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(共108张PPT)
第四部分
综合与实践
第九章 　综合与实践
第32讲　综合与实践
《义务教育数学课程标准(2022 年版)》P16－17：
义务教育阶段数学课程内容由数与代数、图形与几何、统计
与概率、综合与实践四个学习领域组成.综合与实践，重在解决实
际问题，以跨学科主题学习为主，初中阶段可采用项目式学习.
因此，综合与实践属于新课标第四部分内容，是学习和考试
的组成部分之一.
本部分分为 3 个课时，依次从广东真题、教材素材(含新教材)、
跨学科实践等方面，加深对综合与实践题目的认识，熟悉此类题
型的考法.
第1课时
广东中考数学真题——综合与实践
广东中考数学连续三年考查“综合与实践”的相关内容[2025
年第 21 题、2024 年第 21 题、2023 年第 20 题(见本书 P79)]，这是
新课标所要求的.下表是对这三年试题在四个领域中分值占比的统
计，可以看出新增的“综合与实践”的分值是比较多的，这个也
是今后广东中考的趋势之一.相比 2023 年，2024、2025 年“综合
与实践”的整体难度有所提升，考法也更加灵活多变.因此，正在
复习的考生们需要多多练习这样的题型.
考查领域 数与代数 图形与几何 统计与概率 综合与实践
2025 分值 56 40 15 9
占比 46.7% 33.3% 12.5% 7.5%
2024 分值 49 47 15 9
占比 40.8% 39.2% 12.5% 7.5%
2023 分值 49 50 12 9
占比 40.8% 41.7% 10% 7.5%
1.(2025 广东，21，9 分)综合与实践.
【阅读材料】
如图 1，在锐角△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边
长分别为 a，b，c，则有
a
sin A
＝
b
sin B
＝
c
sin C
.这是解三角
形的重要结论，可用于解决实际问题.
【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源
地.某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要
知道湖中 A，B 两岛间的实际距离.由于地形原因，无法利用测距
仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究.
【方案设计】
工具：测角仪、测距仪、无人机(只能测角度、水平面高度).
测量过程：
步骤 1：如图 2，在空旷地找一点 C；
步骤 2：利用无人机多次测量并取平均值测得
∠A≈43°，∠B≈51°；
步骤 3：利用测距仪多次测量并取平均值测得 BC≈341 m，
AC≈388.5 m.
【问题解决】(1)请你利用【阅读材料】中的结论计算 A，B
两岛间的距离；
(参考数据：sin 43°≈0.682，sin 51°≈0.777，sin 86°≈0.998)
【评价反思】
(2)设计其他方案计算 A，B 两岛间的距离.要求：选用【方案
设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识.
解：(1)∵∠A≈43°，∠B≈51°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B≈180°－43°－51°＝86°，
又∵BC≈341 m，
答：A，B 两岛间的距离约为 499 m.
(2)测量方案一：
步骤 1：如图 1，在空地上找一点 D，利用测角仪多次测量并
取平均值测得∠D≈90°；
步骤 2：利用测距仪多次测量并取平均值测得 BD，AD 长度；
步骤 3：用勾股定理求出 A，B 两岛的距离.
测量方案二：
步骤 1：如图 2，在空地上找一点 E；
步骤 2：利用测距仪多次测量并取平均值，
测出 AE，BE 长度；
步骤 3：延长 AE 至点 A′，延长 BE 至点 B′，利用测距仪多次
步骤 4：利用测距仪多次测量并取平均值，测出 A′B′；
步骤 5：用三角形相似求出 A，B 两岛的距离.
2.(2024 广东，21，9 分)综合与实践.
【主题】滤纸与漏斗.
【素材】如图 1 所示；
①一张直径为 10 cm 的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为 7 cm 的圆锥形过滤漏斗.
【实践操作】
步骤 1：取一张滤纸；
步骤 2：按如图 2 所示步骤折叠好滤纸；
步骤 3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤 4：将围成圆锥形的滤纸放入如图 1 所示的漏斗中.
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)？用你所学
的数学知识说明；
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积(结果保
留π).
滤纸折叠或圆锥后母线CD＝CE＝ ×10＝5(cm)，
∵滤纸围成圆锥的底面周长＝ ×10π＝5π(cm)，
解：(1)滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由如下：
方法一：如图作出示意图，由题意知 AB＝AC＝BC＝7 cm，
∴DE·π＝5π，∴DE＝5 cm，
∴△CDE∽△CAB，∴滤纸能紧贴此漏斗内壁.
方法二：由折叠可知，滤纸围成圆锥的侧面展开的扇形角度
n1＝90°×2＝180°，
∴漏斗圆锥侧面展开的扇形角度n2＝180°，
∵n1＝n2，∴滤纸能紧贴此漏斗内壁.
