资源简介

平面向量
2026版
第 1讲 平面向量的概念 1 1. 利用正余弦定理测距 45
1. 平面向量的概念 1 2. 利用正余弦定理测高 46
2. 平行向量 (共线向量) 1 3. 角度问题 47
第 2讲 平面向量的计算 3 第 9讲 平面向量中的范围的计算 49
1. 平面向量的加法几何运算 3 1. 向量线性运算中的最值与范围问题 49
2. 平面向量的加法字母运算 5 2. 向量数量积的最值与范围问题 50
3. 平面向量的减法的几何运算 6 3. 向量模的最值问题 51
4. 平面向量的减法的代数运算 7 4. 向量夹角的最值问题 51
5. 加减的混合运算 8
第 3讲 平面向量的共线定理 10
1. 平面向量的数乘的概念 10
2. 向量的线性运算 11
第 4讲 平面向量的基本定理及坐标表示 13
1. 平面向量的基本定理 13
2. 用已知向量表示未知向量 14
3. 三点共线的向量的另一种表示 16
4. 三角形的重心 17
5. 直线上的向量的运算 18
6. 平面上的运算与坐标的关系 19
7. 已知两点坐标求向量的坐标 20
8. 模长与两点之间的距离公式 21
9. 向量平行的坐标表示 22
第 5讲 平面向量的数量积 25
1. 平面向量的数量积及运算规律 25
2. 投影向量 26
3. 两个向量的夹角 27
4. 数量积的坐标运算 28
5. 用向量的坐标表表示向量的垂直 29
第 6讲 正余弦定理 30
1. 正弦定理 30
2. 面积公式的应用 30
3. 利用正弦定理解三角形 31
4. 三角形解的个数的判断 32
5. 余弦定理 33
第 7讲 正余弦定理的应用 35
1. 利用正弦定理和余弦定理进行边角互化 35
2. 三角形形状的判定 37
3. 正余弦定理中的范围问题 38
4. 中线和角平分线 40
5. 正余弦定理在平面几何中的应用 42
第 8讲 正余弦定理的实际应用 45
平面向量的概念
1.平面向量的概念
B
A a

向量的定义：既有大小又有 方向 的量叫做向量.用有向线段 AB 或 a 表示.

向量的模：向量AB的大小，也就是向量AB的长度，记作 |AB| 或 |a| .
1.零向量：模长为 0 ，方向 任意 的向量.

|0| = 0
2.单位向量：模长为 1 ，方向 任意 的向量.

若 e为单位向量，则 |e| = 1
例题分析
例〔多选〕下列说法正确的是 ( )
A. 零向量没有方向
B. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C. 零向量的长度都为 0
D. 两个单位向量的长度相等
解 CD　零向量有方向，只是方向任意，A错误；两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不
一定相同，终点也不一定相同，B错误；零向量的长度都是 0；单位向量的长度都是 1，故C、D正确.
变式1〔多选〕下列命题正确的是 ( ) C. 零向量的长度都为 0
A. 平面直角坐标系上的 x轴、y轴都是向量 D. 两个单位向量的长度相等
B. 温度含零上和零下温度，所以温度是向量 解析　两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方

C. 若向量 a=AB，b=BA，则 |a| = |b| 向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的模都是 0；单位
向量的长度都是 1，故A，C，D正确．
D. 向量的大小与方向无关
解析：CD　A中平面直角坐标系上的 x轴、y轴只有 变式3 下列说法中正确的是 ( C )
方向，没有长度，不是向量，故 A错误；B中的温度都是数
A. 向量的模都是正实数
量，不是向量，故 B错误；C中由于 |a| = |AB| =AB，|b| =
B. 单位向量只有一个
|BA| =BA=AB，因此有 |a| = |b|，故C正确；D中向量的 C. 向量的大小与方向无关
大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关， D. 方向不同的向量不能比较大小，但同向的
故D正确.
向量可以比较大小
变式2 (多选)下列说法正确的是 ( ACD ) 解析　零向量的模为 0，故A不正确；单位向量的方向

A. 向量AB与向量BA的长度相等 可以是任意的，故B不正确；向量的大小即为向量的模，指
B. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们 的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确；不管向量的
方向如何，它们都不能比较大小，故D不正确．
的终点相同
2.平行向量 (共线向量)
1
平行向量 (共线向量)：方向 相同 或 相反 的两个向量.
1.相等向量：大小 相等 ，方向 相同 的两个向量.

若AB和CD为相等的向量，则AB=CD
2.相反向量：大小 相等 ，方向 相反 的两个向量.

若AB和CD为相等的向量，则AB=-CD ,其中AB和BA互为相反向量，则AB=-BA
如图,设点O是正六边形ABCDEF的中心,完成下列问题.
F E ∵O A 和E F 方向相同大小相等 F E ∵OA和FE方向相反大小相等
∴OA=EF ∴OA = -FE
A D 则与OA相等的向量还有那些？ A D 则与OA相反的向量还有那些？
O O
答案：
B C B C

想一想 与OA的平行向量又哪些？

答案：OA的平行向量:BC ,CB ,EF ,FE ,DO ,OD ,AD ,DA ,AO.

变式1 在正方形 ABCD中,与 AB相等的向 ②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必

量有 DC , AB的相反向量有 CD，BA ,与 相同；

AB平行的向量有 CD，DC ,BA . ③零向量是没有方向的；
④向量就是有向线段.
变式2 下列命题正确的是 ( C )
其中假命题的个数为 ( C )
A. a b 与 共线，b与 c共线，则 a与 c也共线； A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B. 任意两个相等的非零向量的起点与终点是
一平行四边形的四个顶点； 变式4 下列结论正确的个数是 ( B )
C. a b ①温度含零上和零下，所以温度是向量；向量 与 不共线，则 a与 b都是非零向
②向量的模是一个正实数；
量；
D. 有相同起点的两个非零向量不平行． ③若向量 a与 b不共线，则 a与 b都是非零向
量；
变式3 判断下列各命题的真假：
a
④若 a > b ，则 a> b．
①向量 与 b平行，则 a 与 b的方向相同或相 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
反；
2
平面向量的计算
1.平面向量的加法几何运算
1、当两个向量在同一直线时
平面向量加法法则
b
b a a
a b a
b
A
A B C C B
a

+b=AB+BC=AC
2、当两个向量不在同一直线上时
平面向量加法的三角形法则 平面向量加法的平行四边形法则

b C
C
a+b b b a+b
b
a A a B a A a B

对于任意向量 a.有
a+ 0= a

向量 a , b的模与 a+ b的模满足不等式
||a

| -|b|| ≤ |a

+ b| ≤ |a | +|b|

当 a b 与 共线且 同向 时， a+b = a + b 当 a与 b共线且 反向 时， a+b = a - b .
3、多个向量相加

)+
c c c)

b +b (b+
c
c (a +
a+b
a

b b

a a a
( a+b)+c=a+(b+c)
例题分析
例 如图所示，
(1)a+ b=　 c　；

解 a+ b=AB+BC = c.
(2)c+ d=　 f　；

解 c+ d=AC +CD= f.
(3)a+ b+ d=　 f　.
3

b+ c

解 a+ b+ d=AB+BC +CD=AD= f.
例题分析
例 如图所示，已知向量 a，b，c，试作出向量 a+ b+ c.

解 如图所示，在平面内任取一点 O，作向量 OA = a，OB = b，OC = c，以 OA，OB为邻边作

OADB，连接OD，则OD=OA+OB= a+ b；再以OD，OC为邻边作 ODEC，连接OE，则OE=OD

+OC = a+ b+ c即为所求.
变式5 如图，按下列要求作答. (1)a+ b= c ；
(2)c+ d= f ；
(3)a+ b+ d= f ；
(4)c+ d+ e= g .
变式7 如图所示的方格纸中有

定点 O，P，Q，E，F，G，H，则 OP + OQ =

(1)以A为始点，作出 a+ b； FO .
(2)以B为始点，作出 c+ d+ e；
(3)若图中小正方形边长为 1，求 |a+ b|，|c+
d+ e|.
解：(1)将 a，b的起点同时平移到点A，利用平行四边
形法则作出 a+ b，如图.
解：以OP，OQ为邻边作平行四边形，如图所示，则

OP+OQ=OM，由OM 和FO的模相等，方向相同，得

OM =FO，即OP+OQ=FO.
(2)先将共线向量 c，d的起点同时平移到点B，计算出
c+ d，再平移向量 e与之首尾相接，利用三角形法则即可作
出 c+ d+ e，如图.
变式8 如图所示，O为正六
边形 ABCDEF的中心，化简下
列向量．

(1)OA+OC = OB ；

(2)BC +FE= AD ；

(3)由图中小正方形的边长为 1，根据作出的向量利用 (3)OA+FE= 0 .
勾股定理可知，|a+ b| = 12+22= 5，|c+ d+ e| =
2+ 2= 变式9 如图，四边形ABCD是平行四边形，则2 3 13 .
向量CB+AB= ( )
变式6 如图所示，
4
以最大值为 20.

变式12 若在 △ABC中，AB = AC = 1，|AB

+AC| = 2，判断△ABC的形状.

A. AC B. CA C. BD D. DB 解：以AB，AC为邻边作 ABDC，如图所示.

解析：D　因为在平行四边形ABCD中，CB=DA，所

以CB+AB=DA+AB=DB.故选D.
变式10 点O是平行四边形 ABCD的两条对

角线的交点，则AO+OC +CB= ( )
则 |AB+AC| = |AD| = 2 .
A. AB B. BC C. CD D. 0 又AB=AC= 1，且BD=AC，∴AB=BD= 1，
答案：A 从而△ABD为等腰直角三角形.因此 ABDC为正方
形，
变式11 设 |a| = 8，|b| = 12，则 |a+ b|的最大 故△ABC为等腰直角三角形.
值为 20 .
解析：由 |a+ b| ≤ |a| +|b|，得 |a+ b| ≤ 8+ 12= 20.所
2.平面向量的加法字母运算

b
B B C
a b a c
A C A D

a+b= AB+BC=AC a+ + b c=AB+BC+CD=AD
例题分析
例 化简：

(1)BC +AB； (2)DB+CD+BC； (3)AB+DF +CD+BC +FA.

解 (1)BC +AB=AB+BC =AC .

(2)DB+CD+BC =BC +CD+DB= (BC +CD) +DB=BD+DB= 0．

(3)AB+DF +CD+BC +FA=AB+BC +CD+DF +FA=AC +CD+DF +FA

=AD+DF +FA=AF +FA= 0．

变式13 化简：
|AB+AD+BC +DC| =________.
(1)BC +AB； 答案　 2 2

解：BC +AB=AB+BC =AC.
解析　 |AB+AD+BC +DC| = |AB+BC +AD+
(2)DB+CD+BC； DC| = |AC +AC| = 2|AC| = 2 2 .

解：DB+CD+BC =BC +CD+DB= (BC +CD)
变式15 化简：AB+ (OM +BO) +MB= (　
+DB=BD+DB= 0.
B　)
(3) (AB+MB) + (BO+BC) +OM .

解：(AB+MB) + (BO+BC) +OM = (AB+BO) + A. BC B. AB C. AC D. AM

OM + (MB+BC) = (AO+OM ) +MC =AM +MC = 解析：(1)AB+ (OM +BO) +MB=AB+BO+OM

AC. +MB=AB.故选B.

变式14 已知正方形ABCD的边长等于 1，则 变式16 化简AB+CA+BC = ( )
5

A. 0 B. 0 C. AC D. CA CD=AD，故C正确；AC +BA+DA=AD+DA= 0，故
D正确.故选A、C、D.
解析：A　AB+CA+BC =AB+BC +CA= 0，故
选A. 变式18 如图 ，E ，F ，G，H 分别是梯形
变式17〔多选〕如图，在平行四边形 ABCD ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列
中，下列计算正确的是 ( ) 各式：

A. AB+AD=AC

B. AB+CD+DO=OA (1)DG+EA+CB；

C. AB+AD+CD=AD (2)EG+CG+DA+EB.

D. AC +BA+DA= 0 解：(1)DG+EA+CB=GC +BE+CB=GC +CB
+BE=GB+BE=GE.
解析：ACD　由向量加法的平行四边形法则可得AB
(2)EG+CG+DA+EB=EG+GD+DA+AE=
+AD=AC，故A正确；由向量加法的三角形法则可得AB
ED+DA+AE=EA+AE= 0.
+CD+DO=AB+CO=AB+OA=OB，故B错误；由

向量加法的平行四边形法则可得AB+AD+CD=AC +
3.平面向量的减法的几何运算
向量 a加上 b的相反向量，叫做 a与 b的差，即 a- b= a+ (-b).求两个向量差的运算叫做向量的减
法.
平面向量加法的三角形法则

b C
a -b
b
a A a B

AB-AC=AB+CA=CA+AB=CB
a , b a

向量 的模与 + b的模满足不等式

a - b ≤ a -b ≤ a + b

当 a与 b共线且 反向 时， a-b = a + b 当 a与 b共线且 同向 时， a-b = a - b .
例题分析
例 如图，已知向量 a，b，c不共线，求作向量 a+ b- c.

