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第三章
函
数
第9讲
平面直角坐标系和函数的概念
广东省卷近年中考数学命题分析
命题点 2025 2024 2023 2022 2021
点的坐标特征 题 6，3 分
函数概念 题 10，3 分
函数图象的实
际应用 题 8，3 分
2022 新课标
重要变化 ①结合实例，(删除)了解函数的概念和三种(删除)表示
法，能举出函数的实例.
②理解函数值的意义.(新增)
1.(2025 成都)在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(－2，a2＋1)所
)
B
在的象限是(
A.第一象限
C.第三象限
B.第二象限
D.第四象限
2.如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐
标系，已知“車”所在位置的坐标为(－2，2)，则“炮”所在位置
的坐标为(
)
A
A.(3，1)
B.(1，3)
C.(4，1)
D.(3，2)
3.在平面直角坐标系中，若点 P 的坐标为(2，1)，则点 P 关于
y 轴对称的点的坐标为(
)
C
(2，2)
A
A.(－2，－1)
B.(2，－1)
C.(－2，1)
D.(2，1)
4.在平面直角坐标系中，点(－1，2)向右平移 3 个单位长度得
到的点的坐标是________.
5.(2025 内江)在函数 y＝中，自变量 x 的取值范围是(
)
A.x≥2 B.x≤2 C.x＞2 D.x＜2
6.(跨学科融合)如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水
槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高
度，则下列能反映弹簧测力计的读数 y(单位：N)与铁块被提起的
时间 x(单位：s)之间的函数关系的大致图象是(
)
A
A
B
C
D
1.平面直角坐标系
一一对应
(1)对应关系：坐标平面内的点与有序实数对是__________的.
(2)坐标轴上的点：x 轴、y 轴上的点不属于任何象限.
回练课本
1.写出图中点 A，B，C，D，E，F 的坐标.
A(－2，－2)
C(5，－4)
E(2，5)
B(－5，4)
D(0，－3)
F(－3，0)
2.点的坐标特征
(－x，－y)
(1)各象限内点的坐标特征：①点 P(x，y)在第一象限，即 x>0，
y>0；②点 P(x，y)在第二象限，即___________；③点 P(x，y)在第
三象限，即 x<0，y<0；④点 P(x，y)在第四象限，即___________.
(2)坐标轴上点的特征：①x 轴上点的纵坐标为 0；②y 轴上点
的横坐标为______；③原点的坐标为________.
(3)对称点的坐标特征：①点 P(x，y)关于 x 轴的对称点为 P1(x，
－y)；②点 P(x，y)关于 y 轴的对称点为 P2___________；
③点 P(x，y)关于原点的对称点为 P3____________.
x＜0，y＞0
x＞0，y＜0
0
(0，0)
(－x，y)
(x－a，y)
(x，y－b)
|x|
(4)点的平移特征：已知点 P(x，y)，①向右平移 a 个单位长度
得点 P1(x＋a，y)；②向左平移 a 个单位长度得点 P2___________；
③向上平移 b 个单位长度得点 P3(x，y＋b)；④向下平移 b 个单位
长度得点 P4__________.
(5)点到坐标轴的距离：①点 P(x，y)到 x 轴的距离为|y|；②点
P(x，y)到 y 轴的距离为_______；③点 M1(x1，0)，M2(x2，0)之间
的距离为|x1－x2|；④点 M1(0，y1)，M2(0，y2)之间的距离为|y1－y2|.
回练课本
2.(1)点(－2，3)所在的象限是第________象限；点(0，－4)是
________上的点；
二
y 轴
(4，－5)
(2)点(4，5)关于 x 轴对称的点的坐标为__________，关于 y
轴对称的点的坐标为__________ ，关于原点对称的点的坐标为
__________；
(－4，5)
(－4，－5)
(1，1)
(3)将点(3，－2)向左平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位
长度，得到的点的坐标为________；
(4)在平面直角坐标系中，点 A(－2，3)到 x 轴的距离为______，
到 y 轴的距离为________.
3
2
3.函数的有关概念
(1)变量与常量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的
量为变量，数值始终不变的量为常量.
(2)函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变
量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与
其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.
(3)表示方法：解析式法、列表法、图象法.
(4)自变量的取值范围：考虑问题的实际意义和使解析式有
意义.
全体实数
分母不为 0 的实数
①解析式是整式时，自变量的取值范围是________________；
②解析式是分式时，自变量的取值范围是________________；
③解析式是二次根式时，自变量的取值范围是_____________
_________________.
大于等于 0 的实数
(5)函数值：对于一个函数，如果当 x＝a 时，y＝b，那么 b 叫
做当自变量的值为 a 时的函数值.
使被开方数
中自变量 x 的取值范围是__________；
回练课本
3.(1)函数 y＝x＋1 中自变量 x 的取值范围是____________；
函数 y＝
1
x＋1
函数 y＝ 中自变量 x 的取值范围是__________；
(2) 用解析式表示等边三角形的周长 l 关于边长 a 的函数为
____________；
全体实数
x≠－1
x≥1
l＝3a
(3)写出当 x＝5 时对应的函数值：
①y＝3x－5：________；
10
2
4.函数的图象
(1)函数图象的概念：一般地，对于一个函数，如果把自变量
与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内
由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
(2)画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线.