(2)由(1)知CD＝DE＝CE＝5 cm，∴∠CDE＝60°，
第2课时
教材中的综合与实践(含新教材)
年级 人教版新教材综合与实践 北师大版新教材综合与实践
7 上 进位制的认识与探究 设计学校田径运动会比赛场 地 关注人口老龄化
制作一个尽可能大的无盖长
方体纸形收纳盒
7 下 低碳生活 白昼时长规律的探究 设计自己的运算程序
制作万花筒
年级 人教版新教材综合与实践 北师大版新教材综合与实践
8 上 确定匀质薄板的重心位置 最短路径问题 哪个城市夏天更热
神奇的加密术
8 下 音乐与数学 学生体质健康调查与分析 开展垃圾处理宣传活动
设计美丽的镶嵌图案
9 上 高铁列车运行中的数量关系 生活中的优化问题 猜想、证明与拓广
池塘里有多少条鱼
9 下 停车位设计问题 建筑中的数学 制作遮阳篷模型
制作视力表
1.(素材链接：新教材人教 7 上 P63)综合与实践.
某校九年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过
程如下：
【进位制的认识】①进位制是人们为了记数和运算方便而约
定的记数系统.约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，
即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几；
②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，
(1011)2就是二进制数1011的简单写法.十进制数一般不标注基数；
③一个数可表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的
形式.规定当a≠0时，a0＝1.如：3 721＝3×103＋7×102＋2×101
＋1×100；(421)7＝4×72＋2×71＋1×70.
【解决问题】(1)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，
人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.一位母亲在
从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记
录孩子自出生后的天数.例如图 1 表示的是孩子出生后 30 天时打绳
结的情况(因为：4×71＋2＝30)，那么由图2可知，孩子出生后的
天数是________天；
【解析】1×73＋3×72＋2×7＋6＝343＋147＋14＋6＝510
(天)，即孩子出生后的天数为 510 天.
【答案】 510
(1110)2
(3)小华设计了一个 n 进制数 265，换算成十进制数是 145，求
n 的值(n 为正整数).
解：由题意得2n2＋6n＋5＝145，
解得 n＝7 或 n＝－10(舍去).
∴n＝7.
(2)类比十进制加减法计算(结果保留二进制).
例如(11011)2＋(1101)2＝(101000)2；
写出(11011)2－(1101)2＝________；　　
2.(素材链接：新教材人教 8 上 P23)综合与实践.
【主题】悬挂法确定匀质薄板的重心.
【素材】厚度均匀的硬纸板(三角形、矩形、正方形、不规则
形状)、钉子、螺钉、线、笔、刻度尺、量角器等.
【实践操作】
步骤 1：如图 1，用细棉线系住小孔 A 将硬纸板悬挂起来，当
硬纸板静止时，用笔和刻度尺在硬纸板上画出沿细棉线相反方向
竖直向下的重力的作用线 AB；
步骤 2：如图 2，用细棉线系住另一个小孔 C 将硬纸板悬挂起
来，利用同样的方法再画出另一重力作用线 CD，作用线 AB 与作
用线 CD 的交点 O 即为硬纸板的重心.
【实践探索】
(1)根据实践操作步骤，画出图 2 中不规则形状硬纸板的重心
O.
解：如图 1，重心 O 即为所求.
图 1
(2)我们在八年级学习过三角形的重心是三角形三条中线的交
点，通过悬挂法实验再次验证这一事实.如图 3，在△ABC 中，AF，
BE，CD 分别是△ABC 的三条中线，点 G 是△ABC 的重心.
①若△ABC的面积是6，则△ABG的面积是________；
2
【解析】∵在△ABC中，AF，BE，CD分别是△ABC的三条
中线，点 G 是△ABC 的重心，
∴BF＝CF，CE＝AE，AD＝BD，
∴S△ABF＝S△ACF，S△BGF＝S△CGF，
∴S△ABF－S△BGF＝S△ACF－S△CGF，
∴S△ABG＝S△ACG，
同理可得S△ABG＝S△CBG，∴S△ABG＝S△ACG＝S△CBG，
②通过测量，发现三角形重心到顶点的距离是重心到对边中
点距离的 2 倍，请用你所学的数学知识进行证明.
证明：如图 2，连接 DE，
图 2
∵BE，CD 是△ABC 的中线，
∴AE＝CE，AD＝BD，
∴DE 是△ABC 的中位线，
∴△DEG∽△CBG，
∴三角形重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的 2 倍.
3.(素材链接：新教材北师 8 下)综合与实践.
【活动驱动】某街道办事处积极落实国家垃圾分
类政策，计划在所辖小区内安装垃圾分类宣传版面及
分类垃圾箱，旨在提升居民垃圾分类意识与参与度.
为评估这一举措的有效性，并进一步优化方案，现邀
请友谊班同学作为小小环保员，研究如何购买这批物资性价比更
高.
【方案实施】同学们走访调查了居民对垃圾分类的了解程度、
日常分类行为及对现有宣传版面、垃圾箱的满意程度，同时实地
记录各商场和垃圾生产厂家对垃圾箱的定价，得到如下方案：
方案一：从垃圾箱加工厂直接购买，购买所需的费用 y1 与购
买的垃圾箱个数 x(个)满足如图 1 所示的函数关系；
方案二：租赁机器自己加工，所需费用 y2(包括租赁机器的费
用和生产垃圾箱的费用)与生产的垃圾箱个数 x(个)满足如图 2 所示
的函数关系.