解 法一　如图 1所示，在平面内任取一点O，作OA= a，AB= b，则OB= a+ b，再作OC = c，则

CB= a+ b- c.
6

法二　如图 2所示，在平面内任取一点O，作OA= a，AB = b，则OB = a+ b，再作 CB = c，连接

OC，则OC = a+ b- c.

变式19 如图，已知向量 a，b，c，求作向量 a- 令 a=OA，b=OB，则 a- b=OA-OB=BA，

b- c. 令 c=BC，所以 a- b- c=BA-BC =CA.如图中
CA即为 a- b- c.
变式21 如图，在五边形ABCDE中，若四边形

b ACDE是平行四边形，且AB = a，AC = b，AE =
c
c，试用 a，b，c表示向量BD，BC，BE，CD及CE.
a

解　如图，在平面内任取一点O，作向量OA= a，OB

= b，则向量BA= a- b，再作向量BC = c，则向量CA= a
- b- c.
解　∵四边形ACDE是平行四边形，∴CD=AE=

c，BC =AC -AB= b- a，BE=AE-AB= c- a，CE

=AE-AC = c- b，∴BD=BC +CD= b- a+ c.

变式22 在四边形 ABCD中，设 AB = a，AD

变式20 如图，已知向量 a，b，c，求作向量 a- = b，BC = c，则DC等于 (　　)
b- c.
c
a
A. a- b+ c B. b- (a+ c)
b
C. a+ b+ c D. b- a+ c
答案　A

解：由向量减法的三角形法则， 解析　DC =AC -AD=AB+BC -AD= a+ c- b
= a- b+ c.
4.平面向量的减法的代数运算
根据向量的定义 a- b= a+ (-b).求两个向量差的可以转化为两个向量的加法.
例题分析
7

例 (多选)下列各向量运算的结果与AC相等的有 (　　)

A. AO+OC B. AO-OC C. OA-OC D. OC -OA

解 对于A选项AO+OC =AC ,对于B选项AO-OC =AO+CO没法计算，对于C选项OA-

OC =OA+CO=CO+OA=CA ,对于D选项OC -OA=OC +AO=AO+OC =AC.答案：AD

变式23 AC -BD+CD-AB= (　D　)

A. AB B. AD C. BC D. 0

解析：(1)AC -BD+CD-AB=AC +DB+CD+BA=AC +CD+DB+BA= 0.故选D.

变式24 在△ABC中，O为BC的中点，记OA=m，OB=n，则AC = (　A　)
A. -m-n B. -m+n C. m-n D. m+n

解析：(2)AC =AO+OC =-OA-OB=-m-n.故选A.
5.加减的混合运算
例题分析

例 化简：(1)BA+OD-OA-BC； (2) (AC +BO+OA) - (DC -DO-OB).

解 (1)BA+OD-OA-BC = (BA-BC) + (OD-OA) =CA+AD=CD.

(2) (AC +BO+OA) - (DC -DO-OB) =AC +BA-OC +OB=AC +CO+OB +BA=AB

+BA= 0.

变式25 化简下列各式： AC +CB=AD-AD+AB=AB.

①OM -ON +MP-NA= ； ②
变式27 如图，已知向量 a、b、c、d、e
(AD-BM ) + (BC -MC) = ．

解　①OM -ON +MP-NA=NM +MP-NA=

NP-NA=AP.

② (AD-BM ) + (BC -MC) =AD+MB+BC +

CM =AD+ (MB+BC +CM ) =AD+ 0=AD.
变式26 化简下列各式：

(1)AB+BC -DC = AD ；
(1)用 a 、d 、e表示DB= d+e+a ；
(2)AB+BC -DC +DE+EA= 0 ；
(2)用 b、c 表示DB= -b-c ；
(3) OA-OB -BC = CA ． (3)用 a、b、e表示EC = e +a +b ；
(4)BA-BC = CA ；
(4) c d

用 、 表示EC = -c-d ；
(5)AB+BC -AD= DC ；

( ) + + - - = (5)用 a、b、c、e表示ED= a+b+c+e

。
6 AB DA BD BC CA AB ．
【解析】
【解析】(1)AB+BC -DC =AC +CD=AD.
(1)DB=DE+EA+AB= d+ e + a .
(2)AB+BC -DC +DE+EA=AC +CD+DA=
(2)DB=DC +CB=-CD-BC =-b- c .
AD-AD= 0.

(3) OA-OB -BC =BA-BC =CA. (3)EC =EA+AB+BC = e
+ a + b

( ) - = (4)EC =ED+DC =-DE-CD=-c
- d.
4 BA BC CA.

(5)AB+BC -AD=AC -AD=DC. (5)ED=EA+AB+BC +CD= a
+ b+ c + e

(6)AB+DA+BD-BC -CA=AB+BD-AD+
8

变式28 如图，四边形 ABCD中，设 AB = a ， b，AE = c，试用向量 a，b，c表示向量 CD，BC，
AD= b，BC = c，试用 a，b，c分别表示AC，DC． BD.

解：由平行四边形的性质可知CD=AE= c，

由向量的减法可知BC =AC -AB= b- a，【答案】AC = a+ c，DC = a+ c- b.

由向量的加法可知BD=BC +CD= b- a+ c.
【解析】AC =AB+BC = a+ c，又DC =AC -AD，
变式32 如图，设 O为四边形 ABCD的对角
所以DC = a + c - b.
线 AC与 BD的交点，若 AB = a，AD = b，OD =
变式29 如图，P，Q是 △ABC的边 BC上的
c，则OB= a-b+c .(用 a，b，c表示)
两点，且 BP=QC，则化简AB +AC -AP -AQ
的结果为 (　A　)

解析：依题意，在△OAD中，OA=OD+DA= c- b；
A. 0 B. BP C. PQ D. PC 在△OAB中，OB=OA+AB= c- b+ a，所以OB= a-

解析：(1)AB+AC -AP-AQ= (AB-AP) + (AC b+ c.

-AQ) =PB+QC =QC -BP= 0.
变式33 在 △ABC中，BC = a，CA = b，则

变式30 在矩形 ABCD中，O是两条对角线
AB= ( )
AC，BD的交点，则AO+OD-AB= BD . A. a+ b B. - a- b
C. a- b D. b- a

解析：B　如图，∵BA=BC +CA= a+ b，∴AB=

-BA=-a- b.

解析：(2)AO+OD-AB=AD-AB=BD.
变式31 如图所示，四边形ACDE是平行四边

形，B是该平行四边形外一点，且 AB = a，AC =
9
平面向量的共线定理
1.平面向量的数乘的概念

给定一个向量 a，
3 a 个 相加的结果为，一个模长为 3|a| 、方向与 a相同的向量，通常记为 3a，即：
a + a + a = 3a
3 -a 3|a | -a -3a 个 相加的结果为，一个模长为 、方向与 相同的向量，通常记为 ，即：
(-a )+ (-a )+ (-a )=-3a
a -a

3a -3a
一般地，我们规定实数 λ与向量 a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 λa，其长度与方
向规定如下：
( 当λ>0时，与a的方向相同；1)|λa| = |λ||a|.(2)λa(a≠ 0)的方向 当λ<0时，与a的方向相反.
特别地，当 λ= 0时，λa= 0．当 λ=-1时，(-1)a=-a.
注意点：
(1)数乘向量仍是向量． (2)实数 λ与向量不能相加．
例题1. (多选)已知 λ，μ∈R，且 a≠ 0，则在以下各命题中，正确的命题是 (　　)
A. λ< 0时，λa的方向与 a的方向一定相反 B. λ= 0时，λa与 a是共线向量
C. |λa| = λ|a| D. λμ> 0时，λa的方向与 μa的方向一定相同
答案　ABD
解析　根据实数 λ与向量 a的积 λa的方向的规定，易知A正确；对于B，当 λ= 0时，λa= 0，0与 a是
共线向量，故B正确；对于D，由 λμ> 0可得 λ，μ同为正或同为负，所以 λa和 μa或者都是与 a同向，或者
都是与 a反向，所以 λa与 μa是同向的，故D正确；对于C，|λa| = |λ||a|，C错误．
反思感悟　 λ的正负决定向量 λa(a≠ 0)的方向，λ的大小决定 λa的模．
变式34〔多选〕已知 a，b为两个非零向量，下列说法中正确的是 ( )
A. 2a与 a的方向相同，且 2a的模是 a的模的 2倍
B. - 2a与 5a 2的方向相反，且-2a的模是 5a的模的 5
C. - 2a与 2a是一对相反向量
D. a- b与- (b- a)是一对相反向量
解析：ABC　因为 2> 0，所以 2a与 a的方向相同，且 |2a| = 2|a|，所以A正确；因为 5> 0，所以 5a与 a的方向相同，
且 |5a| = 5|a|，又-2< 0，所以-2a与 a的方向相反，且 | -2a| = 2|a|，所以-2a与 5a的方向相反，且-2a的模是 5a的模的
2
5 ，所以B正确；按照相反向量的定义可以判断，C正确；因为- (b- a)与 b- a是一对相反向量，a- b与 b- a是一对相
反向量，所以 a- b与- (b- a)为相等向量，所以D不正确.
10
变式35 )设 a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是 (　D　)
A. a与 λa的方向相同 B. a与-λa的方向相反
C. | -λa| = | -λ|·a D. | -λa| = | -λ|·|a|
解析：(1)依题意，λ> 0时，a与 λa的方向相同，a与-λa的方向相反，但是 λ< 0时，a与 λa的方向相反，a与-λa的
方向相同，故A、B错误；由数乘运算的长度的定义可知 | -λa| = | -λ|·|a|，故C错误，D正确.故选D.
变式36 (2) AC 3若点C在线段AB上，且 = 7 ，则 (　D　)CB
7 3 A. BC = 13 BA B. AC =- 10 AB C. BC =
7
13 AB D. AC =-
3
10 BA

解析：(2)因为点C在线段AB上，所以AC，AB同向，BC，AB反向，故B、C错误；又 |BC| = 710 |BA|，所以A错误；

又AC，BA反向且 |AC| = 310 |BA|，所以AC =-
3
10 BA，故D正确.故选D.
2.向量的线性运算

一般的，对于实数 λ和 μ ,以及向量 a ,有
λa + μa = (λ+ μ)a

如下图，2a+ 2b和 2(a + b)的关系
F

C 2a+2ba+b
2b
A a
b
B D 2a E
由上图可知ΔABC ΔDEF ,DE= 2AC ,且AC//DF.

所以 2a + 2b= 2(a + b) ,即

λa + λb= λ(a + b)
反之也成立即

λ(a + b) = λa + λb
1．数乘运算的运算律设 λ，μ为实数，那么
(1)λ(μa) = (λμ)a.(2) (λ+ μ)a= λa+ μa.(3)λ(a+ b) = λa+ λb.
特别地，(-λ)a=- (λa) = λ(-a)，λ(a- b) = λa- λb.
2．向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量 a，b，以及任意实数 λ，μ1，μ2，恒有 λ
(μ1a± μ2b) = λμ1a± λμ2b.
例题分析
例 计算下列各式.

(1) - 2a + 1 a 2 ; (2)2(a
+ b) - 3(a - b).
解 (1) - 2a + 1 a = -2+ 1 a 2 2 = (-
3
2 )a.
11

(2)2(a + b) - 3(a

- b) = 2a

+ 2b- 3a + 3b= (2a - 3a )+ (2b+ 3b) =-a + 5b.
变式37 计算： 变式40 若 a = 2b + c，则化简 3(a + 2b) - 2
(1)8 2a

-b+c - 6 a -2b+c - 2 2a +c ； (3b+ c) - 2(a+ b)等于 ( )

(2) 1 1 2a +8b - 4a -2b ． A. - a B. - b3 2
C. - c D. 以上都不对
(3) 23 a
+b - 3 b-a 5 +
1
3 0-a
； 答案　C

(4) λ+μ 2a-b - 3λ+5μ -a-3b , λ , μ 解析　原式= 3a+ 6b- 6b- 2c- 2a- 2b= a- 2b-
∈R 2c= 2b+ c- 2b- 2c=-c.

