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第8讲
不等式与不等式组
广东省卷近年中考数学命题分析
命题点 2025 2024 2023 2022 2021
不等式的性质
解一元一次不等式
解一元一次不等式组 题 12，3 分 题 8，3 分 题 16，8 分 题 18，6 分
一元一次不等式的应用 题 14，3 分
＜
1.如果 a＞b，那么下列运算正确的是(
)
D
x＞2
A.a－3＜b－3
B.a＋3＜b＋3
C.3a＜3b
D.
a b
－3 －3
2.不等式 4x－8＞0 的解集为________.
A
C
B
D
C
解：解不等式①，得 x≥－4，
解不等式②，得 x＜5，
∴不等式组的解集为－4≤x＜5.
5.(2025 资阳)某社团计划开展手工制作活动，制作需使用 A，
B 两款材料包.购买 3 份 A 款材料包和 2 份 B 款材料包需 84 元，
购买 2 份 A 款材料包和 3 份 B 款材料包需 86 元.
(1)问购买一份 A 款材料包和一份 B 款材料包各需多少元？
(2)该社团打算购买 A，B 两款材料包共 50 份，总费用不超过
830 元，则至少购买 A 款材料包多少份？
解：(1)设购买一份 A 款材料包需 x 元，购买一份 B 款材料包
需 y 元，
答：购买一份 A 款材料包需 16 元，购买一份 B 款材料包需
18 元.
(2)设购买 A 款材料包 m 份，则购买 B 款材料包(50－m)份，
由题意得 16m＋18(50－m)≤830，解得 m≥35，
∴m 的最小值为 35.
答：至少购买 A 款材料包 35 份.
1.不等式的基本性质
(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不
变.
(2)不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不
变.
(3)不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改
变.
回练课本
1.设 a＞b，用“＜”或“＞”填空：
(1)a＋2________b＋2；
(2)－4a________－4b；
＞
＜
＞
2.解不等式
求不等式解集的过程称为解不等式.
x＜1
回练课本
2.利用不等式的性质解不等式 3x＜2x＋1，得________.
3.解一元一次不等式的一般步骤
(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)未知数的
系数化为 1.
在(1)至(5)步的变形中，一定要注意不等号的方向是否需要改
变.
回练课本
3.解不等式：2(1＋x)＜3，并在数轴上表示解集.
4.一元一次不等式组
(1)一元一次不等式组的定义：一般地，关于同一个未知数的
几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.
(2)一元一次不等式组的解集：组成一元一次不等式组的各个
不等式的解集的公共部分，称为这个一元一次不等式组的解集.
(3)解一元一次不等式组：先求出各个不等式的解集，再确定
其公共部分，即为原不等式组的解集.
(4)借助数轴，熟练掌握以下四种基本不等式组的解集.(其中
ax≤a
a≤x≤b
回练课本
5.列一元一次不等式(组)解应用题
列不等式(组)解应用题的基本步骤和列方程解应用题的步骤
相类似，即：
(1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题目
中的不等关系，抓住题设中的关键字眼，如“大于”“小于”“不
小于”“不大于”“不少于”“不低于”“不多于”“至多”“超
过”“至少”“不足”等；
(2)设：设出适当的未知数；
(3)列：根据题目中的不等关系，列出不等式(组)；
(4)解：解出所列不等式(组)的解集；
(5)答：写出答案，并检验答案是否符合题意.
回练课本
5.小明准备用 26 元买火腿肠和方便面，已知一根火腿肠 2 元，
一盒方便面 3 元，他买了 5 盒方便面，他最多还能买多少根火腿
肠？
解：设他还能买 x 根火腿肠，根据题意，得
2x＋3×5≤26，解得 x≤5.5.
∵x 为整数，∴x 的最大值为 5.
答：他最多还能买 5 根火腿肠.
