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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第四章 图形的认识
4.5 特殊的平行四边形
特殊的平行四边形 特 殊 平 行 四 边 形 的 性 质 与 判 定 菱形 矩形 正方形
图示
定义 有一组邻边相等的平行四边形叫 做菱形. 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 有一个角是直角，有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.
性质 (1)对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，其对称中心是两条对角线的交点； (2)边：四条边相等，对边平行； (3)角：对角相等； (4)对角线：对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角. (1)对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，其对称中心是两条对角线的交点； (2)边：对边平行且相等； (3)角：四个角都是直角； (4)对角线：对角线互相平分且相等. (1)对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有四条对称轴，其对称中心是两条对角线的交点； (2)边：对边平行，四条边都相等； (3)角：四个角都是直角； (4)对角线：对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角.
判定 (1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形； (2)四条边相等的四边形是菱形； (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形. (1)有一个角是直角的平 行四边形是矩形； (2)有三个角是直角的四边形是矩形； (3)对角线相等的平行四边形是矩形. (1)有一个角是直角的菱形是正方形； (2)有一组邻边相等的矩形是正方形.
面积 (1)菱形的面积 =底×高； (2)菱形被对角线分成了四个全等的直角三角形，因此菱形的面积可以用两条对角线乘积的一半来表示. 矩形的面积=长×宽. 正方形的面积=边长×边长.
中点四边形 原四边形对角线间的关系举例中点四边形相等矩形、等腰梯形、对角线相等的一般四边形菱形互相垂直菱形、对角线垂直的一般四边形矩形互相垂直且相等正方形、对角线相等且垂直的一般四边形正方形不垂直也不相等一般四边形、平行四边形、直角梯形平行四边形
■考点一 矩形的性质与判定
◇典例1：在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠BAD的角平分线交BC于点E，若∠AOB=45°，则∠OAE=（　　）
A．12.5° B．22.5° C．20° D．65°
【答案】B
【解析】【解答】∵四边形ABCD为矩形
∴OA=OB，∠BAD=90°
∴∠BAO=∠ABO
∵AE平分∠BAD，∠AOB=45°
∴，
∴∠OAE=∠BAO-∠BAE=22.5°
故答案为：B
【分析】根据矩形性质可得OA=OB，∠BAD=90°，根据等边对等角可得∠BAO=∠ABO，根据角平分线定义及三角形内角和定理可得，，再根据角之间的关系即可求出答案.
◆变式训练
1.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要增加的一个条件可以是（　　）
A．∠B+∠C=180° B．AB=BC
C．∠B=∠D D．AC=BD
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ 四边形是平行四边形，
选项A：平行四边形中，，同旁内角互补，故是固有性质，无法判定为矩形；
选项B：表示平行四边形邻边相等，根据菱形的判定，此时四边形为菱形，而非矩形；
选项C：平行四边形中，对角本身相等，即，是固有性质，不能判定为矩形；
选项D：根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，若，则平行四边形为矩形。
故答案为：D
【分析】本题解题关键是区分平行四边形的固有性质与矩形的特殊判定条件。矩形是“有一个角是直角”或“对角线相等”的平行四边形，因此需逐一分析选项：先排除平行四边形本身已具备的性质（如A、C选项），再排除判定菱形的条件（如B选项），最终确定符合矩形判定定理的条件（D选项）。
2.如图，在 ABCD中，过点A、C作AF⊥CD，CE⊥AB，分别交AB、CD的延长线于点F和E．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）连接AC，BD交于点O，点G是线段AE的中点，若，OG＝2，求矩形AECF的周长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AF⊥CD，
∴AF⊥AB，
∵CE⊥AB，
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AF⊥CD，
∴∠F＝90°，
∴四边形AECF是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，
∵点G是线段AE的中点，
∴AG＝EG，
∴OG是△ACE的中位线，
∴CE＝2OG＝4，
∵AC＝4，
∴AE12，
∴矩形AECF的周长为12+12+4+4＝32．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，得到AF⊥AB，推出AF∥CE，求得四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行四边形的性质得到AO＝CO，根据三角形中位线定理得到CE＝2OG＝4，根据勾股定理得到AE12，于是得到矩形AECF的周长为12+12+4+4＝32．
■考点二 菱形的性质与判定
◇典例1：如图，在菱形中，对角线与相交于点，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 在菱形中 ，∴ ；
∵AC、BD为菱形的对角线，∴AC与BD互相垂直平分，即 、 。
综上，错误的是C选项。
故答案为：C．
【分析】本题根据菱形的相纸，即“菱形的四条边相等”以及“菱形的对角线互相垂直平分”，即可选出正确选项。
◆变式训练
1.如图，在菱形中，，对角线，交于点O，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴菱形的对角线平分一组对角，即平分；
∵，
∴；
该结果与选项B一致，
故答案为：B．
【分析】利用菱形的性质可得平分，再结合， 求出，从而得解.
