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(共46张PPT)
第31讲
概
率
广东省卷近年中考数学命题分析
命题点 2025 2024 2023 2022 2021
概率公式 题 9，3 分 题 6，3 分 题 7，3 分 题 7，
3 分
用列表法或
画树状图法
求概率 题 3，3 分
1.(2025 武汉)掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面
上分别标有 1 到 6 的数字.下列事件是必然事件的是(
)
A.向上两面的数字和为 5
C.向上两面的数字和大于 12
B.向上两面的数字和大于 1
D.向上两面的数字和为偶数
2.(跨学科融合)小明从《红星照耀中国》《红岩》《长征》《钢
铁是怎样炼成的》四本书中随机挑选一本，其中拿到《红星照耀
中国》这本书的概率为________.
B
3.如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘 1
次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是(
)
C
4.一个不透明的盒子中装有若干个红球和 5 个黑球，这些球除
颜色外均相同.经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在
0.25 左右，则盒子中红球的个数约为________.
15
A
5.先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、
第二次反面向上的概率是(
)
A.
1
4
B.
1
3
C.
1
2
D.
3
4
6.(2025 吉林)在“健康中国 2030”与“体重管理年”的行动
引领下，某校田径社团开展了“2025 健康长跑”活动.由于参加的
人数较多，场地空间有限，活动将分 A，B，C 三组进行，每人只
能被随机分配到其中一组，分组工作由计算机软件完成.请用画树
状图或列表的方法，求参与者小刚和小利被分配到同一组的概率.
解：画树状图如下：
共有 9 种等可能的结果，其中小刚和小利被分配到同一组的
结果有 3 种，
1.事件的分类
生活中的事件分为________事件和________事件，确定事件
又分为________事件和________事件.
回练课本
1.下列事件中，________是必然事件，_______是不可能事件，
________是随机事件(填序号).
①通常加热到 100 ℃时，水沸腾；②篮球队员在罚球线上投
篮一次，未投中；③掷一次骰子，向上一面的点数是 6；④任意画
一个三角形，其内角和是 360°.
确定
不确定
必然
不可能
①
④
②③
2.概率
大小
1
0
(1)表示一个事件发生的可能性________的数叫做该事件的概
率.
(2)概率的性质
①必然事件发生的概率为________，即 P(必然事件)＝1；
②不可能事件发生的概率为________，即 P(不可能事件)＝0；
③如果 A 为不确定事件，那么 0＜P(A)＜1；
④P(A)的范围是 0≤P(A)≤1.
回练课本
2.掷一枚质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，求下列事件
的概率：
(1)P(点数为 2)＝________；
(2)P(点数为奇数)＝______________；
(3)P(点数大于 2 且小于 5)＝________.
3.概率的计算方法
有可能出现结果的次数).
(2)两步事件的概率：
①计算简单事件发生的概率的方法有__________法(包括列表
格、画树状图)；
②通过大量的重复__________时，频率可视为事件发生概率
的估计值.
(1)一步事件的概率：P＝ (k表示关注结果的次数，n表示所
列举
试验
回练课本
3.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率：
(1)P(两枚硬币全部正面向上)＝________；
(2)P(两枚硬币全部反面向上)＝________；
(3)P(一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上)＝________.
确定事件与随机事件
1.(2025 湖北模拟)下列事件中，是必然事件的是(
)
A.买一张电影票，座位号是 3 的倍数
B.投掷一枚均匀的骰子，朝上一面点数为奇数
C.367 个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日是
同月同日
C
D.一名射击运动员在某种条件下射中 9 环
2.掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是(
)
A.点数的和为 1
C.点数的和大于 12
B.点数的和为 6
D.点数的和小于 13
概率公式
3.在平面直角坐标系中有五个点，分别是 A(1，2)，B(－3，4)，
C(－2，－3)，D(4，3)，E(2，－3)，从中任选一个点恰好在第一
象限的概率是________.
B
偏瘦 标准 超重 肥胖
80 350 46 24
4.如下表是某中学统计的七年级 500 名学生体重情况(单位：
人) ，在该年级随机抽取一名学生，该生体重为标准的概率是
________.
7
10
5.(2025 山西)如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意
图，程序规则为：每点击一次按钮，“
向右随机移动到相邻的一个格子.当“
”就从一个格子向左或
”位于格子 A 时，小明
连续点击两次按钮，“
”回到格子 A 的概率是____.