不等式的性质
1.已知 a－1＞0，则下列结论正确的是(
)
A.－1＜－a＜a＜1
C.－a＜－1＜a＜1
B.－a＜－1＜1＜a
D.－1＜－a＜1＜a
2.已知 a＞b，则下列各式中一定成立的是(
)
A.a－b＜0
B.2a－1＜2b－1
B
D
解一元一次不等式
3.不等式 x＋8＜4x－1 的解集是(
)
B
A.x＜3
B.x＞3
C.x＜－3
D.x＞－
1
3
A
C
B
D
C
解：去分母，得 10－4x＜1－x，
移项，得－4x＋x＜1－10，
合并同类项，得－3x＜－9，
系数化为 1，得 x＞3.
解一元一次不等式组
上表示出来.
解：解不等式①，得 x＞－1，解不等式②，得 x≤2，
∴原不等式组的解集为－1＜x≤2，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图：
解一元一次不等式组需先解各个不等式，然后根据“同大取
大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”的口诀对解
集进行推理.
－17≤P＜－7
一元一次不等式(组)的应用
8.快递运费通常按邮件质量计算，某快递公司规定：省内邮件
质量不超过 1 千克时收费 10 元；邮件质量超过 1 千克时，超过的
部分按每千克 3 元收费.若省内寄快递的费用不超过 28 元，则邮件
的质量最多为多少千克？
解：设邮件的质量为 x 千克，根据题意得
10＋3(x－1)≤28，解得 x≤7，
∴x 的最大值为 7.
答：邮件的质量最多为 7 千克.
9.创建文明城市，构建美好家园.为提高垃圾分类意识，幸福
社区决定采购 A，B 两种型号的新型垃圾桶.若购买 3 个 A 型垃圾
桶和 4 个 B 型垃圾桶共需要 580 元，购买 6 个 A 型垃圾桶和 5 个
B 型垃圾桶共需要 860 元.
(1)求两种型号垃圾桶的单价.
(2)若需购买两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15 000
元，至少需购买 A 型垃圾桶多少个？
解：(1)设 A 型垃圾桶的单价为 x 元，B 型垃圾桶的单价为 y
元，
答：A 型垃圾桶的单价为 60 元，B 型垃圾桶的单价为 100 元.
(2)设购买 A 型垃圾桶 a 个，由题意得
60a＋100(200－a)≤15 000，解得 a≥125.
答：至少需购买 A 型垃圾桶 125 个.
10.(2025 内蒙古)智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋
势之一.某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行
采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作.在正常工作状态
下，该机器人的每一个机械手平均 a 秒采摘一个成熟的苹果，它
的一个机械手用 800 秒采摘苹果的个数比用 600 秒采摘苹果的个
数多 25 个.
(1)求 a 的值.
(2)现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人
共同完成.每个机器人搭载 4 个相同的机械手，那么至少需要多少
个这样的机器人同时工作 1 小时，才能使采摘的苹果个数不少于
10 000 个？
解：(1)由题意得 25a＝800－600，解得 a＝8.
答：a 的值为 8.
(2)设需要 x 个这样的机器人，
又∵x 为正整数，∴x 的最小值为 6.
答：至少需要 6 个这样的机器人同时工作 1 小时，才能使采
摘的苹果个数不少于 10 000 个.
A.－1＜x＜4
B.x＜4
C.x＜3
D.3＜x＜4
12.(2024 广东)关于 x 的不等式组中，两个不等式的解集如图
所示，则这个不等式组的解集是________.
D
x≥3
由①得 x＞1，由②得 x＜2，
∴不等式组的解集为 1＜x＜2.
15.(2023 广东)某商品进价 4 元，标价 5 元出售，商家准备打
折销售，但其利润率不能少于 10%，则最多可打______折.
8.8
16.(2019 广东)某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮
球、足球共 60 个，已知每个篮球的价格为 70 元，每个足球的价
格为 80 元.
(1)若购买这两类球的总金额为 4 600 元，求篮球、足球各买
了多少个？
(2)若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可
购买多少个篮球？
解：(1)设购买篮球 x 个，购买足球 y 个，
答：购买篮球 20 个，购买足球 40 个.
(2)设购买 a 个篮球，则购买(60－a)个足球.
依题意，得 70a≤80(60－a)，解得 a≤32.
