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第六章
圆
第24讲
圆的基本性质
广东省卷近年中考数学命题分析
命题点 2025 2024 2023 2022 2021
弦、弧、圆心角的关系
垂径定理与推论
圆心角、圆周角的
定理与推论 题 9，3 分 题 22(1)(2)，8 分 题 7，3 分
2022 新课标重要变化 ①探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的
两条弧.(删除*，改为必学)
②知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等.(新增)
1.(2025 宜宾)如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OC⊥AB 于点 D.若
AB＝8，OC＝5，则 OD 的长是(
)
A.3
B.2
C.6
D.
5
2
A
D
2.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，且 CE＝DE，
∠COB＝52°，则∠DCO 的度数为(
)
A.52°
B.50°
C.48°
D.38°
3.如图，⊙O 是一个盛有水的容器的横截面，⊙O 的半径为
10 cm，水的最深处到水面 AB 的距离为 4 cm，则水面 AB 的宽度
为________cm.
16
4.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点.若∠BOC＝66°，
则∠A＝(
)
B
A.66°
B.33°
C.24°
D.30°
5.(2025 泸州)如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，BD 为⊙O 的
直径.若 AB＝AC，∠ACB＝70°，则∠CBD＝(
)
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
B
35
6.如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，点 D 是⊙O
上一点，∠CDB＝55°，则∠ABC＝________°.
7.如图，AB 是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝
115°，则∠BAC 的度数是(
)
A.25°
B.30°
C.35°
D.40°
A
1.圆的有关概念及性质
(1)圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫
做圆，圆既是轴对称图形也是中心对称图形.
(2)圆具有对称性和旋转不变性.
(3)不共线的三点确定一个圆.
(4)圆上各点到圆心的距离都等于半径.
(5)圆上任意两点间的部分叫做弧，大于半圆周的弧称为优弧，
小于半圆周的弧称为劣弧.
(6)连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.
(7)弧、弦、圆心角的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的________相等，
所对的________也相等.
弧
弦
圆心角
弦
推论：在同圆或等圆中，两个________、两条弧、两条______
中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等.
回练课本
1.如图，AB，CD 是⊙O 的两条弦.
(1)如果 AB＝CD，那么___________，∠AOB＝∠COD；
︵ ︵
(2)如果AB＝CD，那么___________，_________________；
(3)如果∠AOB＝∠COD，那么__________，__________；
(4)如果 AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为 E，F，那
么 OE________OF.
︵ ︵
AB＝CD
AB＝CD
∠AOB＝∠COD
︵ ︵
AB＝CD
AB＝CD
＝
2.垂径定理
直径
平分
平分
平分
(1)定理：垂直于弦的__________平分弦，并且__________弦
所对的两条弧.
平分
平分
(2)推论 1 ：①平分弦 ( 不是直径 ) 的直径垂直于弦 ， 并且
__________弦所对的两条弧.
②弦的垂直平分线经过圆心，并且__________弦所对的两条
弧.
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直__________ 弦，并且
__________弦所对的另一条弧.
(3)推论 2：圆的两条平行弦所夹的__________相等.
注意：轴对称性是圆的基本性质，垂径定理及其推论就是根
据圆的轴对称性总结出来的，它们是证明线段相等、角相等、垂
直关系、弧相等和一条弦是直径的重要依据.遇弦作弦心距是圆中
常用的作辅助线的方法.
弧
回练课本
2.(1)如图，在⊙O 中，弦 AB 的长为 8 cm，圆心 O 到 AB 的距
离为 3 cm，则⊙O 的半径为___________；
第(1)题图
第(2)题图
(2)如图，在⊙O 中，AB，AC 为互相垂直且相等的两条弦，
OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为 D，E，则四边形 ADOE 是_____
形.
5 cm
正方
3.与圆有关的角及其性质
(1)圆心角：顶点在圆心，角的两边和圆相交的角叫做圆心角.
圆周角：顶点在圆上且角的两边和圆相交的角叫做圆周角.