2.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB∥CD，BO＝DO．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）当BD平分∠ABC，AC＝6，BD＝8时，求四边形ABCD的周长．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，
又∵OB＝OD，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴AB＝CD，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵BD平分∠BAC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴，
∴，
∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD＝4AB＝20．
【分析】（1）证明△AOB≌△COD（AAS），得到AB＝CD，再由AB∥CD，即可证明四边形ABCD是平行四边形；
（2）由平行线的性质和角平分线的定义证明∠CDB＝∠CBD，得到BC＝CD，进而证明四边形ABCD是菱形，则，利用勾股定理得到，则四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD＝4AB＝20．
■考点三 正方形的性质与判定
◇典例1：如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到点E，使CE＝AC，连结AE交CD于点F，则∠AFC等于（　　）度．
A．112.5 B．125 C．135 D．150
【分析】首先根据正方形的性质得到，然后根据三角形外角的性质和等边对等角求出，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，CE＝AC，
∴∠BCD＝90°，
∴，
∵CE＝AC，
∴，
∴∠AFC＝180°﹣∠CAF﹣∠ACF＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质，解题的关键是掌握利用正方形的性质解决问题．
◆变式训练
1.“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移2cm得到正方形A'B'C'D'，形成一个“方胜”图案，则点D，B'之间的距离为（　　）
A． B． C．2cm D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD=2，∠BAD=90°
∴
∵将正方形ABCD沿对角线BD方向平移2cm得到正方形A'B'C'D'
∴BB'=2
∴
故答案为：B
【分析】根据正方形性质可得AB=AD=2，∠BAD=90°，根据勾股定理可得BD，再根据平移性质可得BB'，再根据边之间的关系即可求出答案.
2.如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，AB⊥BC，点E是边CD的延长线上的动点．连接AE．过点C作CF⊥AE于点F．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）当点F是AE的中点，且时，求四边形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD为菱形，
又∵AB⊥BC，
∴菱形ABCD为正方形，
（2）连接AC，如图所示：
∵CF⊥AE于点F，点F为AE的中点，
∴CF为线段AE的垂直平分线，
∴AC＝CE＝8√2，
∵四边形ABCD为正方形，
∵AD＝BC，∠ADC＝90°，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2，
∴AD2AC264，
∴四边形ABCD的面积＝AD2＝64．
【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC得平行四边形ABCD为菱形，再根据AB⊥BC即可得出结论；
（2）连接AC，根据CF⊥AE于点F，点F为AE的中点得CF为线段AE的垂直平分线，则AC＝CE＝8√2，在Rt△ACD中由勾股定理得AD2＝64，据此可得四边形ABCD的面积．
■考点四 中点四边形
◇典例1：如图，四边形ABCD中，AC=BD，顺次连接四边形各边中点得到的图形是（　　）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．以上都不对
【答案】A
【解析】【解答】
解：如图：
∵E，F分别是DC，AD的中点，
∴EF=AC，EF//AC，
同理，GH= AC， GH//AC， GF=DB
∴EF=GH，EF //GH，
∴四边形EFGH是平行四边形.
∵AC=BD
∴EF=GF，
∴平行四边形EFGH为菱形.
故答案为：A
【分析】先根据中位线定理判定得到四边形EFGH是平行四边形，再由邻边相等的平行四边形是菱形，证明即可解答.
◆变式训练
1.如图，点分别是四边形边的中点．则正确的是（ ）

A．若，则四边形为矩形
B．若，则四边形为菱形
C．若是平行四边形，则与互相平分
D．若是正方形，则与互相垂直且相等
【答案】D
【解析】【解答】解：点分别是四边形边的中点，
是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，
，，，，
四边形为平行四边形，
A、若，则，四边形为菱形，故A错误，不符合题意；
B、若，则，则四边形为矩形，故B错误，不符合题意；
C、任意四边形的中点四边形都是平行四边形，与不一定互相平分，故C错误，不符合题意；
D、若是正方形，则，由是的中位线，是的中位线，得，，因此与互相垂直且相等，故正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据三角形的中位线定理可得，，，，从而得到四边形为平行四边形，再根据矩形的判定、菱形的判定、正方形的性质，进行逐一判断即可得到答案．
2.如图，四边形中，，，且，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，，如此进行下去，得到四边形下列结论正确的有（ ）
