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第17讲
相似三角形
广东省卷近年中考数学命题分析
命题点 2025 2024 2023 2022 2021
黄金分割 题 23，6 分 题 6，3 分
平行线分线
段成比例 题 15，3 分
相似三角形
的判定 题 23，2 分 题 21(1)，2 分
题 22(2)(3)，2 分
题 23(2)(3)，3 分 题 22(2)，1 分
题 23(2)，2 分 题 23(2)，2 分 题 23，2 分
相似三角形
的性质 题 12，3 分
题 23，1 分 题 22(2)(3)，2 分
题 23(2)(3)，3 分 题 22(2)，2 分
题 23(2)，2 分 题 23(2)，1 分 题 23，1 分
A
2.(2025 广州二模)如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 AB 上
一点，且 AE∶EB＝1∶2，AC 与 DE 相交于点 F，S△AEF＝2，则
S△ACD＝________.
24
∠ADE＝∠C(答案不唯一)
3.如图，D，E 是△ABC 边上的两个点，要使△ABC∽△AED，
需要添加的一个条件是__________________________(只写一个).
4.(2025 贵州)如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝2∶1，
若 DF＝2，则 AC 的长为(
)
C
A.1
B.2
C.4
D.8
5.若两个相似三角形周长的比为 1∶4，则这两个三角形对应
边的比是(
)
B
4∶9
A.1∶2
B.1∶4
C.1∶8
D.1∶16
6.如图，△ABC 和△DEF 是以点 O 为位似中心的位似图形，
相似比为2∶3，则△ABC和△DEF 的面积比是________.
1.比例的基本性质
(1)两条线段的长度之比叫做两条线段的比.
(2)四条线段 a，b，c，d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，
那么这四条线段 a，b，c，d 叫做成比例线段，简称比例线段.
(7)平行线分线段成比例：
①平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得
的对应线段成比例(基本事实).
②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长
线)，所得的对应线段成比例.
回练课本
1.(1)a，b，c，d 是成比例线段，其中 a＝3 cm，b＝2 cm，c
＝6 cm，则线段 d 的长为________；
(3)如图，AB∥CD∥EF，AF 与 BE 相交于点
________；
4 cm
2.相似三角形
(1)定义：对应角相等、__________成比例的两个三角形叫做
相似三角形.
对应边
(2)相似三角形的判定定理：
①相似三角形的判定定理 1：两角对应相等的两个三角形相
似.
②相似三角形的判定定理 2：三边对应成比例的两个三角形
相似.
③相似三角形的判定定理 3：两边对应成比例且夹角相等的两
个三角形相似.
④平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，
所构成的三角形与原三角形相似.
⑤直角三角形被斜边上的高分成的两个三角
形与原三角形相似.补充：若 CD 为 Rt△ABC 斜边
上的高(如图)，则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD，
且AC2＝AD·AB，CD2＝AD·BD，BC2＝BD·AB.
相等
成比例
相似比
的平方
(3)性质：
①相似三角形的对应角________；
②相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)_______；
③相似三角形的周长比等于_________，面积比等于________
________.
相似比
回练课本
2.(1)如图，P 是△ABC 的边 AB 上的一点.
①如果∠ACP＝∠ ，BAPC 与△ACB 是否相似？__________
(2)已知△ABC∽△DEF，相似比是 3∶2，则其
对应中线之比为______，对应高之比为______，周
长之比为________，面积之比为________.
相似
相似
不相似
3∶2
3∶2
3∶2
9∶4
3.相似多边形
(1)定义：各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做
相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比.
(2)性质：
①相似多边形的对应角相等、对应边成比例；
②相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的
平方.
回练课本
3.如图，四边形 ABCD 和四边形 EFGH 相似，则∠α＝_____，
∠β＝______，EH 的长度 x＝_______.
83°
81°
28
4.图形的位似
(1)位似图形定义：如果两个图形不仅相似，而且每组对应点
所在直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这
个点叫做位似中心.
相似比
相似比
相似比的平方
(2)位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心
的距离比等于___________，位似图形周长的比等于___________，
面积比等于__________________.
回练课本
4.在平面直角坐标系中，有两点 A(6，3)，B(6，0).以原点 O
坐标为____________________.
