资源简介

14.2 三角形全等的判定
第一课时 利用两边及其夹角判定三角形全等（SAS）
学习目标及重难点
1.理解并掌握三角形全等判定“边角边”条件的内容.
2.会用“边角边”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用．
3.了解“边边角”不能作为两个三角形全等的条件．
性质和判定是几何研究的主要内容. 在上一节，我们学习了全等三角形的性质，知道了全等三角形的对应边相等，对应角相等.
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△????????????≌△????′????′????′
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????????=????′????′，????????=????′????′，????????=????′????′，
∠????=∠????′， ∠????=∠????′，∠????=∠????′.
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性质和判定是几何研究的主要内容. 在上一节，我们学习了全等三角形的性质，知道了全等三角形的对应边相等，对应角相等.
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△????????????≌△????′????′????′
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探索 1：三角形全等的判定条件
三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.
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△????????????≌△????′????′????′
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△????????????≌△????′????′????′
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????????=????′????′，????????=????′????′，????????=????′????′，
∠????=∠????′， ∠????=∠????′，∠????=∠????′.
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问题1：一定要满足三条边分别相等，三个角也分别相等，才能保证两个三角形全等吗？上述六个条件中，有些条件是相关的. 能否在上述六个条件中选择部分条件，简捷地判定两个三角形全等呢?
探究1：先任意画出一个△????????????. 再画一个△????′????′????′，使△????????????与△????′????′????′ 满足上述六个条件中的一个(一边或一角分别相等)或两个(两边、一边一角或两角分别相等). 你画出的△????′????′????′与△????????????一定全等吗?
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一边相等
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探究1：先任意画出一个△????????????. 再画一个△????′????′????′，使△????????????与△????′????′????′ 满足上述六个条件中的一个(一边或一角分别相等)或两个(两边、一边一角或两角分别相等). 你画出的△????′????′????′与△????????????一定全等吗?
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一角相等
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探究1：先任意画出一个△????????????. 再画一个△????′????′????′，使△????????????与△????′????′????′ 满足上述六个条件中的一个(一边或一角分别相等)或两个(两边、一边一角或两角分别相等). 你画出的△????′????′????′与△????????????一定全等吗?
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两边相等
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探究1：先任意画出一个△????????????. 再画一个△????′????′????′，使△????????????与△????′????′????′ 满足上述六个条件中的一个(一边或一角分别相等)或两个(两边、一边一角或两角分别相等). 你画出的△????′????′????′与△????????????一定全等吗?
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一边一角相等
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探究1：先任意画出一个△????????????. 再画一个△????′????′????′，使△????????????与△????′????′????′ 满足上述六个条件中的一个(一边或一角分别相等)或两个(两边、一边一角或两角分别相等). 你画出的△????′????′????′与△????????????一定全等吗?
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两角相等
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探究1：先任意画出一个△????????????. 再画一个△????′????′????′，使△????????????与△????′????′????′ 满足上述六个条件中的一个(一边或一角分别相等)或两个(两边、一边一角或两角分别相等). 你画出的△????′????′????′与△????????????一定全等吗?
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通过画图容易举出△????????????和△????′????′????′不全等的例子,因此满足上述六个条件中的一个或两个，△????????????与△????′????′????′不一定全等.
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问题2： 满足上述六个条件中的三个，能保证△????????????与△????′????′????′全等吗?
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三边
两边一角
两角一边
三角
两边及夹角
两边和其中一边的对角
两角及夹边
两角和其中一角的对边
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探究2：如图，直观上，如果∠????，????????，????????的大小确定了，△????????????的形状、大小也就确定了.也就是说，在△????′????′????′ 与△????????????中，如果∠????′=∠????，????′????′=????????，????′????′=????????，那么△????′????′????′≌△????????????.这个判断正确吗?
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① 如图，由 ∠????′ =∠ ???? 可知,如果使点 ????′ 与点 ???? 重合，并使射线 ????′????′ 与射线 ???????? 重合，那么射线 ????′????′ 与射线 ???????? 重合.
② 由 ????′????′ = ????????， ????′????′ = ????????，可知点 ????′，????′ 分别与点 ????，???? 重合.
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( )
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????′????′=????????
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∠????′=∠????