①四边形是矩形；
②四边形是菱形；
③四边形的周长是；
④四边形的面积是．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【解析】【解答】解：①连接，．
在四边形中，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，
，，，；
，，
四边形是平行四边形；
，四边形是矩形，
（矩形的两条对角线相等）；
（中位线定理），
四边形是菱形；
故本选项错误；
②由①知，四边形是菱形；
根据中位线定理知，四边形是菱形；
故本选项正确；
③根据中位线的性质易知，，，
四边形的周长是，
故本选项正确；
④四边形中，，，且，
；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
四边形的面积是，
故本选项正确．
综上所述，②③④正确．
故选：C．
【分析】首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形中各边长的长度关系规律，然后对以下选项做出分析与判断：①根据矩形的判定与性质做出判断；②根据菱形的判定与性质做出判断；③由四边形的周长公式：周长边长之和，来计算四边形的周长；④根据四边形的面积与四边形的面积间的数量关系来求其面积．
■考点五 特殊平行四边形的综合
◇典例1：如图，的中线，交于点O，点F，G分别是，的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，求证：是矩形．
【答案】（1）证明：∵的中线，交于点O，
∴，，
∵点F，G分别是，的中点，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵G是中点，
∴，
∴，
同理，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴是矩形．
【解析】【分析】（1）先根据三角形中位线定理结合题意得到，，，，进而等量代换，结合平行四边形的判定即可求解；
（2）根据平行四边形的性质得到，，进而根据中点得到，同理，再结合题意等量代换，根据矩形的判定即可求解。
（1）证明：∵的中线，交于点O，
∴，，
∵点F，G分别是，的中点，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵G是中点，
∴，
∴，
同理，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴是矩形．
◆变式训练
1.（2025九上·南沙期末）如图，点是正方形中边上的任意一点，以点为中心，把旋转，得到．已知．
（1）求的度数．
（2）求证：．
（3）连接，线段交于点，交于点．试探索，，之间的数量关系并加以说明．
【答案】（1）解：四边形是正方形，
，，
，
，
由旋转可知：，
，
．
（2）解：由旋转可知：，，
由（1）得，
，
在和中，
，
，
，
．
（3）解：，理由如下：
如图，将绕点逆时针旋转得到，连接．
四边形是正方形，
，，
由旋转可知：，
，
，
在中，．
由（1），且由旋转可知，，
，
在和中，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可知，旋转角相等，即，结合正方形的性质即可得出结论。
（2）通过证明三角形全等，可以得到对应边相等，再通过线段的和差关系即可完成证明。
（3）由旋转和正方形的性质可推导出直角关系，运用勾股定理得到。进一步证明三角形全等，得出对应边相等，最后通过线段转换与和差关系即可得出结论。
（1）解：四边形是正方形，
，，
，
，
由旋转可知：，
，
．
（2）解：由旋转可知：，，
由（1）得，
，
在和中，
，
，
，
．
（3）解：，理由如下：
如图，将绕点逆时针旋转得到，连接．
四边形是正方形，
，，
由旋转可知：，
，
，
在中，．
由（1），且由旋转可知，，
，
在和中，
，
，
，
．
2.（2025·雷州模拟）综合与探究
问题情境：
如图1，四边形是矩形，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点，连接．
猜想证明：
（1）判断四边形的形状，并说明理由．
深入探究：
（2）创新小组在解决了上述问题后，继续将矩形沿所在直线折叠，使点，分别落在，边上的点，处，交于点，展开铺平．将绕点逆时针方向旋转，得到，点，的对应点分别为，，如图，连接，．试探究线段，之间的数量关系，并说明理由．问题解决：
（3）在的条件下，若，，在旋转的过程中，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的面积．
【答案】解：四边形是正方形，
理由如下：
四边形是矩形，
，
由折叠的性质可得：，，
四边形是矩形，
四边形是正方形；
，
理由如下：
四边形是矩形，
，
由折叠的性质可得：，
，
，
．
由旋转的性质，得，，，
，
，
，
由折叠的性质，知，
在中，，
，即；
解：或，
理由如下：
如下图所示，
，
，
在中，，
根据旋转的性质可得：，
则，
，，
，．
【解析】【分析】根据矩形的四个角都是直角可得，根据折叠的性质可证，，从而可证四边形是正方形；
根据矩形的性质可得，根据折叠的性质可得：，根据平行线的判断方法得出，进而得，根据旋转的性质可得，，从而可证，根据相似三角形的性质可得；
利用勾股定理可得，根据旋转的性质可得：，从而可求，，，根据三角形的面积公式求解即可．
■ 微专题四：矩形的折叠：模型1 沿矩形对角线折叠
◇典例1：（2025·海珠模拟）如图，科技社团的同学们用矩形硬纸板制作立体模型，其中一个结构的制作需将纸板沿折叠得到，折叠后与交于点，已知，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：在矩形中，，，
∴，∠C=∠C'=90°，
由折叠：，
，
，
．
故选：B．
【分析】
由折叠得，根据矩形的性质可得∠C'=90°，，则，进而可求解．
◆变式训练
1.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，将矩形沿BD折叠，点A落在点A'处，则重叠部分△DEB的面积为（　　）