(2，1)或(－2，－1)
比例线段
4
4
1
A.
2
1
B.
3
C.
1
4
1
D.
5
A
的值是________.
4.(2025 青海)如图，在△ABC 中，DE∥BC，且 AD＝3，DB
＝2，则
AE
AC
相似三角形的判定
5.(2025 河北)如图，在五边形 ABCDE 中，AE∥BC，延长 BA，
BC，分别交直线 DE 于点 M，N.若添加下列一个条件后，仍无法
判定△MAE∽△DCN，则这个条件是(
)
D
A.∠B＋∠4＝180°
C.∠1＝∠4
B.CD∥AB
D.∠2＝∠3
6.在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主
题开展数学活动.有一张矩形纸片 ABCD 如图所示，点 N 在边 AD
上，现将矩形折叠，折痕为 BN，点 A 对应的点记为点 M，若点 M
恰好落在边 DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是_______.
△MCB
7.如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 为 BC 边上的点(不与
点 B，点 C 重合)，连接 DE 并延长，交 AB 的延长线于点 F.求证：
△CDE∽△AFD.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴DC∥AF，∠C＝∠A，∴∠CDE＝∠F，
∴△CDE∽△AFD.
有一对等角：找另一对等角，或找等角的两边.有两边对应成
比例：找夹角或第三边.有平行线：构造“A”型或“X”型.图形
复杂：尝试分解基本模型，或添加辅助线构造相似模型.
相似三角形的性质
8.(2025 绥化)两个相似三角形的最长边分别是 10 cm 和 6 cm，
并且它们的周长之和为 48 cm，那么较小三角形的周长是(
)
A.14 cm
B.18 cm
C.30 cm
D.34 cm
B
9.如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B在线段AD上，且 CB⊥BE.
已知 AB＝8，AC＝6，DE＝4.
(1)求证：△ABC∽△DEB；
(2)求线段 BD 的长.
(1)证明：∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE，
∴∠A＝∠D＝∠CBE＝90°，
∴∠C＋∠CBA＝90°，∠CBA＋∠DBE＝90°，
∴∠C＝∠DBE，∴△ABC∽△DEB.
(2)解：∵△ABC∽△DEB，
10.如图，点 D，E，F 分别是△ABC 的边 BC，CA，AB 上的
点，DE∥BA，DF∥CA.
(1)求证：∠FDE＝∠A；
(2)若 BD∶CD＝1∶4，S△CDE＝16，求 S四边形AFDE.
(1)证明：∵DE∥BA，DF∥CA，
∴四边形 AEDF 是平行四边形，∴∠FDE＝∠A.
(2)解：∵BD∶CD＝1∶4，∴CD∶CB＝4∶5，
∵DE∥BA，DF∥CA，∴△CDE∽△DBF∽△CBA，
∵S△CDE＝16，∴S△BDF＝1，S△ABC＝25，
∴S四边形AFDE＝25－16－1＝8.
位似图形
11.如图，△ABC 和△A′B′C′是以点 O 为位似中心的位似图形，
点 A 在线段 OA′上.若 OA∶AA′＝1∶2，则△ABC 与△A′B′C′ 的周
长之比为________.
1∶3
12.(2025 绥化)在平面直角坐标系中，把△ABC 以原点 O 为位
似中心放大，得到 △A′B′C′.若点 A 和它的对应点 A′ 的坐标分别为
(3，7)，(－9，－21)，则△ABC与△A′B′C′的相似比为__________.
13.(2023 广东)我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重
要贡献.优选法中有一种 0.618 法应用了(
)
A
A.黄金分割数
C.众数
B.平均数
D.中位数
14.(2025 广东)如图，把△AOB 放大后得到△COD，则△AOB
与△COD 的相似比是________.
1∶3
1.(跨学科融合)在一幅比例尺是 1∶5 000 000 的地图上，量得
上海到杭州的距离是 3.4 cm，那么上海到杭州的实际距离是(
)
A.17 km
B.34 km
C.170 km
D.340 km
2.已知 9x＝3y(x，y 不为 0)，那么 x∶y＝________，x 和 y 成
________比例.
C
1∶3
正
3.(2025 乐山)如图，l1∥l2∥l3，AB＝2，DE＝3，BC＝4，则
EF 的长为(
)
B
A.4
B.6
C.8
D.10
4.如图，AC 和 BD 相交于点 O，请添加一个条件：________
_____________________，使得△AOB∽△COD.
∠C(答案不唯一)
∠A＝
5.如图，在△ABC 中，点 D 为边 AC 上一点，∠DBC＝∠A.
