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第1章 二次根式
1.1二次根式的意义
（浙教版）八年级
下
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
板书设计
01
教学目标
01
02
03
理解二次根式的概念，会判断一个式子是否为二次根式.
理解二次根式有无意义的条件.
会求二次根式的被开方数中字母的取值范围．
02
新知导入
你能说出下列问题的结果吗？
（1）16的平方根是______，算术平方根是______.
（2）0的平方根是______，算术平方根是______.
（3）﹣2有没有平方根？有没有算术平方根？
±4
4
0
0
﹣2没有平方根，也没有算术平方根.
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根.
如果????2=a（x≥0），那么x称为a的算术平方根.
03
新知探究
根据如图所示的直角三角形、正方形和等腰直角三角形的条件，完成以下填空：
直角三角形的边长是： .
正方形的边长是： .
等腰直角三角形的的直角边长是 .
03
新知探究
【观察】这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2；
含有“ ”.
②被开方数为非负数.
二次根式的定义：
像????????+???? ,?????????,????????,???? 这样表示算术平方根的代数式叫二次根式.
?
03
新知探究
被开方数a≥0
根指数为2
????
?
二次根式
的两个必备特征
1.含有二次根号“ ”（根指数为 2）；
2.被开方数必须是非负数.
注意：a 可以是数，也可以是式.
03
新知讲解
练一练
（4） ； （5） .
下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
（1） ； （2）81； （3） ；
14
?
－0.8
?
－?????(x ≤ 0)
?
35
?
二次根式
是否含二次根号
被开方数是不是非负数
√
×
×
√
×
03
新知讲解
二次根式的识别方法：
判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征：
(1)含根号且根指数为2(通常省略不写)；
(2)被开方数(式)为非负数．
注意 二次根式是在初始的外在形式上定义的，不能从化简结果上判断，如????是二次根式.像????+1（a≥0）这样的式子只能称为含有二次根式的式子，不能称为二次根式.
?
03
新知探究
【思考】
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
x可以为任意实数
x≥0
x可以为任意实数
x＞0
x＞﹣1
x≤1且x≠0
要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为0.
03
新知探究
(1)单个二次根式如 有意义的条件：A≥0；
(2)多个二次根式相加如 有意义的
条件：
(3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件：A＞0；
(4)二次根式与分式的和如 有意义的条件：A≥0且B≠0.
归纳总结
03
新知讲解
例1
求下列二次根式中字母a的取值范围.
解：(1)由 a+1≥0，得 a≥ -1，所以字母a的取值范围是大于或等于- 1的实数.
(2)因为无论a取何值，都有(a-3) 2 ≥ 0,所以a的取值范围是全体实数.
(3)由?????????????????> 0，得 1 - 2a > 0，即 a?
(1)????+???? (2)(?????????)???? (3)?????????????????
?
03
新知讲解
例2
当x=-4时，求二次根式?????????????的值.
?
解：将x=-4代入二次根式，得?????????????=?????????×?????=????=????
?
04
课堂练习
基础题
2.????,????????????,????,????????????,????????????+????,??????????????????,中属于二次根式的是（ ）
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
?
1.如果?????????是二次根式，那么x应满足的条件是（ ）
A.x≠2的实数 B.x≤2的实数 C.x≥2的实数 D.x＞0且x≠2的实数
?
B
C
04
课堂练习
基础题
3. 当a＝－3时，????????????? 的值是?　4　.
?
4　
4．若y=?????????+?????????+????,则????????= .
?
9
04
课堂练习
基础题
5. 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）????????? ；
?
解：x≥2
（2） ????????+???? ；
?
解：x≥－????????
?
（3）????????+???? ；
?
解：x＞－1
（4） ????????????? ；
?
解：x≥4
04
课堂练习
提升题
1. 当x≥3时，式子????????????? 一定有意义，则实数m的取值范围是（　C　）
?
A. m＝9
B. m≤3
C. m≤9
D. m≥9
C
2. 使式子????????????? 有意义的最小整数a的值为?　3　.
3. 已知一个直角三角形的面积为12S，两条直角边的长之比为3∶4，则这个直角三角形的两条直角边的长分别为?　3 　，　3 　（用含S的式子表示）.
?
3　
3???????? 　
?
4???????? 　
?
04
课堂练习
拓展题
请判断是否存在整数a，使它同时满足下列条件：① 式子????????????? 和????????????? 在实数范围内均有意义；② ???? 的值仍为整数；③ 若b＝???? ，则???? 也是整数.若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由.
?
解：存在　由条件①，可得&?????????????≥????，&?????????????≥????， 解得13≤a≤20.
∴ 整数a的取值可能为13，14，15，16，17，18，19，20.
其中，符合条件②的整数a只有16，且a＝16同时符合条件③.
∴ a的值为16
?
05
课堂小结
二次根式
定义
在有意义条件下求字母的取值范围
含有二次根号
被开方数为非负数
被开方数≥0
分母≠0
06
板书设计
1.1二次根式的意义
1.二次根式的定义：
2.二次根式的取值范围：
Thanks!
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