(5)5 2a -2b + 4 2b-3a ； 变式41 若 3(x+ a) + 2(x- 2a) - 4(x- a+

(6) b) = 0，则 x= .6 a -3b+c - 4 -a +b-c ；
答案　 4b- 3a
(7) 1

2 3a
-2b +5a - 13 6a
-9b ； 解析　由已知，得 3x+ 3a+ 2x- 4a- 4x+ 4a- 4b=
( ) - + - - - 0，所以 x+ 3a- 4b= 0，所以 x= 4b- 3a.8 x y a b x y a b .

【答案】(1)6a+ 4b(2)2b- a(3) 14 1
变式42 1 1a+ 化简 (2a+8b)-(4a-2b) 的结15 15 b(4) (5λ+ 3 2
7μ)a+ (8λ+ 14μ)b(5) - 2a- 2b；(6)10a - 22b+ 10c ；(7) 果是 (　B　)
1 3a+ 2 b；(8)2 x-y b. A. 2a- b B. 2b- a
C. b- a D. a- b
变式38 若 a = 2b + c，则化简 3(a + 2b) - 2
(3b+ c) - 2(a+ b)等于 (　C　) 解析：原式= 13 (a+ 4b- 4a+ 2b) =
1
3 (-3a+ 6b) =
A. - a B. - b 2b- a.
C. - c D. 以上都不对 变式43 已知向量 a，b，x，y满足关系式 3x-
解析：原式= 3a+ 6b- 6b- 2c- 2a- 2b= a- 2b- 2y= a，-4x+ 3y= b，则向量 x= 3a+2b ，y=
2c= 2b+ c- 2b- 2c=-c.故选C. 4a+3b .(用 a，b表示)
变式39 若 3(x+ a) + 2(x- 2a) - 4(x- a+ 解析：由 3x- 2y= a，①-4x+ 3y= b，②①× 3+②×
) = = - 2，得 x= 3a+ 2b，代入①得 3(3a+ 2b) - 2y= a，即 y= 4ab 0，则 x 4b 3a .
+ 3b.
解析：由已知，得 3x+ 3a+ 2x- 4a- 4x+ 4a- 4b=
0，所以 x+ 3a- 4b= 0，所以 x= 4b- 3a.
12
平面向量的基本定理及坐标表示
1.平面向量的基本定理


b
d
a c e
图1 图2 图3

如图 1，b与 a 方向相同，且 |b| = 2|a | , 所以 b= 2a

如图 2，c与 d方向相反，且 |d| = 2|c| ,所以 d=-2c

如图 3，a与 e , 方向不同，所以 e没有办法写成底数与向量 a相乘.

共线向量的基本定理：一般地，如果 a≠ 0 ,且 a//b ,则存在唯一实数 λ ,使得 b= λa ,如果 a= 0 , b=
λa

,则 b= 0 ,则此时的 λ可以任意实数.
如图，设 e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与 e1，e2都不共线的向量．请你将向量
a分解成图中所给的两个方向上的向量．

令OA= e1，OM = λ1e1，OB= e2，ON = λ2e2，OC = a=OM +ON = λ1e1+ λ2e2.

一般地，有如下平面向量基本定理：如果平面内两个向量不共线，则对于该平面内的任意一个向量 c
,存在唯一的实数对 (x , y) ,使得

c= xa + yb
a , b

我们称为平面向量的一个基底，若 a , b不共线，则平面上的任意一个向量都可以用 a , b表示出
来.
例题分析

例 如图所示以 a , b作为基底，表示出 c.
A C

c

以 的终点，作a,b的平行线
c a

a a
O B O b b B

解 由向量的平行四边形法则OC =OA+OB ,又OA= 2a ,OB= 43 b ,所以OC = 2a
+ 43 b
13
例题分析
例 设 a，b是不共线的两个非零向量.

(1)若OA= 2a- b，OB= 3a+ b，OC = a- 3b，求证：A，B，C三点共线；

解 (1)证明：∵AB=OB-OA= (3a+ b) - (2a- b) = a+ 2b，BC =OC -OB= (a- 3b) - (3a+

b) =- (2a+ 4b) =-2AB，

∴AB与BC共线，且有公共点B，∴A，B，C三点共线.
(2)若 8a+ kb与 ka+ 2b共线，求实数 k的值.
解：(2) ∵ 8a+ kb与 ka+ 2b共线，∴存在实数 λ，使得 8a+ kb= λ(ka+ 2b)，
即 (8- λk)a+ (k- 2λ)b= 0.
8-λk=0，
∵ a与 b不共线，∴ 解得 λ=±2，∴ k= 2λ=±4.k-2λ=0，

变式44 设 a，b是不共线的两个向量． + 2e2，BC =-5e1+ 6e2，CD= 7e1- 2e2，则共线的
(1)若OA= 2a- b，OB = 3a+ b，OC = a- 三个点是________．
3b，求证：A，B，C三点共线； 答案　A，B，D

(2)若 8a+ kb与 ka+ 2b共线，求实数 k的值． 解析　∵AB= e1+ 2e2，BD=BC +CD=-5e1+ 6e2

(1)证明　∵AB=OB-OA= (3a+ b) - (2a- b) = + 7e1- 2e2= 2(e1+ 2e2) = 2AB，∴AB，BD共线，且有公
a+ 2b， 共点B，∴A，B，D三点共线．

而BC =OC -OB= (a- 3b) - (3a+ b) =- (2a+ 4b)
变式46 已知向量 a= e1- 2e2，b= 2e1+ e2，其
=-2AB，
中 e1，e2不共线，则 a+ b与 c= 6e1- 2e2的关系是
∴AB与BC共线，且有公共点B，
∴ (　B　)A，B，C三点共线．
(2)解　∵ 8a+ kb与 ka+ 2b共线， A. 不共线 B. 共线
∴存在实数 λ，使得 8a+ kb= λ(ka+ 2b)， C. 相等 D. 无法确定
即 (8- λk)a+ (k- 2λ)b= 0， 解析∵= e1- 2e2，b= 2e1+ e2，∴ a+ b= 3e1- e2=
∵ 8-λk=0，a与 b不共线，∴ 1 - = 2 c，因此 a+ b与 c= 6e1- 2e2的关系是共线，故选B.k 2λ 0，
解得 λ=±2，∴ k= 2λ=±4. 变式47 已知 a，b是两个不共线的向量，向量
延伸探究　若A，B，C三点共线，O为直线外
b- ta 1 a- 3， tb共线，则实数 t= ± 3 .
一点，且OA= xOB+ yOC，求证：x+ y= 1. 2 2 3
1 3
证明　∵A，B，C三点共线， 解析：∵ b- ta与 2 a- 2 tb共线，∴存在实数 λ，使
∴存在实数 λ，使得AB= λBC， 得 b- ta= λ 1 a- 3 tb ，即 1 λ+t a+ - 3
- = ( - ) 2 2 2 2
λt-1 b=
即OB OA λ OC OB ，
1
∴OA= ( + ) λ+t=0，1 λ OB- λOC， 0.∵ a b 2与 不共线，∴ 解得 t=± 3 .
令 x= 1+ λ，y=-λ， -
3
2 λt-1=0
3
，
∴ x+ y= 1.

变式45 已知向量 e1，e2不共线，如果AB= e1
2.用已知向量表示未知向量
例题分析

例 如图，在平行四边形OADB中，OD与AB交于点 C，M，N分别是AB，OD上的点，且 BM =
1 1
3 BC，CN = 3 CD，设OA= a，OB= b，试用 a，b表示OM，ON，MN.
14

解 由题意，可知BM = 1 BC = 1
1 1
3 6 BA= 6 (OA-OB) = 6 (a- b)，所以OM =OB+BM = b+
1
6
(a- b) = 16 a+
5
6 b.

又CN = 1 CD= 13 6 OD，
1 1 2 2 所以ON =OC +CN = 2 OD+ 6 OD= 3 OD= 3 (OA+OB) =
2
3 (a+ b) =
2 2
3 a+ 3 b.

所以MN =ON -OM = 23 a+
2
3 b-
1
6 a+
5
6 b =
1
2 a-
1
6 b.
变式48 已知 5x+ 2y= a，3x- y= b，用向量 答案　D

a ，b 表 示 x ，y ，则 x = 1 211 a+ 11 b ，y = 解析　示意图如图所示，由题意可得AD=AB+BD
3 a- 5 b . =AB+
2
3 BC =AB+
2
3 (AC -AB) =
1 2
11 11 3
AB+ 3 AC.
解析：把已知中的两个等式看成关于 x，y的方程，联立
5x+2y=a， x=
1
11 a+
2
11
b，
得 解得3x-y=b，
y=
3 5
11 a- 11 b.
变式49 如图，在 ABCD中，E是 BC的中 1.如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中

点，若AB= a，AD= b，则DE等于 ( ) 点，EF = 2FD，若AF = xAB + yAD，则 3x+
6y等于 ( )
A. 12 a- b B.
1
2 a+ b 7 7
C. a+ 1 A. B. -2 b D. a-
1 6 6
2 b
C. - 6 D. 6
答案　D
1 解析　因为E是BC的中点，所以CE= 2 CB=
答案　D

1 1
1 1
- =- 解析　 AF = AD + DE = AD + (DC +2 AD 2 b，所以DE=DC +CE=AB+CE= a- 3 3
1 CE) = AD + 1
1
b. 3 DC + 6 CB = AD +
1
3 AB -2
1 AD = 1
5
变式50 在 △ABC 中 ，若点 D 满足 BD = 6 3 AB + 6 AD . ∵ AF = x AB +
2DC，则AD等于 (　　) yAD，∴ xAB+ yAD= 13 AB+
5
6 AD，
A. 13 AC +
2
3 AB ∴ x- 13 AB =
5
6 -y AD，又 AB与 AD不
B. 53 AB-
2
3 AC
共线，
2 C. AC - 1 AB ∴ x-
1
3 = 0且
5
6 - y= 0，故 x=
1 5
3 3 3
，y= 6 .

D. 2 AC + 1
∴ 3x+ 6y= 6.
3 3 AB
15
3.三点共线的向量的另一种表示
如图所示，已知平面上点O是直线 l外一点,A ,B是直线 l上给定的两点,求证:平面内任意一点P在直

线 l上的充要条件是,存在实数 t ,使得OP= 1-t OA+ tOB.
l A
B
P
O

证明先证必要性.设点P在直线 l上,则由共线向量基本定理知,存在实数 t ,使AP= tAB.

因此OP-OA= t OB-OA ,

所以OP=OA+ tOB- tOA= 1-t OA+ tOB.

再证充分性.如果OP= 1-t OA+ tOB ,则OP=OA- tOA+ tOB,

从而OP-OA= tOB- tOA ,即AP= tAB ,因此P ,A ,B三点共线,即P在直线 l上.
如果令 t= 1

2 ,则可得点P是线段AB中点的充要条件为OP=
1
2 OA+OB .

如果AP :PB=m :n 如果AP=λAB
O O
A P B A P B

OP= n

OA+ m OB OP=(1-λ)OA+λOBm+n m+n
例题分析
A
例 在△ABC中，若点D满足BD= 2DC，则AD= 23 AC+
1
3 AB .
解 示意图如图所示，
由题意可得
2 AD=AB+BD=AB+ BC =AB+ 2
B C
3 3 (AC -AB) =
1
3 AB+
2 D
3 AC .

变式1 在 △ABC中，已知 D是 AB边上的一 解析　由AC =-3CB，OA= p，OB= q，OC = r，得
1
点，若CD= CA+ λCB，则 λ等于 2 . r- p=-3(q- r)，∴ r=-
1
2 p+
3
2 q.3 3
解析　∵A，B，D三点共线，∴ 13 + λ= 1，解得 λ= 变式3 如图，在△MAB中，C是边AB上的一
2 . 点，且 AC= 5CB，设MA= a，MB = b，则MC =3
16 a+
5
6 b .(用 a，b表示)
变式2 如图，向量OA，OB，OC 的终点在同

一直线上，且 AC =-3CB，设 OA = p，OB = q，

OC = r，则 r= - 12 p+
3
2 q
5
解:MC =MA+AC =MA+ 6 AB =MA+
5 1 5 (MB-MA) = MA+ MB= 1 56 6 6 6 a+ 6 b.
16
4.三角形的重心
如图所示在 ΔABC中，BE，AD，CF，分别为边AB，AC，BC上的中点，它们相交于点G，则G为

ΔABC的重心.求证：(1)G是中线的三等分点；(2)GA+GB+GC = 0

证明：令AG=mAB+nAE ,又E为AC的中点，
1 A∴AE= 2 AC ,可得AG=mAB+
1
2 nAC

∵GBE三点共线，∴m+n= 1 ,即AG= (1-n)AB+ 1 nAC F E
2
令AG= xAC + yAF ,又F为AB的中点， G
1 B C∴AF = 2 AB ,可得AG= xAC +
1 D
2 yAB

∵F ,G ,C三点共线，∴ x+ y= 1 ,即AG= (1- y)AC + 12 yAB
1-n= 1 y n= 2
根据向量的基本定理得 2 1 ,解得
3
2 ,即AG=
1 1
3 AC + 3 AB1-y= 2 n y= 3

又∵AB+AC = 2AD ,即AD= 1 12 AB+ 2 AC ,∴AG=
2
3 AD ,即G为AD的三等分点.