150
20 000
50
【问题解决】(1)①方案一中每个垃圾箱的价格是________元；
②方案二中租赁机器的费用是________元，生产一个垃圾箱
的费用是________元.
(2)请分别求出 y1，y2 关于 x 的函数关系式.
(3)试说明该街道办事处购买垃圾箱时，选择哪种方案更优惠.
∴当 x＜200 时，选择方案一更优惠；当 x＝200 时，两种方
案费用一样；当 x＞200 时，选择方案二更优惠.
解：(2)设y1＝ax，把(100，15 000)代入得15 000＝100a，
∴a＝150，∴y1＝150x.
设y2＝kx＋b，把(0，20 000)和(100，25 000)代入得
(3)当y1＜y2，即150x＜50x＋20 000时，解得x＜200；
当y1＝y2，即150x＝50x＋20 000时，解得x＝200；
当y1＞y2，即150x＞50x＋20 000时，解得x＞200.
4.(素材链接：新教材人教 9 上)项目式学习.
【项目主题】高铁建设与运营中的数学挑战.
素材一 为了保证安全，高铁列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止，都需要一定的时间，假设加速度和减速度都是常数，且在加减速过程中，列车速度随时间变化的关系为v＝v0＋at，其中v是最终速度，v0是初始速度，a是加速度(或减速度)，t是时间.
素材二 列车将保持以最高速度匀速行驶一段距离，已知列车从静
止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止所需的路
程相同，均为 d 千米，时间也相同，均为 t 秒.
素材三 匀加速(即加速度不变)或匀减速过程中，在单向行驶时，
是初始速度，a 是加速度(或减速度)，t 是时间.
【理解与计算】(1)如果高铁列车的最高速度 v＝100 米/秒，
加速度a＝0.5米/秒2，则从静止加速到最高速度所需的时间t＝
________秒；
200
(2)在(1)的条件下，列车从静止加速到最高速度所需的最小路
程 d 为多少千米？
【设计与分析】(3)假设距某站台 2 千米有一辆高铁正以 180
千米/时的速度驶来，由于前方道路出现紧急情
况，列车需临时停车，若减速度a＝－0.5米/秒2，
列车能否安全停车？分析计算后的答案，结合现
实，说说你的想法.
解：(2)由(1)知v0＝0，t＝200，a＝0.5，
∵10 000 米＝10 千米，
∴列车从静止加速到最高速度所需的最小路程 d 为 10 千米.
(3)不能，分析如下：
∵v＝0，v0＝180千米/时＝50米/秒，a＝－0.5米/秒2，
＝2 500(米)＝2.5(千米)，
∵2.5 千米＞2 千米，∴列车不能安全停车.
想法：列车不能在 2 千米内完成停止，存在安全隐患，乘客
应在黄色安全线之外，保证自身与列车安全.(答案不唯一)
5.(素材链接：新教材北师 9 下)综合与实践.
【主题】小空间检测视力问题.
【具体情境】请你协助小明完成对某班学生视力进行检测的
任务.
【现有条件】一张测试距离为 5 米的视力表，一间长为 3.8
米，宽为 3.6 米的空书房.
(1)如图 1，若将视力表挂在墙 CDGH 上，在墙 ABEF 上挂一
面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可知：测试线应画在距
离墙 ABEF 的________米处.
1.2
【解析】∵5－3.8＝1.2(米)，
∴测试线应画在距离墙 ABEF 的 1.2 米处.
【问题解决】(2)小明选择按比例制作视力表完成该任务，在
制作过程中发现视力表上视力值 V 和该行字母 E 的宽度 a 之间的
关系是一种函数模型，字母 E 的宽度 a 如图 2 所示，视力表上部
分视力值 V 和字母 E 的宽度 a 的部分对应数据如表所示：
位置 视力值 V a 的值/mm
第 1 行 0.1 70
第 5 行 0.25 28
第 8 行 0.5 14
第 14 行 2 3.5
①根据表格数据判断，从一次函数、反比例函数中选择一个
合适的函数模型描述视力值 V 与字母 E 的宽度 a 的关系(说明理
由)，并求出视力值 V 与字母 E 宽度 a 之间的函数关系式.
②小明在制作过程中发现某行字母 E 的宽度 a 的值 17.5 mm，
请问该行对应的视力值 V 是多少？
解：(2)①∵视力值 V 与字母宽度 a 的乘积是定值 7，
∴视力值 V 与字母宽度 a 成反比例函数关系.
∴该行对应的视力值 V 是 0.4.
新课标(P77)综合与实践领域指出：“在社会生活和科学技术
的真实情境中，结合方程与不等式、函数、图形的变化、图形与
坐标、抽样与数据分析等内容……”因此，我们重点从以上几个
主题对教材素材进行统计(如下表)，并精选典型素材设计综合与实
践的练习.
