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第13讲
二次函数的综合运用
广东省卷近年中考数学命题分析
命题点 2025 2024 2023 2022 2021
二次函数的
综合运用 题 18，
7 分 题 20，
9 分 题 10，3 分
题 23(3)，5 分 题 23，
12 分 题 25，
10 分
1.如图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在 l 时，
拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 3 m，水面宽 6 m.如图(2)所示，建立
平面直角坐标系，则抛物线的解析式是(
图(1)
)
图(2)
A
2.(2025 连云港)如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线 y＝
a(x－3)2＋2.5 运行，其中 x 是铅球离初始位置的水平距离，y 是铅
球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度 OA 为 1.6 m，则铅球
掷出的水平距离 OB 为________m.
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3.如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴相交于点 A(1，0)，点
B(3，0)，与 y 轴相交于点 C，点 D 在抛物线上，当 CD∥x 轴时，
CD＝________.
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4.(跨学科融合)为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队
在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余
质量 y(单位：g)随时间 x(单位：min)变化的数据(0≤x≤20)，并分
别绘制在平面直角坐标系中，如图.
选择适当的函数模型分别模拟两种场景下 y 随 x 变化的函数关系，
并求出相应的函数表达式；
(2)查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为 3 g.在
上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？
解：(1)场景 A：y＝－0.04x2＋bx＋c，
场景 B：y＝ax＋21(a≠0).
把(10，16)，(20，3)代入 y＝－0.04x2＋bx＋c，得
∴场景 A 的函数表达式为 y＝－0.04x2－0.1x＋21.
把(5，16)代入 y＝ax＋21，得 5a＋21＝16，解得 a＝－1，
∴场景 B 的函数表达式为 y＝－x＋21.
(2)当 y＝3 时，场景 A 中，x＝20；
场景 B 中，3＝－x＋21，解得 x＝18.
20>18.
答：该化学试剂在场景 A 下发挥作用的时间更长.
二次函数的应用
1.如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边 AD是墙，且 AD
的长不能超过 26 m，其余的三边 AB，BC，CD 用篱笆，且这三边
的总长为 40 m，有下列结论：①AB 的长可以为 6 m；②AB 的长
有两个不同的值满足菜园 ABCD 的面积为 192 m2；③菜园 ABCD
面积的最大值为 200 m2.其中正确结论的个数是(
)
C
A.0
B.1
C.2
D.3
2.(2025 大庆)为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博
物馆新推出 A，B 两种文创纪念品.已知 2 个 A 纪念品和 3 个 B 纪念
品的成本和是 155 元；4 个 A 纪念品和 1 个 B 纪念品的成本和是 135
元.一套纪念品由一个 A 纪念品和一个 B 纪念品组成.规定：每套纪
念品的售价不低于 65 元且不高于 72 元(每套售价为整数).如果每套
纪念品的售价为 72 元，那么每天可销售 80 套.经调查发现，每套纪
念品的售价每降价 1 元，其销售量相应增加 10 套.设每天的利润为
W(单位：元)，每套纪念品的售价为 a 元(65≤a≤72 且 a 为整数).
(1)分别求出每个 A 纪念品和每个 B 纪念品的成本；
(2)求当 a 为何值时，每天的利润 W 最大.
解：(1)由题意，设每个 A 纪念品的成本为 x 元，每个 B 纪念
品的成本为 y 元，
答：每个 A 纪念品的成本为 25 元，每个 B 纪念品的成本为
35 元.
(2)由题意，得每套纪念品的成本为 25＋35＝60(元)，售价为
a 元，
∴每套纪念品的利润为 (a－60)元.
∵每套售价为 72 元时每天销量 80 套，每降价 1 元销量增加
10 套，
∴每天的销量为 80＋10(72－a)＝(800－10a)套.
∴每天的利润 W＝(a－60)(800－10a)
＝－10a2＋1 400a－48 000＝－10(a－70)2＋1 000.
∵－10<0，∴w 随 a 的增大而先增大再减小，
∵65≤a≤72 且 a 为整数，
∴当 a＝70 时，每天的利润 W 最大.
与二次函数相关的综合题
3.抛物线 y＝x2＋bx＋c 与 x 轴相交于 A(－1，0)，B 两点，与
y 轴相交于点 C(0，－3).
(1)求 b，c 的值；
(2)P 为第一象限抛物线上一点，△PBC 的面积与△ABC 的面
积相等，求直线 AP 的解析式.
解：(1)由点 C 的坐标知 c＝－3，
则抛物线的解析式为 y＝x2＋bx－3，
将点 A 的坐标代入上式得 0＝1－b－3，解得 b＝－2.
(2)由(1)得抛物线的解析式为 y＝x2－2x－3.
令 y＝0，则 x2－2x－3＝0，得 x1＝－1，x2＝3.
∴B 点的坐标为(3，0).∵S△PBC＝S△ABC，∴AP∥BC.
∵B(3，0)，C(0，－3)，∴直线 BC 的解析式为 y＝x－3，
∵AP∥BC，∴可设直线 AP 的解析式为 y＝x＋m.
∵A(－1，0)在直线 AP 上，∴0＝－1＋m.
∴m＝1.∴直线 AP 的解析式为 y＝x＋1.
4.(跨学科融合)一名运动员在 10 m 高的跳台进行跳水，身体
(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面 OB 的
高度 y(单位：m)与离起跳点 A 的水平距离 x(单位：m)之间的函数
关系如图所示，运动员离起跳点 A 的水平距离为 1 m 时达到最高
点，当运动员离起跳点 A 的水平距离为 3 m时离水面的距离为 7 m.
(1)y 关于 x 的函数解析式为____________；
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离 OB 的长.