A．10 B．12 C．16 D．20
【答案】A．
【解析】【解答】解：∵将矩形沿BD折叠，点A落在点A'处，
∴∠ABD＝∠A'BD，AD＝A'D＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AD＝BC＝4，CD＝AB＝8，
∴∠ABD＝∠BDC，
∴∠BDC＝∠A'BD，
∴BE＝DE，
在Rt△BEC中，BE2＝EC2+CB2，
∴BE2＝（8﹣BE）2+16，
∴BE＝DE＝5，
∴S△BDEDE×BC＝10．
故选：A．
【分析】由折叠的性质可得∠ABD＝∠A'BD，AD＝A'D＝4，由题意可证∠ABD＝∠BDC，则可得∠BDC＝∠A'BD，即BE＝DE，在Rt△BEC中，根据勾股定理可列方程，解得BE的长度，即可求△BDE的面积．
■ 微专题四：矩形的折叠：模型2 过矩形一个顶点折叠
◇典例1：如图，折叠矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF；把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，折痕为BM，BM与EF相交于点N，直线BA′交CD于点G，若BC＝5，EN＝1，则DG的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵N是BM中点，
∴BN＝NA′，
∴∠NBA′＝∠NA′B，
又∵∠ABN＝∠A′BN，
又∵∠BEN＝90°，
∴∠ABN＝∠NBA′＝∠A′BN＝30°，
又∵EN＝1，
∴AM＝A′M＝2＝A′N，
∴BE，AB＝DC＝2，
∠OBC＝30°，BC＝5，
∴GC，
∴DG＝2．
故选：A．
【分析】由N是BM中点，推出BN＝NA′，∠NBA′＝∠NA′B，再根据∠ABN＝∠A′BN，所以∠ABN＝∠NBA′＝∠A′BN＝30°，推出AM＝A′M＝2＝A′N，BE，AB＝DC＝2，推出GC，进而求出DO的值．
◆变式训练
1.（2025·深圳模拟）如图，在矩形中，为边上一点，，将沿折叠得，连接，若平分，，则的长为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：在矩形中：，
∵ ，
∴AE=ABtan30=，BE==
由折叠的性质可知：BF=AB=2；EF=AE=；；
∵平分，
∴，
过F点作FH，
∵；
∴
∵FB=2
∴HB=，FH=1
∵，
∴CH=1
∴AD=BC=1+
∴DE=AD-AE=1+-=1+
故答案为：B .
【分析】先根据 ，，解直角三角形得到，AE，BE的值；由折叠的性质可知：BF=AB=2；EF=AE=；；由平分，得，过F点作FH，由得HB，FH，由得CH=1，进而求得AD=BC=1+，再用线段的和差运算即可解答.
■ 微专题四：矩形的折叠：模型3 不过矩形顶点折叠
◇典例1：（2025·兴宁模拟）如图，把矩形沿 翻折， 点恰好落在边的处且， 则是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵折叠，
∴
故答案为：A．
【分析】由矩形的对边分别平行可得，由平行线的性质"两直线平行，内错角相等"可得，然后根据折叠的性质得即可求解．
◆变式训练
1.如图，矩形中，点分别在边上，连接，将和分别沿折叠，使点恰好落在上的同一个点，记为点，若，则的长度为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
在矩形中，，，
根据折叠的性质得：，
设，则
根据勾股定理得：，
∴，解得.
∴的长度为.
故答案为：D.
【分析】在矩形中，根据折叠的性质，结合已知条件得，设，则由勾股定理得，解出的长度即可.
1．（2025·东莞模拟）如图，已知菱形的边长为，连接，，分别是，的中点，连接，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：∵已知菱形的边长为，
∴，
∵，分别是，的中点，
∴
故选：B．
【分析】根据菱形的性质可得，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
2．（2025·深圳一模）如图，在矩形ABCD中，AD>AB，AB=5cm，AC，BD交于点O，∠AOD=2∠AOB=120°，则BC=（　　）
A．5cm B．cm C．cm D．cm
【答案】C
【解析】【解答】解：首先，因为四边形ABCD是矩形：矩形的对角线相等且互相平分，
所以OA = OB = OC = OD，
已知 ∠AOB=60° ， ∠AOD=120（因为AOD = 2AOB)
又因为OA = OB且AOB = 60°，所以 AOB是等边三角形
则OA = OB = AB = 5cm，所以AC = 2OA = 10cm
然后，在RtABC中：根据勾股定理BC=
已知AB = 5cm，AC = 10cm，
代入可得：BC=
故选：C.
【分析】本题围绕矩形性质（对角线相等且平分）、等边三角形判定（有一个角为60 ° 的等腰三角形是等边三角形 ）以及勾股定理展开，利用矩形对角线关系得出等边三角形，进而结合勾股定理求边.
3．（2025·广州模拟）如图，菱形的顶点，在x轴上，点C在y轴正半轴上，那么菱形的面积（　　）
A．16 B． C．12 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，，
∴中，，
∴=，
故答案为：B．
【分析】根据点A和点B的坐标求出AB=4，再利用勾股定理求出OC的值，最后利用菱形的面积公式计算求解即可.
4．（2025·广州）如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（　　）
A． B．5 C．4 D．8
【答案】B
【解析】【解答】解：连接AC，BD
∵四边形ABCD为菱形，且面积为10
∴
∵E，F分别为AB，BC的中点
∴EF是△ABC的中位线
∴
同理可得：
∴EF∥GH，EF=GH，EF⊥FG
∴四边形EFGH为矩形
∴
故答案为：B
【分析】 连接AC，BD，根据菱形性质可得，再根据三角形中位线定理可得，同理可得：，则EF∥GH，EF=GH，EF⊥FG，根据矩形判定定理可得四边形EFGH为矩形，再根据矩形面积即可求出答案.