回练课本
4.画出函数 y＝0.5x 的图象.
平面直角坐标系内点的特征
1.在平面直角坐标系中，点 P(－1，m2＋1)位于(
)
B
1
A.第一象限
C.第三象限
B.第二象限
D.第四象限
2.已知 a 为正整数，点 P(4，2－a)在第一象限中，则 a＝____.
坐标的对称点及点的变化规律
3.(2025 青海一模)某中学的圆形花园中间有两条互相垂直的
小路，在 A，B 两处栽种了两棵小树，且两棵小树关于小路对称.
在如图所示的平面直角坐标系内，若点 B 的坐标为(6，3)，则点 A
的坐标为(
)
D
A.(3，6)
B.(3，－6)
C.(－6，－3)
D.(－6，3)
4.在平面直角坐标系中，将点(m，n)先向右平移 2 个单位长度，
)
D
再向上平移 1 个单位长度，最后所得点的坐标是(
A.(m－2，n－1)
B.(m－2，n＋1)
C.(m＋2，n－1)
D.(m＋2，n＋1)
5.如图，在平面直角坐标系中，△ABO 的三个顶点坐标分别
为 A(6，3)，B(6，0)，O(0，0)，若将△ABO向左平移 3 个单位长
度得到△CDE，则点 A 的对应点 C 的坐标是________.
(3，3)
6.(2025 云南)函数 y＝
函数自变量的取值范围
1
x－1
的自变量 x 的取值范围为(
)
A.x≠4 B.x≠3 C.x≠2 D.x≠1
判断函数的取值范围要求函数的各个部分都有意义，故应取
所有部分取值范围的公共部分.
D
x≥－2且x≠1
函数图象的实际应用
8.一条小船沿直线从 A 码头向 B 码头匀速前进，到达 B 码头
后，停留一段时间，然后原路匀速返回 A 码头，在整个过程中，
这条小船与 B 码头的距离 S(单位：m)与所用时间 t(单位：min)之
间的关系如图所示，则这条小船从 A 码头到 B 码头的速度和从 B
)
D
码头返回 A 码头的速度分别为(
A.15 m/min，25 m/min
B.25 m/min，15 m/min
C.25 m/min，30 m/min
D.30 m/min，25 m/min
9.(跨学科融合)如图，取一根长 100 cm 的匀质木杆，用细绳
绑在木杆的中点 O 并将其吊起来，在中点 O 的左侧距离中点
25 cm(L1＝25 cm)处挂一个重 9.8 N(F1＝9.8 N)的物体，在中点 O
的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中
点 O 的距离 L(单位：cm)及弹簧秤的示数 F(单位：N)满足 FL＝
F1L1，以 L 的数值为横坐标，F 的数值为纵坐标建立直角坐标系.
则 F 关于 L 的函数图象大致是( )
A
B
C
D
答案：B
10.(2025 成都)小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时
间后又跑步到书店买书，然后步行回家(小明家、书店、体育馆依
次在同一直线上)，如图表示的是小明离家的距离与时间的关系.
下列说法正确的是(
)
C
A.小明家到体育馆的距离为 2 km
B.小明在体育馆锻炼的时间为 45 min
C.小明家到书店的距离为 1 km
D.小明从书店到家步行的时间为 40 min
11.向高为 10 的容器(形状如图)中注水，注满为止，则水深 h
与注水量 v 的函数关系的大致图象是(
)
D
A
B
C
D
12.(2016 广东)在平面直角坐标系中，点 P(－2，－3)所在的象
限是(
)
C
D
A.第一象限
C.第三象限
B.第二象限
D.第四象限
13.(2020 广东)在平面直角坐标系中，点(3，2)关于 x 轴对称的
点的坐标为(
)
A.(－3，2)
B.(－2，3)
C.(2，－3)
D.(3，－2)
14.(2022 广东)在平面直角坐标系中，将点(1，1)向右平移 2
个单位长度后，得到的点的坐标是(
)
A
C
A.(3，1)
B.(－1，1)
C.(1，3)
D.(1，－1)
15.(2022 广东)水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为 r，
则圆周长 C 与 r 的关系式为 C＝2πr.下列判断正确的是(
)
A.2 是变量
C.r 是变量
B.π是变量
D.C 是常量
运算能力特训——计算能力
16.在平面直角坐标系中，已知点 M(2－m，1＋2m).
(1)若点 M 在 y 轴上，求点 M 的坐标；
(2)若点 M 在第二、四象限的角平分线上，求点 M 的坐标.
解：(1)由题意得 2－m＝0，∴m＝2，
∴1＋2m＝1＋4＝5，∴M(0，5).
(2)∵点 M 在第二、四象限的角平分线上，
∴2－m＋1＋2m＝0，∴m＝－3，
∴2－m＝2－(－3)＝5，1＋2m＝1＋2×(－3)＝－5，
∴M(5，－5).
