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第22讲
菱形、矩形
广东省卷近年中考数学命题分析
命题点 2025 2024 2023 2022 2021
菱形的性质 题 19，1 分 题 15，3 分 题 13，3 分
菱形的判定 题 19，1 分
矩形的性质 题 10，3 分
题 23，2 分 题 18，2 分
题 23，3 分 题 22，3 分
矩形的判定
1.(2025 常州)如图，在菱形 ABCD中，AC，BD是对角线，AB
＝5.若∠ABD＝30°，则 AC 的长是(
)
B
A.4
B.5
C.6
D.10
2.如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，下
)
C
列结论中错误的是(
A.AB＝AD
C.AC＝BD
B.AC⊥BD
D.∠DAC＝∠BAC
3.如图，在菱形 ABCD 中，E，F 分别是 AC，AD 的中点，若
EF＝2，则菱形 ABCD 的周长是________.
16
4.如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，已
知∠ACB＝25°，则∠AOB 的大小是________.
50°
5.如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，AB＝6，
BC＝8，则△COD 的周长为________.
16
6.(2025 德阳)如图，要使平行四边形 ABCD 是矩形，需要增加
)
D
的一个条件可以是(
A.AB∥CD
C.∠B＝∠D
B.AB＝BC
D.AC＝BD
1.菱形
(1)定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
(2)性质：菱形的四条边_______，两条对角线互相__________，
且每一条对角线平分一组__________.
(3)判定方法：
①一组__________相等的平行四边形是菱形；
②对角线互相__________的平行四边形是菱形；
③四条边都__________的四边形是菱形.
相等
垂直平分
对角
邻边
垂直
相等
回练课本
1.(1)如图，四边形 ABCD 是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB
菱
于点 H，则 DH 的长为________；
第(1)题图
第(2)题图
(2)如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，
且 AB＝5，AO＝4，BO＝3，则 ABCD 是______形.
4.8
2.矩形
平分
直角
(1)定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.
(2)性质：矩形的对角线互相_____且相等，四个角都是______.
(3)判定方法：
三
相等
一
①有__________个角是直角的四边形是矩形；
②对角线__________的平行四边形是矩形；
③有__________个角是直角的平行四边形是矩形.
(4)设矩形的长和宽分别为 a，b，则 S矩形＝ab.
回练课本
2.(1)如图，矩形ABCD的对角线 AC，BD 相交于点O，∠AOB
8
40°
＝60°，AB＝4，则 AC 的长为________；
第(1)题图
第(2)题图
(2)如图，在 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OA
＝OD，∠OAD＝50°，则∠OAB 的度数为________.
菱形的性质和判定
1.如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，E 为边
BC 的中点，连接 OE.若 AC＝6，BD＝8，则 OE＝(
)
B
A.2
5
B.
2
C.3
D.4
2.(2025 湖南)如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 互
相垂直平分，AB＝3，则四边形 ABCD 的周长为(
)
C
A.6
B.9
C.12
D.18
3.如图，在 ABCD 中，对角线 BD 的垂直平分线分别与 AD，
BD，BC 相交于点 E，O，F，连接BE，DF，求证：四边形EBFD
是菱形.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠EDO＝∠OBF，
∵O 是 BD 的中点，∴BO＝DO，
∴△DEO≌△BFO(ASA)，∴OE＝OF，
∴四边形 EBFD 是平行四边形，
又∵EF⊥BD，∴四边形 EBFD 是菱形.
4.如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是 BC 边上的中线，点 E
在 DA 的延长线上，连接 BE，过点 C 作 CF∥BE 交 AD 的延长线
于点 F，连接 BF，CE.求证：四边形 BECF 是菱形.
证明：∵AB＝AC，AD 是 BC 边上的中线，
∴AD 垂直平分 BC，∴EB＝EC，FB＝FC，
∵CF∥BE，∴∠BED＝∠CFD，∠EBD＝∠FCD，
∵DB＝CD，∴△EBD≌△FCD(AAS)，
∴BE＝FC，∴EB＝BF＝FC＝EC，
∴四边形 BECF 是菱形.
