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第25讲
点、线与圆的位置关系
广东省卷近年中考数学命题分析
命题点 2025 2024 2023 2022 2021
切线的性质 题 17，7 分 题 22(2)，
2 分
切线的判定 题 17(2)，4 分 题 24(2)，3 分
点、线与圆的
位置关系 题 23(3)，6 分
2022 新课标
重要变化 ①探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点
画圆的切线.(删除)
*
② 能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线.(新增)
1.(2025 淮安一模)已知⊙O 的半径为 3，A 为线段 PO 的中点，
则当 OP＝5 时，点 A 与⊙O 的位置关系为(
)
A.点在圆内
C.点在圆外
B.点在圆上
D.不能确定
A
2.如图，MN 是⊙O 的切线，M 是切点，连接 OM，ON.若∠N
＝37°，则∠MON 的度数是________.
53°
3.如图，点 P 为⊙O 外一点，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，
PO 交⊙O 于点 B，∠P＝30°，OB＝3，则线段OP的长为(
)
A.3
B.
C.6
D.9
C
4.如图，PA ，PB 与⊙O 分别相切于点 A，B，PA ＝2，∠P＝
60°，则 AB＝(
)
B
5.(2025 徐州节选)如图，⊙O 为正三角形 ABC 的外接圆，直
线 CD 经过点 C，CD∥AB.判断直线 CD 与⊙O 的位置关系，并说
明理由.
解：CD 与⊙O 相切，理由如下：
连接 OB，OC，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∵OB＝OC，∴∠OCB＝30°，
∵CD∥AB，∴∠ABC＝∠BCD＝60°，
∴∠OCD＝∠BCO＋∠BCD＝90°，
∴OC⊥CD，
又∵OC 是半径，∴CD 与⊙O 相切.
1.点与圆的位置关系有三种：
如果圆的半径为 r，某一点到圆心的距离为 d，那么：
(1)点在圆外
(2)点在圆上
(3)点在圆内
d＞r；
d＝r；
d＜r.
内
上
外
回练课本
1.⊙O 的半径 r＝10 cm，点 P 到圆心 O 的距离为 d.
(1)当 d＝8 cm 时，点 P 在⊙O________；
(2)当 d＝10 cm 时，点 P 在⊙O________；
(3)当 d＝12 cm 时，点 P 在⊙O________.
位置关系 相离 相切 相交
图形
公共点个数 0 1 2
数量关系 d＞r d＝r d＜r
2.直线与圆的位置关系有三种：相离、相切和相交
回练课本
2.⊙O 的半径是 6.5 cm，如果圆心与直线 l 的距离为 d：
(1)当 d＝4.5 cm 时，直线 l 和⊙O______，有________个公共
点；
相交
2
相切
1
相离
0
(2)当 d＝6.5 cm 时，直线 l 和⊙O______，有________个公共
点；
(3)当 d＝8 cm 时，直线 l 和⊙O________，有________个公共
点.
3.切线的性质与判定
垂直
(1)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
(2)切线的判定定理：经过半径的外端并且________于这条半
径的直线是圆的切线.
回练课本
3.(1)如图，AB 是⊙O 的直径，AT 是⊙O 的切线，则∠BAT 的
度数为________；
(2)如图，AB 是⊙O 的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB，则 AT
是⊙O 的________.
90°
切线
4.*切线长定理
平分
(1)切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线
段的长，叫做这点到圆的切线长.
(2)定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相
等，这一点和圆心的连线________两条切线的夹角.
回练课本
4.已知⊙O 的半径为 3 cm，点 P 和圆心 O 的距离为 6 cm.过点
P 画⊙O 的两条切线，则这两条切线的切线长分别为__________，
__________.
点、直线与圆的位置关系
1.(2025 镇江一模)已知矩形 ABCD 中，AB＝a，BC＝b，若以
AB 为直径的圆与边 CD 有交点，则 a 与 b 满足的关系为(
)
A.a≥2b
B.a＞2b
C.a＞b
D.a≥b
2.在平面直角坐标系 xOy 中，以点(－3，4)为圆心，4 为半径
的圆与 x 轴的位置关系是(
)
A.相交
B.相离
C.相切
D.无法判断
A
C
3.如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.以 C 为圆
心作⊙C，如果⊙C 与斜边 AB 有两个公共点，那么⊙C 的半径长
)
R 的取值范围是(
A.0＜R＜2.4
C.2.4＜R≤3
B.R＜2.4
D.2.4＜R≤4
C
切线的性质与判定
4.(2025 湖南一模)如图，直线 AB，CD 相交于点 O，∠AOD
＝30°，半径为 1 cm 的⊙P 的圆心在射线OA 上，且与点O 的距离
为 6 cm. 如果⊙P 以 1 cm/s 的速度沿 A 到 B 的方向移动，那么
__________s 后⊙P 与直线 CD 相切.
4 或 8
5.如图，点 A 是⊙O 外一点，AB，AC 分别与⊙O 相切于点 B，
C，点 D 在 上.已知∠A＝50°，则∠D 的度数是________.