(1)已知 A(－2，3)，B(4，－5)，求 A，B 两点间的距离；
(2)若一个三角形各顶点的坐标为 A(－1，3)，B(0，1)，C(2，
2)，请判断此三角形的形状，并说明理由.
1.在平面直角坐标系中，点(4，0)的位置在(
)
A.第一象限
C.第二象限
B.x 轴正半轴上
D.y 轴正半轴上
2.如果单项式－x2my3与单项式 2x4y2-n 的和仍是一个单项式，
则在平面直角坐标系中，点(m，n)在(
)
B
D
A.第一象限
C.第三象限
B.第二象限
D.第四象限
3.(跨学科融合)如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得
在点 A，B，C 处有目标出现.按某种规则，点 A，B 的位置可以分别
表示为(1，90°)，(2，240°)，则点 C 的位置可以表示为_________.
(3，30°)
4.如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(0，4)，B(0，－2)，
若点 C 在第一象限，且 BC＝AC＝5，求点 C 的坐标.
解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D.
∵BC＝AC＝5，∴点 D 是线段 AB 的中点，
∵点 A(0，4)，B(0，－2)，∴点 D(0，1)，
∴AD＝4－1＝3，
∴点 C(4，1).
A.d＝
5.在球的表面积公式 S＝4πr2 中，常量是________.
6.(跨学科融合)激光测距仪 L 发出的激光束以 3×105 km/s 的
速度射向目标 M，t s 后测距仪 L 收到 M 反射回的激光束，则 L
到 M 的距离 d km 与时间 t s 的关系式为(
)
3×105
2
t
B.d＝3×105t
C.d＝2×3×105t
D.d＝3×106t
4π
A
x≤1
加热时间 t/s 0 10 20 30
液体温度 y/℃ 8 18 28 38
8.某小组通过实验估算某液体的沸点，经测量，气压为标准大
气压，同时得到几组对应的数据如表.
(1)小组发现液体沸腾前，液体温度 y(单位：℃)与加热时间 t
(单位：s)之间满足一次函数关系，求 y 与 t 之间的函数表达式；
(2)当加热 3 min 时观察到该液体恰好沸腾，求该液体的沸点.
解：(1)设 y 与 t 之间的函数表达式为 y＝kt＋b(k，t 为常数，
且 k≠0).
将 t＝0，y＝8 和 t＝10，y＝18 代入 y＝kt＋b，
∴y＝t＋8(t≥0).
(2)3×60＝180(s)，
当 t＝180 时，y＝180＋8＝188 (℃)，
∴该液体的沸点是 188 ℃.
9.(跨学科融合)(2025 广西)生态学家 G.F.Gause 通过多次单独
培养大草履虫实验，研究其种群数量 y 随时间 t 的变化情况，得到
)
B
了如图所示的“S”形曲线.下列说法正确的是(
A.第 5 天的种群数量为 300 个
B.前 3 天种群数量持续增长
C.第 3 天的种群数量达到最大
D.每天增加的种群数量相同
物品质量/千克 0.5 1 1.5 2 … x
甲公司费用/元 18 18 19 m … y甲
乙公司费用/元 7.5 9 10.5 12 … y乙
10.小彬打算快递一些海洋特产给朋友，他了解到两家快递公
司的收费方式如下表.其中，甲公司：物品质量不超过 1 千克的，
需付费 18 元，超过 1 千克的部分按每千克 2 元计价；乙公司：按
物品质量每千克 3 元计价外，需再加包装费 6 元.设小彬快递物品
的质量为 x 千克.
(1)在变化过程中的两个变量：物品质量 x(单位：千克)和甲公
司费用 y甲(单位：元)，其中，自变量是________，关于自变量的
函数是________，表格中 m 的值为________；
(2)请直接写出 y乙与 x 之间的表达式为____________；
(3)如果小彬快递物品的质量为 15 千克，请帮他选择一家最划
算的快递公司.
x
y甲
20
y乙＝3x＋6
解：当 x＝15 时，y甲＝18＋(15－1)×2＝46(元)，
y乙＝3×15＋6＝51(元)，
∵51＞46，∴选择甲公司最划算.
11.如图 1，在△ABC 中，∠ACB＝90°，点 P 从点 A 出发沿
A→C→B 的路径以 1 cm/s 的速度匀速运动至点 B，图 2 是点 P 运
动时，△ABP 的面积 y(单位：cm2)随时间 x(单位：s)变化的函数图
象，则该三角形的斜边 AB 的长为(
)
A
12.如图，小好同学用计算机软件绘制函数 y＝x3－3x2＋3x－1
的图象，发现它关于点(1，0)中心对称.若点 A1(0.1，
y1)，A2(0.2，y2)，A3(0.3，y3)，…，A19(1.9，y19)，
A20(2，y20)都在函数图象上，这 20 个点的横坐标从
0.1 开始依次增加 0.1，则 y1＋y2＋y3＋…＋y19＋y20
的值是(
)
D
A.－1
B.－0.729
C.0
D.1

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