5．（2025·深圳三模）如图，在菱形中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：连接，如图：
由作图痕迹可知，垂直平分，
∴，
∴，
∴，
在等腰中，，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，则
；
故选：A．
【分析】连接，由垂直平分线的性质和勾股定理求出，然后得到，再根据勾股定理求出即可．
6．（2025·东莞模拟）如图，将矩形对折，使与边重合，得到折痕，再将点A沿过点D的直线折叠到上，对应点为，折痕为，，，则的长度为（　　）
A． B．4 C． D．3
【答案】A
【解析】【解答】解：由折叠的性质得，，，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
故选： A．
【分析】根据折叠性质可得，，，再根据矩形性质可得，，，再根据勾股定理可得A'M，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
7．（2025·揭东模拟）如图，点在正方形的内部，且是等边三角形，连接，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵点在正方形内部，且是等边三角形，是正方形的对角线，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据正方形与等边三角形的性质得出，，进而求得，即可求解．
8．（2025·金湾模拟）如图，点A是直线在第一象限图象上一动点，以为边向左边作正方形，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：过点A作轴于E，过点B作于F，设点，如图
∴，
∵点A是直线在第一象限图象上一动点，
∴，，
在正方形中，，，
∴，
∴，
∴，
在△OAE和△ABF中
∴（AAS），
∴，，
∴，，
∵
∴，，
∴．
故答案为：C．
【分析】过点A作轴于E，过点B作于F，依题意设点，则，，结合题意，用角角边可证≌，由全等三角形的对应边相等可得，，由线段的和差得，，则，，然后将a、b代入，整理即可求解．
9．（2025·广州模拟）如图，菱形的边长为，，点为菱形内一动点，连接，，点为的中点，连接，则的最小值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：取中点K，连接，过D作交的延长线于N，
∴，
∵H是中点，
∴，
∵四边形是边长为4的菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】根据菱形的性质求出，，再利用SAS证明，最后利用勾股定理等计算求解即可.
10．（2025·惠州模拟）【知识技能】（1）如图1，点E是正方形中边上一点，以点A为中心，把顺时针旋转得到，若正方形边长为3，，求的长．
【数学理解】（2）如图2，点E是正方形内部一点，连接，将绕点B逆时针方向旋转90度得到，延长交于点H，连接，请证明： ．
【拓展探索】（3）如图3，正方形的边长为3，，将绕点B逆时针旋转一周，当时，求的长度．
【答案】解：（1）∵四边形是正方形，正方形边长为3，
∴，
根据旋转可得：，
∴，
∴点三点共线，
∴，
∴．
证明：（2）如图，在上截取，连接，
根据旋转可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
解：（3）∵，将绕点B逆时针旋转一周，
∴点E在以点B为圆心，1为半径的圆上运动，
当时，如图，
过点B作，
则，
∴，
∴，
∴．
当时，如图，
过点B作，
则，
∴，
∴，
∴．
综上，是。
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得出，然后再根据旋转可得：，即可可求出CE的值，进而可得出点三点共线，从而可求出FC的值，在直角三角形EFC中，根据勾股定理：，代入数据即可求解。
（2）在上截取，连接，易证，，从而可得，根据，易得是等腰直角三角形，得出，即可证明．
（3）将绕点B逆时针旋转一周，可得，点E在以点B为圆心，1为半径的圆上运动，过点B作，根据等腰直角三角形的性质，可得，然后再根据勾股定理，可得，进而可得，当时，可得，，进而根据勾股定理，可得，进而可得。
1．（2025·广州模拟）下列说法正确的是（　　）
A．矩形的对角线互相垂直平分 B．菱形的对角线相等
C．正方形的对角线平分一组对角 D．平行四边形的对角线互相垂直
【答案】C
【解析】【解答】解：A、菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线相等且平分，
∴此选项不符合题意；
B、矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直平分，
∴此选项不符合题意；
C、正方形的对角线平分一组对角，
∴此选项符合题意；
D、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线互相平分，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】A、根据矩形的性质“矩形的对角线相等且平分”可判断求解；
B、根据菱形的性质“菱形的对角线互相垂直平分”可判断求解；
C、根据正方形的性质“正方形的对角线平分每一组对角”可判断求解；
D、根据平行四边形的性质“平行四边形的对角线互相平分”可判断求解.
2．（2025·龙岗模拟） 如图，在直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，为坐标原点，点，都在第二象限内，点的坐标为，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：延长BA交y轴于点D，
∵ABCD是菱形，
∴AB=AO，AB∥OC，
∴BD⊥y轴，
∴，
∴AB=OA=5，
∴点B的坐标为(-8，4)，
故答案为：C.
【分析】延长BA交y轴于点D，根据菱形的性质得到AB=AO，AB∥OC，即可得到BD⊥y轴，根据勾股定理求出OA长，再根据平移得到点B的坐标即可.
3．（2025·深圳三模）如图，菱形中，，，，分别是，的中点，则(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，BC=4，
∴AB=AD=BC=4，
∵E，F分别是AB，AD的中点，
∴AE =AB = 2，AF=AD = 2，
∴AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∵∠EAF=120°，
∴∠AEF=∠AFE=（180°-∠EAF）=（180°-120°）= 30°，
过点A作AG⊥EF，如图，
∴EG =FG， AG=AE=1，
∴EG =
∴EF=2EG =2
故答案为：D.