(2)圆周角定理
一半
圆周角
直角
直径
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_________.
推论：①同弧或等弧所对的__________相等.
②半圆(或直径)所对的圆周角是__________，90°的圆周角所
互补
对的弦是圆的__________.
③圆内接四边形的对角__________.
回练课本
3.(1)如图，在⊙O 中，∠BOD＝70°，则∠A＝________，∠C
＝________；
第(1)题图
第(2)题图
(2)如图，⊙O 的直径 AB＝10 cm，C 为⊙O 上的一点，∠B＝
30°，则 AC 的长为_______.
35°
145°
5 cm
垂径定理
1.如图，OA，OB，OC 都是⊙O 的半径，AC，OB 交于点 D.
)
若 AD＝CD＝8，OD＝6，则 BD 的长为(
A.5
B.4
C.3
D.2
B
B
2.(传统文化)赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中
国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为 37 m，
)
拱高约为 7 m，则赵州桥主桥拱半径 R 约为(
A.20 m
B.28 m
C.35 m
D.40 m
3.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，且 CD⊥AB 于
点 E，连接 AC，OC，BC.求证：∠ACO＝∠BCD.
证明：连接 BD，∵CD⊥AB，
︵ ︵
∴BC＝BD，∴∠A＝∠BCD，
又∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD.
圆心角和圆周角
4.如图，点 A，B，C 在⊙O 上，若∠C＝55°，则∠AOB 的度
数为(
)
A.95°
B.100°
C.105°
D.110°
D
D
5.如图，AD 是⊙O 的直径，弦 BC 交 AD 于点 E，连接 AB，
AC，若∠BAD＝30°，则∠ACB 的度数是(
)
A.50°
B.40°
C.70°
D.60°
6.(2025 青海)如图，AB是⊙O的直径，∠CAB＝40°，则∠ADC
的度数是(
)
A.80°
B.50°
C.40°
D.25°
B
7.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，
∠ACD＝30°.
(1)求∠BAD 的度数；
(2)若 AD＝ ，求 DB 的长.
解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠ACD＝30°，
∴∠BAD＝90°－∠B＝90°－30°＝60°.
(2)由(1)知∠B＝30°，
解题时注意寻找同弧或等弧所对的圆周角或圆心角，并牢记
“直径所对的圆周角是直角”.
︵
8.如图，已知点 A，B，C 在⊙O 上，C 为AB的中点.若∠BAC
＝35°，则∠AOB 等于(
)
A.140°
B.120°
C.110°
D.70°
A
9.如图，点 A，B，C 在半径为 2 的⊙O 上，∠ACB＝60°，
OD⊥AB，垂足为 E，交⊙O 于点 D，连接 OA，则 OE 的长度为
________.
1
10.如图，OA，OB，OC 都是⊙O 的半径，
∠ACB＝2∠BAC.
(1)求证：∠AOB＝2∠BOC；
(2)若 AB＝4，BC＝ ，求⊙O 的半径.
2∠BAC，
∴∠AOB＝2∠BOC.
(2)解：过点 O 作半径 OD⊥AB 于点 E，连接 DB，∴AE＝BE，
11.(2017 广州)如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，
垂足为 E，连接 CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是
(
)
A.AD＝2OB
B.CE＝EO
C.∠OCE＝40°
D.∠BOC＝2∠BAD
D
12.(2023 广东)如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC＝50°，则∠D
＝(
)
A.20°
B.40°
C.50°
D.80°
︵ ︵
13.(2018 广东)同圆中，已知AB所对的圆心角是 100°，则AB所
对的圆周角是__________.
B
50°
14.(2023 深圳)如图，在⊙O 中，AB 为直径，C 为圆上一点，
∠BAC 的角平分线与⊙O 交于点 D，若∠ADC＝20°，则∠BAD＝
________°.
35
15.(2022 广东)如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，
AC 为⊙O 的直径，∠ADB＝∠CDB.
(1)试判断△ABC 的形状，并给出证明；
(2)若 AB＝ ，AD＝1，求 CD 的长度.