＝60°，则
＝(
矩形的性质和判定
5.如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O.若∠AOB
AB
BC
)
D
6.(2025 青岛一模)如图，P 是矩形 ABCD 的对角线 BD 上一点，
AB＝3，BC＝5，PE⊥BC 于点 E，PF⊥CD于点 F，连接 AP，EF，
则 AP＋EF 的最小值为__________.
7.如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，过
点 A 作 AF∥BC 交 CE 的延长线于点 F.
(1)求证：FA ＝BD；
(2)连接 BF，若 AB＝AC，求证：四边形 ADBF 是矩形.
证明：(1)∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE，
又∵E 为 AD 的中点，∴AE＝DE，
∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴FA ＝CD，
又∵D 为 BC 的中点，∴BD＝CD，∴FA ＝BD.
(2)∵AF＝BD，AF∥BD，∴四边形 ADBF 是平行四边形，
∵AB＝AC，D 为 BC 的中点，∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，∴四边形 ADBF 是矩形.
菱形和矩形中都有线段的垂直出现，一般证明一个角是直角
或者两条直线垂直，可以综合代数运算和几何性质两个角度考虑.
代数运算如勾股定理的逆定理、三角形内角和等；几何性质如等
腰三角形的三线合一、圆的直径所对的圆周角等.
8.(2022 广东)菱形的边长为 5，则它的周长为________.
9.(2025 广州)如图，菱形 ABCD 的面积为 10，点 E，F，G，
H 分别为 AB，BC，CD，DA 的中点，则四边形 EFGH 的面积为
(
)
20
B
A.
5
2
B.5
C.4
D.8
10.(2023 深圳)如图，在平行四边形 ABCD 中，AB＝4，BC＝
6，将线段 AB 水平向右平移 a 个单位长度得到线段 EF，若四边形
ECDF 为菱形，则 a 的值为(
)
B
A.1
B.2
C.3
D.4
11.(2024 广东)如图，菱形 ABCD 的面积为 24，点 E 是 AB 的
中点，点 F 是 BC 上的动点.若△BEF 的面积为 4，则图中阴影部
分的面积为________.
10
12.(2025 广东)如图，在矩形 ABCD 中，E，F 是 BC 边上的三
等分点，连接 DE，AF 相交于点 G，连接 CG.若 AB＝8，BC＝12，
则 tan ∠GCF 的值是(
)
B
运算能力特训——计算能力
13.(传统文化)(2025 镇江)小方根据我国古代数学著作《九章算
术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原
来高 1 丈(1 丈＝10 尺)，折断后顶端触到墙上距地面 9 尺的点 P
处，墙脚 O 离竹根 A 处 3 尺远.请你解答：折断处 B 离地面多高？
解：如图，过点 B 作 BC⊥OP 于点 C，
由题意得 BA⊥OA，OP＝9 尺，OA＝3 尺，
AB＋BP＝10 尺，OA⊥OP，
∴四边形 OABC 是矩形，
∴BC＝OA＝3 尺，OC＝AB，
设 OC＝AB＝x 尺，
则 BP＝(10－x)尺，CP＝OP－OC＝(9－x)尺，
由勾股定理得 BC2＋CP2＝BP2，
即 32＋(9－x)2＝(10－x)2，
解得 x＝5，即 AB＝5 尺.
答：折断处 B 离地面 5 尺.
14.(2025 北京)如图，在△ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 的
中点，DF⊥BC，垂足为 F，点 G 在 DE 的延长线上，DG＝FC.
(1)求证：四边形 DFCG 是矩形；
(2)若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求 BC 和 AC 的长.
(1)证明：∵D，E 分别为 AB，AC 的中点，
∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE∥BC，
∵DG＝FC，
∴四边形 DFCG 是平行四边形，
又∵DF⊥BC，∴∠DFC＝90°，
∴平行四边形 DFCG 是矩形.
(2)解：∵DF⊥BC，∴∠DFB＝90°，
∵∠B＝45°，
∴△BDF 是等腰直角三角形，
∴BF＝DF＝3，
∵DG＝FC＝5，
∴BC＝BF＋FC＝3＋5＝8.