主题 人教版综合与实践素材 北师大版综合与实践素材
方程与 不等式 7 上：填幻方 7 上：记录家庭生活收支账目 7 上：找规律、费用、月历中的规律 7 上：居民人均可支配收入、木杆平衡 7 下：二元一次方程(组)的图象 7 下：吸烟与疾病(方程组) 7 下：绿地面积与绿地率(不等式) 8 上：杨辉三角、规律探索 8 上：探究比例的性质 9 上：黄金分割数 9 上：三角点阵中前 n 行的点数计算 7 上：探寻神奇的幻方
7 下：(读一读)杨辉三角
8 上：计算器运用与功能探索
8 下：(读一读)一元一次不等式
组的应用
9 上：(读一读)一元二次方程的
几何解法
主题 人教版综合与实践素材 北师大版综合与实践素材
函数 8 下：选择方案(一次函数) 8 下：世界人口增长情况 8 下：调查漏水量与漏水时间的关 系 9 上：推测滑行距离与滑行时间的 关系 9 上：用二次函数研究两个数的积 最大 9 下：面积相等的矩形的长和宽的 关系 9 下：木杆与重物的探究(杠杆原理) 7 下：设计自己的运算程序
7 下：(读一读)人的体温的变化
8 上：哪一款手机资费套餐更合适
8 上：(读一读)中国古代漏刻
8 下：生活中的“一次模型”
9 上：(读一读)反比例函数图象与三
等分角
9 上：猜想、证明与拓广
(矩形周长、面积与方程、函数)
9 下：(读一读)二次函数的广泛应用
主题 人教版综合与实践素材 北师大版综合与实践素材
图形的 变化 7 上：设计制作长方体形状的包装纸盒 7 上：画五角星 7 下：你有多少种画平行线的方法 7 下：制作正方体纸盒、圆柱形纸盒 8 上：平面图形的镶嵌 8 上：用全等三角形设计、研究“筝形” 8 上：三角形中边与角之间的不等关系 8 上：最短路径问题 8 上：等腰三角形中相等的线段 8 下：纸张规格与 2的关系 8 下：做长方体纸盒 7 上：制作一个尽可能大的无盖长方
体形盒子
7 下：七巧板
7 下：(读一读)跪姿射击的稳定性
7 下：(读一读)艺术作品中的对称
8 上：(读一读)漫话勾股世界
8 下：平面图形的镶嵌
8 下：(读一读)勾股定理的证明
8 下：(读一读)生活中的平行四边形
9 上：(读一读)四边形的对称性
9 上：(读一读)耐人寻味的 0.618
9 上：(读一读)刘徽与《海岛算经》
主题 人教版综合与实践素材 北师大版综合与实践素材
图形的 变化 8 下：测量旗杆的高度 8 下：证明勾股定理(拼图) 8 下：丰富多彩的正方形 8 下：折纸作 60°，30°，15°的角 8 下：黄金矩形 9 上：设计跑道 9 上：车轮做成圆形的数学道理 9 上：探究四点共圆的条件 9 下：测量旗杆的高度 9 下：位似与美术字 9 下：制作测角仪，测量树的高度 9 下：利用测角仪测量塔高 9 下：设计并制作立体模型、笔筒 9 上：(读一读)窗框的影子
9 上：制作视力表
9 下：(读一读)车轮为什么是圆
的
9 下：设计遮阳篷
主题 人教版综合与实践素材 北师大版综合与实践素材
图形与 坐标 7 下：用经纬度表示地理位置 7 下：确定古树名木的位置 7 下：描述公园景点的位置 9 上：坐标系中判断曲线 9 上：探究坐标系中点的对称 关系 9 上：探究旋转后点的坐标 8 上：(读一读)平面定位的
方式
主题 人教版综合与实践素材 北师大版综合与实践素材
抽样与 数据分析 7 下：瓶子中有多少粒豆子 7 下：从数据谈节水 7 下：随机抽样估计全班同学平均 身高 7 下：谁的反应快(抓直尺) 8 下：体质健康测试中的数据分析 8 下：估计平均身高、平均体重 8 下：估计心脏的每分跳动次数 9 上：在图形中随机撒豆子、抽扑 克牌 7 上：关注人口老龄化
8 上：哪个城市夏天更热
9 上：(读一读)模拟试验
9 上：池塘里有多少条鱼
9 下：视力的变化
9 下：哪种方式更合算(转盘)
主题一：方程与不等式
1.(教材素材：填幻方)综合与实践.
【主题】探索神奇的幻方.
【阅读】幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛
书”(如图 1).“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶
幻方(如图 2).三阶幻方又名九宫格，是一种将数字(1 至 9，数字不
重复使用)安排在三行三列的正方形格子中，使每行、每列和每条
对角线上的数字和都相等.
【实践】(1)根据“洛书”中表达的意思，求图 2 的三阶幻方
中 x，y 的值；
【提升】(2)改变图 2 幻方中数字的位置，可以得到一个新的
三阶幻方(如图 3)，且每行、每列和每条对角线上的数字和与变化
前都相等，请求出这个新的三阶幻方中 a，b，c 的值；
【拓展延伸】(3)如图 4 有 3 个正方形，每个正方形的顶点处
都有一个“○”.将－11，－9，－7，－5，－3，－1，2，4，6，8，
10，12 这 12 个数填入恰当的位置(数字不重复使用)，使每个正方
形的 4 个顶点处“○”中的数的和都为 2，请求出 mn 的值.
