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第18讲
等腰三角形、等边三角形、直角三角形
广东省卷近年中考数学命题分析
命题点 2025 2024 2023 2022 2021
等腰三角形的
判定和性质 题 23，2 分 题 22(1)，2 分 题 18，3 分
题 20，1 分 题 22(1)，4 分 题 13，4 分
等边三角形的
判定和性质 题 21，2 分
直角三角形的判定和性质、勾股定理 题 19，3 分
题 22，5 分
题 23，4 分 题 17，2 分 题 19，5 分
题 20，7 分
题 22(2)，2 分
题 23(2)，1 分 题 16，1 分
题 23，3 分
题 24(1)(3)，2 分
2022新课标
重要变化 ①理解(改动)等腰三角形的概念.
. .
②理解(改动)直角三角形的概念.
. .
1.(2025 江门一模)如果等腰三角形的一个底角为 70°，那么另
外两个角的度数分别为(
)
B
3
A.50°和 70°
B.40°和 70°
C.55°和 55°
D.55°和 70°
2.如图，AD 是等腰三角形 ABC 的顶角平分线，BD＝3，则
CD＝________.
3.如图，直线 l1∥l2，△ABC是等边三角形，∠1＝50°，则∠2
的大小为(
)
C
A.60°
B.80°
C.70°
D.100°
4.(2025 珠海三模)如图，直线 m∥n，Rt△ABC 的顶点 A 在直
线 n 上，∠C＝90°，若∠1＝20°，∠2＝70°，则∠B＝______.
40°
A.等腰三角形
C.锐角三角形
B.直角三角形
D.等腰直角三角形
6.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点
M 是 AB 的中点，则 CM＝________.
D
5
1.等腰三角形
(1)定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形.
(2)性质：
①等腰三角形的两腰相等；
②等腰三角形的两底角相等，即“等边对等角”；
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互
相重合，即“三线合一”；
④等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，对称轴是底边
的________________.
垂直平分线
(3)判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形；
②有两个角相等的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”.
回练课本
1.(1)等腰三角形的一个角是 80°，则它的另外两个角分别是
_______________________；
50°，50°或 80°，20°
等腰
(2)如图，∠A＝∠B，CE∥DA，CE 交 AB 于点 E，则△CEB
是__________三角形.
2.等边三角形
(1)定义：三边相等的三角形是等边三角形.
(2)性质：
①等边三角形的三边相等，三角相等，且都等于 60°；
②“三线合一”；
③等边三角形是轴对称图形，有________条对称轴.
(3)判定：
三
60°
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角是__________的等腰三角形是等边三角形.
回练课本
2.(1)等边三角形的两条中线所夹锐角的度数为________；
(2)如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC，分别交 AB，AC
于点 D，E，则△ADE 是________三角形.
60°
等边
3.直角三角形
(1)性质：
一半
中线
直角
①直角三角形的两锐角互余；
②直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的__________；
③直角三角形中，斜边上的__________长等于斜边长的一半.
(2)判定：有一个角是__________的三角形是直角三角形.
(3)勾股定理及其逆定理
①勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的
平方；
②勾股定理的逆定理：若一个三角形中有两边的平方和等于
第三边的平方，则这个三角形是直角三角形.
回练课本
3.(1)如图，在Rt△DEF 中，∠D＝90°，∠E＝30°，EF＝10，
则 DF＝________；
5
8
(2)已知直角三角形斜边长是 16，则斜边上的中线长是_____；
(3)在△ABC 中，∠A＝∠B＝45°，BC＝3，则 AB 的长为
________.
等腰三角形、等边三角形的判定和性质
1.如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD 的度
数为( )
C
A.70°
B.100°
C.110°
D.140°
2.四边形 ABCD 的边长如图所示，对角线 AC 的长度随四边形
形状的改变而变化.当△ABC 为等腰三角形时，对角线 AC 的长为
(
)
B
A.2
B.3
C.4
D.5
3.如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是 BC 边的中线，若 AB
＝5，BC＝6，则 AD 的长度为________.
4
4.如图，BD 是等边三角形 ABC 的边 AC 上的高，以点 D 为圆
心，DB 长为半径作弧交 BC 的延长线于点 E，则∠DEC＝(
)
A.20°
B.25°
C.30°
D.35°
C
5.(2025 武汉)如图，在△ABC 中，AB＝AC＝10，BC＝ ，
点 D 在边 AC 上，CD＝3.若点 E 在边 AB 上，满足 CE＝BD，则
AE 的长是__________.
7 或 9
直角三角形的判定和性质、勾股定理
6.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点 C 到
AB 的距离是________.
7.如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是高，∠A＝30°，
)
AB＝8，则 BD 的长为(
A.1
B.2
C.2.5
D.3
B
36
5
8.(2025 福建)某房梁如图所示，立柱 AD⊥BC，E，F 分别是
斜梁 AB，AC 的中点.若 AB＝AC＝8 m，则 DE 的长为______m.
4
9.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位
长度，点 A，B，C，D，E 均在小正方形网格的顶点上，线段 AB，
CD 交于点 F，若∠CFB＝α，则∠ABE 等于(
)
C
A.180°－α
B.180°－2α
C.90°＋α
D.90°＋2α
直角三角形的性质可以分别按边或角归纳.从角看：有一个角
是 90°；两个锐角互余.从边看：三边满足勾股定理；斜边上的中
线等于斜边的一半.这些性质反过来也可以判定直角三角形.
