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第7讲
一元二次方程及应用
广东省卷近年中考数学命题分析 命题点 2025 2024 2023 2022 2021
一元二次方程的解 题 14，3 分 题 14，4 分
解一元二次方程
一元二次方程 根的判别式 题 13，3 分 题 13，3 分
一元二次方 程的应用 题 7，3 分
2022新课标 重要变化 了解一元二次方程的根与系数的关系.(删除“*”，改为必学) 1.方程 x2＝1 的根是(
)
C
A
A.x＝1
B.x＝－1
C.x＝±1
D.x＝±2
)
2.关于 x 的一元二次方程 x2＋mx－8＝0 的根的情况是(
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
3.若关于 x 的一元二次方程 x2＋3x－a＝0 有两个不相等的实
数根，则 a 的取值范围是________.
D
4.(2025 湖北)一元二次方程 x2－4x＋3＝0 的两个实数根为 x1，
)
x2，下列结论正确的是(
A.x1＋x2＝－4
C.x1x2＝4
B.x1＋x2＝3
D.x1x2＝3
5.解方程：x2－6x＋5＝0.
解：移项，得 x2－6x＝－5，
方程两边都加上 9，得 x2－6x＋9＝－5＋9，
即(x－3)2＝4，则 x－3＝±2，所以 x1＝5，x2＝1.
6.(传统文化)(2025 辽宁)中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘
除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，
问长多阔几何.”其大意是：一块矩形田地的面积为 864 平方步，
只知道它的长与宽共 60 步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形
的宽为 x 步，根据题意可列方程为(
)
A
A.x(60－x)＝864
C.x(60＋x)＝864
B.x(x－60)＝864
D.2[x＋(x＋60)]＝864
1.一元二次方程
(1)概念：只含有一个未知数，未知数的最高次数是二次，且
二次项系数不为 0 的整式方程，叫做一元二次方程.
(2)一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中 ax2
叫做二次项，bx 叫做一次项，c 叫做常数项，a 是二次项的系数，
b 是一次项的系数，注意 a≠0.
a≠－1
1
－1
－5
回练课本
1.(1)若(a＋1)x2－4x－1＝0 是关于 x 的一元二次方程，则 a 满
足________；
(2)方程 x2－x＝5 的二次项的系数是________，一次项的系数
是________，常数项是_________.
2.一元二次方程的解法
(1)基本思路：降次.
(2)方法：
①直接开平方法：(x＋m)2＝n(n≥0)的根是_______________；
②配方法：将 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)化成__________________
的形式，当____________时，用直接开平方法求解；
③公式法：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为 x＝__________
___________________________；
b2－4ac≥0
回练课本
2.解下列方程：
(1)x2＋2x＝0；
(2)x2＋x－12＝0.
(1)x1＝0，x2＝－2
(2)x1＝3，x2＝－4
④因式分解法：将方程右边化为 0，左边化为两个一次因式的
积，令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一
次方程就得到原方程的解.
3.一元二次方程根的判别式
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式是 b2－4ac.
(1)当 b2－4ac＞0 时，方程有_______________的实数根；
(2)当 b2－4ac＝0 时，方程有____________的实数根；
(3)当 b2－4ac＜0 时，方程______________.
回练课本
3. 有下列方程：①x2 －4x －7 ＝0 ；②2x2 －
x ＋1 ＝0；
③x2－8x＋17＝0.其中有两个不相等的实数根的是__________，无
实数根的是__________.(填序号)
①
③
两个不相等
两个相等
无实数根
4.一元二次方程的根与系数的关系
回练课本
4.已知方程 x2－6x－15＝0 的两个根分别为 x1，x2，则：
(1)x1＋x2＝__________；
(2)x1·x2＝__________.
6
－15
5.一元二次方程的应用
解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程，最
后还要注意检验求出的未知数的值是否符合实际意义.
回练课本
5.两个数的和为 8，积为 9.75，求这两个数.若设其中一个数为
x，则列方程得__________________.
x(8－x)＝9.75
一元二次方程的解及其解法
1.若 x＝1 是关于 x 的一元二次方程 x2＋mx－6＝0 的一个根，
则 m＝________.
2.用配方法解方程 x2－4x－1＝0 时，配方后正确的是(
)
B.(x＋2)2＝17
D.(x－2)2＝17
A.(x＋2)2＝3
C.(x－2)2＝5
3.方程 x2＝2x 的解是(
)
A.x＝0
B.x＝2
C.x＝0 或 x＝2
D.x＝
5
C
C
4.(2025 齐齐哈尔)解方程：x2－7x＝－12.
解：整理得 x2－7x＋12＝0，
因式分解得(x－4)(x－3)＝0，
∴x－4＝0 或 x－3＝0，
解得 x1＝4，x2＝3.