(2)由（1）得G为AD的三等分点，所以GD= 12 AG①

因为D为BC的中点，所以GD= 1

2 GB+
1
2 GC②
1 由①②得 AG= 1

2 2 GB+
1
2 GC ,整理得
GA+GB+GC = 0
例题分析
例 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN= 2NC，AM与BN相交于点P，求
AP ∶PM与BP ∶PN的值．

解 设BM = e1，CN = e2，

则AM =AC +CM =-3e2- e1，BN =BC +CN = 2e1+ e2.
∵A，P，M和B，P，N分别共线，

∴存在实数 λ，μ使得AP= λAM =-λe1- 3λe2，BP= μBN = 2μe + μe . 1 2
故BA=BP+PA=BP-AP= (λ+ 2μ)e1+ (3λ+ μ)e2.而BA=BC +CA= 2e1+ 3e2，
4
λ+2μ=2， λ= ，
由平面向量基本定理，得 5 解得 ∴AP= 4 AM，BP= 3 BN，3λ+μ=3， μ= 3 5 55 .
∴AP ∶PM= 4 ∶ 1，BP ∶PN= 3 ∶ 2.

变式1 已知在 △ABC 中，点 M 满足 MA + MA) =mAM 成立，整理得，MB+MC + (m- 2)MA= 0，

MB +MC = 0，若存在实数m AB + AC = 由已知可得，m- 2= 1，即m= 3.使得

mAM 成立，则m= 3 . 变式2 设 D，E，F 分别为 △ABC 的三边

解析　方法一　∵MA+MB+MC = 0，∴点M是 BC，CA，AB的中点，则EB+FC等于 ( C )

△ABC的重心．∴AB+AC = 3AM，∴m= 3.
A. BC B. 1 AD
方法二　在△ABC中，AB=MB-MA，AC =MC 2
1 -MA，
C. AD D. 2 BC
若AB+AC =mAM 成立，则 (MB-MA) + (MC -
17

解析　如图，EB+FC =EC +CB+FB+BC =EC
AD= b，BM=
2
3 BC，AN=
1 AB.
+FB= 1
4
2 (AC +AB) =
1
2 × 2AD=AD.

(1)试用向量 a，b来表示DN，AM；
变式3 如图所示，在正方形 ABCD中，M是 (2)AM交DN于O点，求AO ∶OM的值．

BC的中点，若 AC = λAM + μBD，则 λ + μ等于 解　 (1)因为AN= 14 AB，所以AN =
1 AB= 14 4 a，
( B ) 所以DN =AN -AD= 14 a- b.
因为BM= 2

BC，所以BM = 2

3 3 BC =
2
3 AD=
2
3 b，

所以AM =AB+BM = a+ 23 b.
(2)因为A，O，M三点共线，所以AO∥AM，设AO=

λAM，则DO=AO-AD= λAM -AD= λ a+ 23 b - b
4 5 15 = λa+ 2 λ-1 b.A. 3 B. 3 C. 8 D. 2
3
因为D，O，N三点共线，所以DO∥DN，存在实数 μ
解析　因为AC = λAM + μBD= λ(AB+BM ) + μ 2 1
1
使DO= μDN，则 λa+ λ-1 b= μ a-b .
(BA+AD) = λ AB+ 2 AD + μ(-AB+AD) = ( - )
3 4
λ μ
1
λ= μ，
AB+ λ2 +μ AD，
4
由于向量 a，b不共线，则 2 解得λ-1=-μ，
λ-μ=1， 4 3
且AC =AB+AD，所以 1 + = 解得
λ= 3 ，
λ μ 1 32 ， μ= 1 ， λ=3 14 ， 3 所以 AO = AM，OM = 11 AM，所
所以 λ+ μ= 5 ，故选B. μ= 6 . 14 143 7
以AO ∶OM= 3 ∶ 11.
变式4 如图所示，在 ABCD中，AB = a，
5.直线上的向量的运算

一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量 e1 , e2 ,对于平面内的任意一个向量 a ,如果

a= xe1+ ye2
( , ) 则称 x y 为向量 a的坐标，记作 a= (x , y)

在平面上指定一点O为原点，以 e1的方向为 x轴的正方向,以 e2的方向为 y轴的正方向，以 e1(或 e2)
的模长为单位长建立平面直角坐标系.

对于平面上的任意一个向量 a ,如果我们把它的起始点平移到原点O，那么 a的终点对应的坐标就是

向量 a的坐标.
y

a=(3,1)
e2 a

b x b=(-3,2)e1
变式1 在平面直角坐标系 xOy中，向量 a，b， c的方向如图所示，且 |a| = 2，|b| = 3，|c| = 4，分别
18
计算出它们的坐标． 因此 a= ( 2， 2 )，b= - 3 ，3 32 2 ，c= (2 3，
-2)．

变式2 OA = 3 1如果将 2 ，2 绕原点 O逆

时针方向旋转 120 ° 得到 OB，则 OB 的坐标是
- 3 ，1 。
解　设 a= (a1，a2)，b= (b1，b )，c= (c ，c )

，则 2 2

2 1 2
2 解析　如图，a1= |a|cos 45° = 2× 2 = 2，a2= |a|sin 45° = 2×
2
2 = 2，
b1= |b|cos 120° = 3× - 1 32 =- 2 ，b2= |b|sin 120° =
3× 3 = 3 3 设OA绕原点O逆时针方向旋转 120°得到的OB的坐2 2 ，
3 标为 (x，y)，则 x= |OA|cos(120° +30°) =-
3 ，y=
c1= |c|cos(-30°) = 4× 2 = 2 3，c2= |c|sin(-30°)
2

1 |OA|sin(120° +30°) =
1
2 ，故OB的坐标是 -
3 ，1
= 4× - =-2. 2 2
.
2
6.平面上的运算与坐标的关系

假设平面上两个向量 a , b满足 a= (x1 , y1) , b= (x2 , y2) ,也就是说 a= x1e1+ y1e2 , b= x2e1+ y2e2 ,

则 a+ b= x1e1+ y

1e2+ x2e1+ y2e2= (x1+ x2)e1+ (y1+ y2)e2 ,所以 a+ b= (x1+ x2 , y1+ y2) ,另外 a- b=

(x1- x2 , y1- y2) , μa

类似的， ± vb= (μx1± vx2 , μy1± vy2)
y
y2
y +y +b 1 2 a b
y1
a
x1 x2 x
x1+x2
例题分析
例 已知 a= (2 , 1) , b= (-3 , 4) , a + b , a 求 - b , 2a + 3b , 3a - 2b的坐标.
解 a

+ b= (2 , 1) + (-3 , 4) = (-1 , 5) ; a - b= (2 , 1) - (-3 , 4) = (5 ,-3)
2a

+ 3b= 2(2 , 1) + 3(-3 , 4) = (4 , 2) + (-9 , 12) = (-5 , 14) ;
3a

- 2b= 3(2 , 1) - 2(-3 , 4) = (6 , 2) - (-6 , 8) = (0 ,-6)
1

变式 下列各小题中，已知向量 a , b的坐标， 变式2 已知向量 a= (2 , 4)，a+ b= (3 , 2)，则

分别求 a+ b , a - b , 1 a + b , a - 2b的坐标. b等于 (1，-2) .2
解析　 b= a+ b- a= (3 , 2) - (2 , 4) = (1，-2)．(1)a= (-2 , 4) , b= (5 , 2) ;

(2)a = (4 , 3) , b= (-3 , 8) ; 变式3 若AB= (2 , 4) ,AC = (1 , 3)，则BC =
(-1,-1) .(3)a= (2 , 3) , b= (-2 ,-3) ;
解:BC =AC -AB= (1- 2 , 3- 4) = (-1 ,-1).(4)a= (3 , 0) , b= (0 , 4).
变式4 若向量 BA= (2 , 3) , CA= (4 , 7)，则
19

BC = (-2,-4) . λ
图所示，若 c= λa+ μb(λ , μ∈R)，则 μ = 4 .
解:BA= (2 , 3) ,CA= (4 , 7) BC =BA+AC =BA

-CA= (2 , 3) - (4 , 7) = (-2 ,-4).
b

变式5 已知向量 a = (2 , 1) , b = (1 ,-2)，若 c

ma+ nb= (9 ,-8) (m , n∈R)，则m- an的值为
-3 . : a 解 设 = (-1 , 1) , b= (6 , 2) , c
= (-1 ,-3) c = λa ，则
解:ma+nb= (2m+n ,m- 2n) = (9 ,-8) -λ+6μ=-1, λ=-2, λ
2m+n=9, m=2, + μb =4. m-n=-3 λ+2μ=-3 μ=- 1 μm-2n=- = 8 n 5 2
变式6 向量 a , b , c在正方形网格中的位置如
7.已知两点坐标求向量的坐标

如图所示，已知A(x1 , y1) ,B(x2 , y2) ,求AB的坐标.
A(xA,yA) y
B(xB,yB)
O x

如图，作向量OA ,OB ,则AB=OB-OA= (xB , yB) - (xA , yA) = (xB- xA , yB- yA)
即

AB=(xB-xA,yB-yA)
因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标
例题分析

例 已知点A(2 , 1)，B(-2 , 3)，O为坐标原点，且OA=BC，则点C的坐标为 (0,4) ．

解 设C(x，y)，则BC = (x+ 2，y- 3)，OA= (2 , 1)．

由OA=BC，得 x= 0，y= 4.故点C的坐标为 (0 , 4)．

变式1 下列各小题中，已知A，B两点的坐标，分别求出AB ,BA的坐标.
(1)A(-2 , 4) ,B(5 , 2) ; (2)A(4 , 3) ,B(-3 , 8) ;
(3)A(2 , 3) ,B(-2 ,-3) ; (4)A(3 , 0) ,B(0 , 4).

变式2 已知点A(0 , 1) ,B(3 , 2)，向量AC = (-4 ,-3)，则向量BC = (-7,-4) .

解:A(0 , 1) ,B(3 , 2) BA= (-3 ,-1)，又因为AC = (-4，-3) BC =BA+AC = (-7 ,-4).