【分析】根据菱形的性质，等腰三角形的性质和直角三角形的性质，由菱形的性质得AB=AD=BC=4，由E，F分别是AB，AD的中点得AE=AF=2，∠A=120°得∠AEF=∠AFE=30°，过点A作AG⊥EF，得 EF=2EG，AG=AE=1，由勾股定理得EG=，从而可得出EF的值.
4．（2025·顺德模拟）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，垂足为E．若，，则的长为（　　）
A．5 B．6 C． D．9
【答案】B
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，，
，
∵
设，则
∴
∴
∴
，
∵，
，
，
即是等边三角形，
∴
∵
∴
∴．
故答案为：B．
【分析】由矩形的对角线相等且互相平分可得，，，根据已知可推出BE=EO，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，可由三边相等的三角形是等边三角形得△OAB是等边三角形，由等边三角形的每一个内角都是60°得到，由直角三角形量锐角互余得∠ADB=30°，进而根据含30°角直角三角形的性质得到．
5．（2025·遵义模拟）如图，四边形是菱形，对角线、交于点，于点，是线段的中点，连接．若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】
解：∵四边形是菱形，对角线、交于点，∴，
∴，
∵是线段的中点，，
，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
，
故答案为： D．
【分析】首先根据直角三角形斜边上的中线的性质可得出AD=5，进而根据勾股定理可得出OD=3，由菱形的性质可得出AC=8，BD=6，再根据菱形面积的两种不同计算方法，可得即可求出DE的长度。
6．（2025·中山模拟）如图，正方形的边长为，延长至点，使得，平分交于点，连接，则下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的个数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
，
如图所示，过点作于点，
平分交于点，
，且，
，
，
，
∴垂直平分，
，故①正确；
，
，
，
，
平分，故②正确；
，
与不垂直，故③不正确；
设则，
，
，
解得，
，
，故④正确；
综上，正确个数为3个，
故答案为：C．
【分析】根据正方形性质可得，根据勾股定理可得AE，再根据角平分线性质可得，且，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据垂直平分线判定定理可得垂直平分，则，可判断①；根据角之间的关系可得，再根据角平分线判定定理可判断②；根据垂直定义可判断③；设则，根据勾股定理建立方程，解方程可得，再根据边之间的关系可判断④.
7．（2025·东莞模拟）如图，在矩形中，点为边上一个动点，若，，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】15
【解析】解：
ABCD是矩形，AD=BC，AB=CD
=9+6
=15
故答案为：15．
【分析】先证，再利用三角形面积的和差关系求出阴影部分的面积。
8．（2025·海珠模拟）如图，在中，，为中线，，，若，，则　 　．
【答案】4
【解析】【解答】解∶∵，，，
∴，
∴，
∵，
由三线合一得，，
∵D，E分别为CB，AB中点，
∴，
故答案为∶4．
【分析】
根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边上中线的性质可得出，根据三线合一的性质得出，然后根据三角形中位线定理即可求出．
9．（2025·连州模拟）如图，正方形的边长为4，动点，分别从点，同时出发，以相同的速度分别沿向移动，当点到达点时，运动停止，过点作的垂线，垂足为，连接，则长的最小值为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接BD交EF于点O，
根据题意可得DE=BF，
四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠BFO=∠DEO，∠EDO=∠FBO
∴△EOD≌△FOB
∴BO=DO，
即点O是正方形中心，
∴BD=
连接CO，取CO的中点M，连接BM．
∴BO=DO=CO=.OM=
在Rt△OBM中
∴
在Rt△OPC中，M是CO的中点，OM=MC=PM=
当三点B、P、M共线时，BP最小，最小值为BM－PM=．
故答案为：．
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及三角形的两边之差小于第三边等定理．
如图，连接BD交EF于点O，连接CO，取CO的中点M，连接BM．利用勾股定理求出BD，然后利用AAS证明△EOD≌△FOB，说明O是正方形的中心，得到BO=CO=DO，在Rt△OPC中，M是CO的中点，OM=MC=PM=，在Rt△OBM中，利用勾股定理求出BM， 当B、P、M三点共线时，BP最小，最小值为BM－PM.