解一元二次方程一般优先考虑直接开平方法，其次因式分解
法，最后公式法或配方法.若题目要求用特定方法，则按要求解题.
一元二次方程根的判别式
5.已知关于 x 的方程 x2－(2k－2)x＋k2－1＝0 有两个实数根，
A.－1
B.1
C.－1－2k
D.2k－3
6.(2025 广东)不解方程，判断一元二次方程 2x2＋x－1＝0 的
根的情况是________________________.
A
有两个不相等的实数根
7.已知关于 x 的一元二次方程 kx2－(2k＋4)x＋k－6＝0 有两个
不相等的实数根.
(1)求 k 的取值范围；
(2)当 k＝1 时，用配方法解方程.
一元二次方程根与系数的关系
9.(代数推理)(2025 南充)设 x1，x2 是关于 x 的方程(x－1)(x－2)
＝m2 的两根.
(1)当 x1＝－1 时，求 x2 及 m 的值；
(2)求证：(x1－1)(x2－1)≤0.
(2)方程(x－1)(x－2)＝m2可化简为x2－3x＋2－m2＝0.
∵Δ＝9－4(2－m2)＝4m2＋1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
∴x1＋x2＝3，x1·x2＝2－m2.
∴(x1－1)(x2－1)＝x1·x2－(x1＋x2)＋1
＝2－m2－3＋1＝－m2.
∵m2≥0，∴－m2≤0，即(x1－1)(x2－1)≤0.
一元二次方程的应用
10.电动自行车已成为市民日常出行的常用工具.据某市某品
牌电动自行车经销商 1 至 3 月份统计，该品牌电动自行车 1 月份
销售 150 辆，3 月份销售 216 辆.
(1)求该品牌电动自行车销售量的月均增长率；
(2)假设每月的增长率相同，预计 4 月份的销量会达到 300 辆
吗？
解：(1)设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为 x，
由题意得 150(1＋x)2＝216，
解得 x1＝－2.2(不合题意，舍去)，x2＝0.2＝20%，
答：该品牌电动自行车销售量的月均增长率为 20%.
(2)4 月份的销量为 216×(1＋20%)＝259.2(辆)，
∵259.2＜300，∴预计 4 月份的销量不会达到 300 辆.
11.(2025 广东)广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术
制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年 5 月产值达到
2 500 万元，预计 7 月产值将增至 9 100 万元.设该公司 6，7 两个
月产值的月均增长率为 x，可列出的方程为(
)
A
A.2 500(1＋x)2＝9 100
B.2 500(1－x)2＝9 100
C.2 500(1－2x)2＝9 100
D.2 500(1＋2x)2＝9 100
12.为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园
ABCD(如图)，生态园一面靠墙(墙足够长)，另外三面用 18 m 的篱
笆围成.生态园的面积能否为 40 m2？如果能，请求出 AB 的长；如
果不能，请说明理由.
13.(2022 广东)若 x ＝1 是方程 x2 －2x ＋a ＝0 的根，则 a ＝
________.
14.(2024 广东)若关于 x 的一元二次方程 x2＋2x＋c＝0 有两个
相等的实数根，则 c＝________.
15.(2019 广东)已知 x1，x2是一元二次方程 x2－2x＝0 的两个实
数根，下列结论错误的是( )
1
1
D
16.(2021 广东)若一元二次方程 x2＋bx＋c＝0(b，c 为常数)的
两根 x1，x2 满足－3＜x1＜－1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程
为____________________.
x2－2＝0(答案不唯一)
运算能力特训——计算能力
18.解方程：3x2＋4x－1＝0.(用配方法)
19.某社区利用一块矩形空地 ABCD 建了一个小型停车场，其
布局如图所示.已知 AD＝52 m，AB＝28 m，阴影部分设计为停车
位，要铺花砖，其余部分均为宽度为 x 米的道路.已知铺花砖的面
积为 640 m2.
(1)求道路的宽是多少米？
(2)该停车场共有车位50个，据调查分析，
当每个车位的月租金为 200 元时，可全部租
出；若每个车位的月租金每上涨 5 元，就会
少租出 1 个车位.当每个车位的月租金上涨多
少元时，停车场的月租金收入为 10 125 元？
解；(1)根据道路的宽为 x 米，根据题意得，
(52－2x)(28－2x)＝640，
解得 x1＝34(舍去)，x2＝6.
答：道路的宽为 6 米.
(2)设月租金上涨 a 元，∵停车场月租金收入为 10 125 元，
答：每个车位的月租金上涨 25 元时，停车场的月租金收入为
10 125 元.
