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第23讲
正方形
广东省卷近年中考数学命题分析
命题点 2025 2024 2023 2022 2021
正方形的
性质 题 23(3)，2 分 题 10＋题 15，3 分
题 20，2 分
题 23，3 分 题 23，3 分
正方形的
判定 题 23(3)，1 分
2022 新课标
重要变化 ①理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形(新增)的概念，以及它们
. .
之间的关系.
②正方形既是矩形，又是菱形.(改动)
③理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系.(新增)
1.(2025 自贡)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 ABCD
的边长为 5，AB 边在 y 轴上，B(0，－2).若将正方形 ABCD 绕点 O
逆时针旋转 90°，得到正方形 A′B′C′D′，则点 D′的坐标为(
)
A.(－3，5)
B.(5，－3)
C.(－2，5)
D.(5，－2)
A
2.如图，在边长为 4 的正方形ABCD中，对角线 AC，BD相交
于点 E，F 为线段 BC 的中点，连接 EF，则线段 EF 的长为(
)
A.
1
4
1
B.
2
C.1
D.2
D
3.一个正方形和一个直角三角形的位置如图摆放，若∠1＝
132°，则∠2 的大小为________度.
48
4.(2025 乐山)如图，在 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于
点 O.小乐同学欲添加两个条件使得四边形 ABCD 是正方形，现有
三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC＝BD；③∠ADC＝90°.则
正确的组合是_______________(只需填一种组合即可).
①②(或①③)
5.如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 平分∠ACB，DE⊥
AC 于 E，DF⊥BC 于 F，求证：四边形 CEDF 是正方形.
证明：∵CD 平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DF，∠DFC＝∠DEC＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴四边形 CEDF 是矩形，
∵DE＝DF，∴矩形 CEDF 是正方形.
1.正方形的定义
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.
回练课本
1.正方形有________条对称轴.
4
2.正方形的性质
(1)正方形既是矩形，又是菱形，所以正方形既有矩形的性质，
又有菱形的性质.
直角
相等
垂直平分
(2)正方形的四个角都是__________，四条边都__________.
(3)正方形的对角线相等且互相__________.
800 m2
回练课本
2.如图，ABCD 是一块正方形场地.小华和小芳在
AB边上取定了一点E，测量知，EC＝30 m，EB＝10 m，
则这块场地的面积是_______，对角线长是_______.
40 m
3.正方形的判定方法
相等
垂直
直角
相等
(1)有一组邻边__________的矩形是正方形.
(2)对角线互相__________的矩形是正方形.
(3)有一个角是__________的菱形是正方形.
(4)对角线__________的菱形是正方形.
正方
回练课本
3.如图，E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 各边的
中点，则四边形 EFGH 是________形.
4.梯形
(1)定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯
形.如图.
(2)面积公式：S梯形＝(上底＋下底)×高÷2.
回练课本
4.如图，在梯形 ABCD 中，AB∥DC，已知∠A＝∠B，求证：
AD＝BC.
平行四边形
CE
∠CEB
∠CEB
CE
证明：如图，过 C 作 CE∥AD，交 AB 于 E.
∵AB∥DC，∴四边形 ADCE 是______________，
∴AD＝________，
∵AD∥CE，∴∠A＝________，
∵∠A＝∠B，∴________＝∠B，
∴________＝BC，∴AD＝BC.
5.梯形、平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的关系
回练课本
5.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：
_________________________________，使得该菱形为正方形.
AC＝BD 或 AB⊥BC 等(答案不唯一)
正方形的性质
1.如图，点 P 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上的一点，PE⊥
AD 于点 E，PE＝3，则点 P 到直线 AB 的距离为________.
3
2.(2025 吉林模拟)如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD
相交于点O，H 为 CD 边中点，正方形 ABCD 的周长为 16，则 OH
的长等于________.
2
3.如图，延长正方形 ABCD 的边 BA 至点 E，使 AE＝BD，则
∠E＝(
)
A
A.22.5°
B.25°
C.30°
D.45°
4.如图，已知正方形 ABCD 的边长为 3，点 P 是对角线 BD 上
的一点，PF⊥AD 于点 F，PE⊥AB 于点 E，连接 PC，当 PE∶PF
＝1∶2 时，则 PC＝(
)
C
5.如图，在矩形 ABCD 中，M，N 分别是边 AD，BC 的中点，
E，F 分别是线段 BM，CM 的中点.
