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第20讲
解直角三角形
广东省卷近年中考数学命题分析
命题点 2025 2024 2023 2022 2021
解直角三角形 题 22(3)，2 分
题 23(3)，2 分 题 22(2)，
4 分 题 16，4 分
题 20(2)，3 分
解直角三角形
的应用 题 21，5 分 题 18，7 分 题 18，7 分
C
米
米
2.如图，小兵同学从 A 处出发向正东方向走 x 米到达 B 处，
)
再向正北方向走到 C 处，已知∠BAC＝α，则A，C两处相距(
A.
x
sin α
B.
x
cos α
C.x·sin α米
D.x·cos α米
B
3.(跨学科融合)若爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬 1 m
耗能(1.025－cos α)J.如图，若某人爬了1 000 m，该坡角为30°，则
A.58 J
B.159 J
C.1 025 J
D.1 732 J
B
4.如图，海中有一小岛 A，在 B 点测得小岛 A 在北偏东 30°方
向上，渔船从 B 点出发由西向东航行 10 n mile 到达 C 点，在 C 点
测得小岛 A 恰好在正北方向上，此时渔船与小岛 A 的距离为
(
)n mile.
D
5.(2025 武汉)某科技小组用无人机测量一池塘水面两端 A，B
的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距离水面
120 m 的 P 处，测得 A 处的俯角为 45°，B 处的俯角为 22°，则
可得 A，B 之间的距离约是________m.(参考数据：tan 22°≈0.4)
180
1.解直角三角形
(1)解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有 5 个元素，即 3 条边和 2
个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素
的过程，叫做解直角三角形.
(2)直角三角形的解法
直角三角形的解法按除直角外已知 2 个元素的不同情况可大
致分为四种类型(已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，c 为斜边)：
①已知一条直角边和一个锐角(如 a，∠A)，其解法为：∠B＝
90°－∠A，c＝____________；
a
sin A
②已知斜边和一个锐角(如 c，∠A)，其解法为：∠B＝90°－
∠A，a＝______________；
c·sin A
③已知两直角边(如 a，b)，其解法为：c2 ＝a2 ＋b2 ，tan A＝
__________；
④已知斜边和一直角边(如 c，a)，其解法为：b2 ＝c2 －a2，
sin A＝__________.
回练课本
1.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形：
(1)c＝8，∠A＝30°；
(2)b＝7，∠A＝45°；
c＝2，∠A＝30°，∠B＝60°.
2.与解直角三角形有关的名词、术语
(1)视角：视线与水平线的夹角叫做视角.
从下向上看，叫做仰角；从上往下看，叫做俯角.
(2)方位角：物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹角称
为方位角，一般以正北、正南为基准，用向东或向西旋转的角度
表示方向.
书写：通常要先写北或南，再写偏东或偏西.
(3)坡度、坡角：坡面的垂直高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡
坡面与水平面的夹角(α)，叫做坡角.
回练课本
2.如图，甲、乙两楼相距 30 m，甲楼高 40 m，自甲楼楼顶看
乙楼楼顶，仰角为 30°，乙楼高___________(结果精确到 1 m).
57 m
解直角三角形
B
B
(1)求 cos ∠BAD 的值；
(2)求△ABC 的面积.
解直角三角形有两个主要工具：勾股定理、三角函数.注意检
查是否解完了直角三角形，即求得了所有的未知角、未知边.
解直角三角形的应用
5.(2025 上海)如图，某公司安装了一个人脸打卡器，AB 是高
2.7 m 的门框，某人 CD 高 1.8 m，只有当∠CAB＝53°时，他才
能开门，那么 BD 长为_______.(参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°
≈0.6， tan 53°≈1.33，结果保留一位小数)
1.2 m
6.为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对 A 地和 B 地之间
的一处垃圾填埋场进行改造，把原来 A 地去往 B 地需要绕行到 C
地的路线，改造成可以直线通行的公路 AB.如图，经勘测，AC＝6
千米，∠CAB＝60°，∠CBA＝37°，则改造后公路 AB 的长是
__________千米(结果精确到 0.1 千米；参考数据：sin 37°≈0.60，
cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75， ≈1.73).