(1)求证：△BDC∽△ABC；
(2)若 BC＝4，AC＝8，求 CD 的长.
(1)证明：∵∠DBC＝∠A，∠BCD＝∠ACB，
∴△BDC∽△ABC.
∵BC＝4，AC＝8，∴CD＝2.
6.如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AC，AB 上，AB＝
2AD，AC＝2AE.
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)若△ADE 的面积为 2，求四边形 BCDE 的面积.
(1)证明：∵AB＝2AD，AC＝2AE，
∴AE∶AC＝AD∶AB＝1∶2，
∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.
(2)解：∵△ADE∽△ABC，
∵△ADE 的面积为 2，∴△ABC 的面积为 8，
∴S四边形BCDE＝S△ABC－S△ADE＝8－2＝6.
部分，则
＝________.
7.如图，平行于 BC 的直线 DE 把△ABC 分成面积相等的两个
AC
AE
8.(2025 长沙三模)已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，相似比
是1∶3，则△ABC 与△A1B1C1的面积比(　　)
C
A.1∶3
B.1∶6
C.1∶9
D.3∶1
9.( 跨学科融合)物理课上学过小孔成像的原理，
它是一种利用光的直线传播实现图象投影的方法.
如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB 经小孔 O 在屏
幕(竖直放置)上成像 A′B′，设 AB＝36 cm，A′B′＝
24 cm，小孔 O 到 AB 的距离为 30 cm，则小孔 O
到 A′B′的距离为______cm.
20
10.(2025沈阳模拟)在平面直角坐标系中，已知点A(2，4)，B(4，
1)，以原点 O 为位似中心，相似比为 2，把△OAB 放大，则点 A
的对应点 A′的坐标是(
)
D
A.(1，2)
C.(8，2)或 (－8，－2)
B.(4，8)
D.(4，8)或 (－4，－8)
11.如图，在正方形 ABCD 中，点 E 为边 CD 上一动点，AE
交 BD 于点 F，过点 F 作 FG⊥AE，与 BC 相交于点 G.
(1)求证：AF＝FG；
(2)若 DE＝DF，求证：FG2＝CE·CD.
证明：(1)连接 CF.
∵四边形 ABCD 为正方形，
∴AB＝CB，∠ABF＝∠CBF＝45°，∠ABC＝90°，
∴△ABF≌△CBF(SAS)，∴AF＝CF，∠BAF＝∠BCF，
在四边形 ABGF 中，∠ABC＝90°，FG⊥AE，
∴∠BAF＋∠BGF＝180°，
又∵∠FGC＋∠BGF＝180°，∴∠BAF＝∠FGC，
∴∠BCF＝∠FGC，∴FG＝CF，∴AF＝FG.
(2)∵四边形 ABCD 为正方形，
∴∠CDF＝45°，∠ADC＝90°.
∵DE＝DF，
∴∠DAE＝90°－∠DEF＝22.5°，
∴∠BAF＝∠BCF＝90°－22.5°＝67.5°，
∴∠FCE＝90°－∠BCF＝22.5°.
∵∠DEF＝∠FCE＋∠CFE，
∴∠CFE＝∠DEF－∠FCE＝67.5°－22.5°＝45°，
∴∠CFE＝∠CDF＝45°，
又∵∠FCE＝∠DCF，∴△FCE∽△DCF，
∴CF∶CD＝CE∶CF，∴CF2＝CE·CD.
∵FG＝CF，∴FG2＝CE·CD.
12.如图均是 5×5 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，
每个小正方形的顶点称为格点.△ABC 的三个顶点都在格点上，只
用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图，保留作图痕
迹，不写作法.
(2)在图 2 中，作出△ABC 的高 CD；
解：(1)如图1，△AB1C1为所作.(2)如图 2，CD 为所作.

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