6.在一个不透明的口袋中装有红球和白球共 12 个，这些球除
颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出 1 个球，记
下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球 200 次，
发现有 50 次摸到红球，则口袋中红球约有________个.
3
用列表法或画树状图法求概率
7.(跨学科融合)小明在学完物理“电学”知识后，进行“灯泡
亮了”的实验，设计了如图所示的电路图，电路图上有 5 个开关
S1，S2，S3，S4，S5和一个小灯泡，当开关S1闭合时，再同时闭
合开关S2，S3或S4，S5都可以使小灯泡发亮.
(1)当开关S1，S2已经闭合时，再任意闭合开
关S3，S4，S5中的一个，小灯泡能亮起来的概率是
________；
(2)当开关S1已经闭合时，再任意闭合开关S2，S3，S4，S5中
的两个，请用列表或画树状图的方法求小灯泡能亮起来的概率.
解：画树状图如下：
共有 12 种等可能的结果，其中能使小灯泡能亮起来有 4 种可
能，
8.(红色文化)某中学举办“传承红色精神，讲好阜新故事”演
讲比赛，共设置“海州矿精神”“三沟精神”“治沙精神”三个
主题，每位选手随机选取一个主题参赛.如果小明和小宇都参加比
赛，他们同时选中主题“海州矿精神”的概率是(
)
A.
1
2
1
B.
3
C.
1
6
D.
1
9
9.用数字 0，1，2，3 组成个位数字与十位数字不同的两位数，
其中是偶数的概率为________.
D
10.(跨学科融合)有 4 张分别印有 Q 版西游图案的卡片：A 唐
僧、B 孙悟空、C 猪八戒、D 沙悟净.现将这 4 张卡片(卡片的形状、
大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出 1
张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出 1 张卡片.求下列事
件发生的概率：
(1)第一次取出的卡片图案为“B 孙悟空”的概率为_______；
(2)用画树状图或列表的方法，求取出的 2 张卡片中至少有 1
张图案为“A 唐僧”的概率.
解：画树状图为：
共有 16 种等可能的结果，其中取出的 2 张卡片中至少有 1 张
图案为“A 唐僧”的结果数为 7，
∴取出的 2 张卡片中至少有 1 张图案为“A 唐僧”的概率＝
7
16
.
11.(2025 江西)校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做
游戏活动. 每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻
方”“数独”“华容道”“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与
者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废.
B
(1)若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事
件是________；
A.必然事件
B.随机事件
C.不可能事件
(2)若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画
树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁
班锁”卡片盲盒的概率.
解：设“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”分别用 A，B，
C，D 表示，树状图如下所示：
由上可得，一共有 12 种等可能的结果，其中两人恰好抽中装
着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的结果有 2 种，
∴两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒
当问题涉及的操作步骤较少(两步)，且每一步的操作结果可以
明确列出时，可以优先选择列表法；当问题涉及的操作步骤较多
时，采用树状图法结果会更加清晰.
12.为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部
署，教育部印发了《全国青少年学生读书行动实施方案》，于是某
中学开展了以“书香润校园，好书伴成长”为主题的系列读书活
动.学校为了解学生周末的阅读情况，采用随机抽样的方式获取了
若干名学生的周末阅读时间数据，整理后得到下列不完整的图表.
类别 A 类 B 类 C 类 D 类
阅读时长 t/时 0≤t＜1 1≤t＜2 2≤t＜3 t≥3
频数 8 m n 4
(1)此次调查共抽取了________ 名学生，m＝________，n ＝
________.
40
18
10
(2)扇形统计图中，B 类所对应的扇形的圆心角是多少度？
(3)已知在 D 类的 4 名学生中有两名男生和两名女生，若从中
随机抽取两人参加阅读分享活动，请用列表或画树状图的方法求
出恰好抽到一名男生和一名女生的概率.
(3)画树状图如下：
共有 12 种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生
的结果有 8 种，
13.(2023 广东)某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的
“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4 门课程中随机选择一门学
习，每门课程被选中的可能性相等.小明恰好选中“烹饪”的概率
为(
)
A.
1
8
B.
1
6
C.
1
4
D.
1
2
C
14.(2024 广东)长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏
羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化.若从上述四
种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中巴蜀文化的
概率是(
)
A.
1
4
B.
1
3
C.
1
2
D.
3
4
A
15.(2025 广东)如图，在直径 BC 为 的圆内有一个圆心角
为 90°的扇形 ABC.随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的
概率为(
)
D
1
A.
5
1
B.
4
C.
1
3
D.