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????′????′=????????
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????′????′=????????
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∠????′=∠????
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????′????′=????????
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这样，△????′????′????′ 的三个顶点与△???????????? 的三个顶点分别重合.
△????′????′????′ 与△???????????? 能够完全重合.
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△????′????′????′≌△????????????
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????′????′=????????
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∠????′=∠????
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????′????′=????????
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两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
（ 可以简写成“边角边”或“SAS”）
符号语言：在△???????????? 与 △????′????′????′ 中
????????=????′????′∠????=∠????′????????=????′????′
∴△????????????≌△????′????′????′(????????????).
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必须是两边“夹角”
基本事实
归纳总结
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
（ 可以简写成“边角边”或“SAS”）
基本事实
因为全等三角形的对应边相等、对应角相等，所以在证明线段相等或角相等时，可以通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.
归纳总结
分析: 如果能证明△????????????≌△????????????，就可以得出∠????=∠????.
由题意可知，△????????????与△????????????具备“边角边”的条件.
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例1: 如图，????????=????????，???????? 平分∠????????????，求证∠????=∠????.
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证明：∵????????平分∠????????????，
∴∠????????????=∠????????????.
在△????????????和△????????????中，
????????=????????， ∠????????????=∠????????????，????????=????????，
∴△????????????≌△????????????(SAS).
∴∠????=∠????.
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????????既是△????????????的边又是△????????????的边.我们称它为这两个三角形的公共边.
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如图所示，????????与????????相交于点????，A????=????????，????????=????????.
试说明: ∠????=∠????.
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解:在△????????????和△????????????中,
????????=????????, (已知)
∠????????????=∠????????????,（对顶角相等）
????????=????????, (已知)
∴△????????????≌△????????????,（SAS）
∴∠????=∠????.
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随堂小练习
想一想：如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△????????????.固定住长木棍，转动短木棍，得到△????????????.这个实验说明了什么？
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B
A
C
D
反例：如图，在△????????????和△????????????中，
????????=????????，????????=????????，∠????=∠????，
但△????????????与△????????????显然不全等.
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有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.
思考：我们知道，如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等. 如果两个三角形的两边和其中一边的对角分别相等，那么这两个三角形全等吗?
问题2： 满足上述六个条件中的三个，能保证△????????????与△????′????′????′全等吗?
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三边
两边一角
两角一边
三角
两边及夹角
两边和其中一边的对角
两角及夹边
两角和其中一角的对边
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????
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1.下列与如图所示的三角形全等的是( )
D
A.①② B.②③ C.①③ D.只有①
习题1
2.如图，点????在∠????????????的平分线上，若能用“SAS”判定△????????????≌△???????????? ，
则需添加的一个条件是_______________.
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????????=????????
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习题2
3.如图，点????是△????????????的边????????延长线上一点，????????=????????，????????∥????????，????????=????????.
求证:????????= ????????.
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证明: ∵????????∥????????，
∴∠????????????=∠????????????，
在△????????????和△????????????中，
????????=????????， ∠????????????=∠????????????，????????=????????，
∴△????????????≌△????????????(SAS),
∴????????=????????.
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习题3
解：∵????????=????????，
∴????????+????????=????????+????????，
∴????????=????????.
在△????????????和△????????????中，
????????=????????， ∠????=∠????， ????????=????????，
∴△????????????≌△????????????(SAS).
∴∠????=∠????.
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4.如图，点????，????在????????上，????????=????????，????????=????????，∠????=∠????.
求证∠????=∠????.
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习题4
解：在△????????????和△????????????中，
????????=????????， ∠????????????=∠????????????，????????=????????，
∴△????????????≌△????????????(SAS).
∴????????=????????，
∴量出????????的长就是????，????的距离.
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5.如图，有一池塘，要测池塘两端????，????的距离，可先在平地上取一个点????，从点????不经过池塘可以直接到达点????和点????.连接????????并延长到点????，使????????=????????.连接????????并延长到点????，使????????=????????.连接????????，那么量出????????的长就是????，????的距离.为什么?
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习题5
三角形全等的判定
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”).
为证明线段和角相等提供新的证法.
内容
边角边
1.已知两边，必须找夹角；
2.已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边.
应用
注意

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