9.9
7.如图，CD 是一座东西走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路
l 上由南向北行驶，在 A 处测得桥头 C 在北偏东30°方向上，继续
行驶 500 米后到达 B 处，测得桥头 D 在北偏东 45°方向上.已知大
桥 CD 长 300 米，求桥头 C 到公路 l 的距离.(结果保留根号)
解：如图，延长 DC 交直线 l 于 H，
设 CH＝x 米，根据题意得，∠DHA＝90°，
8.(跨学科融合)永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕
像高 2.9 米(如图 1 所示)，寓意陈树湘为中国革命“断肠明志”牺
牲时的年龄为 29 岁.如图 2，以线段 AB 代表陈树湘雕像，一参观
者在水平地面 BN 上 D 处为陈树湘雕像拍照，相机支架 CD 高 0.9
米，在相机 C 处观测雕像顶端 A 的仰角为 45°，然后将相机支架
移到 MN 处拍照，在相机 M 处观测雕像顶端 A 的仰角为 30°，求
D，N 两点间的距离(结果精确到 0.1 米，参考数据： ≈1.732).
解：由题意得 AB⊥BN，AH⊥HM，BH＝CD＝MN＝0.9 米，
AB＝2.9 米，CM＝DN，∴AH＝AB－BH＝2.9－0.9＝2(米)，
9.(2024 深圳)如图，为了测量某电子厂的高度，
小明用高 1.8 m 的测量仪 EF 测得顶端 A 的仰角为
45°，小军在小明前面 5 m 处用高 1.5 m 的测量仪
CD 测得顶端 A 的仰角为 53°，则电子厂 AB 的高
A.22.7 m
B.22.4 m
C.21.2 m
D.23.0 m
A
10.(2019 广东)如图，某校教学楼 AC 与实验楼 BD 的水平间距
CD＝ 米，在实验楼顶部 B 点测得教学楼顶部 A 点的仰角是
30°，底部 C 点的俯角是45°，则教学楼 AC的高度是__________
米(结果保留根号).
11.(2023 广东)2023 年 5 月 30 日，神舟十六号载人飞船发射
取得圆满成功，3 名航天员顺利进驻中国空间站.如图中的照片展示
了中国空间站上机械臂的一种工作状态.当两臂 AC＝BC＝10 m，两
臂夹角∠ACB＝100°时，求A，B两点间的距离.(结果精确到0.1 m，
参考数据：sin 50°≈0.766，cos 50°≈0.643，tan 50°≈1.192)
解：如图，连接 AB，过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D，
∵AC＝BC，∠ACB＝100°，
∴AD＝AC·sin ∠ACD＝10×sin 50°≈7.66(m)，
∴AB＝2AD≈2×7.66＝15.32≈15.3(m).
答：A，B 两点间的距离约为 15.3 m.
12.(2024 广州)2024 年 6 月 2 日，嫦娥六号着陆器和上升器组
合体(简称为“着上组合体”)成功着陆在月球背面.某校
综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，
在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从 A
点垂直下降到 B 点，再垂直下降到着陆点C，从 B 点测
得地面 D 点的俯角为 36.87°，AD＝17 米，BD＝10 米.
(1)求 CD 的长；
(2)若模拟装置从 A 点以每秒 2 米的速度匀速下降到 B 点，求
模拟装置从 A 点下降到 B 点的时间.
(参考数据：sin 36.87°≈0.60，cos 36.87°≈0.80，tan 36.87°≈ 0.75)
解：(1)由题意得 AC⊥CD，BE∥CD，
∴∠EBD＝∠BDC＝36.87°，
在 Rt△BCD 中，BD＝10米，
∴CD＝BD·cos 36.87°≈10×0.80＝8(米)，
∴CD 的长约为 8 米.
(2)在 Rt△BCD 中，BD＝10米，∠BDC＝36.87°，
∴BC＝BD·sin 36.87°≈10×0.60＝6(米)，
在 Rt△ACD 中，AD＝17米，CD≈8米，
∴AB＝AC－BC≈15－6＝9(米)，
∴模拟装置从 A 点下降到 B 点的时间约为 9÷2＝4.5(秒).