10．（2025·深圳模拟）尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题．数学课堂上，黄老师给同学们呈现了这样一个数学问题：如图，在矩形纸片中，点E在边的中点，将矩形纸片折叠，使点B与点E重合．
（1）请在图中作出折痕，交边于点F，交边于点G，连接，并在矩形纸片内用尺规作出一点M，使得四边形是菱形，请给出证明；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若折痕交于点H，连接，若长为6，为，直接写出的长．
【答案】（1）解：如图，直线为折痕，点为所求作；
证明如下：由题意可知，点、关于直线对称，
垂直平分，
，，
在射线上取点，使得，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形
（2）
【解析】（2）解：四边形是矩形，
，
点为的中点，，
，
四边形是菱形，，
，，，，
，
【分析】（1） 由题意可知，点、关于直线对称， 根据垂直平分线判定定理可得垂直平分， 则，， 在射线上取点，使得，则四边形是平行四边形，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据矩形性质可得，再根据线段中点可得 ，再根据菱形性质可得，，，，再根据勾股定理可得FH，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：如图，直线为折痕，点为所求作；
证明如下：由题意可知，点、关于直线对称，
垂直平分，
，，
在射线上取点，使得，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是矩形，
，
点为的中点，，
，
四边形是菱形，，
，，，，
，
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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第四章 图形的认识
4.5 特殊的平行四边形
特殊的平行四边形 特 殊 平 行 四 边 形 的 性 质 与 判 定 菱形 矩形 正方形
图示
定义 有一组 的平行四边形叫 做菱形. 有一个角是 的平行四边形是矩形. 有一个角是 ，有一组 的平行四边形叫做正方形.
性质 (1)对称性：既是 图形，又是 图形，它有 对称轴，其对称中心是 ； (2)边： 相等，对边平行； (3)角： 相等； (4)对角线：对角线互相 平分，且每一条对角线 一组对角. (1)对称性：既是 图形，又是 图形，它有 对称轴，其对称中心是 ； (2)边：对边平行且 ； (3)角：四个角都是 ； (4)对角线：对角线互相 . (1)对称性：既是 图形，又是 图形，它有 对称轴，其对称中心是 ； (2)边：对边平行，四条边都 ； (3)角：四个角都是 ； (4)对角线：对角线互相 平分且相等，并且每一条对角线 一组对角.
判定 (1)有一组 相等的平行四边形是菱形； (2) 相等的四边形是菱形； (3)对角线互相 的平行四边形是菱形. (1)有一个角是 的平 行四边形是矩形； (2)有 是直角的四边形是矩形； (3) 的平行四边形是矩形. (1)有一个角是 的菱形是正方形； (2)有一组 相等的矩形是正方形.
面积 (1)菱形的面积 =底×高； (2)菱形被对角线分成了四个全等的直角三角形，因此菱形的面积可以用两条对角线乘积的一半来表示. 矩形的面积=长×宽. 正方形的面积=边长×边长.
中点四边形 原四边形对角线间的关系举例中点四边形相等矩形、等腰梯形、对角线相等的一般四边形 互相垂直菱形、对角线垂直的一般四边形 互相垂直且相等正方形、对角线相等且垂直的一般四边形 不垂直也不相等一般四边形、平行四边形、直角梯形
■考点一 矩形的性质与判定
◇典例1：在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠BAD的角平分线交BC于点E，若∠AOB=45°，则∠OAE=（　　）
A．12.5° B．22.5° C．20° D．65°
◆变式训练
1.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要增加的一个条件可以是（　　）
A．∠B+∠C=180° B．AB=BC
C．∠B=∠D D．AC=BD
2.如图，在 ABCD中，过点A、C作AF⊥CD，CE⊥AB，分别交AB、CD的延长线于点F和E．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）连接AC，BD交于点O，点G是线段AE的中点，若，OG＝2，求矩形AECF的周长．
■考点二 菱形的性质与判定
◇典例1：如图，在菱形中，对角线与相交于点，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.如图，在菱形中，，对角线，交于点O，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
2.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB∥CD，BO＝DO．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）当BD平分∠ABC，AC＝6，BD＝8时，求四边形ABCD的周长．
■考点三 正方形的性质与判定
◇典例1：如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到点E，使CE＝AC，连结AE交CD于点F，则∠AFC等于（　　）度．
A．112.5 B．125 C．135 D．150
◆变式训练
1.“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移2cm得到正方形A'B'C'D'，形成一个“方胜”图案，则点D，B'之间的距离为（　　）
A． B． C．2cm D．
2.如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，AB⊥BC，点E是边CD的延长线上的动点．连接AE．过点C作CF⊥AE于点F．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）当点F是AE的中点，且时，求四边形ABCD的面积．
■考点四 中点四边形
◇典例1：如图，四边形ABCD中，AC=BD，顺次连接四边形各边中点得到的图形是（　　）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．以上都不对
◆变式训练
1.如图，点分别是四边形边的中点．则正确的是（ ）

A．若，则四边形为矩形
B．若，则四边形为菱形
C．若是平行四边形，则与互相平分
D．若是正方形，则与互相垂直且相等
2.如图，四边形中，，，且，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，，如此进行下去，得到四边形下列结论正确的有（ ）
①四边形是矩形；
②四边形是菱形；
③四边形的周长是；
④四边形的面积是．
A．个 B．个 C．个 D．个
■考点五 特殊平行四边形的综合
