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第二章
方程与不等式
第5讲
一次方程(组)及应用
广东省卷近年中考数学命题分析
命题点 2025 2024 2023 2022 2021
解一元一次方程
一元一次方程的应用
解二元一次方程组 题 16(2)，2 分 题 23(1)，2 分 题 11，4 分
二元一次方程组的应用 题 19，9 分
2022新课标
重要变化 ①能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程(改动)；理解方程解的意义(新增).
②掌握代入(删除)消元法和加减消元法(删除)，能解二元一次方程组.
1.若代数式 x＋2 的值为 7，则 x 等于(
)
C
A.9
B.－9
C.5
D.－5
2.(传统文化)(2025 连云港)《九章算术》中有一个问题：“今
有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，
问何日相逢？”(凫：野鸭.所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海
同时起飞，经过多少天能够相遇？”)如果设经过 x 天能够相遇，
)
根据题意，得(
A
3.下列四组数中，不是二元一次方程 2x＋y＝4 的解的是(
)
D
解：①＋②，得 5x＝15，解得 x＝3，
将 x＝3 代入①，得 3×3＋y＝8，解得 y＝－1，
类别 材料
彩色纸/张 细木条/捆
手工艺品 A 5 3
手工艺品 B 2 1
5.(2025 浙江)手工社团的同学制作两种手工艺品 A 和 B，需要
用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表.
如果一共用了 17 张彩色纸和 10 捆细木条，问他们制作的两
种手工艺品各有多少个？设手工艺品 A 有 x 个，手工艺品 B 有 y
个，则 x 和 y 满足的方程组是(
)
C
1.一元一次方程的有关概念
(1)只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 1 的整式方程，
叫做一元一次方程.其一般形式是 ax＋b＝0(a，b 为常数，且 a≠0).
(2)使方程中等号左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方
程的解.方程的解又叫做方程的根.
回练课本
不是
是
1.判断方程的解：(填“是”或“不是”)
(1)x＝2________方程 3x＋(10－x)＝20 的解；
(2)x＝2________方程 4x＋6＝7x 的解.
2.一元一次方程的解法
(1)解法的依据是等式的基本性质.
性质①：若 a＝b，则 a±m＝b±m；
性质②：若 a＝b，则 am＝bm；
(2)解法的一般步骤：
①去分母；②去括号；③移项；
④合并同类项；⑤未知数的系数化为 1.
回练课本
2.解下列方程：
(1)4x－2＝3－x；
(1)x＝1
(2)x＝8
3.二元一次方程组
(2)二元一次方程组的解法：
基本思想：消元思想，二元
一元.
①用代入法解二元一次方程组的一般步骤：
a.从方程组中任选一个方程，将方程中的一个未知数用含有另
一个未知数的代数式表示出来；
b.将这个代数式代入另一个方程，消去一个未知数，得到只含
有一个未知数的一元一次方程；
c.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
d.将所求得的未知数的值代入原方程组的任一方程中，求出另
一个未知数的值，从而得到方程组的解.
②用加减法解二元一次方程组的一般步骤：
a.方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数不互为相反
数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使它们中同一个未
知数的系数相等或互为相反数；
b.把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到
一个一元一次方程；
c.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
d.将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出
另一个未知数的值，从而得到方程组的解.
回练课本
3.解下列方程组：
4.一次方程(组)的应用
(1)解应用题的步骤：①审清题意；②找等量关系；③设未知
数；④列方程(组)；⑤解方程(组)；⑥验根；⑦作答.
(2)应用题的常见类型：
①工作(或工程)问题：工作量＝工作效率×工作时间；
②利息问题：利息＝本金×利率×期数；本息和＝本金＋利
息；
③行程问题：路程＝速度×时间；其中，相遇问题：s甲＋s乙
＝s总；
追及问题：(同地异时)前者走的路程＝追者走的路程；
(异地同时)前者走的路程＋两地间的距离＝追者走的路程；
④航行问题：v顺＝v静＋v水；v逆＝v静－v水；
利润
⑤利润问题：利润＝售价－进价；利润率＝
进价
×100%；
⑥数字问题：两位数＝10×十位数字＋个位数字；
三位数＝100×百位数字＋10×十位数字＋个位数字；
⑦增长率问题：增长后的量＝基础量×(1＋增长率).
回练课本
4. 一支部队第一天行军 4 h ，第二天行军 5 h ，两天共行军
98 km，且第一天比第二天少走 2 km.第一天和第二天行军的平均
速度分别是多少？
解：设第一天和第二天行军的平均速度分别是 x km/h，y km/h.