解：(1)∵每行、每列和每条对角线上的数字和都相等，
∴x＋5＋1＝2＋7＋6，4＋y＋8＝2＋7＋6，
解得 x＝9，y＝3.
(2)由(1)知，每行、每列和每条对角线上的数字和为 15，
∴a＝15－2－7＝6，b＝15－9－1＝5，c＝15－3－8＝4.
(3)如图，将两个空圆圈里的数分别记为 k，t，
∵正方形的 4 个顶点处“○”中的数的和都为 2，
∴m＝2－(4＋2－3)＝－1，k＝2－(8－7－5)＝6，
∵12－9＋t＋n＝2，
∴t＋n＝－1，
∵填入的数字不重复，
∴t＝－11，n＝10 或 t＝10，n＝－11，
∴mn＝－1×10＝－10 或 mn＝－1×(－11)＝11.
∴mn 的值为－10 或 11.
主题二：函数
2.(教材素材：哪一款手机资费套餐更合适)综合与实践.
某校九年级开展了《为家人选择合适的手机资费套餐》的实
践活动.以下是小露同学帮奶奶选择手机资费套餐的活动报告，请
你将其补充完整.
《为家人选择合适的手机资费套餐》实践活动报告
一、收集信息
收集并整理奶奶近六个月的话费账单，发现她使用流量
和短信极少，故忽略流量和短信情况进行研究.根据她的
月平均通话时间筛选出两款比较适合她的手机资费套餐.
甲套餐：月租费8元，送30分钟通话时间，超出的部分按每分钟0.25元计费；
乙套餐：月租费29元，通话费按每分钟0.1元计费.
二、建立模型
(1)由上述信息发现每月的手机资费y(元)与通话时间x(分)之间存在函数关系，y与
y乙＝②____________(x≥0)；
(2)为了直观比较，在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图象(如图)，则图中点A表示的实际意义是___________________________________________________.
三、解决问题
(3)根据图象可知：如果从节省费用的角度考虑，当通话时间__________分钟时，选择甲套餐更合适；当通话时间__________分钟时，选择乙套餐更合适.
0.25x＋0.5
0.1x＋29
当通话时间为 190 分钟时，两种套餐每月的资费都是 48 元
<190
>190
主题三：图形的变化
3.(教材素材：最短路径问题)综合与实践.
【问题情境】
(1)如图 1，C 为线段BD上一动点，分别过点 B，D作AB⊥BD，
ED⊥BD，连接 AC，EC.已知 AB＝5，DE＝1，BD＝8.设 CD＝x，
用含 x 的代数式表示 AC＋CE 的长；
【数学思考】
(2)如图 2，在某河道一侧有两家工厂 A，B，它们到河道的距
离 AD，BC 分别是 5 km，7 km，两工厂之间的距离 AB 是 7 km.
为了方便工厂用水，需要在河道上建立一个抽水点 P 抽水，且使
得抽水点 P 到两家工厂 A，B 的距离之和最短，求出 PA ＋PB 的最
小值；
【深入探究】
(0≤x≤6)的最小值.
解：(1)∵BD＝8，CD＝x，
∴BC＝BD－CD＝8－x，
∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠B＝∠D＝90°，
在Rt△ABC中，∵AB＝5，
(2)如图 1，作点 A 关于 l 的对称点 A′，过点 A′作 A′E⊥BC 于
点 E，过点 A 作 AF⊥BC 于点 F，连接 A′B，
图 1
则四边形 ADCF，四边形 DA′EC，四边形 AA′EF 都是矩形，
PA ′＝PA ，
∴PA ＋PB＝PA ′＋PB≥A′B，
∴PA ＋PB 的最小值为 A′B，
∵AD＝5 km，BC＝7 km，AB＝7 km，
∴CE＝A′D＝AD＝FC＝5 km，BE＝BC＋CE＝12 km，BF＝
BC－FC＝2 km，
在Rt△ABF中，由勾股定理，
在Rt△A′BE中，由勾股定理，
(3)构造图形如图 2，其中 C 为线段 BD 上一点，分别过点 B，
D 作 AB⊥BD，ED⊥BD，连接 AC，EC，AE，其中 AB＝6，DE
＝2，BD＝6，设 CD＝x，
图 2
过点 E 作 EF⊥AB 交 AB 的延长线于点 F，
则四边形 BDEF 是矩形，
∴EF＝BD＝6，BF＝DE＝2，
∵AC＋CE≥AE，
长，
∴AF＝AB＋BF＝8，
在Rt△AEF中，由勾股定理，
4.(教材素材：三角形中边与角之间的不等关系)综合与实践.