答：最多可购买 32 个篮球.
运算能力特训——计算能力
17.新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解
集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，
①②
教材难题生长——思维能力
18.(北师 8 下 P63 联系拓广改编)(运算能力、应用意识、创新
意识)观察下列式子：
①32＋42＞2×3×4；
②32＋32＝2×3×3；
③(－2)2＋42＞2×(－2)×4；
④(－5)2＋(－5)2＝2×(－5)×(－5).
＞
(1)填空：(－2)2＋(－3)2_______2×(－2)×(－3)；(填“＞”
“＝”或“＜”)
(2)探究：观察以上各式，它们有什么规律吗？请用含 a，b 的
式子表示你发现的规律；
解：∵(a－b)2≥0，∴a2－2ab＋b2≥0，
∴用含 a，b 的式子表示发现的规律为 a2＋b2≥2ab.
2
1.(2025 广西)有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有 a 克水、
b 克水，a＞b.都加入 c 克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯
)
中水质量的大小关系的是(
A.a－c＜b－c
C.a＋c＜b＋c
B.a＋c＝b＋c
D.a＋c＞b＋c
D
2.不等式 x＋1≥2 的解集在数轴上表示正确的是(
)
A
B
C
D
3.不等式 7x＋5＜5x＋1 的解集是__________.
A
x＜－2
－1
5.解不等式：
(1)3x－2>x＋4;
解：移项得 3x－x＞4＋2，即 2x＞6，
系数化为 1，得 x＞3，
∴原不等式的解集是 x＞3.
(2)2(x－3)<8.
解：去括号，得 2x－6＜8，
移项，得 2x＜8＋6，
合并同类项，得 2x＜14，
系数化为 1，得 x＜7，
∴原不等式的解集是 x＜7.
6.下列不等式中，与－x＞1 组成的不等式组无解的是(
)
A.x＞2
B.x＜0
C.x＜－2
D.x＞－3
A B C D
A
C
4
解：解不等式①，得 x≥1，解不等式②，得 x＜2，
故原不等式组的解集为 1≤x＜2.
10.为方便新能源电动汽车充电，李老师安装了家庭充电桩，
该充电桩峰时、谷时充电的电价分别为 0.5 元/(kW·h) 和 0.3 元/
(kW·h).已知李老师的电动汽车平均每月在家庭充电桩的充电量为
180 kW·h，且每月充电所花电费不超过 64 元.李老师的电动汽车在
家庭充电桩谷时的充电量至少为多少？
解：设李老师的电动汽车在家庭充电桩谷时的充电量为 x kW·h，
则 0.3x＋0.5(180－x)≤64，
解得 x≥130.
答：李老师的电动汽车在家庭充电桩谷时的充电量至少为
130 kW·h.
11.若点 P(1－2a，a)在第二象限，则 a 的取值范围是(
)
12.若关于 x 的不等式组
2x－1＜5，
x＜m＋1
的解集为 x＜3，则 m
)
的取值范围是(
A.m＞2
B.m≥2
C.m＜2
D.m≤2
A
B
13.推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡
村全面振兴.某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的
季节，该合作社用 17 500 元从农户处购进 A，B 两种水果共 1 500
千克进行销售，其中 A 种水果收购单价为 10 元/千克，B 种水果
收购单价为 15 元/千克.
(1)问 A，B 两种水果各购进多少千克？
(2)已知 A 种水果运输和仓储过程中质量损失 4%，若合作社
计划 A 种水果至少要获得 20%的利润，不计其他费用，求 A 种水
果的最低销售单价.
解：(1)设 A 种水果购进 x 千克，B 种水果购进 y 千克，
答：A 种水果购进 1 000 千克，B 种水果购进 500 千克.
(2)设 A 种水果的销售单价为 m 元/千克，由题意得
1 000×(1－4%)m－10×1 000≥10×1 000×20%，
解得 m≥12.5，∴m 的最小值为 12.5.
答：A 种水果的最低销售单价为 12.5 元/千克.
其中正确结论的个数是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
B

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