1
2
1.下列说法正确的是(
)
A.10 张票中有 1 张奖票，10 人去摸，先摸的人摸到奖票的概
率较大
B.从 1，2，3，4，5 中随机抽取一个数，取到偶数的可能性
较大
C.小强一次掷出 3 颗质地均匀的骰子，3 颗全是 6 点朝上是随
机事件
C
2.任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是(
)
C
A.面朝上的点数是 6
B.面朝上的点数是偶数
C.面朝上的点数大于 2
D.面朝上的点数小于 2
3.(数学文化)七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜
爱的益智玩具.现将 1 个七巧板、2 个九连环、1 个华容道、2 个鲁
班锁分别装在 6 个不透明的盒子中(每个盒子装 1 个)，所有盒子除
里面的玩具外均相同.从这 6 个盒子中随机抽取 1 个盒子，抽中七
巧板的概率是(
)
D
A.
1
2
1
B.
3
1
C.
4
1
D.
6
4.(2025 内江)在英文单词 banana 中任选一个字母，字母 a 被
选中的概率是_______.
0.5
B
5.(2025 福建)在分别写有－1，1，2 的三张卡片中，不放回地
随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是(
)
A.
1
4
1
B.
3
1
C.
2
D.
2
3
6.(跨学科融合)如图，电路图上有四个开关 A，B，C，D 和一
个小灯泡，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是(
)
A.
1
2
1
B.
3
1
C.
4
1
D.
6
A
7.吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银
山”为指引，不断加大冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动.
某滑雪场为吸引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运
游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽
取一个免费游玩.若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或
列表的方法，求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率.
解：把“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目分别记为
A，B，C，画树状图如下：
共有 9 种等可能的结果，其中幸运游客小明与小亮恰好抽中
同一个项目的结果有 3 种，
8.(2025 郑州模拟)如图，用六块全等的含 30°的灰色直角三
角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙.现
在向大正六边形内部投掷飞镖，则飞镖射中灰色部分的概率为
________.
9.(跨学科融合)某次化学实验课上，姚老师带来了 Fe(铁)、
Al(铝)、Zn(锌)、Cu(铜)四种金属.这四种金属分别用四个相同的不
透明的容器装着，让同学们随机选择一种金属与稀盐酸反应来制
取氢气.(根据金属活动顺序可知：Fe，Al，Zn 可以置换出氢气，
而 Cu 不能置换出氢气)
(1)小远从四种金属中随机选一种，则选到 Zn 的概率是_____；
(2)小松从四种金属中随机选一种金属，小惠也从四种金属中
随机选一种金属，分别进行实验，求二人所选金属均能置换出氢
气的概率.
金属 Fe Al Zn Cu
Fe (Fe，Fe) (Fe，Al) (Fe，Zn) (Fe，Cu)
Al (Al，Fe) (Al，Al) (Al，Zn) (Al，Cu)
Zn (Zn，Fe) (Zn，Al) (Zn，Zn) (Zn，Cu)
Cu (Cu，Fe) (Cu，Al) (Cu，Zn) (Cu，Cu)
(2)列表如下：
共有 16 种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气
的结果有：(Fe，Fe)，(Fe，Al)，(Fe，Zn)，(Al，Fe)，(Al，Al)，
(Al，Zn)，(Zn，Fe)，(Zn，Al)，(Zn，Zn)，共 9 种，
10.(新科技)光纤通信依靠光在纤维材料内的多次全反射实现
信息传输，其核心部件是光导纤维.如图，光导纤维由纤芯和包层
构成.现准备了石英光纤、塑料光纤、复合材料光纤各一份，多组
分玻璃光纤两份供某大学的甲同学进行研究，甲同学决定用随机
抽取的方式确定研究哪种光导纤维.
(1)“若甲同学从准备好的光导纤维中随机抽取一份，则氟化
物光纤恰好被抽中”是__________事件；(填“必然”“随机”或
“不可能”)
(2)若甲同学从准备好的光导纤维中一次性抽取两份，请用画
树状图法或列表法，求石英光纤、多组分玻璃光纤被选取为做研
究的光导纤维的概率.
解：(1)不可能
(2)用A，B，C分别表示石英光纤、塑料光纤、复合材料光纤，
用 D，E 表示两份多组分玻璃光纤，
画树状图如下：
共有 20 种等可能的结果，其中石英光纤、多组分玻璃光纤被
选取为做研究的光导纤维的情况有 AD，AE，DA，EA，即结果数
为 4，

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