由(1)可知，DE 是△ABC 的中位线，四边形 DFCG 是矩形，
教材难题生长——思维能力
15.(北师 9 上P19 问题解决改编)(运算能力、几何直观、模型
观念)出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早由三国
时期数学家刘徽提出.“将一个几何图形，任意切成多块小图形，
几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小
图形的面积之和”是该原理的重要内容之一.如
图，在矩形 ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线
AC 与 BD 相交于点O，点 E 为 BC边上的一个动
点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点 F，G，
则 EF＋EG＝________.
16.(人教 8 下P68 拓广探索改编)(几何直观、空间观念、应用
意识)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，
点 D 从点 A 出发沿 AC 方向以 1 cm/s 的速度向终点 C 匀速运动，
过点 D 作 DE∥AB 交 BC 于点 E，过点 E 作 EF⊥BC 交 AB 于点
F，当四边形 ADEF 为菱形时，点 D 运动的时间为________s.
1.如图，点 O 是坐标原点，菱形 ABOC 的顶点 B 在 x 轴的负
半轴上，顶点 C 的坐标为(3，4)，则顶点 A 的坐标为(
)
C
2.若菱形的两条对角线长分别为 6 和 8，则该菱形的面积为
________.
24
13
3.如图，在菱形 ABCD 中，AC＝24，BD＝10，AC，BD 相交
于点 O，若 CE∥BD，BE∥AC，连接 OE，则 OE 的长是_______.
4.如图，在菱形 ABCD 中，AE⊥CD，垂足为点 E，CF⊥AD，
垂足为点 F.求证：AF＝CE.
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AD＝CD.
∵AE⊥CD，CF⊥AD，∴∠AED＝∠CFD＝90°，
∴△AED≌△CFD(AAS)，∴DE＝DF，
∴AD－DF＝CD－DE，∴AF＝CE.
5.如图，在菱形 ABCD 中，AE⊥BC 于点 E，AF⊥CD 于点 F，
连接 EF.
(1)求证：AE＝AF；
(2)若∠B＝60°，则∠AEF 的度数为________.
(1)证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D.
又∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴△ABE≌△ADF(AAS).∴AE＝AF.
(2)60°
6.如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，当△EBC 是等边
三角形时，∠AEB＝(
)
C
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
7.如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠AOD
＝120°，AB＝3，则 AC 的长是________.
6
8.如图，在矩形 ABCD 中，对角线 BD 的垂直平分线分别交边
AB，CD 于点 E，F.若 AD＝8，BE＝10，则 tan ∠ABD＝_______.
9.(2025 吉林)如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 在边 BC 上，
连接 AE，DF，∠BAE＝∠CDF.
(1)求证：△ABE≌△DCF；
(2)当 AB＝12，DF＝13 时，求 BE 的长.
(1)证明：在矩形 ABCD 中，AB＝DC，∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE≌△DCF(ASA).
(2)解：由(1)知△ABE≌△DCF，
10.如图，点 P 是 Rt△ABC 的斜边 AC(不与点 A，C 重合)上一
动点，分别作 PM⊥AB 于点 M，PN⊥BC 于点 N，点 O 是 MN 的
中点，若 AB＝5，BC＝12，当点 P 在 AC 上运动时，BO 的最小值
是________.
30
13
11. 如图，四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，
AD∥BC，∠ABC＝90°，有下列条件：
①AB∥CD，②AD＝BC.
(1)请从以上条件①②中任选 1 个作为条件，
求证：四边形 ABCD 是矩形；
(2)在(1)的条件下，若 AB＝3，AC＝5，求
四边形 ABCD 的面积.
(1)证明：选择①作为条件.∵AD∥BC，AB∥CD，
(或选择②作为条件，∵AD∥BC，AD＝BC，)
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∵∠ABC＝90°，∴四边形 ABCD 是矩形.
(2)解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ABC＝90°.
∴四边形 ABCD 的面积为 AB·BC＝3×4＝12.
12.学习新知：如图 1，图 2，点 P 是矩形 ABCD 所在平面内
任意一点，则有以下重要结论：AP2＋CP2＝BP2＋DP2.该结论的证
明不难，同学们通过勾股定理即可证明.
应用新知：如图3，在△ABC中，CA＝4，CB＝6，D是△ABC
内一点，且 CD＝2，∠ADB＝90°，则 AB 的最小值为________.

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