◇典例1：如图，的中线，交于点O，点F，G分别是，的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，求证：是矩形．
◆变式训练
1.（2025九上·南沙期末）如图，点是正方形中边上的任意一点，以点为中心，把旋转，得到．已知．
（1）求的度数．
（2）求证：．
（3）连接，线段交于点，交于点．试探索，，之间的数量关系并加以说明．
2.（2025·雷州模拟）综合与探究
问题情境：
如图1，四边形是矩形，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点，连接．
猜想证明：
（1）判断四边形的形状，并说明理由．
深入探究：
（2）创新小组在解决了上述问题后，继续将矩形沿所在直线折叠，使点，分别落在，边上的点，处，交于点，展开铺平．将绕点逆时针方向旋转，得到，点，的对应点分别为，，如图，连接，．试探究线段，之间的数量关系，并说明理由．问题解决：
（3）在的条件下，若，，在旋转的过程中，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的面积．
■ 微专题四：矩形的折叠：模型1 沿矩形对角线折叠
◇典例1：（2025·海珠模拟）如图，科技社团的同学们用矩形硬纸板制作立体模型，其中一个结构的制作需将纸板沿折叠得到，折叠后与交于点，已知，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，将矩形沿BD折叠，点A落在点A'处，则重叠部分△DEB的面积为（　　）
A．10 B．12 C．16 D．20
■ 微专题四：矩形的折叠：模型2 过矩形一个顶点折叠
◇典例1：如图，折叠矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF；把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，折痕为BM，BM与EF相交于点N，直线BA′交CD于点G，若BC＝5，EN＝1，则DG的长为（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2025·深圳模拟）如图，在矩形中，为边上一点，，将沿折叠得，连接，若平分，，则的长为(　　)
A． B． C． D．
■ 微专题四：矩形的折叠：模型3 不过矩形顶点折叠
◇典例1：（2025·兴宁模拟）如图，把矩形沿 翻折， 点恰好落在边的处且， 则是（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.如图，矩形中，点分别在边上，连接，将和分别沿折叠，使点恰好落在上的同一个点，记为点，若，则的长度为（　　）
A．2 B． C． D．
1．（2025·东莞模拟）如图，已知菱形的边长为，连接，，分别是，的中点，连接，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2025·深圳一模）如图，在矩形ABCD中，AD>AB，AB=5cm，AC，BD交于点O，∠AOD=2∠AOB=120°，则BC=（　　）
A．5cm B．cm C．cm D．cm
3．（2025·广州模拟）如图，菱形的顶点，在x轴上，点C在y轴正半轴上，那么菱形的面积（　　）
A．16 B． C．12 D．
4．（2025·广州）如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（　　）
A． B．5 C．4 D．8
5．（2025·深圳三模）如图，在菱形中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·东莞模拟）如图，将矩形对折，使与边重合，得到折痕，再将点A沿过点D的直线折叠到上，对应点为，折痕为，，，则的长度为（　　）
A． B．4 C． D．3
7．（2025·揭东模拟）如图，点在正方形的内部，且是等边三角形，连接，，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·金湾模拟）如图，点A是直线在第一象限图象上一动点，以为边向左边作正方形，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·广州模拟）如图，菱形的边长为，，点为菱形内一动点，连接，，点为的中点，连接，则的最小值为　 　．
10．（2025·惠州模拟）【知识技能】（1）如图1，点E是正方形中边上一点，以点A为中心，把顺时针旋转得到，若正方形边长为3，，求的长．
【数学理解】（2）如图2，点E是正方形内部一点，连接，将绕点B逆时针方向旋转90度得到，延长交于点H，连接，请证明： ．
【拓展探索】（3）如图3，正方形的边长为3，，将绕点B逆时针旋转一周，当时，求的长度．
1．（2025·广州模拟）下列说法正确的是（　　）
A．矩形的对角线互相垂直平分 B．菱形的对角线相等
C．正方形的对角线平分一组对角 D．平行四边形的对角线互相垂直
2．（2025·龙岗模拟） 如图，在直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，为坐标原点，点，都在第二象限内，点的坐标为，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·深圳三模）如图，菱形中，，，，分别是，的中点，则(　　)
A． B． C． D．
4．（2025·顺德模拟）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，垂足为E．若，，则的长为（　　）
A．5 B．6 C． D．9
5．（2025·遵义模拟）如图，四边形是菱形，对角线、交于点，于点，是线段的中点，连接．若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·中山模拟）如图，正方形的边长为，延长至点，使得，平分交于点，连接，则下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的个数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·东莞模拟）如图，在矩形中，点为边上一个动点，若，，则图中阴影部分的面积为　 　．
8．（2025·海珠模拟）如图，在中，，为中线，，，若，，则　 　．
9．（2025·连州模拟）如图，正方形的边长为4，动点，分别从点，同时出发，以相同的速度分别沿向移动，当点到达点时，运动停止，过点作的垂线，垂足为，连接，则长的最小值为　 　．
10．（2025·深圳模拟）尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题．数学课堂上，黄老师给同学们呈现了这样一个数学问题：如图，在矩形纸片中，点E在边的中点，将矩形纸片折叠，使点B与点E重合．
（1）请在图中作出折痕，交边于点F，交边于点G，连接，并在矩形纸片内用尺规作出一点M，使得四边形是菱形，请给出证明；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若折痕交于点H，连接，若长为6，为，直接写出的长．
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