变式3 已知四边形ABCD的三个顶点A(0 , 2) ,B(-1，-2) ,C(3 , 1)，且BC = 2AD，则顶点D的坐
标为 2, 72 .
2x=4, x=2
解:设D(x , y)，则BC = (4 , 3) ,AD= (x , y- 2) ,BC = 2AD 7 D 2,
7
2y-4=3 y= 2 2

变式4 已知点A(-1 ,- ) 5 和 a= (2 , 3)，若AB= 3a，则B点的坐标为 (5,4) .
20
x+1=6, x=5,
解:设D(x , y)，则AB= ( + x 1 , y+ 5) = 3a= (6 , 9) B(5,4).y+5=9 y=4
8.模长与两点之间的距离公式
a

=OA= (x , y) , |a

|= |OA| =OA= x2+y2
y
A(x,y)
a
O x
OA= x2+y2
两点之间的距离公式

AB= (xB- xA , yB- ya) , |AB| =AB= (xB-x )2A +(y -y )2B A
y B (xB,yB)
yB-yA
xB-xA
A(xA,yA) C(xB,yA)
x
AB= (x -x )2+(y -y )2B A B A
中点的坐标公式

设线段AB的中点为M (x , y) ,则OM = (x , y) ,因为

OM = 1
y
(OA+OB) B (xB,yB)2 x1+x2 y1+y2
= 1 ( + , x1+x y
M ( , )
x x y 2 1
+y2 2 2
2 1 2 1+ y2) = ( 2 , 2 )
= x +x y +y所以 x 1 22 , y=
1 2 A (xA,yA)
2
( x1+x2 , y1+y
O x
即M 22 2 )
有向线段定比分点坐标公式及应用

直线 l上有两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，在 l上取不同于P1，P2的任一点P，存在一个实数 λ，使P1P=

= x1+x
y
λPP λ P PP λ 1 P P 2 1
+y2
2， 叫做点 分有向线段 1 2所成的比．当 时， 为中点， 点的坐标为 2 ， 2 .
对任意的 λ(λ≠-1)，P点的坐标为 x1+λx2 y1+λy2+ ， + .1 λ 1 λ
注意点：(1)λ的值可正、可负． (2)分有向线段的比与线段长度比不同．
例题分析
例 如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，
y CG3)，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且 = 2，求点G的坐标．GD
∵ x +x y +y解 D是AB的中点，∴点D的坐标为 1 2 ， 1 22 2 ，
21
CG ∵ = 2，∴CG= 2GD，
GD
设G点坐标为 (x，y)，由定比分点坐标公式可得
x +x
x +2× 1 2 + × y1+y23
= 2 x1+x2+x
y3 2
3 2 y1+y2+yx 31+2 = 3 ，y= 1+2 = 3 ，
y +y +y
即点G的坐标为 x1+x2+x3 ， 1 2 33 3 .
变式1 已知点A(2 , 3)，B(4，-3)，点 P在线 (3，-2)，点P在直线AB上，且 |AP| = 2|PB|，则P
段AB的延长线上，且 |AP| = 2|BP|，则点 P的坐 点的坐标为 ( BD )
标为 (6，-9) ．
A. (4 , 3) B. 7 - 2，
解析　设点P的坐标为 (x，y)，由条件可知AP= 3 3
= 2+(-2)×4
C. (2，-6) D. (5，-6)
x ，
- 1+(-2)2PB，由定比分点坐标公式可知 解析　∵ |AP| = 2|PB|，∴AP= 2PB或AP=-2PB，= 3+(-2)×(- ) 即3y ， 7 2
1+(-2) 由定比分点坐标公式可知，当 λ= 2时，P 3 ，- 3 ，当 λ=
点P的坐标为 (6，-9)． -2时，P(5，-6)．
变式2 (多选)在平面 α中，已知 A(1 , 2)，B
9.向量平行的坐标表示
设 a= x1,y1 , b= x2,y2 ,下面我们来考察这两个向量平行时,它们的坐标应该满足的条件.
当 a b时:
如果 a≠ 0 ,由共线向量基本定理可知存在 λ ,使得 b= λa ,即 x2,y2 = λ x1,y1 = λx1,λy1 ,
x2=λx1, x2y1=λx1y1,因此 从而 所以 x2y1= x y= 1 2 ;y2 λy1, x1y2=λx1y1,
如果 a= 0 ,即 x1,y1 = 0,0 , x2y1= x1y2显然也成立.
反过来,当 x2y1= x1y2时:
x2 y2 x2=λx1,如果 x1≠ 0且 y1≠ 0 ,则有 x = y ,设这个比值为 λ ,则有 从而 x2,y2 = λx1,λy= 1 =1 1 y2 λy1,
λ x1,y1 ,即 b= λa ,因此 a b ;
如果 x1=
y
0且 y 21≠ 0 ,则有 x2= 0 ,设 λ= y ,同样有 x2,y2 = λ x1 , y1 ,即 b= λa ,因此 a b ;1
x
类似地,如果 x1≠ 0且 y1= 0 ,设 λ= 2x ,同样有 b= λa ,因此 a b ;1
如果 x1= 0且 y1= 0 ,则 a= 0 ,因此 a b.
从而,不管哪种情况都有 a b.
综上有
a b x2y1=x1y2.
例题分析
例 已知向量 a= (1，-2)，b= (3 , 4)．若 (3a- b) ∥ (a+ kb)，则 k= - 13
解 3a- b= (0，-10)，a+ kb= (1+ 3k，-2+ 4k)，因为 (3a- b) ∥ (a+ kb)，所以 0- (-10- 30k) = 0，
解得 k=- 13 .
22

例 已知OA= (k，2)，OB= (1 , 2k)，OC = (1- k，-1)，且相异三点A，B，C共线，则实数 k=
- 14 .
解 AB=OB-OA= (1- k，2k- 2)，AC =OC -OA= (1- 2k，-3)，由题意可知AB∥AC，
所以 (-3) × (1- k) - (2k- 2) (1- 2k) = 0，解得 k=- 14 (k= 1不合题意，舍去)．
变式1 向量 a= (2，-1)，|b| = 3|a|，a∥ b，则 b (2m- 4) = 0，得m=-2.
可能是 ( D ) 当m=-2时，ma+ 4b= (-8 , 2)，所以ma+ 4b=-2
(a- 2b)，
A. (6 , 3) B. (3 , 6)
所以ma+ 4b与 a- 2b方向相反．
C. (-6，-3) D. (-6 , 3)
变式8 已知向量 OA = (1，-3)，OB = (2，
解析　由 a∥ b可排除A，B，C，故选D.
-1)，OC = (k+ 1，k- 2)，若A，B，C三点不能构
变式2 已知向量 a = (3 , 5)，b = (cos α，sin
成三角形，则实数 k应满足的条件是 k=1 。
α)，且 a∥ b，则 tan α= 53 解析：因为A，B，C三点不能构成三角形，则A，B，C

解析　由 a∥ b，得 5cos α- 3sin α= 0，即 tan α= 5 . 三点共线，则AB∥AC，又AB=OB-OA= (1 , 2)，AC3
=OC -OA= (k，k+ 1)，所以 2k- (k+ 1) = 0，即 k= 1.
变式3 已知向量 a= (2，-1)，b= (x- 1 , 2)，
a∥ b x 变式9 设OA= (-2 , 4)，OB= (-a，2)，OC若 ，则实数 的值为 -3
1
解析　因为 a∥ b，所以 2× 2- (-1) × (x- 1) = 0，得 = (b，0)，a> 0，b> 0，若A，B，C三点共线，则 a
x=-3.
+ 1 的最小值为 3+2 22 ．
变式4 已知非零向量 a= (m2- 1，m+ 1) b与
解析　由题意，得AB= (-a+ 2，-2)，AC = (b+ 2，
向量 b= (1，-2)平行，则实数m的值为 1 2 -4)．又AB∥AC，所以-4(-a+ 2) =-2(b+ 2)，整理得
解析　非零向量 a= (m2- 1，m+ 1)与向量 b= (1， 2a+ b= 2，所以 1 + 1 = 1 (2a+ b) 1 + 1 =
-2)平行，所以-2(m2- 1) - 1× (m+ 1) = 0，且m≠-1， a b 2 a b
1 1 3+ 2a + b ≥ 1 3+2 2a · b∴m= . 2 b a 2 b a =
3+2 2
2 2
，当且仅
当 b= 2a时等号成立．
变式5 与 a = ( 12 , 5 ) 平行的单位向量为
1213 ，
5
13 或 -
12 - 5 变式10 如图所示，在四边形 ABCD中，已知13 ， 13 。 A(2 , 6)，B(6 , 4)，C(5 , 0)，D(1 , 0)，则直线AC与
解析　设与 a平行的单位向量为 e= (x，y)，
BD交点P的坐标为 27 ，16 ．
x2+y2=1， x=
12 12 7 7
则 ∴ 13
， x=- 13 ，
或12y-5x=0， y= 5 513 y=- 13 .
变式6 若点 A(-2 , 0)，B(3 , 4)，C (2，a)共
线，则 a= 165 .

解析　AB= (5 , 4)，AC = (4，a)，因为A，B，C三点

共线，所以AB∥AC，故 5a- 16= 0，所以 a= 16 . 解析　设P(x，y)，则DP= (x- 1，y)，DB= (5 , 4)，5
CA= (-3 , 6)，DC = (4 , 0)．
变式7 已知向量 a= (2 , 3)，b= (- , 1 2)，若 由B，P，D三点共线可得DP= λDB= (5λ，4λ)．又因

ma+ 4b与 a- 2b共线，求m的值，并判断ma+ 为CP=DP-DC = (5λ- 4 , 4λ)，

4b与 a- 2b是同向还是反向？ 由CP与CA共线得，(5λ- 4) × 6+ 12λ= 0.解得 λ=

解　ma+ 4b= (2m，3m) + (-4 , 8) = (2m- 4 , 3m 4
7 ，所以DP=
4
7 DB=
20 ，167 7 ，所以P的坐标为
+ 8)，a- 2b= (2 , 3) - (-2 , 4) = (4，-1)， 27 ，16 .
因为ma+ 4b与 a- 2b共线，所以 4(3m+ 8) - (-1) × 7 7
23
平面向量的数量积
1.平面向量的数量积及运算规律
力在力的方向上的位移的乘积称为力对物体所作的功.如果作用在小车上的力F的大小为 |F|N，小
车咋水平面上的位移 x ,大小为 |x| ,力的方向与小车的位移放下给所成的夹角为 θ，那么这个力所作的功
为
F F
θ
x
W=|F||x|cosθ

一般地，当 a与 b都是非零向量时，称 |a||b|cosθ为向量 a与 b的数量积 (也称为内积)，记为 a b ,即
a

b= |a

||b|cosθ

a
b=|a ||b|cosθ
向量中的交换律：由 a b= b ab a =|b||a |cosθ
(λa) b= λ(a b)
向量的数量积的分配律：
(a+ b) c= a c+ b c ( - ) = a b c a c- b c
( +

a b c) = a b+ a c a

( -

)= - b c a b a c
例题分析

例 已知 |a | = 2 , |b| = 5 , a , b的夹角为 θ= 60°.求: (1)a ·b ; (2) (2a + b) (a - 2b).(3)|a + b|(4)|2a - b|

解 (1)a ·b= |a ||b|cosθ= 2× 5× cos 60° = 2× 5× 12 = 5.
(2) (2a

+ b) (a - 2b) = 2|a |2- 3a ·b- 2|b|2= 2× 22- 3× 5- 2× 52=-57.

(3)|a + b| = |a +b|2= |a |2+2a ·b+|b|2= 22+2×5+52= 39

(4)|2a - b| = |2a

-b|2= |a |2-4a

·b+|b|2= 22-4×5+52= 3
2 2 2
变式1 已知 |a| = 3 , |b| = 2 , a , b的夹角为 θ 解：∵ |a- b| = (a- b)·(a- b) = |a| - 2a·b+ |b| = 1
= ° : ( ) · ; ( ) ·( + ) - 2× 1× 2× cos 60° +4= 3 ,∴ |a- b| = 3 .30 .求 1 a b 2 2a a b .
解：(1)a·b= |a||b|cosθ= 3× 2× cos 30° = 3× 2× 变式4 已知向量 a，b的夹角为 60°，|a| = 2，
3 = 3 3 . |b| = 1，则 |a+ 2b| = 2 3 .2
2
(2)2a·(a+ b) = 2|a|2+ 2a·b= 2× 32+ 2× 3 3= 18+ 解析　方法一　 |a+ 2b| = (a+2b) =
6 3 . a2+4a·b+4b2
= 22+4×2×1×cos60°+4×12= 12= 2 3 .
变式2 已知 |a| = 6 , |b| = 8 , a , b的夹角为 θ 方法二　 (数形结合法)
= 120° ,求 |a+ b|2. 由 |a| = |2b| = 2知，以 a与 2b为邻边可作出边长为 2
解：|a+ b|2= (a+ b)·(a+ b) = |a|2+ 2a·b+ |b|2= 36+ 的菱形OACB，如图，
2× 6× 8× cos 120° +64= 52.
3 |a| = 1 , |b| = 2 , a

变式 已知 , b的夹角为 θ
= 60° ,求 |a- b|.
24

则 |a+ 2b| = |OC|.又∠AOB= 60°，所以 |a+ 2b| = 由①-②得 4a·b= 4，∴ a·b= 1.
2 3 .
变式8 若向量 a与 b的夹角为 60°，|b| = 4，(a
变式5 已知 |a| = 2，|b| = 1，a与 b之间的夹角 + 2b)·(a- 3b) =-72，则 |a|等于 6 .
为 60°，那么向量 a- 4b的模为 2 3 解析　因为 (a+ 2b)·(a- 3b) = a2- a·b- 6b2= |a|2-
解析　∵ |a- 4b|2= a2- 8a·b+ 16b2= 22- 8× 2× 1× |a|·|b|cos 60° -6|b|2= |a|2- 2|a| -96=-72.所以 |a|2- 2|a|
cos 60° +16× 12= 12，∴ |a- 4b| = 2 3 . -24= 0.解得 |a| = 6或 |a| =-4(舍去)．.
变式6 设 e1和 e2是互相垂直的单位向量，且 变式9 已知向量 a，b的夹角为 60°，且 |a| =
a= 3e1+ 2e2，b=-3e1+ 4e2，则 a·b等于 -1 2，|b| = 1，若 c= 2a- b，d= a+ 2b，求：(1)c·d；(2)
解析　因为 |e1| = |e2| = 1，e1·e2= 0， |c+ 2d|.
所以 a·b= (3e1+ 2e2)·(-3e1+ 4e2) =-9|e 2 21| + 8|e2| + 解：(1)c·d= (2a- b)·(a+ 2b) = 2a2- 2b2+ 3a·b
6e1·e2=-9× 12+ 8× 12+ 6× 0=-1. = 2× 4- 2× 1+ 3× 2× 1× 12 = 9.
变式7 设向量 a，b满足 |a+ b| = 10，|a- b| (2)|c+ 2d|2= (4a+ 3b)2= 16a2+ 9b2+ 24a·b
= 6，则 a·b等于 1 。 = 16× 4+ 9× 1+ 24× 2× 1× 12 = 97，
解析　 |a+ b|2= (a+ b)2= a2+ 2a·b+ b2= 10，① ∴ |c+ 2d| = 97 .
|a- b|2= (a- b)2= a2- 2a·b+ b2= 6，②
2.投影向量
如图所示，设∠AOB= θ，过点A作OB的垂线AD，则线段OD就是线段OA在OB上的投影，试用
|OA|和 θ表示 |OD|.
提示：|OD| = |OA|cos θ.