答：第一天和第二天行军的平均速度分别是 12 km/h，10 km/h.
一元一次方程及其应用
1.若关于 x 的一元一次方程 2x＋m＝5 的解为 x＝1，则 m 的值
为(
)
A
A.3
B.－3
C.7
D.－7
2.(2025 西安三模)太阳镜，也称遮阳镜，在光线较强的地方佩
戴太阳镜可以减轻强光对眼睛的刺激.一个太阳镜由两个镜片和一
个镜架组成.某工厂现共有 36 名工人，平均每人每天生产 70 个镜
架或 100 个镜片.应该如何分配工人才能使每天生产的镜架和镜片
恰好配套？
解：设分配 x 名工人生产镜架，则有(36－x)人生产镜片，
由题意得 70x＝
100(36－x)
2
，解得 x＝15，
∴36－15＝21(人).
答：分配 15 名工人生产镜架，21 名工人生产镜片.
二元一次方程组及其应用
解：①×2＋②，得 5x＝25，解得 x＝5，
将 x＝5 代入①，得 5－2y＝1，解得 y＝2，
解二元一次方程组的方法选择：①当方程组中某一个未知数
的系数是1 或者－1时，选用代入消元法；②当方程组中同一个未
知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法；③当两个方
程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法.
A.0
B.1
C.2
D.3
B
5.如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由 10 块形状大小相同的
长方形墙砖砌成.
(1)求一块长方形墙砖的长和宽；
(2)求电视背景墙的面积.
解：(1)设一块长方形墙砖的长为 x m，宽为 y m.
答：一块长方形墙砖的长为 1.2 m，宽为 0.3 m.
(2)2×1.2×1.5＝3.6(m2).
答：电视背景墙的面积为 3.6 m2.
6.(2025 吉林)吉林省长白山盛产人参.为促进我省特色经济的
发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、
乙两种商品的售价分别为每盒 25 元和 20 元.某游客购买了甲、乙
两种商品共10 盒，花费 230元.求该游客购买甲种商品和乙种商品
的盒数.
解：设游客购买甲种商品 x 盒，购买乙种商品 y 盒，
答：游客购买甲种商品 6 盒，购买乙种商品 4 盒.
7.(2022 深圳)张三经营了一家草场，草场里面种植有上等草和
下等草.他卖五捆上等草的根数减去 11 根，就等于七捆下等草的根
数；卖七捆上等草的根数减去 25 根，就等于五捆下等草的根数.设上
等草一捆为 x 根，下等草一捆为 y 根，则下列方程组正确的是(
)
C
8.(2022 广东)《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生
要凑钱购买 1 本.若每人出 8 元，则多了 3 元；若每人出 7 元，则
少了 4 元.问学生人数和该书单价各是多少？
解：设学生有 x 人，该书单价为 y 元，
答：学生有 7 人，该书单价为 53 元.
运算能力特训——计算能力
一次方程(组)的实际应用
9.中国陶瓷闻名世界，某陶瓷厂生产某种茶具，其茶具生产车
间共有 25 名工人生产茶壶和茶杯.
(1)该种茶具由 1 个茶壶和 6 个茶杯配成一套.已知一名工人一
天可以生产 3 个茶壶或 7 个茶杯，要使一天生产的茶壶和茶杯正
好配套，应分别安排多少名工人生产茶壶和茶杯？
解：设应安排 x 名工人生产茶壶，则安排(25－x)名工人生产
茶杯，
根据题意，得 6×3x＝7(25－x)，解得 x＝7，
∴25－x＝25－7＝18(名).
答：应安排 7 名工人生产茶壶，18 名工人生产茶杯.
(2)该陶瓷厂将生产完成的一批茶具用甲、乙两车运输到某市
场进行销售，甲车比乙车先出发 0.5 h，乙车出发 1 h 后，甲车在
乙车前方 15 km 处，假设运输过程中两车均匀速行驶，且乙车的
速度比甲车快 10 km/h，求两车的速度.
解：设甲车的速度为 a km/h，则乙车的速度为(a＋10)km/h，
根据题意，得 1.5a－1×(a＋10)＝15，解得 a＝50，
∴a＋10＝60(km/h).
答：甲车的速度为 50 km/h，乙车的速度为 60 km/h.
(3)某批次的茶具在销售时，若 2 个茶壶的售价与 5 个茶杯的
售价相同，3 个茶壶的售价比 7 个茶杯的售价多 3 元，求茶壶与茶
杯每个的售价各为多少元.