教材难题生长——思维能力
20.(北师9上P33 问题解决改编)(运算能力、几何直观、应用
意识)(数学文化)从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿
都进不去，横着比门框宽 4 尺，竖着比门框高 2 尺，另一个醉汉
教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好
进去了.求竹竿的长.
解：设竹竿的长为 x 尺，由题意得
(x－4)2＋(x－2)2＝x2，即 x2－12x＋20＝0，
解得 x1＝2(不符题意，舍去)，x2＝10.
答：竹竿的长为 10 尺.
21.(人教9上P18 阅读与思考、P22 拓广探索改编)(运算能力、
几何直观、应用意识)人们把
这个数叫做黄金分割数.五角星
是常见的图案，如图，在正五角星中存在黄金分割数，有 BF2＝
FG·BG，已知 BG＝2，则 FG＝________.
1.将一元二次方程 3x2－2＝4x 化成一般形式后，若二次项的
系数是 3，则一次项的系数是(
)
C
A.－2
B.2
C.－4
D.4
2.若关于 x 的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0 的一个根是
x＝0，则 a 的值为(
)
A
A.2
B.－2
C.2 或－2
D.
1
2
x … 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 …
y＝x2＋3x－1 … －0.081 6 －0.045 9 －0.01 0.026 1 0.062 4 …
3.根据如下表格可知，方程 x2＋3x－1＝0 的一个解的范围为
(
)
C
A.0.28＜x＜0.29
C.0.30＜x＜0.31
B.0.29＜x＜0.30
D.0.31＜x＜0.32
4.(2025 潍坊)若一元二次方程 x2－2x＋c＝0 有两个相等的实
根，则 c 的值为(
)
D
A.－1
B.0
1
C.
2
D.1
5.(1)解方程：4(x－1)2－9＝0；
(2)(2025 徐州)解方程：x2＋2x－4＝0.
6.解方程：2x2＋x－2＝0.
7.已知方程 x2－2x＋k＝0 的一个根为－2，则方程的另一个根
为________.
8.为丰富乡村文体生活，某区准备组织首届“美丽乡村”篮球
联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排 28 场
比赛，设邀请 x 个球队参加比赛，可列方程得(
)
4
A
9.小淇在计算正数 a 的平方时，误算成 a 与 2 的积，求得的答
案比正确答案小 1，则 a 的值为(
)
C
10.随着“互联网＋教育”的发展，某市逐步推出“空中课
堂”，为学生提供线上授课.据统计，第一批受益学生为 10 万人次，
第三批受益学生为 14.4 万人次.如果第二批、第三批受益学生人次
的增长率相同，求这个增长率.
解：设这个增长率为 x，根据题意得 10(1＋x)2＝14.4，
解得 x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去).
答：这个增长率为 20%.
11.如图，小程的爸爸用一段 10 m 长的铁丝网围成一个一边靠
墙(墙长 5.5 m)的矩形鸭舍，其面积为 15 m2，在鸭舍侧面中间位置
)
C
留一个 1 m 宽的门(由其他材料制成)，则 BC 的长为(
A.5 m 或 6 m
B.2.5 m 或 3 m
C.5 m
D.3 m
每件售价x/元 … 45 55 65 …
日销售量y/件 … 55 45 35 …
12.某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量 y(件)
与每件售价 x(元)之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示.
(1)求 y 与 x 之间的函数关系式(不要求写出自变量 x 的取值范
围)；
(2)该商品日销售额能否达到 2 600 元？如果能，求出每件售
价；如果不能，说明理由.
解：(1)由题意，设一次函数的关系式为 y＝kx＋b，
结合表格数据，将(45，55)，(55，45)代入，得
∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝－x＋100.
(2)不能，理由如下：由题意得 x(－x＋100)＝2 600，
可化为 x2－100x＋2 600＝0，
∵Δ＝(－100)2－4×2 600＝－400＜0，
∴方程没有解，故该商品日销售额不能达到 2 600 元.
13.(2025 山东一模)定义：如果关于 x 的一元二次方程 ax2 ＋
bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1，则
称这样的方程为“邻根方程”.
(1)若(x＋3)(x－m)＝0 是“邻根方程”，求 m 的值；
(2)若一元二次方程 x2＋bx＋c＝0(b，c 均为常数)为“邻根方
程”，请写出 b，c 满足的数量关系，并说明理由.
解：(1)解方程(x＋3)(x－m)＝0，得 x1＝－3，x2＝m，
∵由邻根方程定义得|－3－m|＝1，
∴－3－m＝±1，∴m＝－2 或－4.
(2)b2－4c＝1，理由如下：
方程 x2＋bx＋c＝0 有两个不同实数根，
∴Δ＝b2－4c>0，此时 x1＋x2＝－b，x1·x2＝c，
∵|x1－x2|＝1，
∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝b2－4c＝1.

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