1.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(4，3)，直线
OA 与 x 轴正半轴的夹角为α，则 cos α的值是(
)
C
A.
3
5
3
B.
4
C.
4
5
D.
4
3
2.如图，在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线，已知 CD
＝5，AC＝6，则 tan A 的值为________.
3.(2025 乐山)如图，在△ABC 中，∠ABC＝45°，∠ACB＝
60°，AC＝2.
(1)求 AB 的长；
(2)求点 C 到线段 AB 的距离.
解：(1)如图，过点 A 作 AJ⊥BC 于点 J.
4.如图，天窗打开后，天窗边缘 AC 与窗框 AB 的夹角为 21°，
若 AC 的长为 a 米，则窗角 C 到窗框 AB 的距离 CD 为(
)
A.a·sin 21°米
B.a·cos 21°米
A
5.如图，B 为地面上一点，测得 B 到树底部 C 的距离为 10 m，
在 B 处放置1 m高的测角仪 BD，测得树顶 A 的仰角为60°，则树
高 AC 为__________m(结果保留根号).
6.(跨学科融合)黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下
江山第一楼”的美誉.在一次综合实践活动中，某数学小组用无人
机测量黄鹤楼 AB 的高度.具体过程如下：如图，将无人机垂直上
升至距水平地面 102 m 的 C 处，测得黄鹤楼顶端 A 的俯角为 45°，
底端 B 的俯角为 63°，则测得黄鹤楼的高度是_______m.(参考数
据：tan 63°≈2)
51
7.如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热
气球上的点 A 测得该楼顶部点C的仰角为60°，测得底
部点 B 的俯角为 45°，点 A 与楼 BC 的水平距离 AD＝
50 m，则这栋楼的高度为_______________m(结果保留
根号).
8.(2025 达州)为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花
湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾，已知无人
机悬停在湖面上的 C 处，工作人员所乘小船在 A 处测得无人机的
仰角为 30°，当工作人员沿正前方向划行 30 米到达 B 处，测得无
人机的仰角为 45°，求无人机离湖面的高度.(结果保留根号)
解：过点 C 作 CD⊥AB，垂足为点 D，
设 BD＝x 米，∵AB＝30 米，
∴AD＝AB＋BD＝(x＋30)米，
在Rt△ACD 中，∠CAD＝30°，
在 Rt△BCD 中，∠CBD＝45°，
∴CD＝BD·tan 45°＝x(米)，
9.(传统文化)如图 1 是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文
化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，
寓意“万瓷之母”.如图 2 ，“大碗”的主视图由“大碗”主体
ABCD 和矩形碗底 BEFC 组成，已知 AD∥EF，AM，DN 是太阳
光线，AM⊥MN，DN⊥MN，点 M，E，F，N 在同一条直线上.
经测量 ME＝FN＝20.0 m，EF＝40.0 m，BE＝2.4 m，∠ABE＝
152°.(结果精确到 0.1 m)
(1)求“大碗”的口径 AD 的长；
(2) 求“大碗”的高度 AM 的长.( 参考数据：sin 62°≈0.88 ，
cos 62°≈0.47，tan 62°≈1.88)
解：(1)∵AM⊥MN，DN⊥MN，∴∠AMN＝∠DNM＝90°.
∵AD∥MN，∴∠DAM＝180°－∠AMN＝90°，
∴四边形 AMND 是矩形，
∴AD＝MN＝ME＋EF＋FN＝20.0＋40.0＋20.0＝80.0(m)，
∴“大碗”的口径 AD 的长为 80.0 m.
(2)如图，延长 CB 交 AM 于点 G，
由题意得 BE ＝GM ＝2.4 m，BG ＝ME ＝20.0 m ，BG⊥AM ，
∠EBG＝90°.
∵∠ABE＝152°，
∴∠ABG＝∠ABE－∠EBG＝152°－90°＝62°，
在 RtABG 中，AG＝BG·tan 62°≈20.0×1.88＝37.6(m)，
∴AM＝AG＋MG≈37.6＋2.4＝40.0(m)，
∴“大碗”的高度 AM 的长约为 40.0 m.

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