1.定义：如图，设 a，b是两个非零向量，AB= a，CD= b，我们考虑如下的变换：过AB的起点A和终

点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量 a向向量 b　投
影　，A1B1叫做向量 a在向量 b上的　投影向量　.
2.公式：设与 b方向相同的单位向量为 e，a与 b的夹角为 θ，则向量 a在向量 b上的投影向量是　
|a|cos θ e　.
提醒：(1)向量 a在向量 b上的投影向量是一个向量，它与向量 b共线，其大小为 ||a|cos θ|，其中 θ为
向量 a与 b的夹角；(2)a在 b上的投影向量也可表示为 |a|cos< a，b> b a·b|b| 或 |b|2
·b.
例题分析
例 已知 |a| = 5，|b| = 4，a与 b的夹角 θ= 120°，与 b同向的单位向量为 e.
(1)求 a·b；
解 a·b= |a||b|cos θ= 5× 4× cos 120° =-10.
(2)求 a在 b上的投影向量.
25
解 a b |a|cos θ e=- 5在 上的投影向量为 2 e.

变式1 等边三角形 ABC的边长为 2，则 AB 变式2 已知 |a| = 3，|b| = 4，且 b在 a上的投影

在BC上的投影向量为 - 1 22 BC 向量为- 3 a，则 |a+ b| = 13 .
解析：因为△ABC是边长为 2的等边三角形，且 cos< a·b 2
解析：由题意可得 2 ·a=- 3 a，又 |a| = 3，所以 a·b=
AB，BC>=- 12 ，所以向量AB在向量BC上的投影向量
|a|
2 2 2
BC 1 1
-6，又 |b| = 4，所以 |a+ b| = |a+b| = |a| +2a·b+|b|
为 |AB|cos× =-1× 22 BC =- 2 BC. = 3 +2×(-6)+4
2= 13 .
|BC|
3.两个向量的夹角

已知两个非零向量 a , b ,O是平面上的任意一点，作OA= a ,OB= b ,则∠AOB= θ(0≤ θ≤ π)叫

作向量 a , b的夹角
B B

b bθ
θ
O A O A
a a a
同起点 首尾相连
例题分析

例 已知 a·b=-8 , |a||b| = 16 , a 求 , b的夹角为 θ.
解 ∵ cosθ= a·b =- 12 ,且 0≤ θ≤ π ,∴ θ=
2π
a |b 3
.

变式1 在等边三角形ABC中，AB ,AC的夹 又因为 a·(a+ 2b) = |a|2+ 2a·b= 1- 1 = 1 ，所以 cos
π
2 2
角为 3 ，CA , BA的夹角为
π
3 ，AB , CA的 θ= a·(a+2b) 1
2π |a||
= ，
a+2b| 2
夹角为 3 .
又 θ∈ [0，π]，故 θ=
π
3 .
提示：AB ,CA与边AB，CA的夹角不一样.
变式3 已知向量 a，b满足 |a| = |b| = 1及 |3a
变式2 已知 a ·b = 8 , |a | = |b | = 4 ,则 θ =
π - 2b| = 7，求 a，b的夹角．
3 . 解　设 a与 b的夹角为 θ，由题意得 (3a- 2b)2= 7，
解：∵ cosθ= a·b = 12 ,且 0≤ θ≤ π ,∴ θ=
π .
a |b 3 ∴ 9|a|
2+ 4|b|2- 12a·b= 7，又 |a| = |b| = 1，∴ a·b= 12 ，
(2)已知非零向量 a，b满足 |a| = 1，且 (a- b)· ∴ |a||b|cos θ= 12 ，即 cos θ=
1
2 .又 θ∈ [0，π]，∴ a，
(a+ b) = 34 .①求 |b|
1
；②当 a·b=- 4 时，求向量 a b的夹角为
π
3 .
与 a+ 2b的夹角 θ的值．
变式4 已知向量 a，b满足 |a| = 2，|b| = 1，a·b
解　①因为 (a- b)·(a+ b) = 3 ，即 a2 2 34 - b = 4 ，即 = 1，则向量 a与 a- b的夹角为 π6 ．
|a|2- |b|2= 34 ，所以 |b|
2= |a|2- 34 = 1-
3 1
4 = 4 ，故 |b| = 解析　 |a- b| = (a-b)2= a2+b2-2a·b= 3，
1 . - = a·(a-b)2 设向量 a与 a b的夹角为 θ，则 cos θ |a||a- | =b
②因为 |a+ 2b|2= |a|2+ 4a·b+ |2b|2= 1- 1+ 1= 1，故 22-1
|a+ 2b| = 1. =
3
2 ，又 θ∈ [0，π]，所以 θ=
π
2× 3 6
.
26
变式5 已知单位向量 e 与 e 的夹角为 α，且 因为 b21 2 = (3e1- e )
2
2 = 9- 2× 3× 1× cos α+ 1= 8，
所以 |b| = 2 2，
cos α= 13 ，向量 a= 3e1- 2e2与 b= 3e1- e2的夹 又 a·b= (3e1- 2e2)·(3e1- e ) = 9e22 1- 9e 21·e2+ 2e2= 9
角为 β，求 β的余弦值． - 9× 1× 1× 1 + 2= 8，
解　因为 a2= (3e1- 2e 22) = 9- 2× 3× 2× cos α+
3
4
= 9， 所以 cos β=
a·b 8 2 2
|a||b| = = .3×2 2 3
所以 |a| = 3，
4.数量积的坐标运算
由向量坐标的定义可知，存在单位正交基底 {e1 , e2}，使得
a= x1e1+ y1e2 , b= x2e1+ y2e2

因此 a b= (x1e1+ y1e2) (x2e1+ y2e2) = x1x2e1 e1+ x1y2e1 e2+ y1x2e2 e1+ y1y2e2 e2

因为正交基底 {e1 , e2} ,所以 e2 e1= 0 ,即
a b =x1x2+y1y2

同理可得 |a|2= a a= x2 21+ y1 , |b|2= b b= x22+ y22 ,
x x +y y
cos= 1 2 1 2
x21+y2 x21 2+y22
例题分析
例 a= 3,-1 , b= 1,-2 , a

已知 求 b , |a | , |b| , a , b的夹角 θ.
解 由题意可知 a

b= 3,-1 1,-2 = 3× 1+ -1 × -2 = 5.

a = a a = 32+(-1)2= 10 . b = b b = 12+(-2)2= 5 .
a b
因为 cosθ= = 5 = 2 .所以 θ=
π
a b 10× 5 2 4
例题分析
例 已知点A 1,2 ,B 3,4 ,C 5,0 ,求∠BAC的余弦值.

解 因为AB= 3-1,4-2 = 2,2 ,AC = 5-1,0-2 = 4,-2 ,

所以AB AC = 2× 4+ 2× -2 = 4 , AB = 22+22= 8 , AC = 42+(-2)2= 20 ,

因此 AB ACcos∠BAC= = 4 = 10 .
AB AC 8× 20 10
变式1 已知 a= (2，-1)，b= (1，-1)，则 (a+ 变式3 已知正方形 ABCD的边长为 2，E为

2b)·(a- 3b)等于 -10 . CD的中点，点 F在AD上，AF = 2FD，则BE·CF
解析　 a+ 2b= (4，-3)，a- 3b= (-1 , 2)，所以 (a+ = 2 .
2b)·(a- 3b) = 4× (-1) + (-3) × 2=- 310.
解析　建立平面直角坐标系如
变式2 已知 a= (1 , 1)，b= (2 , 5)，c= (3，x)， 图所示，则A(0 , 2)，E(2 , 1)，D(2 ,
若 (8a- b)·c= 30，则 x等于 4 . 2)，B(0 , 0)，C(2 , 0)，
解析　由题意可得，8a- b= (6 , 3)，又 (8a- b)·c= 因为AF = 2FD，所以
30，c= (3，x)，∴ 18+ 3x= 30，解得 x= 4. F 43 ，2 .
27

= ( , ) = 4 - ( , )= - 2 解析　∵ a= (2 , 1)，∴ a2所以BE 2 1 ，CF ，2 2 0 ，2 ， = 5，又 |a+ b| = 5 2，∴ (a3 3
+ b)2= 50，即 a2+ 2a·b+ b2= 50，
所以BE·CF = (2 , 1)· - 23 ，2 = 2× -
2
3 + 1× 2= ∴ 5+ 2× 10+ b2= 50，∴ b2= 25，∴ |b| = 5.
2
3 . 变式6 已知向量 a= (1， 3 )，b= (3，m')．若
变式4 设平面向量 a= (1 , 2)，b= (-2，y)， 向量 a π，b的夹角为 6 ，则实数m等于 3 .
若 a∥ b，则 |3a+ b|等于 5 . 解析：因为 a= (1， 3 )，b= (3，m)．所以 |a| = 2，|b|
解析　∵ a∥ b，∴ 1× y- 2× (-2) = 0，解得 y=-4，从 = 9+m2，a·b= 3+ 3m，又 a，b的夹角为 π ，所以
而 3a+ b= (1 , 2)，|3a+ b| = 5 . 6
a·b = cos π ，即 3+ 3m = 3 ，所以 3+m=
变式5 已知向量 a= (2 , 1)，a·b= 10，|a+ b| |a||b| 6 2 9+m2 2
2
= 5 2，则 |b|等于 5 9+m ，解得m= 3 .
5.用向量的坐标表表示向量的垂直

如果两个向量 a= (x1 , y1) , b= (x2 , y2)

因为 a b= |a||b|cosθ , a 又 ⊥ b ,则 cosθ= 0 ,所以 a b= 0
即
a

⊥b x1x2+y1y2=0
例题分析

例 已知向量 a = (-1 , 2)，b= (m，1) ．若向量 a+ b与 a 垂直，则m= .

