控制系统设计，信号处理等工作，这些工作需要遵 循物理学的规律，我们知道函数是描述变化规律的一种数学模型，某 数学探究小组受电流和电压间关系式的启发，以“探究电流最值”为 主题展开项目式学习.
学习素材：
名称 内容 备注
素材1 用总长60 m的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积 S（单位：m2）随矩形一边长l（单位：m）的变 化而变化 课本例题
素材2 观察下列两个数的乘积，说明其中哪个积最 大.1×100，2×99，3×98，4×97，…， 99×2，100×1 课本数学活 动
名称 内容 备注
素材3 物理学知识
研究步骤：
Ⅰ.画出电路图.在如图1所示的电路中，R1＝2 Ω，R2＝3 Ω，滑动变阻器的 最大电阻R3＝5 Ω，其等效电路图如图2所示，其中RMP＋RNP＝R3.
Ⅱ.根据电路图连接实验器材，图略.
Ⅲ.闭合开关，在滑片从M端滑到N端的过程中，观察电流表的示数，记 录相关数据.
解决问题：
图1 图2
（1）在素材1中，当l＝ m时，场地的面积S最大.
（2）推测素材2中哪个式子的积最大，并用函数知识说明理由.
15　
（3）①若设RMP＝x Ω，总电阻为R总，则当x为何值时，R总有最大值？并 求出这个最大值.
②在①的条件下，电流表A的值为 .
2 A　
22. （2025·辽阳模拟）某学习小组在综合与实践活动课上进行平行线 及三角形外角知识的相关研究，制定项目式学习表如下，请你解答任 务中的问题：
任务 利用平行线的性质及三角形的外角性质进行角度计算和结论探究
日期 2024年11月25日
知识
储备 两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
问题解决
如图，△ABC是一个三角形的纸片，点D，E分别是△ABC边 AB，AC上的点，将△ABC沿直线DE折叠，使点A落在点A' 处.
图1 图2 图3
任务1 （1）如图1，若A'D∥AC，探究∠BDA'和∠CEA'的数量关系，并说明理由；
任务2 （2）如图2，若DE⊥AC，则∠BDA'与∠A的数量关系 是 ；
（3）如图3，若点A'落在AC下方，探究∠BDA'，∠CEA'和 ∠A的数量关系，并说明理由.
∠BDA'＝2∠A　
解：（1）∠BDA'＝∠CEA'，理由如下：
由折叠的性质知∠A'＝∠A，∵A'D∥AC，
∴∠BDA'＝∠A，∠CEA'＝∠A'，∴∠BDA'＝∠CEA'.
（3）∠BDA'－∠CEA'＝2∠A，理由如下：
如图，连接AA'，
由折叠的性质知∠DA'E＝∠BAC，DA'＝DA，EA'＝EA，
∴∠EA'A＝∠EAA'，∠DA'A＝∠DAA'，
∴∠BDA'＝∠DA'A＋∠DAA'＝2∠DAA'，∠CEA'＝ ∠EA'A＋∠EAA'＝2∠EAA'，
∴∠BDA'－∠CEA'＝2∠DAA'－2∠EAA'＝2∠A.

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