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(共48张PPT)
第12讲
二次函数
广东省卷近年中考数学命题分析
命题点 2025 2024 2023 2022 2021
二次函数的
图象和性质 题 8，3 分 题 10，题 23(3) 题 10，题 12，
题 22，题 25
二次函数图象
的平移 题 12，4 分
二次函数的
解析式
(待定系数) 题 15，3 分 题 23(3)，2 分 题 23(1)，4 分
命题点 2025 2024 2023 2022 2021
二次函数图象的顶点坐标、对称轴 题 10，1 分 题 23(2)，2 分
二次函数与一元二次方程、不等式
(二次函数图象与x轴的交点坐标) 题 15，3 分 题 25(1)，5 分
二次函数的
最值 题 23(2)，6 分 题 10，3 分
题 22(2)，4 分
2022新课标
重要变化 ①能用描点法(删除)画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质.
②知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系.(新增)
③会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题.(新增)
④知道二次函数和一元二次方程之间的关系.(新增)
⑤*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.(删除)
B
1.二次函数 y＝－(x＋1)2＋2 图象的顶点所在的象限是(
)
A.第一象限
C.第三象限
B.第二象限
D.第四象限
2.如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为 x＝－2，下
列结论正确的是(
)
C
＜
A.a＜0
B.c＞0
C.当 x＜－2 时，y 随 x 的增大而减小
D.当 x＞－2 时，y 随 x 的增大而减小
3.已知点 A(x1 ，y1)，B(x2 ，y2)在抛物线 y＝x2 －3 上，且 0＜
x1＜x2，则 y1________y2.(填“＜”“＞”或“＝”)
4.将抛物线 y＝x2 先向右平移 3 个单位长度，再向上平移 4 个
单位长度，得到的抛物线的表达式是(
)
A.y＝(x－3)2＋4
C.y＝(x－3)2－4
B.y＝(x＋3)2＋4
D.y＝(x＋3)2－4
5.已知抛物线 y＝ax2＋2x(a≠0)的图象经过点 A(1，3)，则该
抛物线的解析式为____________.
A
y＝x2＋2x
6.已知抛物线 y＝x2－6x＋m 与 x 轴有且只有一个交点，则 m＝
________.
9
7.(2025 徐州)二次函数 y＝x2＋x＋1 的最小值为________.
1.二次函数的定义
y＝ax2＋bx＋c
形如__________________(a，b，c 是常数，a≠0)的函数，叫
做 x 的二次函数.
回练课本
1.若关于 x 的函数 y＝(a－2)x2－x 是二次函数，则 a 的取值范
围是________.
a≠2
函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
图象 a＞0 a＜0
2.二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质
回练课本
2.(1)已知函数 y＝2(x＋1)2＋1.
上
直线 x＝－1
①抛物线的开口向________；
②抛物线的对称轴为______________；
③抛物线的顶点坐标为________；
(－1，1)
－1
④当 x＝________时，函数有最______值，最值为_______；
⑤当 x________时，y 随 x 的增大而增大；
⑥当 x________时，y 随 x 的增大而减小.
小
1
＞－1
＜－1
(2)已知函数 y＝－2x2＋x－4.
①抛物线的开口向________；
②抛物线的对称轴为__________；
③当 x________时，y 随 x 的增大而增大；
④当 x________时，y 随 x 的增大而减小.
下
3.抛物线 y＝a(x－h)2＋k 与 y＝ax2 的关系
(1)二者的形状相同，位置不同，y＝a(x－h)2＋k 是由 y＝ax2
通过平移得来的，平移后的顶点坐标为________.
(2)y ＝ax2 的图象
的图象
y ＝a(x －h)2
y＝a(x－h)2＋k 的图象.
(h，k)
右
左
上
下
回练课本
3.已知二次函数 y＝2x2.
(1) 把它的图象向左平移 1 个单位长度，就得到抛物线 y ＝
______________；
2(x＋1)2
2x2－1
2(x－1)2＋3
(2) 把它的图象向下平移 1 个单位长度，就得到抛物线 y ＝
______________；
(3)把它的图象先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 3 个单
位长度，就得到抛物线 y＝_________________.
4.二次函数的解析式的确定
要确定二次函数的解析式，就是要确定解析式中的待定系数
(常数)：
(1)当已知抛物线上一点或两点时，通常将函数的解析式设为
一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)(通常 a，b，c 中有一至两个是已知
的)；
(2)当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常将函
数的解析式设为顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0).
回练课本
4.(1)已知二次函数y＝ax2＋c的图象经过点(2，3)，(－1，－3)，
则这个二次函数的解析式为______________；
(2)已知二次函数图象的顶点坐标是(－1，1)，且经过点(1，
－3)，则这个二次函数的解析式为__________________.
y＝2x2－5
y＝－(x＋1)2＋1
Δ＝b2－4ac ax2＋bx＋c＝0的根 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点
Δ＞0 两个不相等的实数根 两个交点
Δ＝0 ____________________ __________
Δ＜0 ____________________ __________
5.二次函数与一元二次方程的关系
二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴的交点有三种情况：有
两个交点、有一个交点、没有交点.当图象与 x 轴有交点时，令 y
＝0，解方程 ax2＋bx＋c＝0 就可求出图象与 x 轴交点的横坐标.