解 ∵ a = (-1 , 2)，b= (m，1)，∴ a + b= (-1+m，2+ 1) = (m- 1 , 3)．又 a + b与 a 垂直，∴ (a + b)
·a = 0，即 (m- 1) × (-1) + 3× 2= 0，解得m= 7.
变式1 已知非零向量m，n满足 4|m| = 3|n|， 2 .
m 1与 n夹角的余弦值为 ，若 n⊥(tm+ n)，则实 变式4 已知 a⊥ b，|a| = 2，|b| = 3，且 3a+ 2b3
数 t的值为 -4 与 λa- b垂直，则 λ=
3
2 .
解由题意知，m·n = m·n = 1 ，所以m·n= 解析　∵ (3a+ 2b)·(λa- b) = 3λa
2+ (2λ- 3)a·b- 2b2
|m||n| 3 |n|2 34 = 3λa2- 2b2= 12λ- 18= 0，∴ λ= 32 .
1
4 |n|
2= 14 n
2，因为n·(tm+n) = 0，所以 tm·n+n2= 0，即
变式5 已知向量 a= (-1 , 2)，b= (m，1)．若
1 tn24 +n
2= 0，所以 t=-4.
向量 a+ b与 a垂直，则m= 7 .
变式2 已知向量 a，b，且 |a| = 1，|b| = 2，(a+ 解析　∵ a= (-1 , 2)，b= (m，1)，∴ a+ b= (-1+
)⊥ ( - ) m，2+ 1) = (m- 1 , 3)．又 a+ b与 a垂直，∴ (a+ b)·a=2b 3a b ，求向量 a与 b夹角为 60° ．
0，即 (m- 1) × (-1) + 3× 2= 0，解得m= 7.
解设 a与 b的夹角为 θ，由已知得 (a+ 2b)·(3a- b) =
3a2+ 5a·b- 2b2= 3+ 10cos θ- 8= 0，所以 cos θ= 1 ，又 变式6 已知向量m= (λ+ 1 , 1)，n= (λ+ 2 ,2
0° ≤ θ≤ 180°，所以 θ= 60°，即 a与 b的夹角为 60°. 2)，若 (m+n)⊥ (m-n)，则 λ等于 -3 .
解析：由m+n= (2λ+ 3 , 3)，m-n= (-1，-1)，(m
变式3 已知 |a| = 2，|b| = 2，a与 b的夹角 +n)⊥ (m-n)，可得 (m+n)·(ym-n) = (2λ+ 3 , 3)·(
为 45°，要使 λb- a与 a垂直，则 λ的值为 2 . -1，-1) =-2λ- 6= 0，解得 λ=-3.
解 (λb- a)·a= 0，λ(a·b) - |a|2= 0，λ= 2× =2 cos45°
28
正余弦定理
1.正弦定理
如图所示，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为 a , b , c ,过点A作AD垂直于BC，交BC于
点D ,则AD=ABsinB
A
c b
B
a D C
1
则三角形的面积为S= 2 BC×AD=
1
2 BC×AB× sinB =
1
2 acsinB
同样我们把AD用AC和∠C 1来表示，可得S= 2 absinC .
还可以得到S= 12 bcsinA
S= 12 bcsinA=
1
2 absinC =
1
2 acsinB①
当三角形是钝角三角形或直角三角形是上式仍然成立
× 2 2S = sinA = sinB = sinC把① 得， ,又在三角形中，A，B，C∈ (0 , π) , sinA> 0 , sinB
abc abc a b c
> 0 , sinC > 0.因此可得：
a = b = c = abc
sinA sinB sinC 2S
这就是正弦定理：在一个三角形中，各边长和它所对角的正弦比值相等.
a b c
在△ABC中， =
sinA sinB
= ，那么这个比值有什么特殊的含义吗？
sinC
如下图，无论怎么移动B′，都会有角B′ =B，
b b
所以在△AB′C中， ′ = sinB = c，c是Rt△ABC，△AB′C外接圆的直径，sinB
a
所以对任意△ABC，均有 = b csinB = = 2R(R为△ABC外接圆的半径)．sinA sinC
2.面积公式的应用
例题1.△ABC的内角A，B，C的对边分别是 a，b，c，若 a= 3，b= 4，C= π6 ，则△ABC的面积为
( )
A. 2 3 B. 3 C. 13 D. 39
答案　B
29
解析　由题意可知，a= 3，b= 4，C= π6 ，所以S
1 1 1
△ABC= 2 absin C= 2 × 3 × 4× 2 = 3 .
变式1 ( 3多选)已知△ABC的面积为 2 ，且 b= 2，c= 3，则A等于 ( )
A. 30° B. 60° C. 150° D. 120°
答案　BD
解析　因为S= 12 bcsin A=
3 1 3 3
2 ，所以 2 × 2× 3sin A= 2 ，所以 sin A= 2 ，因为 0° 120°.
3.利用正弦定理解三角形
例题分析：已知两角及任意一边解三角形
例 在△ABC中，已知B= 30°，C= 105°，b= 4，解三角形．
解 因为B= 30°，C= 105°，所以A= 180° - (B+C) = 180° - (30° +105°) = 45°.
由正弦定理，得 a ° =
4 = c ，解得 a= 4sin45° = 4 2，c= 4sin105° = 2( 6+ 2 )．
sin45 sin30° sin105° sin30° sin30°
变式1 在△ABC中，已知 a= 8，B= 60°，C= 变式2 在 △ABC中，角 A，B，C的对边分别
75°，求A，c的值． 为 a，b，c，已知 a= 2 2，A= 30°，B= 45°，解三角
解　A= 180° - (B+C) = 180° - (60° +75°) = 45°. 形.
由 a = c 得，
sinA sinC 解：因为
a = b c asinB
sinA sinB
= ，所以 b= =
sinC sinA
2+ 6 2
c= asinC = 8×sin75°
8× 4 2 2×
° = = 4( 3+
2 2sin45° 2
sinA sin45 2 ° = 1 = 4；因为C= 180° - (A+B) =sin30
2 2
1)．
180° - (30° +45°) = 105°，所以 c= asinC = 2 2sin105°
所以A= 45°，c= 4( 3+ 1)． sinA sin30°
= 2 2sin75°1 = 2+ 2 3 .
2
例题分析:已知两边及其中一边的对角解三角形
例 在△ABC中，已知 c= 6，A= 45°，a= 2，解三角形．
解 ∵ a = c ，∴ sin C = csinA 6sin45° 3
sinA sinC a
= 2 = 2 ，∵ 0° < C< 180°，∴ C = 60°或 C =
120°.
当C= 60°时，B= 75°，b= csinB = 6sin75°° = 3+ 1；sinC sin60
当C= 120°时，B= 15°，b= csinB = 6sin15°
sinC sin120° = 3- 1.
∴ b= 3+ 1，B= 75°，C= 60°或 b= 3- 1，B= 15°，C= 120°.
延伸探究
若把本例中的条件“A= 45°”改为“C= 45°”，则角A有几个值？
2× 2
解 ∵ a = c ，∴ sin A= asinC = 2 = 3 .
sinA sinC c 6 3
∵ c= 6> 2= a，∴C>A.∴A为小于 45°的锐角，且正弦值为 33 ，这样的角A只有一个．
30
变式3 在 △ABC中，AB = 2，AC = 3，B = = 1，则 c的值为 2 .
60°，则 cos C= 6 解析：由 a = b 3 13 sinA sinB 及已知可得 = ，sin π sinB3
解析　由正弦定理，得 AB = AC ，即 2 =
sinC sinB sinC ∴ sin B= 12 ，由 a> b，得A>B，又A=
π
3 ，∴B∈3 ，解得 sin C= 3 ，∵ABsin60° 3 0，π3 ，∴B=
π π π π
6 6
.故C= π- 3 - 6 = 2 ，由勾股定理得
C= 1-sin2C = 3 . c= a2+b2= 2.
变式4 △ABC A= π在 中，已知 3 ，a= 3，b
4.三角形解的个数的判断
已知三角形的两边和其中一边的对角，可求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，
三角形不能被唯一确定.那么怎样判断解的个数呢？
具体方法如下：
(1)代数法：三角形解的个数可由三角形中“大边对大角”来判定.不妨设A为锐角，若 a≥ b，则A≥
B，从而 B为锐角，有一解.若 a< b，则A 1，即 a< bsin
A，无解；② sin B= 1，即 a= bsin A，一解；③ sin B< 1，即 bsin A< a< b，两解.
(2)几何法：在△ABC中，已知 a，b和A，以点C为圆心，以边长 a为半径画弧，此弧与除去顶点A的
射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，见下表：
分类 图形 关系式 解的个数
a< bsinA 无解
a= bsinA 一解
A为锐角
bsinA< a< b 两解
a≥ b 一解
a> b 一解
A为钝角
或直角
a≤ b 无解
例题分析
31
例 不解三角形，判断下列三角形解的个数 (△ABC中，角A，B，C的对边分别为 a，b，c)：
(1)a= 5，b= 4，A= 120°；
解 sin B= ba sin 120° =
4 × 3 < 35 2 2 ，所以三角形有一解.
(2)a= 9，b= 10，A= 60°；
解 sin B= ba sin 60° =
10 × 3 = 5 39 2 9 ，而
3 5 3
2 < 9 < 1.
所以当B为锐角时，满足 sin B= 5 39 的角B的取值范围是 60° 当B为钝角时，满足 sin B= 5 39 的角B的取值范围是 90° 角形有两解.
(3)b= 72，c= 50，C= 135°.
解 sin B= bsinC 72c = 50 sin C> sin C=
2
2 .所以B> 45°，所以B+C> 180°，故三角形无解.
变式1 不解三角形，判断下列三角形解的个 C错误；选项D，因为 b= 1< csin 30° = 2，所以△ABC无
数． 解，故D正确.故选D.
(1)a= 5，b= 4，A= 120°； 变式3 在 △ABC中，已知角 A，B，C所对的
(2)a= 9，b= 10，A= 60°； 边分别为 a，b，c，a= x，b= 2，B= 45°，若三角形
(3)b= 72，c= 50，C= 135°. 有两个解，则 x的取值范围是 ( C )
解：(1)sin B= b sin 120° = 4 × 3 < 3a 5 2 2 ，所以三 A. x> 2 B. x< 2
角形有一解． C. 2< x< 2 2 D. 2< x< 2 3
(2)sin B= ba sin 60° =
10 × 3 5 39 2 = 9 ，而
3
2 < 解析：C　由题意知 a> b，则 x> 2，又由 sin A=
5 3 2
9 < 1. asinB
x
= 22 < 1，可得 x< 2 2，∴ x的取值范围是 2b
所以当B为锐角时，满足 sin B= 5 39 的角B的取值 < x< 2 2 .故选C.
范围是 60° 变式4 (多选)根据下列条件，判断三角形解的
当B为钝角时，满足 sin B= 5 39 的角B的取值范围 情况，其中正确的是 ( ABD )
是 90° A. a= 8，b= 16，A= 30°，有一解
(3)sin B= bsinC = 72c 50 sin C> sin C=
2
2 .所以B B. b= 18，c= 20，B= 60°，有两解
> 45°，所以B+C> 180°，故三角形无解． C. a= 5，c= 2，A= 90°，无解
变式2 在 △ABC中，内角 A，B，C所对的边 D. a= 30，b= 25，A= 150°，有一解
分别为 a，b，c，则下列判断正确的是 ( D ) 解析　A中，∵ a = bsinB ，∴ sin B=sinA
A. B= 30°，c= 4，b= 5，有两解 16×sin30° = 1，∴B= 90°，即只有一解；B中，∵ sin C=
B. B= 30°，c= 4，b= 3.9 8，有一解
20sin60° 5 3
C. B= 30°，c= 4 b= 3 18 = 9 ，且 c> b，∴C>B，故有两解；C中，∵， ，有一解
D. B= 30°，c= 4，b= 1，无解 A= 90°，a= 5，c= 2，∴ b= a2-c2= 25-4= 21，有
1
解析：D　选项A，因为 b= 5> c= 4，所以B= 30° > a b 25×解；D中，∵ = ，∴ sin B= 2 = 5
C，△ABC只有一解，故A错误；选项B，因为 csin 30° = 2 sinA sinB 30 12
，又 b
< = < = △ < a，∴角B只有一解．b 3.9 c 4，所以 ABC有两解，故B错误；选项C，
因为 csin 30° = 2< b= 3< c= 4，所以△ABC有两解，故
5.余弦定理
32

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为 a , b , c ,BA ,BC的夹角为∠B.
A
c b
B a C