(1)求证：△ABM≌△DCM；
(2)当 AB∶AD 的值为多少时，四边形 MENF 是正方形？请说
明理由.
(1)证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，
∵M 为 AD 中点，∴AM＝DM，
∴△ABM≌△DCM(SAS).
(2)解：当 AB∶AD＝1∶2 时，四边形 MENF 是正方形，
理由：当 AB∶AD＝1∶2 时，
同理∠DMC＝45°，∴∠EMF＝90°，
∵△ABM≌△DCM，∴BM＝CM，
∵M，N 分别是边 AD，BC 的中点，E，F 分别是线段 BM，
CM 的中点，∴FN∥BM，EN∥CM，EM＝FM，
∴四边形 MENF 是菱形，
∵∠EMF＝90°，∴四边形 MENF 是正方形.
6.如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，
点 E，F 是对角线 AC 上的两点，且 AE＝CF，连接 DE，DF，
BE， BF.
(1)求证：四边形 BEDF 是菱形；
(2)若 AB＝4，AE＝ ，求菱形 BEDF 的边长.
(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即 OE＝OF.
∵OB＝OD，∴四边形 BEDF 是平行四边形.
又∵AC⊥BD，∴四边形 BEDF 是菱形.
解题时需注意正方形的以下性质：①对称性，即中心对称和
轴对称；②角度关系，对角线与边的夹角为 45°，常用于构造等
腰直角三角形；③四边相等，用于线段和差的计算.
正方形的判定
)
A
7.满足下列条件的四边形是正方形的是(
A.对角线互相垂直且相等的平行四边形
B.对角线互相垂直的菱形
C.对角线相等的矩形
D.对角线互相垂直平分的四边形
8.(2025 深圳模拟)如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相
交于点 O，OA＝OC，AD∥BC，则下列说法错误的是(
)
A.若 AC＝BD，则四边形 ABCD 是矩形
D
B.若 BD 平分∠ABC，则四边形 ABCD 是菱形
C.若 AB⊥BC 且 AC⊥BD，则四边形 ABCD 是正方形
D.若 AB＝BC 且 AC⊥BD，则四边形 ABCD 是正方形
9.如图， ABCD 的对角线 AC，BD 交于点
径画弧，两弧交于点 P，连接 BP，CP.
(1)试判断四边形 BPCO 的形状，并说明理由；
(2)请说明当 ABCD 的对角线满足什么条件时，四边形 BPCO
是正方形？
解：(1)四边形 BPCO 是平行四边形.
理由：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
由题意得 OB＝CP，BP＝OC，
∴四边形 BPCO 是平行四边形.
(2)当 AC⊥BD 且 AC＝BD 时，四边形 BPCO 是正方形.
∵AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，
∵四边形 BPCO 是平行四边形，
∴四边形 BPCO 是正方形.
10.(2016 广东)如图，正方形 ABCD 的面积为 1，则以相邻两
边中点的连线 EF 为边的正方形 EFGH 的周长为(
)
B
11.(2017 广州)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝110°，
则∠B＝________.
70°
B
12.(2024 广东)完全相同的 4 个正方形面积之和是 100，则正
方形的边长是(
)
A.2
B.5
C.10
D.20
13.(2024 深圳)如图，A，B，C均为正方形，若 A 的面积为 10，
C 的面积为 1，则 B 的边长可以是__________________.(写出一个
答案即可)
2(答案不唯一)
与对角线的交点 O 重合，EF 为折痕，则
的值为(
14.(2025 深圳)如图，将正方形 ABCD 沿 EF 折叠，使得点 A
EF
CG
)
D
15.(2024 广州)如图，点 E，F 分别在正方形 ABCD 的边 BC，
CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2.求证：△ABE∽△ECF.
证明：∵BE＝3，EC＝6，CF＝2，
∴BC＝BE＋EC＝3＋6＝9，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB＝BC＝9，∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECF.
运算能力特训——计算能力
16.(2025 辽宁三模)如图，正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在
边 CD，AD 上，BE 与 CF 交于点 G.若 BC＝4，DE＝AF＝1，则
GF 的长为________.