解：(1)△ABC 是等腰直角三角形，证明如下：
∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC＝90°，
︵ ︵
∵∠ADB＝∠CDB，∴AB＝BC，∴AB＝BC，
∴△ABC 是等腰直角三角形.
(2)由(1)知，△ABC 是等腰直角三角形.
∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC＝90°.
1.(2025 常州)如图，⊙O 的半径为 2，直径 AB，CD 互相垂直，
︵
则BC的长是(
)
C
A.
π
4
π
B.
2
C.π
D.2π
2.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，⊙P 经过点 O，与 y 轴交
于点 A(0，6)，与 x 轴交于点 B(8，0)，则 OP 的长为________.
5
3.(传统文化)赵州桥始建于隋朝，由匠师李春设计建造，屹立
千年而不倒，是我国著名的历史文物.如图为某圆弧形石拱桥的侧
面图，桥的跨径 AB＝18 m，拱高 CD＝5 m，则石拱桥的半径为
________m.
4.如图，AB 是⊙O 的直径，位于 AB 两侧的点 C，D 均在⊙O
上，∠BOC＝30°，则∠ADC＝________°.
75
5.如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，E 为 BC 延长线上一点，
∠DCE＝64°，则∠BOD 的度数是________.
128°
6.如图，在⊙O 中，弦 AB＝6 cm，∠ACB＝30°，则⊙O 的
半径是(
)
A
A.6 cm
B.8 cm
C.10 cm
D.12 cm
7.如图，已知 AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且 AB⊥CD 于点
E.连接 AC，OC，BC.
(1)求证：∠CAO＝∠BCD；
(2)若 BE＝3，CD＝8，求⊙O 的直径.
8.如图，在△ADE 中，DE＝6，以 DE 为直径的半圆交△ADE
)
的边于 B，C 两点，点 O 为圆心，且 AB＝BC，则 AE的长为(
A.3
B.9
C.7.5
D.6
D
9.(2025 长沙)如图，AC，BC 为⊙O 的弦，连接 OA，OB，OC.
)
若∠AOB＝40°，∠OCA＝30°，则∠BCO 的度数为(
A.40°
B.45°
C.50°
D.55°
C
10.一次综合与实践的主题为“只用一张矩形纸条和刻度尺，
测量一次性纸杯杯口的直径”.小明同学所在的学习小组为该主题
设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边
沿分别与杯口相交于 A，B，C，D 四点，然后利用刻度尺量得该
纸条的宽为 7 cm，AB＝8 cm，CD＝6 cm.根据上述数据计算纸杯
杯口的直径.
解：如图，作 MN⊥AB，MN 过圆心 O，连接 OD，OB，
∴MN＝7 cm，
∵CD∥AB，∴MN⊥CD，
设 OM＝x cm，∴ON＝MN－OM＝(7－x)cm，
∵OM2＋MD2＝OD2，ON2＋BN2＝OB2，
∴OM2＋MD2＝ON2＋BN2，
∴x2＋32＝(7－x)2＋42，∴x＝4，
∴纸杯杯口的直径为 5×2＝10(cm).
11.如图，在矩形 ABCD中，AB＝8，AD＝6，点 E是 BC 右侧
一动点且 CE⊥BE，点 G 是 AB 上一点，点 F 是 DE 的中点，若
∠DGE＝90°，则 FG 的最大值为____________.
12.四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，点 E 为 BC 延长线上
一点，BD＝AD.
(1)如图 1，若∠DCE＝60°，求证：△ABD 为等边三角形；
(2)如图 2，对角线 AC，BD 交于点 F，AC⊥BD，若 DF＝3，
AF＝4，求⊙O 的半径长.
(1)证明：∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，点 E 为 BC
延长线上一点，
∴∠DCB＋∠BAD＝∠DCE＋∠DCB＝180°，
∴∠DCE＝∠BAD＝60°，
∵BD＝AD，∴△ABD 为等边三角形.
(2)解：如图，作 DH⊥AB 于点 H，连接 OB.

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