【回归教材】八年级上册教材中探究了“三角形中边与角之
间的不等关系”，部分内容如下：
如图1，在△ABC中，如果AB＞AC，那么我们可以将△ABC
折叠，使边 AC 落在 AB 上，点 C 落在 AB 上为点 D，折线交 BC
于点 E，则∠C＝∠ADE，∵∠ADE＞∠B，∴∠C＞∠B.
这说明在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的
角也不等，大边所对的角更大.
从上面的过程可以看出，通过轴对称的性质或“截长补短”
构建全等三角形可将陌生问题转化为已学习的问题，这是研究几
何问题时常用的方法.
【类比探究】“在三角形中，大角对大边”.
(1)如图 2，在△ABC 中，∠C＞∠B，判断：AB_______AC(填
“＞”“＜”或“＝”)；
＞
【进阶思考】(2)如图 3，在△ABC 中，∠ACB＝2∠B，AE，
CD分别为∠BAC，∠ACB的角平分线，求证：CD＋AD＝AC＋CE；
【拓展运用】(3)如图 4，在△ABC 中，D 为 AB 上一点，且
∠ACB＝∠CDA＞90°，比较 CD＋AB 和 CA＋CB 的大小关系，并
说明理由.
(2)证明：延长 AC 至点 F，使得 AF＝AB，连接 EF，如图所
示，
∵∠ACB＝2∠B，AE，CD 分别为∠BAC，∠ACB 的角平分
线，
∴∠BAE＝∠CAE，∠B＝∠DCB＝∠ACD，
∴BD＝CD，
∴△BAE≌△FAE(SAS)，
∴∠F＝∠B＝∠DCB＝∠ACD，
∴∠CEF＋∠F＝∠ACB＝2∠F，
∴∠CEF＝∠F，∴CE＝CF，
∴CD＋AD＝BD＋AD＝AB＝AF＝AC＋CF＝AC＋CE，
即 CD＋AD＝AC＋CE.
(3)解：CD＋AB＞CA＋CB，理由如下：
∵∠ACB＝∠CDA，∠A＝∠A，
∴△ACB∽△ADC，
则AC＝kAD，AB＝kAC，BC＝kCD，
∴AB＝k2AD，
∴CD＋AB＝CD＋k2AD，CA＋CB＝kAD＋kCD，
∴CD＋AB－(CA＋CB)＝CD＋k2AD－kAD－kCD
＝(1－k)CD＋k(k－1)AD
＝(1－k)(CD－kAD)
＝(1－k)(CD－AC).
∵∠CDA＞90°＞∠A，
∴1－k＜0，
∴(1－k)(CD－AC)＞0，
即 CD＋AB－(CA＋CB)＞0，
故 CD＋AB＞CA＋CB.
主题四：图形与坐标
5.(教材素材：探究旋转后点的坐标)综合与实践.
【问题背景】把点 P(x，y)绕原点分别顺时针旋转90°，180°，
270°，360°，点 P 的对应点的坐标分别是什么？为研究这个问题，
某综合实践小组开展了如下活动.
【搜寻材料】对于直角坐标系 xOy 中的图形 M 和点 P，将图
形 M 绕点 P 顺时针旋转 90°得到图形 N，图形N称为图形 M 关于
点P的“垂直图形”.如图 1，点D为点 C 关于点 P 的“垂直图形”.
【活动探究】(1)设点 A 关于原点 O 的“垂直图形”为点 B，
①若点 A 的坐标为(0，2)，则点 B 的坐标为_________；
②若点 B 的坐标为(2，1)，则点 A 的坐标为_________；
【规律总结】(2)点 P(x，y)绕原点顺时针旋转 90°，点 P 的对
应点的坐标是___________；
(2，0)
(－1，2)
(y，－x)
【拓展应用】(3)如图 2，已知 E(－3，3)，F(a，0)，点 E 关于
点 F 的“垂直图形”记为点 E′，求点 E′的坐标(用含 a 的式子表示).
解：如图，过点 E 作 EH⊥x 轴于点 H，过点 E′作 E′K⊥x 轴
于点 K.
∵∠EHF＝∠EFE′＝∠E′KF＝90°，
∴∠EFH＋∠E＝90°，∠EFH＋∠E′FK＝90°，
∴∠E＝∠E′FK，
∴△EHF≌△FKE′(AAS)，∴EH＝FK＝3，HF＝KE′＝a＋3，
∴OK＝a＋3，∴点 E′(a＋3，a＋3).
主题五：抽样与数据分析
6.(教材素材：体质健康测试中的数据分析)综合与实践：体质
健康测试中的数据分析.
【收集数据】某校八年级学生进行了体质健康测试，现随机
抽取了 40 名学生的成绩(单位：分)如下：
75 85 74 98 72 57 81 96 73 95 59 95 63 88
93 67 92 83 94 54 90 56 89 92 79 87 70 71
91 83 83 73 80 93 81 79 91 78 83 77
成绩/分 人数 百分比/%
90≤x≤100 a 30
75≤x≤89 16 40
60≤x≤74 8 b
0≤x≤59 4 10
平均数 中位数 众数
80.5 c d
【整理数据】按评分分段整理样本数据，如下表：
【分析数据】根据原始数据计算平均数、中位数、众数：
【得出结论】(1)请直接写出表格中 a，b，c，d 的值；
(2)该校八年级学生共有 800 人，请估计成绩在 75≤x≤100 的
学生大约有多少人；
(3)八(3)班张亮的测试成绩为 78 分，请结合本次统计结果给他
提出提升体质水平的合理建议.