解：设每个茶壶的售价为 m 元，每个茶杯的售价为 n 元，
答：每个茶壶的售价为 15 元，每个茶杯的售价为 6 元.
(4)茶具销售分为套装销售和散装销售，套装销售即 1 个茶壶
与 6 个茶杯一起出售，套装售价为 45 元，已知茶壶和茶杯每个的
成本为 12 元和 3 元.国庆期间，厂家对套装销售进行打折促销，且
保证最终利润率为 20%，求厂家是按售价的几折进行销售.
解：设厂家是按售价的 y 折进行销售，
解得 y＝8.
答：厂家是按售价的八折进行销售.
1.(2025 贵州)已知 x＝2 是关于 x 的方程 x＋m＝7 的解，则 m
的值为(
)
A.3
B.4
C.5
D.6
2.下列运用等式的性质变形正确的是(
)
C
C
3.(数学文化)《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中
记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年 3 亩 1 钱，
第二年 4 亩 1 钱，第三年 5 亩 1 钱.三年共得 100 钱.问：出租的田
有多少亩？设出租的田有 x 亩，可列方程为(
)
B
4.若 9－4m 与 m 互为相反数，则 m＝________.
3
5.若方程 2x－m＝1 和方程 3x＝2(x－2)的解相同，则 m 的值
为________.
－9
6.解方程：2(x－1)－3＝x.
解：2(x－1)－3＝x，2x－2－3＝x，
2x－x＝2＋3，x＝5.
解：①－②，得 4y＝4，解得 y＝1，
将 y＝1 代入①，得 2x＋1＝7，解得 x＝3，
解：①×4＋②，得 11x＝22，解得 x＝2，
把 x＝2 代入①，得 4－y＝5，解得 y＝－1，
8.(跨学科融合)钢琴素有“乐器之王”的美称.键盘上白色琴
键和黑色琴键共有 88 个，白色琴键比黑色琴键多 16 个.求白色琴
键和黑色琴键的个数.
解：设白色琴键的个数为 x 个，黑色琴键的个数为 y 个，
答：白色琴键的个数为 52 个，黑色琴键的个数为 36 个.
9.(2025 凉山州)若(3x＋2y－19)2＋|2x＋y－11|＝0，则 x＋y 的
平方根是(
)
C
10.近年来光伏建筑一体化广受关注.某社区拟修建 A，B 两种
光伏车棚.已知修建 2 个 A 种光伏车棚和 1 个 B 种光伏车棚共需投
资 8 万元，修建 5 个 A 种光伏车棚和 3 个 B 种光伏车棚共需投资
21 万元.
(1)修建每个 A 种，B 种光伏车棚分别需投资多少万元？
(2)若修建 A，B 两种光伏车棚共 20 个，要求修建的 A 种光伏
车棚的数量不少于修建的 B 种光伏车棚数量的 2 倍，问至少修建
A 种光伏车棚多少个？
解：(1)设修建每个 A 种光伏车棚需投资 x 万元，修建每个 B
种光伏车棚需投资 y 万元，
答：修建每个 A 种光伏车棚需投资 3 万元，修建每个 B 种光
伏车棚需投资 2 万元.
(2) 设修建 A 种光伏车棚 m 个，则修建 B 种光伏车棚(20 －
m)个，
∵m 为正整数，∴m 的最小值为 14.
答：至少修建 A 种光伏车棚 14 个.
11.(跨学科融合)为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号
召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了 A，B 两种
食品作为午餐.这两种食品每包质量均为 50 g，营养成分表如下.
(1)若要从这两种食品中摄入 4 600 kJ 热量和 70 g 蛋白质，应
选用 A，B 两种食品各多少包？
(2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多.若每份
午餐选用这两种食品共 7 包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低
于 90 g，且热量最低，应如何选用这两种食品？
解：(1)设选用 A 种食品 x 包，B 种食品 y 包，
答：应选用 A 种食品 4 包，B 种食品 2 包.
(2)设选用 A 种食品 m 包，则选用 B 种食品(7－m)包，
根据题意得 10m＋15(7－m)≥90，解得 m≤3.
设每份午餐的总热量为 w kJ，则 w＝700m＋900(7－m)，
即 w＝－200m＋6 300，
∵－200＜0，∴w 随 m 的增大而减小，
∴当 m＝3 时，w 取得最小值，此时 7－m＝7－3＝4.
答：应选用 A 种食品 3 包，B 种食品 4 包.

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