10.(2024 广州)如图，在 ABCD 中，BC＝2，点 E 在 DA 的延
长线上，BE＝3，若 BA 平分∠EBC，则 DE＝________.
5
11.(2020 广东)如图，在△ABC 中，点 D，E 分别是 AB，AC
边上的点，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE 与 CD 相交于点 F.求
证：△ABC 是等腰三角形.
证明：∵∠ABE＝∠ACD，∴∠DBF＝∠ECF，
∴△BDF≌△CEF(AAS)，∴BF＝CF.
∴∠FBC＝∠FCB.∴∠ABC＝∠ACB.
∴AB＝AC，即△ABC 是等腰三角形.
12.(2023 广东)综合与实践.
主题：制作无盖正方体形纸盒.
素材：一张正方形纸板.
步骤 1：如图 1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同
的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤 2：如图 2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒.
猜想与证明：(1)直接写出纸板上∠ABC 与纸盒上∠A1B1C1 的
大小关系；
(2)证明(1)中你发现的结论.
1. 一个等腰三角形的两边长分别为 6 和 2 ，则第三边长为
______.
6
66
2.如图，AB∥CD，∠C＝33°，OC＝OE，则∠A＝_____°.
3.如图，在△ABC 中，CA＝CB，直线 EF 分别交 AB，AC 和
CB的延长线于点D，E，F.若∠F＝32°，∠CEF＝100°，则∠A
＝_______°.
66
4.如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD 平分∠ABC
交 AC 于点 D.若 BC＝2，则 AD 的长度为________.
2
5.如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AB 的垂直平分线交 AB
于点 D，交 BC 于点 E，连接 AE.
(1)求证：∠AEC＝2∠B；
(2)若∠BAC＝60°，EC＝3，求 BE 的长.
(1)证明：∵DE 垂直平分 AB，∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠B，∴∠AEC＝∠EAB＋∠B＝2∠B.
(2)解：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠B＝180°－(∠ACB＋∠BAC)＝30°，
由(1)可知∠AEC＝2∠B＝60°，
在 Rt△ACE 中，∠AEC＝60°，
∴∠CAE＝30°，∴AE＝2CE＝6，
∵DE 垂直平分 AB，∴BE＝AE＝6.
6.一技术人员用刻度尺(单位：cm)测量某三角形部件的尺寸.
如图，已知∠ACB＝90°，点 D 为边 AB 的中点，点 A，B 对应的
刻度分别为 1，7，则 CD＝(
)
B
A.3.5 cm
B.3 cm
C.4.5 cm
D.6 cm
7.(2025 广西)如图，点 A，D 在 BC 同侧，AB＝BC＝CA＝2，
BD＝CD＝ ，则 AD＝________.
8.如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为(1，0)
和(0，2)，连接 AB，以点 A 为圆心、AB 的长为半径画弧，与 x 轴
正半轴相交于点 C，则点 C 的横坐标是________.
9.如图，在等边三角形纸片 ABC 中，点 E 在边 AC 上，点 F
在边 AB 上，沿 EF 折叠，使点 A 落在边 BC 上的点 D 的位置，且
ED⊥BC，则∠EFD＝________.
45°
10.(数学文化) “今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引
葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生
池中”问题.即如图，AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则 BC＝____.
12
11.如图，边长为 2 的等边△ABC的两个顶点 A，B分别在两条
射线 OM，ON 上滑动，若 OM⊥ON，则OC的最大值是________.
12.(2025 南充)如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE，AC＝AD，
∠BAD＝∠EAC.
(1)求证：△ABC≌△AED；
(2)求证：∠BCD＝∠EDC.
(1)证明：∵∠BAD＝∠EAC，
∴∠BAD－∠CAD＝∠EAC－∠CAD，
∴∠BAC＝∠EAD，
∴△ABC≌△AED(SAS).
(2)解：∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，
由(1)可知：△ABC≌△AED，
∴∠ACB＝∠ADE，
∴∠ACB＋∠ACD＝∠ADE＋∠ADC，
∴∠BCD＝∠EDC.
13.已知等边△ABC 的边长为 2，点 P 为△ABC 内一点，连接
BP，PC，延长 PC 到点 D，使 CD＝PC.
(1)如图 1，延长 BC 到点 E，使 CE＝BC，连接 AE，DE.
①求证：BP∥DE；
②若 BP⊥AC，求∠AED 的度数.
(2)如图 2，连接 AD，若 BP⊥AD，BP＝1，则 AD＝______.
∴△DEC≌△PBC(SAS)，
∴∠DEC＝∠PBC，∴BP∥DE.
②解：如图，延长 AC 交 ED 的延长线于点 F.
∵△ABC 为等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°.
又∵CE＝BC，∴AC＝CE，∴∠CAE＝∠CEA.
∵∠CAE＋∠CEA＝∠ACB＝60°，∴∠CAE＝∠CEA＝30°，
由①可知 BP∥DE，
∵BP⊥AC，∴BP 与 AC 形成的角为 90°，∴∠F＝90°，
又∵∠ECF＝∠ACB＝60°，
∴∠CED＝90°－∠ECF＝30°，
∴∠AED＝∠CEA＋∠CED＝30°＋30°＝60°.

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