解：(1)a＝12，b＝20，c＝82，d＝83.
(2)800×(30%＋40%)＝560(人).
答：估计成绩在 75≤x≤100 的学生有 560 人.
(3)积极参加体质加强训练项目，提升体质水平，争取达到平
均分 80.5 分.
第3课时
跨学科综合与实践
1.(跨物理学科)(2025 东莞模拟)综合与实践.
【主题】探究电流表读数的最小值.
【跨学科知识】物理电路理论知识中有以下几个结论：
①串联电路的总电阻等于各串联电阻之和；
②并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和；
③电压一定的情况下，电流与电阻成反比例关系.
【素材】如图1所示电路图中，电源电压为6 V，电阻R1＝
3 Ω，R2＝5 Ω，滑动变阻器RP的最大电阻为10 Ω.
【实践操作】将图 1 中的电路图等效为如图 2 所示电路图，
RPa与RPb分别等效滑动变阻器上部分和下部分的电阻，即RPa＋
RPb＝RP＝10 Ω，在滑片P从a端滑到b端的过程中，设RPa＝x Ω.
【实践探索】(1)当滑片 P 滑动到滑动变阻器正中间时，该电
路中的总电阻为多少？
(2)当 x 取何值时，电流表读数最小？并求出电流表读数的最
小值.
∵0≤x≤10，
2.(跨物理学科)(2025 江苏月考)综合与实践.
【阅读材料】
【数学思考】根据光的反射定律，结合“等角的余角相等”，
可知入射光线、反射光线与平面镜所夹的角对应相等.例如：在图
1、图 2 中，设平面镜 AB 与平面镜 BC 的夹角∠ABC＝α，从点 F
射出一条光线，分别在点 E，点 G 发生反射，则有∠1＝∠2，∠3
＝∠4.
40
(1)如图 1，光线经过 2 次反射又回到了点 F，入射光线 FE 与
第 2 次反射光线 GF 的夹角为∠F.若α＝70°，则∠F＝________°；
【解析】∵∠2＋∠3＋α＝180°，α＝70°，
∴∠2＋∠3＝180°－70°＝110°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＋∠4＝110°，
∴∠1＋∠4＋∠2＋∠3＝2×110°＝220°，
∵∠FEG＋∠EGF＋∠1＋∠4＋∠2＋∠3＝2×180°＝360°，
∴∠FEG＋∠EGF＝360°－220°＝140°，
∴∠F＝180°－(∠FEG＋∠EGF)＝180°－140°＝40°.
(2)如图 2，光线经过 2 次反射，第 2 次反射光线为 GH，请探
索证明∠FEG＋∠EGH 与α的数量关系，并求出当α为多少度时，
GH∥EF；
【延伸探究】(3)如图3，有三块平面镜AB，BC，CD，α＝
120°，入射光线 FE 与平面镜 AB 的夹角∠1＝m°.已知入射光线
从平面镜AB开始反射，经过 n(n 为正整数，n≤3)次反射，当第n次
反射光线与入射光线 FE 平行时，请直接写出∠BCD 的度数(可用含
有 m的代数式表示).
解：(2)∠FEG＋∠EGH＝2α，理由如下：
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2＋∠3＝180°－α，
∴∠1＋∠4＝180°－α，
∵∠1＋∠2＋∠FEG＋∠3＋∠4＋∠EGH＝180°＋180°＝
360°，
∴∠FEG＋∠EGH＝2α，
若 EF∥GH，则 2α＝180°，解得α＝90°，
∴当α＝90°时，GH∥ EF.
(3)∠BCD 的度数为 150°或 90°＋m°.
【解析】①当 n＝2 时，若在 BC 边上反射后与 EF 平行，由(2)
知∠ABC＝α＝90°，与已知α＝120°不符，则只能在 CD 边上反射
后与 EF 平行，如图 1，
图 1
延长 AB，DC 交于点 G，由 EF∥HK，且由(2)的结论可得∠G
＝90°，
又∵∠ABC＝α＝120°，
∴∠GBC＝180°－∠ABC＝180°－120°＝60°，
∴∠BCD＝∠G＋∠GBC＝90°＋60°＝150°.
②当 n＝3 时，如图 2，
∵∠BEG＝∠1＝m°，
∴∠FEG＝180°－2m°，∠BGE＝∠CGH＝
180°－(∠B＋∠BEG)＝180°－(120°＋m°)＝60°－m°，
图 2
　　∴∠EGH＝180°－2∠BGE＝180°－2(60°－m°)＝60°
＋2m°，
　　
　　∵EF∥HK，
　
　　∴∠GHK＋∠FEG＋∠EGH＝360°，
∴∠GHK ＝360° －∠FEG －∠EGH ＝360° －(180° －
2m°) －(60°＋2m°)＝120°，
∴∠GHC＝∠KHD＝30°，
∴∠BCD＝180° －∠CGH－∠GHC ＝180° －(60° －m°)
－30° ＝90°＋m°.