65°
6.如图，AC 是⊙O 的切线，B 为切点，连接 OA，OC.若∠A
＝30°，AB＝ ，BC＝3，则 OC 的长度是(
)
C
(2)若BF＝1，sin∠AFE＝ ，求BC的长.
7.如图，AB 是⊙O 的直径，点 C，E 在⊙O 上，∠CAB＝
2∠EAB，点 F 在线段 AB 的延长线上，且∠AFE＝∠ABC.
(1)求证：EF 与⊙O 相切；
(1)证明：连接 OE，∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，∴∠FOE＝∠OAE＋∠OEA＝2∠OAE，
∵∠CAB＝2∠EAB，∴∠CAB＝∠FOE，
∵∠AFE＝∠ABC，∴∠CAB＋∠ABC＝∠FOE＋∠AFE，
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＋∠ABC＝90°＝∠FOE＋∠AFE，
∴∠OEF＝90°，即 OE⊥EF，
∵OE 是半径，∴EF 与⊙O 相切.
(2)解：设半径为 r，即 OE＝OB＝r，则 OF＝r＋1，
︵
8.如图，AB 为⊙O 的直径，E 为⊙O 上一点，点 C 为EB的中
点，过点 C 作 CD⊥AE，交 AE 的延长线于点 D，延长 DC 交 AB
的延长线于点 F.求证：CD 是⊙O 的切线.
证明：连接 OC，
︵ ︵ ︵
∵点 C 为EB的中点，∴EC＝BC，∴∠EAC＝∠BAC，
∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，∴∠EAC＝∠OCA，
∴AE∥OC，∴∠ADC＝∠OCF，
∵CD⊥AE，∴∠ADC＝90°，
∴∠OCF＝90°，即 OC⊥DF.
又∵OC 为⊙O 的半径，
∴CD 是⊙O 的切线.
9.(2025 青海)如图，线段 AB 经过圆心 O，交⊙O 于点 A，C，
AD 为⊙O 的弦，连接 BD，∠A＝∠B＝30°.
(1)求证：直线 BD 是⊙O 的切线；
︵
(2)已知 BC＝2，求DC的长(结果保留π).
(1)证明：连接 OD，
∵∠A＝∠B＝30°，
∴∠BOD＝2∠A＝60°，
∴∠ODB＝180°－∠B－∠BOD＝90°，
∵OD 是⊙O 的半径，且 BD⊥OD，
∴直线 BD 是⊙O 的切线.
(2)解：∵∠ODB＝90°，∠B＝30°，OD＝OC，
∴OB＝2OD＝2OC，
∵BC＝OB－OC＝2OC－OC＝OC，且 BC＝2，
∴OC＝2，
∵∠COD＝60°，
当已知一条直线和圆有一个公共点时，可以连接圆心和这个
公共点，然后证明直线与这条半径垂直，即可得该直线为圆的切
线.
10.(2025广东)如图，点O是Rt△ABC斜边AC边上的一点，
以 OA 为半径的⊙O 与边 BC 相切于点 D.求证：AD 平分∠BAC.
证明：连接 OD，
∵⊙O 与边 BC 相切于点 D，∴OD⊥BC，
∵∠ABC＝90°，∴OD∥AB，∴∠ODA＝∠BAD，
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠BAD＝∠OAD，∴AD 平分∠BAC.
11.(2023 深圳)如图，在单位长度为 1 的网格中，点 O，A，B
均在格点上，OA＝3，AB＝2，以 O 为圆心，OA 为半径画圆，请
按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点 A 作切线 AC，且 AC＝4(点 C 在 A 的上方)；
②连接 OC，交⊙O 于点 D；
③连接 BD，与 AC 交于点 E.
(1)求证：BD 为⊙O 的切线；
(2)求 AE 的长度.
解：如图.
(1)证明：∵AC 是圆的切线，
由题意得 OD＝OA＝3，OB＝OC＝5，∠AOC＝∠DOB，
∴△AOC≌△DOB(SAS)，∴∠ODB＝∠OAC＝90°，
∵OD 是圆的半径，∴BD 为⊙O 的切线.
(2)∵∠CDE＝∠CAO＝90°，∠C＝∠C，
∴AE＝AC－CE＝4－2.5＝1.5.
∴CD＝ AB＝AD，
12.(2025深圳节选)如图1，在Rt△ABC中，D是AB的中点，
AE＝CD，AD＝EC.