无实数根
两个相等的实数根
一个交点
无交点
回练课本
5.(1)二次函数 y＝x2＋x－2 的图象与 x 轴有______个公共点；
(2)二次函数 y＝x2－6x＋9 的图象与 x 轴有______个公共点；
(3)二次函数 y＝x2－4x 的图象与 x 轴的交点坐标为_________
和__________.
两
一
(0，0)
(4，0)
6.二次函数与不等式的关系
x＞x2 或 x＜x1
x1＜x＜x2
设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与x轴交于(x1，0)，(x2，0)两点，
其中 x1＜x2，则不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集为_______________，
不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集为______________.
回练课本
6.已知函数 y＝x2－2x－3.
x1＝3，x2＝－1
(1)方程 x2－2x－3＝0 的解是__________________；
(2)当 x 满足________________时，函数值大于 0；
(3)当 x 满足________________时，函数值小于 0.
x＞3 或 x＜－1
－1＜x＜3
二次函数的图象和性质
1.(2025 陕西)在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2－2ax＋
a－3(a≠0)的图象与 x 轴有两个交点，且这两个交点分别位于 y 轴
)
D
两侧，则下列关于该函数的结论正确的是(
A.图象的开口向下
B.当 x＞0 时，y 的值随 x 值的增大而增大
C.函数的最小值小于－3
D.当 x＝2 时，y＜0
2.已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则点 P(a，b)
)
D
所在的象限是(
A.第一象限
C.第三象限
B.第二象限
D.第四象限
二次函数图象的平移
3.在平面直角坐标系中，将二次函数 y＝(x＋1)2＋3 的图象先
向右平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，所得抛物线
)
对应的函数表达式为(
A.y＝(x＋3)2＋2
C.y＝(x－1)2＋4
B.y＝(x－1)2＋2
D.y＝(x＋3)2＋4
B
二次函数的解析式
4.如图，已知二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图象经过点 A(1，－2)
和 B(0，－5).
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标；
(2)当 y≤－2 时，请根据图象直接写出 x 的取值范围.
解：(1)把 A(1，－2)和 B(0，－5)代入 y＝x2＋bx＋c，
∴二次函数的表达式为 y＝x2＋2x－5.
∵y＝x2＋2x－5＝(x＋1)2－6，∴顶点坐标为(－1，－6).
(2)∵点 A(1，－2)关于对称轴 x＝－1 的对称点为(－3，－2)，
∴当 y≤－2 时，x 的取值范围是－3≤x≤1.
求解二次函数的解析式，若已知图象的顶点坐标，可采用顶
点式；若已知图象与 x 轴的交点坐标，可采用交点式；若已知任
意三点坐标，可采用一般式.
5.(2025 甘肃一模)在平面直角坐标系中，点(1，m)和(3，n)都
在二次函数 y＝ax2＋bx(a≠0，a，b 是常数)的图象上.
(1)若 m＝n＝－6，求该二次函数的解析式；
(2)若 a＝－1，b＝2，直接写出该抛物线的对称轴.
解：(1)由题意，得 a＋b＝m，9a＋3b＝n.
又∵m＝n＝－6，解得 a＝2，b＝－8，
∴二次函数的解析式为 y＝2x2－8x.
(2)对称轴是直线 x＝1.
二次函数与一元二次方程、不等式的关系(抛物线与 x
轴的交点)
－2＜x＜3
x＝3
x1＝－2，x2＝3
6.如图，在平面直角坐标系中，直线 y1＝mx＋n 与抛物线 y2
＝ax2＋bx－3 相交于点 A(－2，5)，B(3，0)，则 y1＞y2 的解集为
_________，方程 ax2＋bx－3＝0 的正数解为_______，方程 ax2＋
bx－3＝mx＋n 的解为______________.
7.(2025 浙江三模)在平面直角坐标系中，已知二次函数 y＝
x2＋bx＋c(b，c 为常数)图象的对称轴为直线 x＝2，且过点(0，1).
(1)求该二次函数的表达式；
(2)若将该函数图象向上平移 m 个单位长度后，所得图象与 x
轴只有一个交点，求 m 的值.
解：(1)∵对称轴为直线 x＝2，
∵二次函数的图象经过点(0，1)，∴c＝1，
∴二次函数的表达式为 y＝x2－4x＋1.
(2)设平移后的二次函数表达式为 y＝x2－4x＋1＋m，
∵平移后的图象与 x 轴只有一个交点，
∴Δ＝b2－4ac＝16－4(1＋m)＝0，
解得 m＝3.
求二次函数的最值
8.(2025 黑龙江模拟)二次函数 y ＝－x2 ＋2x －1 的最大值为
________.
0
9.已知二次函数 y＝－x2＋bx＋c.
(1) 当 b ＝4 ，c ＝3 时，①求该函数图象的顶点坐标；②当
－1≤x≤3 时，求 y 的取值范围.
(2)若当 x≤0 时，y 的最大值为 2；当 x＞0 时，y 的最大值为
3，则二次函数的表达式为______________.