综上，∠BCD 的度数为 150°或 90°＋m°.
3.(跨地理学科)(2025 广西)综合与实践.
树人中学组织一次“爱心义卖”活动.九(5)班分配到了一块
矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四
边形(如图 1).
初始时，矩形义卖区 ABCD 与遮阳伞投影 MNPQ 的平面图如
图 2 所示，点 P 在 AD 上，MN＝3 m，AN＝1 m，AP＝2 m，AB
＝3 m，BC＝2.5 m.由于场地限制，参加义卖的同字只能左右平移
遮阳伞.在移动过程中， MNPQ 也随之移动(MN 始终在 AB 边所在
直线 l 上)，且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分(遮阳区)
会呈现不同的形状.如图 3 为 MNPQ 移动到点 P 落在 BC 上的情形.
【问题提出】西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最
大时 MNPQ 的位置.
设遮阳区的面积为 S m2， MNPQ 从初始时向右移动的距离为
x m.
【直观感知】(1)从初始起右移至图 3 情形的过程中，S 随 x
的增大如何变化？
【初步探究】(2)求图 3 情形的 x 与 S 的值.
【深入研究】(3)从图 3 情形起右移至点 M 与点 A 重合，求该
过程中 S 关于 x 的函数解析式.
【问题解决】(4)当遮阳区面积最大时， MNPQ 向右移动了多
少？
解：(1)由题可知，初始位置时 S＝0，
∴从初始起右移到点 P 在 BC 上的过程中，S 随 x 的增大而增
大.
(2)如图 1，
图 1
根据题意，初始位置时点 P 在 AD 上，右移至点 P 在 BC 上时，
∴向右移动的距离 x＝AB＝3 m，此时 AM＝1 m，点 Q 向右
移动到 AD 上，
∴AN＝MN－AM＝3－1＝2(m)，
∴此时x的值为3 m，S的值为5 m2.
(3)设初始位置时，∠ANP＝α，如图 2，
图 2
∵AP＝2 m，AN＝1 m，∠PAN＝90°，
从点 P 在 BC 上的情形起右移至点 M 与点 A 重合的过程中，
3≤x≤4，设 PQ 交 BC 于点 G，PN 交 BC 于点 E，QM 交 AD 于点
F，连接 EF，如图 3，
由平移的性质可知，PG＝(x－3)m，
BN＝(4－x)m，
∴GQ＝3－(x－3)＝(6－x)m，
AN＝3－(4－x)＝(x－1)m，
图 3
∵tan P＝tan ∠ENB＝tan α＝2，
∴GE＝2PG＝(2x－6)m，BE＝2BN＝(8－2x)m，
∵AM ＝MN －AN ＝AB －AN ＝BN ，∠MAF ＝90° ＝
∠NBE ， ∠FMA＝∠ENB，
∴△FMA≌△ENB(ASA)，∴FM＝EN，
∵FM∥EN，∴四边形 FMNE 是平行四边形，
∴EF∥MN，EF＝MN＝3 m，
∵MN∥PQ，∴四边形 QFEG，四边形 FANE 都是梯形，
∴S 关于 x 的解析式为 S＝－2x2＋14x－19(3≤x≤4).
(4)当 0＜x≤3 时，S 随 x 的增大而增大，故当 x＝3 时，由(2)
知，S最大为5 m2；
4.(跨体育学科)(2025 山西模拟)综合与实践.
【问题情境】如图 1 是我国自主研发的乒乓球发球机，该发
球机采用物联网技术和人工智能算法，确保计算后的发球落点能
准确到达目标点.
【建立模型】如图 2，球从发球机出口发出到第一次接触乒乓
球台面(水平面)的运动轨迹可近似看成一条抛物线y＝ax2＋bx＋
dm)表示球距离乒乓球台面的高度.
教练组在分析时发现抛物线表达式中的 a 与球在竖直方向上
的速度 v(单位：m/s)有关，b 始终不变，他们将测得的部分 a 与
v2 的对应数据转化为有序数对，并绘制成如图 3 所示的图象.
【问题解决】(1)①根据图3可知，a是v2的________(填“一
次”“二次”或“反比例”)函数；
②求a关于v2的函数表达式.
(2)在某次训练中，教练组统计了 y 与 x 的相关数据如表：
式；
反比例
②如果教练组要求发球机发出的球落在台面上的点距离发球
机出口的水平距离为 27 dm，那么球发出时在竖直方向上的速度 v
应调节为多少？(结果精确到 0.1 m/s，参考数据： 　≈5.48)
(2)①根据表格可得对称轴为 x＝4，顶点坐标为(4，4)，
设抛物线表达式为y＝a(x－4)2＋4，
答：球发出时在竖直方向上的速度 v 应调节为 24.7 m/s.

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