AC =BC -BA , 2 2 2两边同时平方得：AC = (BC -BA)2=BC - 2BCBA+BA = a2- 2accosB + c2
即
b2= a2+ c2- 2accosB①
同理 a2= b2+ c2- 2bccosA②
c2= a2+ b2- 2abcosC ③
以上①②③式，便是余弦定理
当我们知道两边及其夹角时，就可以利用上式求出第三边.
以上①②③式还可以改成下列形式
2 2 2 2 2 2 2 2 2
cos A= b +c -a cos B= a +c -b④， 2ac ⑤，cos C=
a +b -c
⑥.
2bc 2ab
已知三角形的三边，利用④⑤⑥式，就可以求出内角的余弦值，从而求出内角.
例题分析:已知两边及一角解三角形
例 在△ABC中，已知 b= 3，c= 2 3，A= 30°，求 a的值；
解 由余弦定理，得 a2= b2+ c2- 2bccos A= 32+ (2 3 )2- 2× 3× 2 3cos 30° = 3，所以 a= 3 .
例 在△ABC中，已知 b= 5，c= 15，B= 30°，解这个三角形．
解 由余弦定理 b2= a2+ c2- 2accos B，得 ( 5 )2= a2+ ( 15 )2- 2a× 15 × cos 30°，即 a2- 3 5a
+ 10= 0，解得 a= 5或 a= 2 5 .
当 a= 5时，A= 30°，C= 120°；
b2 2当 a= 2 5时，由余弦定理得 cos A= +c -a
2
= 0，A= 90°，C= 60°.
2bc
变式1 已知在△ABC中，a= 1，b= 2，cos C 变式2 已知△ABC的内角A，B，C的对边分
= 14 ，则 c= 2 ，sin A=
15
8 . 别为 a，b，c，a= 5，c= 2，cos A=
2
3 ，则 b=
解析　根据余弦定理，得 c2= a2+ b2- 2abcos C= 12 3 .
+ 22- 2× 1× 2× 1 = 4，解得 c= 2.由 a= 1，b= 2，c= 2， 解析　由余弦定理，得 5= 22+ b2- 2× 2bcos A，因为4
b2+c2得 cos A= -a
2
= 7 cos A=
2
3 ，所以 3b
2- 8b- 3= 0，
，
2bc 8
7 2 15 解得 b= 3 b=- 13 舍去所以 sin A= 1- = .
.
8 8
例题分析:已知三边解三角形
例 在△ABC中，已知 a= 2 6，b= 6+ 2 3，c= 4 3，求A，B，C的大小．
= b
2+c2-a2 = (6+2 3)
2+(4 3)2-(2 6)2
解 根据余弦定理，得 cos A = 3 .
2bc 2×4 3×(6+2 3) 2
2 2 2
∵ ∈ ( ) ∴ = π = a +b -c = (2 6)
2+(6+2 3)2-(4 3)2
A 0，π ， A 6 ，cos C =
2 ，
2ab 2×2 6×(6+2 3) 2
∵C∈ (0，π)，∴C= π .∴B= π-A-C= π- π - π = 7π4 6 4 12 ，
∴A= π6 ，B=
7π
12 ，C=
π
4 .
33
变式3 在 △ABC中，内角 A，B，C的对边分 变式5 已知 a，b，c分别为 △ABC三个内角
别是 a，b，c .若 a = 2，b = 3，c = 7 ，则 C = A，B，C的对边，a= 3，b= 37，c= 7，则A+C
π
3 . 的值为
2π
3 .
解析：因为 a= 2，b= 3，c= 7，所以 cos C= 解析：(1)在△ABC中，由余弦定理的推论得 cos B=
a2+b2-c2 4+9-7 1 a2 2 2 2 2 2= 2×2×3 = 2 .因为C∈ (0，π)，所以C=
+c -b 3 +7 -( 37) 1
2ab 2ac = 2×3×7 = 2 ，又 0π
3 .故选C. =
π
3 ，所以A+C=
2π
3 .
变式4 在 △ABC中，内角 A，B，C的对边分 变式6 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，
别为 a，b，c.若 a ∶ b ∶ c= 4 ∶ 5 ∶ 6，则其最大内角的 C的对边，若 a2- b2= c2- 2bc，则A= 45° .
余弦值为 1 解析：(2)a2- b2= c2- 2bc，由余弦定理的推论得 cos8
b2+c2-a2 2
解析：根据题意，设 a= 4k，b= 5k，c= 6k，k> 0，且最 A= = 2 ，故A= 45°.故选C.2bc
2
大角为C，所以 cos C= a +b
2-c2 = 16k
2+25k2-36k2
2ab 2×4k×5k
= 18 .
正余弦定理的应用
1.利用正弦定理和余弦定理进行边角互化
1.正弦定理的变形形式
设三角形的三边长分别为 a，b，c，外接圆半径为R，正弦定理有如下变形：
(1)a= 2RsinA，b= 2RsinB，c= 2RsinC；
(2)sinA= a sinB= b2R ， 2R ，sinC=
c
2R ；
(3)a ∶ b ∶ c= sinA ∶ sinB ∶ sinC；
(4) a = b c a+b+c
sinA sinB
= =
sinC sinA+sinB+ = 2R；sinC
(5)asinB= bsinA，bsinC= csinB，asinC= csinA.
2.余弦定理的变形形式
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是 a，b，c，则
2 2 2 2 2 2 2 2 2
cos A= b +c -a cos B= c +a -b cos C= a +b -c， ， .
2bc 2ca 2ab
利用正余弦定理可以将式子中的边转化为角，角转化为边.
例题分析
例 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 bsin A= 3acos B.
(1)求B的大小；
(2)若 b= 3，sin C= 2sin A，求 a，c的值．
解 (1) ∵ bsin A= 3acos B，
∴由正弦定理，得 sin Bsin A= 3sin Acos B.
在△ABC中，sin A≠ 0，
即得 tan B= 3，∴B= π3 .
(2) ∵ sin C= 2sin A，∴由正弦定理，得 c= 2a，
34
由余弦定理 b2= a2+ c2- 2accos B，
即 9= a2+ 4a2- 2a·2acos π3 ，
解得 a= 3，∴ c= 2a= 2 3 .
变式1 △ABC的内角A，B，C的对边分别为 = 0，不合题意，舍去.综上，B= 3π10 .
a，b，c，asin A+ csin C- 2asin C= bsin B.
π
(1)求B的大小； 变式4 已知函数 f(x) = 3sin 2x+ 3 .
(2)若A= 75°，b= 2，求 a，c的值． (1)求 f(x)的单调递增区间；
解　 (1)由正弦定理，得 a2+ c2- 2ac= b2. 解：(1)由 2kπ- π2 ≤ 2x+
π
3 ≤ 2kπ+
π
2 (k∈ Z)，得
由余弦定理，得 b2= a2+ c2- 2accos B.
kπ- 5π2 ≤ x≤ kπ+
π (k∈ Z)，
故 cos B= 2 ，又 0° 12 12
所以 f(x)的单调递增区间为 kπ- 5π ，kπ+ π (2)sin A= sin (30° +45°) = ° ° + (k∈sin 30 cos 45 cos 12 12
30°sin 45° = 2+ 6 Z).4 . (2)△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，
故由正弦定理，得 a= b· sinAsinB = 1+ 3 . b，c A π，若 f + =- 5，B= 2A，a= 3，求 c.
由已知得，C= 180° -45° -75° = 60° ， 2 3
A π
故 c= b· sinCsinB = 2×
sin60° = 6 . 解：(2)由 f + = 3sin(A+ π) =- 5，得 sin A
sin45° 2 3
= 5 .
变式2 已知△ABC的内角A，B，C所对的边 3
2
分别为 a，b，c，向量m= (a， 3 b)与 n= (cos A， 因为B= 2A< π，所以A为锐角，所以 cos A= 3 .
sin B)平行. 由正弦定理，得 3 = b ，
sinA sin2A
(1)求A； 从而 b= 3 ·sin 2A= 3 ·2sin Acos A= 6cos
(1) m∥n sinA sinA解： 因为 ，所以 asin B- 3bcos A= 0，
A= 4.
由正弦定理得 sin Asin B- 3sin Bcos A= 0，
2 1
又B∈ (0，π)，所以 sin B≠ 0，所以 sin A- 3cos A 易得 cos B= cos 2A= 1- 2sin A=- 9 ，
2 2 2
= 0，则 tan A= 3，又A∈ (0，π)，所以A= π . 结合余弦定理的推论，cos B= a +c -b3 2ac ，
(2)若 a= 7，b= 2，求△ABC 2的面积. 得- 1 = 9+c -169 6c ，解得 c=
7
3 (负值已舍去).
解：(2)由余弦定理可得 a2= b2+ c2- 2bccos A，因为
a= 7，b= 2，A= π ，所以 7= 4+ c2- 2c，解得 c= 3或 变式5 在 △ABC中，内角 A，B，C的对边分3
=- ( ) 别为 a，b，c，设 f(x) = sin(x+B) + cos(x+B)tanc 1 舍 ，
5π 1
所以△ABC的面积S= 12 bcsin A=
1
2 × 2× 3×
C，且 f 6 =- .cosC
3 = 3 3 . (1)求角A；2 2
( ) ( ) = sin(x+B)cosC+cos(x+B)sinC解：1 f x =
变式3 在 △ABC中，内角 A，B，C的对边分 cosC
sin(x+B+C) sin(π+x-A) sin(x-A)
别是 a，b，c，若 acos B- bcos A= c，且C= π = =- .， cosC cosC cosC5
3π sin 5π -A则B= 10 ∵ f 5π6 =-
1 ，∴- 6 =- 1 ，∴
cosC cosC cosC
解析：在△ABC中，由正弦定理 a = b 5π
sinA sinB
= sin 6 -A = 1.
c ，及 acos B- bcos A= c，得 sin Acos B- sin Bcos π 5π 5π 5π
sinC 又 0A= sin C，即 sin(A-B) = sin C，又C= π5 ，所以 sin(A
π ，∴A= π2 3 .
-B) = sin C> 0，所以 0A-B= π-C.易知A+B= 4π5 ，当A-B=C=
π
5 时， = 62 ，求 a的值.
A= π2 ，B=
3π
10；当A-B= π-C=
4π 时，A= 4π5 5 ，B
35
解：(2) ∵△ABC的面积S= 1 bcsin A= 12 2 bc·
3
2 = =
6
2 b+ c= 6R，
3，∴ bc= 4， 由余弦定理得 a2= b2+ c2- 2bccos π3 ，
设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理知 b 2sinB ∴ a2= (b+ c) - 3bc，
= c = a = 2R， ∴ 3R2= 6R2- 12，∴R= 2，∴ a= 2 3 .
sinC sinA
sin B= b2R ，sin C=
c
2R ，a= 3R，sin B+ sin C
2.三角形形状的判定
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若角A为直角，则 a，b，c有什么大小关系？若角
A为锐角呢？若角A为钝角呢？
A为直角 a2= b2+ c2；A为锐角 b2+ c2> a2(前提是 b，c是两个较小边)；A为钝角 b2+ c2<
a2.
例题分析
例 在△ABC中，若 cos A- cos B+ a-bc = 0，则△ABC的形状是 ( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
解 由 cos A - cos B + a-bc = 0，得 a - ccos B = b - ccos A，由余弦定理的推论得 a -
a2+c2-b2 b2+c2-a2 2 2 2 2 2c· = b- c· ，化简得 a +b -c = a +b -c
2
2ac a .当 a
2+ b2- c2= 0，即 a2+ b2= c2时，
2bc b
△ABC为直角三角形；当 a2+ b2- c2≠ 0时，a= b，则△ABC为等腰三角形.故△ABC为等腰三角形或直
角三角形.
例 已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是 a和 b，若 acos B= bcos A，则△ABC一定是 (　　)
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
解 由正弦定理得，acos B= bcos A sin Acos B= sin Bcos A sin(A-B) = 0，由于-πB< π，故必有A-B= 0，A=B，即△ABC为等腰三角形．
变式1 在 △ABC中，内角 A，B，C的对边分 整理，得 (b+ c) (a2- b2- c2) = 0.
2 2 2
别为 a，b，c，若A= 60°，a2= bc，则△ABC一定是 因为 b+ c≠ 0，所以 a = b + c ，
故△ABC是直角三角形．
( )
2
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 变式3 在 △ABC 中，A = 60 °，a = bc，则
C. 直角三角形 D. 等边三角形 △ABC一定是 (　　)
解析：D　在△ABC中，因为A= 60°，a2= bc，所以由 A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
余弦定理可得，a2= b2+ c2- 2bccos A= b2+ c2- bc，所以 C. 直角三角形 D. 等边三角形
bc= b2+ c2- bc，即 (b- c)2= 0，所以 b= c，结合A= 60°可 答案　D
得△ABC一定是等边三角形.
解析　在△ABC中，因为A= 60°，a2= bc，
变式2 在△ABC中，若 acos B+ acos C= b 所以由余弦定理可得，a2= b2+ c2- 2bccos A= b2+
+ 2c，试判断该三角形的形状． c - bc，
2 2 2
解　由 acos B+ acos C= b+ c并结合余弦定理， 所以 bc= b + c - bc，即 (b- c) = 0，
2 2 2 2 2 2 所以 b= c，结合A= 60°可得△ABC一定是等边三角
得 a· a +c -b2ac + a·
a +b -c = b+ c，
2ab 形．
即 a
2+c2-b2 a2+b2 2
2c +
-c = b+ c，
2b 变式4 在 △ABC 中，若 sin A = 2sin Bcos
36
C，且 sin2A= sin2B+ sin2C，试判断 △ABC的形 答案　D
状． 解析　由 3b= 2 3asin B，得 b = 2 3a ，根据正
解　根据正弦定理，得 a b c
sinB 3
= = ，
sinA sinB sinC 弦定理，得 b = a ，所以 a = 2 3a ，即 sin A
∵ sin2A= sin2B+ sinB sinA sinA 3sin2C，
3
∴ a2= b2+ c2，∴A是直角． = 2 .又角A是锐角，所以A= 60°.又 cos B= cos C，且
∵A= 180° - (B+C)，sin A= 2sin Bcos C， B，C都为三角形的内角，所以B=C.故△ABC为等边三
∴ sin(B+C) = sin Bcos C+ cos Bsin C= 2sin 角形，故选D.