解：(1)①∵b＝4，c＝3，
∴y＝－x2＋4x＋3＝－(x－2)2＋7，
∴顶点坐标为(2，7).
②∵－1≤x≤3 且顶点坐标为(2，7)，
∴当 x＝2 时，y 有最大值 7，
∵2－(－1)＞3－2，
∴当 x＝－1 时，y 有最小值为－(－1)2＋4×(－1)＋3＝－2，
∴当－1≤x≤3 时，y的取值范围为－2≤y≤7.
(2)y＝－x2＋2x＋2
10.(2025 广东)已知二次函数 y＝－x2＋bx＋c 的图象经过点(c，
0)，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是_____________
______________. (写出一个即可)
11.(2024 广东)若点(0 ，y1) ，(1 ，y2) ，(2 ，y3) 都在二次函数
)
A
y＝x2 的图象上，则(
A.y3＞y2＞y1
C.y1＞y3＞y2
B.y2＞y1＞y3
D.y3＞y1＞y2
(答案不唯一)
y＝－x2＋1
12.(2020 广东)如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的对称轴是 x＝1，
有下列结论：①abc＞0；②b2－4ac＞0；③8a＋c＜0；④5a＋b＋
2c＞0.其中正确的有(
)
B
A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个
当(
)时，y1，y2 均随着 x 的增大而减小.
A.x＜－1
C.0＜x＜2
B.－1＜x＜0
D.x＞1
D
C.y＝
1.下列函数中，是 y 关于 x 的二次函数的是(
)
B
B
A.y＝ax2＋bx＋c
B.y＝x(x－1)
D.y＝(x－1)2－x2
2.二次函数 y＝x2＋2x 图象的对称轴是(
)
A.直线 x＝1
C.直线 x＝－2
B.直线 x＝－1
D.直线 x＝2
3.函数 y＝(x＋2)2－4 的顶点坐标是(
)
D
A.(2，4)
B.(2，－4)
C.(－2，4)
D.(－2，－4)
4.(2025 福建)已知点 A(－2，y1)，B(1，y2)在抛物线 y＝3x2＋
)
A
bx＋1 上，若 3＜b＜4，则下列判断正确的是(
A.1＜y1＜y2 B.y1＜1＜y2
C.1＜y2＜y1 D.y2＜1＜y1
5.将二次函数 y＝x2－6x＋8 用配方法化成 y＝(x－h)2＋k 的形
式为 y＝______________.
(x－3)2－1
6.已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线 y＝－2x2＋
9x 相同，且它的顶点坐标为( －1 ，6) ，则这条抛物线的解析式
为__________________.
y＝－2(x＋1)2＋6
7.若抛物线 y＝x2－x＋c(c 是常数)与 x 轴没有交点，则 c 的
取值范围是________.
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y －1 －0.49 0.04 0.59 1.16
8.如下表是一组二次函数 y＝x2＋3x－5 的自变量 x 与函数值 y
的对应值，则方程 x2＋3x－5＝0 的一个近似根是________(结果精
确到 0.1).
x＝1.2
－1＜x＜3
9. 如图是二次函数 y ＝ax2 ＋bx ＋c 图象的一部
分，其对称轴为直线 x＝1，若其与 x 轴的一交点为
A(3，0)，则由图象可知，不等式 ax2＋bx＋c＜0 的
解集是__________.
10.如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c 经过点 A(－1，0)，点 B(2，
－3)，与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为点 D.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当 0＜x＜4 时，y 的取值范围是____________.
解：(1)∵抛物线 y＝x2＋bx＋c 经过点 A(－1，0)，点 B(2，－3)，
∴抛物线的解析式为 y＝x2－2x－3.
(2)－4≤y＜5
11.(2025 安徽)已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图
所示，则(
)
C
A.abc＜0
C.2b－c＜0
B.2a＋b＜0
D.a－b＋c＜0
12.如图，点 A，B 为一次函数 y＝－x＋5 的图象与二次函数 y
＝x2＋bx＋c 的图象的公共点，点 A，B 的横坐标分别为 0，4，点
P 为二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图象上的动点，且位于直线 AB 的下
方，连接 PA ，PB.
(1)求 b，c 的值；
(2)求△PAB 的面积的最大值.
解：(1)当 x＝0 时，y＝－x＋5＝5；
当 x＝4 时，y＝－x＋5＝1.
∴点 A(0，5)，B(4，1)，将点 A，B 的坐标代入 y＝x2＋bx＋c，
(2)由(1)可得 y＝x2－5x＋5，
设 P(m，m2－5m＋5)，作 PE∥OA，交 AB 于点 E，
则 E(m，－m＋5)，
∴PE＝－m＋5－(m2－5m＋5)＝4m－m2，
当 m＝2 时，△PAB 的面积取得最大值，最大值为 8.
13.(2025 连云港节选)已知二次函数 y＝x2 ＋2(a＋1)x＋3a2 －
2a＋3，a 为常数.
(1)若该二次函数的图象与直线 y＝2a2 有两个交点，求 a 的取
值范围；
(2)求证：该二次函数的图象不经过原点.

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