(1)求证：四边形 ADCE 为菱形.
证明：∵AD＝CE，CD＝AE，
∴四边形 ADCE 为平行四边形，
又∵∠ACB＝90°，且 D 为 AB 中点，
∴平行四边形 ADCE 为菱形.
(2)如图 2，若点 O 为 AC 上一点，且 E，A，D 三点均在⊙O
上，连接 OD，CD 与⊙O 相切于点 D，
①∠ACD＝________°；
30
②AC＝4，求⊙O 的半径 r.
解：设半径为 r，∵AC＝4，∴OC＝4－r，
∵∠ACD＝30°，∠CDO＝90°，
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是AB
边上的高，AB＝4.若圆 C 是以点 C 为圆心，2 为半径的圆，则下
列说法正确的是(
)
D
A.点 D 在圆 C 上，点 A，B 均在圆 C 外
B.点 D 在圆 C 内，点 A，B 均在圆 C 外
C.点 A，B，D 均在圆 C 外
D.点 A 在圆 C 外，点 D 在圆 C 内，点 B 在圆 C 上
2.在同一平面内，已知⊙O 的半径为 2，圆心 O 到直线 l 的距
离为 3，点 P 为圆上的一个动点，则点 P 到直线 l 的最大距离是
(
)
B
40°
A.2
B.5
C.6
D.8
3.如图，在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，过点 C 的切线与
AB 的延长线交于点 D，若∠A＝25°，则∠D 的度数为_______.
4.(2025 福建)如图，PA 与⊙O 相切于点 A，PO 的延长线交
⊙O 于点 C，AB∥PC，且交⊙O 于点 B.若∠P＝30°，则∠BCP
的大小为(
)
C
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
5.为了测量一个圆形铁环的半径，小华采用了如下方法：将铁
环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的直角三角尺和一个刻度
尺，按如图所示的方法得到有关数据，进而求得铁环的半径，若
测得 AB＝10 cm，则铁环的半径是____________.
6.如图，点 O 是△ABC 外接圆的圆心，点 I 是△ABC 的内心，
连接 OB，IA.若∠CAI＝35°，则∠OBC 的度数为________.
20°
7.如图，△ABC 的内切圆⊙I 与BC，CA，AB分别相切于点D，
E，F，若⊙I 的半径为 r，∠A＝α，则BF＋CE－BC的值和∠FDE
)
的大小分别为(
D
8.如图，在△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径的⊙O 交 BC
于点 D，过点 D 作 DE⊥AC，垂足为点 E，ED 的延长线交 AB 的
延长线于点 F.求证：直线 EF 是⊙O 的切线.
证明：连接 OD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，
∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°，∴∠ODE＝90°，∴OD⊥EF，
∵OD 是⊙O 的半径，∴直线 EF 是⊙O 的切线.
︵
9.如图，在⊙O 中，AB 是直径，AE 是弦，点 F 是AE上一点，
︵ ︵
AF＝BE，AE，BF 交于点 C，点 D 为 BF 的延
长线上一点，且∠CAD＝∠CDA.
(1)求证：AD 是⊙O 的切线；
︵ ︵
(1)证明：∵AF＝BE，∴∠ABF＝∠BAE，
∵∠CAD＋∠BAE＋∠CDA＋∠ABF＝180°，
且∠CAD＝∠CDA，
∴2(∠CAD＋∠BAE)＝180°，
∴∠OAD＝∠CAD＋∠BAE＝90°，
∵OA 是⊙O 的半径，且 AD⊥OA，∴AD 是⊙O 的切线.
10.如图，BC 与⊙O 相切于点 C，线段 BO 交⊙O 于点 A，过
径等于________.
5
11.(2025 济南)如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，P
为⊙O 外一点，OP∥AC，且∠OBP＝90°，连接 PC.
(1)求证：PC 与⊙O 相切；
(2)若 AO＝3，OP＝5，求 AC 的长.
(1)证明：如图，连接圆的半径 OC，
∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，
∵OP∥AC，∴∠OAC＝∠BOP，∠OCA＝∠COP，
∴∠COP＝∠BOP，
∵OP＝OP，OC＝OB，
∴△COP≌△BOP(SAS)，
∴∠OCP＝∠OBP＝90°，∴OC⊥PC，
∴PC 与⊙O 相切.
(2)解：如图，连接 BC 交 OP 于点 D，
由(1)知 PC＝PB，OB＝OC，
∴OP 垂直平分 BC，
∵AO＝BO＝3，OP＝5，∠OBP＝90°，
12.如图，点 A，O 在网格中小正方形的顶点处，每个小方格
的边长为 1，在此网格中找两个格点(即小正方形的顶点)B，C，使
点 O 为△ABC 的外心，则 BC 的长度是________.

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