2.6
17.(2025 山东三模)乐乐从一副七巧板(如图 1)中取出了其中的
六块，拼成了一个平行四边形 ABCD(如图 2)，已知原来七巧板拼
成正方形的边长为 4.
(1)图 2 中小正方形②的边长＝_______；线段 BC＝_______；
(2)求平行四边形 ABCD 对角线 AC 的长.
(2)延长 CB，过点 A 作 AE⊥CB 于点 E，如图 2 所示，
图 2
根据七巧板的特点可知，AB＝4，△ABF为等腰直角三角形，
∴∠ABF＝45°，
∴∠ABE＝90°－45°＝45°，
∵∠AEB＝90°，
∴△ABE 为等腰直角三角形，
教材难题生长——思维能力
18.(人教 8 下P61 综合应用改编)(几何直观、推理能力、模型
观念)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 OABC 为正方形，
若点 A(3，1)，则点 C 的坐标为__________.
(－1，3)
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是(
)
B
A.对角线相等
B.对角线互相平分
C.对角线平分一组对角
D.对角线互相垂直
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4.以AB
为边在点 C 同侧作正方形 ABDE，则正方形 ABDE 的周长为(
)
A.12
B.16
C.20
D.25
C
3.如图，已知点 E 为正方形 ABCD 内一点，△ABE 为等边三
角形，连接 ED，EC，则∠DEC 的度数为(
)
B
A.120°
B.150°
C.108°
D.135°
4.(2025 浙江模拟)如图，在正方形 ABCD 中，AB＝4，E，F
分别为边 AB，BC 的中点，连接 AF，DE，点 G，H 分别为 DE，
AF 的中点，连接 GH，则 GH 的长为(
)
B
5.如图，点 E，F 在正方形 ABCD 的边 AB，BC 上，BE＝CF，
若 CE＝10 cm，求 DF 的长.
解：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，BC＝CD，
∴△CBE≌△DCF(SAS)，∴CE＝DF，
∵CE＝10 cm，∴DF＝10 cm.
6.如图，在矩形 ABCD 中，∠BAD 和∠ADC 的平分线交于
边 BC 上一点 E.点 F 为矩形外一点，四边形 AEDF 为平行四边形.
求证：四边形 AEDF 是正方形.
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠BAD＝∠CDA＝90°.
∵AE，DE 分别平分∠BAD 与∠CDA，
∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE.
∵∠EAD＋∠EDA＋∠AED＝180°，
∴∠AED＝180°－∠EAD－∠EDA＝90°，
∴平行四边形 AEDF 是正方形.
7.如图，四边形 ABCD 为正方形，点 E 在 BD 的延长线上，连
接 EA，EC.
(1)求证：△EAB≌△ECB；
(2)若∠AEC＝45°，求证：DC＝DE.
证明：(1)∵四边形 ABCD 为正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°，
∴△EAB≌△ECB(SAS).
(2)∵四边形 ABCD 为正方形，
∵△EAB≌△ECB，∠AEC＝45°，
∵∠BDC＝∠CED＋∠DCE＝45°，
∴∠DCE＝45°－22.5°＝22.5°，
∴∠DCE＝∠CED，∴DC＝DE.
8.(2025 东莞三模)如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AB＝
BC，AB⊥BC，点 E 是边 CD 的延长线上的动点，连接 AE，过点
C 作 CF⊥AE 于点 F.
(1)求证：四边形 ABCD 是正方形；
四边形 ABCD 的面积.
(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，AB＝BC，
∴平行四边形 ABCD 为菱形，
又∵AB⊥BC，
∴菱形 ABCD 为正方形.
(2)连接 AC，如图所示：
9.如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在边 BC 上，且 BE
＝1，点 F 为对角线 BD 上一动点，连接 CF，EF，则 CF＋EF 的
最小值为________.
10.在正方形 ABCD 中，点 P 是对角线 BD 所在直线上一点，
若点 P 在对角线 BD 上(如图 1)，连接 PC，过点 P 作 PQ⊥CP 交
AB 于点 Q.
(2) 若点 P 在 BD 的延长线上(如图 2) ，连接 AP ，过点 P 作
PE⊥AP，交 BC 的延长线于点 E，连接 DE.若 CE＝8，△DPE 的
面积是 20，则 PE 的长为________.
2

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