5.(2025 广东)如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长 1.7 km，主
塔高 0.27 km，主缆可视为抛物线，主缆垂度 0.178 5 km，主缆最
低处距离桥面 0.001 5 km，桥面距离海平面约 0.09 km.请在示意图
中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式.
解：如图，建立平面直角坐标系，
即 A(0.85，0.18)，
6.(2023 广东)如图，抛物线 y＝ax2＋c 经过正方形 OABC 的三
个顶点 A，B，C，点 B 在 y 轴上，则 ac 的值为(
)
B
A.－1
B.－2
C.－3
D.－4
7.(2024 广东)广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工
程”，2023 年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销
欧美.某果商以每吨 2 万元的价格收购早熟荔枝，销往国外，若按
每吨 5 万元出售，平均每天可售出 100 吨.市场调查反映：如果每
吨降价 1 万元，每天销售量相应增加 50 吨.该果商如何定价才能使
每天的利润或销售收入最大？并求出其最大值.(题中“元”为人
民币单位)
解：设该果商按每吨 x 万元定价，每天的利润为 w 万元，每
天的销售收入为 y 万元，
w＝(x－2)[100＋50(5－x)]＝－50(x－4.5)2＋312.5，
y＝x[100＋50(5－x)]＝－50(x－3.5)2＋612.5，
∵－50＜0，∴w 和 y 随 x 的增大先增大再减小.
∴当 x＝4.5 时，w 有最大值，最大值为 312.5 万元.
∴当 x＝3.5 时，y 有最大值，最大值为 612.5 万元.
答：该果商定价为每吨 4.5 万元时，才能使每天的利润最大，
其最大值为 312.5 万元；该果商定价为每吨 3.5 万元时，才能使每
天的销售收入最大，其最大值为 612.5 万元.
1.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，
动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 2 mm/s 的速度移动，动点 Q
从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 4 mm/s 的速度移动，如果 P，Q 两
点分别从 A，B 两点同时出发，设运动时间为 t s，那么△PBQ 的
面积 S 的最大值为________mm2.
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可以用直线 y＝ x 刻画，小球飞行的水平距离x(单位：米)与小球
2.(跨学科融合)如图，一小球从斜坡点 O 以一定的速度和方向
弹出，小球的飞行路线可以用抛物线 y＝ax2＋bx(a＜0)刻画，斜坡
飞行的高度 y(单位：米)的变化规律如表.
(1)①m＝________，n＝________；
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②小球的落点是点 A，求点 A 的坐标.
(2)小球飞行的高度 y(单位：米)与飞行时间 t(单位：秒)满足关
系：y＝－5t2＋vt.
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①小球飞行的最大高度为________米；②求 v 的值.
(1)求出成本 y2 关于销售量 x 的函数解析式.
(2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？
(3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多
少？(注：利润＝销售额－成本)
＝－x2＋6x－2＝－(x－3)2＋7.
∵－1＜0，∴当 x＝3 时，利润取最大值，最大值为 7.
答：当销售量是 3 吨时，可获得最大利润，最大利润是 7 万元.
4.一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索 L1 与缆
索 L2 均可以近似视为抛物线型，桥塔 AO 与桥塔 BC 均垂直于桥
面，如图，以点 O 为原点，以直线 FF′为 x 轴，以桥塔 AO 所在直
线为 y 轴，建立平面直角坐标系.已知缆索 L1 所在抛物线与缆索 L2
所在抛物线关于 y 轴对称，桥塔 AO 与桥塔 BC 之间的距离 OC＝
100 m，AO＝BC＝17 m，缆索 L1 的最低点 P 到 FF′的距离 PD＝
2 m.(桥塔的粗细忽略不计)
(1)求缆索 L1 所在抛物线的函数解析式；
(2)点 E 在缆索 L2 上，EF⊥FF′，且 EF＝2.6 m，FO＜OD，求
FO 的长.
解：(1)∵AO＝17 m，∴A(0，17)，
又 OC＝100 m，AO＝BC＝17 m，缆索 L1 的最低点 P 到 FF′
的距离 PD＝2 m，
∴抛物线的顶点 P 的坐标为(50，2)，
故可设抛物线的解析式为 y＝a(x－50)2＋2，
5.(跨学科融合)如图是一块抛物线形板材，工人师傅以点 A 为
坐标原点，边 AB 所在直线为 x 轴，过点 A 作 AB 的垂线为 y 轴，
建立平面直角坐标系，1 个单位长度为 1 分米，根据测量得知边
AB 的长为 6 分米，最高点 C 到 AB 的距离为 6 分米.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)工人师傅计划在该抛物线形板材上截出一个正方形 CDEF，
要求 D，F 两点在抛物线上(点 D 在点 F 的左侧)，点 E 在抛物线
的对称轴上，工人师傅的计划能否实现？若能，请你帮助工人师
傅在抛物线上找出点 D 的位置(即求出点 D 的坐标)；若不能，请
说明理由.
解：(1)∵边 AB 的长为 6 分米，最高点 C 到 AB 的距离为 6
分米，
∴点 B 的坐标为(6，0).
根据抛物线的对称性可知：顶点 C 的坐标为(3，6)，
设该抛物线的解析式为 y＝a(x－3)2＋6，
将点(6，0)代入 y＝a(x－3)2＋6，得 0＝a(6－3)2＋6，
(2)能够实现，点 D 的坐标为(1.5，4.5).
连接 DF 交 CE 于点 H.
∵四边形 CDEF 为正方形，∴HD＝HC，DF⊥CE.
∵CE 为抛物线的对称轴，点 C 的坐标为(3，6)，

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