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(共17张PPT)
第15章
轴对称复习
课前练:
先化简再求值：
代入 x=：
课前练:
(1)分解因式：a -2a +a
(2)解方程：
(1) 分解因式 a -2a +a
a -2a +a
= a(a -2a+1)
= a(a-1)
轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后，这个图形的两部分能够重合；
两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合
性质：1.两个图形全等
2.连接对称点的线段被对称轴垂直平分
作线段的垂直平分线
1.过对称点作垂线，求出点的位置
2.描点
3.连线
点(x，y)关于x轴对称的点坐标为(x，-y)
点(x，y)关于y轴对称的点坐标为(-x，y)
线段的垂直平分线
性质
判定
等边对等角
有两个角相等的三角形
(等角对等边)
三线合一
三个内角都相等都为60°
三线合一
三个角都相等的三角形
有一个角等于60°的等腰三角形
30o角所对的直角边等于斜边的一半
1.下列是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是(　　)
2.如图，△ABC与△DEF关于直线 l 对称，若∠A＝65°，∠B＝80°，则∠F＝（　　）
A．80° B．65° C．45° D．35°
3.在平面直角坐标系中，点A(2，－1)关于x轴对称的点的坐标为(　　)
A．(2，1) B．(－2，1) C．(－2，－1) D．(1，－2)
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．
若BD＝5，则CD＝(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
C
D
成轴对称的两个图形全等
∠F＝∠C=180°-∠A-∠B
坐标与对称：点(x，y)关于x轴对称的点坐标为(x，-y)
A
等腰三角形：三线合一
C
5
5.若一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是(　　)
A．12 B．13 C．15 D．12或15
6.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，
∠EBC＝45°，则∠ACE的度数为（　　）
A．18° B．20° C．30° D．15°
7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝4，
则AD的长为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
等腰三角形：两腰相等
C
等边三角形：三线合一
D
含30°角的直角三角形
D
三角形的三边关系
ED是BC的垂直平分线
∴BE=CE
∴∠EBC=∠ECD=45°(等边对等角)
∴∠ACE=∠ACD-∠ECD=60°-45°
60°
90°
∴∠1=90°-∠DBC＝30°
1
∴BD=2BC＝8
4
8
∵∠1=∠A+∠ABD(三角形外角的性质)
∴∠ABD=∠1-∠A=15°
∴AD=BD(等角对等边)
8.命题“如果两个实数相等，那么这两个实数的平方相等”的逆命题是
： ．
9.如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点A，B分别
落在点M，N处．若∠1＝40°，则∠AEF的度数为__________．
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，
AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是线段AD，AC上的动点，
则PC＋PQ的最小值是__________．
如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等
逆命题
110°
轴对称
2
3
∠2＝∠3=(180°-∠1)÷2=70°
最短路径问题
4.8
11.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，BC＝5.
(1)作BC的垂直平分线DH，分别交AB，BC于点D，H；
(要求：尺规作图，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，连接CD，求△BCD的周长.
解：(1)DH如图所示
·D
·H
(2)如图，连接CD
∵DH垂直平分BC
∴CD＝BD(线段垂直平分线的性质)
∴∠1＝∠B(等边对等角)
∵∠ACB＝90°
∴∠1＋∠2＝90°
∠B＋∠A＝90°(直角三角形两锐角互余)
∴∠2＝∠A(等角的余角相等)
∴CD＝AD(等角对等边)
∴△BCD的周长为 CD＋BD＋BC＝AD＋BD＋BC＝AB＋BC＝8＋5＝13
1
2
12.如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－4，2)，
C(－3，1).
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点A1，B1，C1的坐标；
(2)求△A1B1C1的面积；
(3)若在y轴上有一点P，使得线段AP＋B1P的值最小，
请你在图中标出点P的位置，并直接写出点P的坐标．
解:(1)△A1B1C1如图所示
A1(－2，-4)，B1(－4，-2)，C1(－3，-1)
·A1
B1·
·C1
(3)点P如图所示
·A'
·P
P(0，2)
13.如图，在等边△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且AE＝CD，AD与BE相交于点F.
（1）求证：BE＝AD； （2）过点B作BG⊥AD于点G. 求证：BF＝2FG
证明:(1)∵△ABC是等边三角形
∴AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°
(2)∵△ABE≌△CAD
∴∠1＝∠2
∴∠4＝∠1＋∠BAF(三角形外角的性质)
＝∠2＋∠BAF(等量待换)
＝∠BAC
＝60°
∵BG⊥AD
∴∠BGF＝90°
∴∠3＝90°－∠4
＝90°－60°
＝30°(直角三角形两锐角互余)
∴BF＝2FG
∴△ABE≌△CAD（SAS）
∴BE＝AD
在△ABE和△CAD中
AB＝CA
∠BAE＝∠C
AE＝CD
1
2
4
3
【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第86页《探究与发现》有这样一段话：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？
为了探究不等边（或角）所对角（或边）之间大小关系，在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图①，在△ABC中，AB＞AC，求证：∠ACB＞∠B.
a.如图②，小涛认为：作∠BAC的平分线AE. ∵AB＞AC，∴在AB上截取AD＝AC，连接DE，利用三角形全等以及三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻内角即可证明．
b.如图③，小亮认为：∵AB＞AC，∴在AB边上截取AD＝AC，连接CD，利用等腰三角形性质以及三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻内角即可证明．
请你选择一名同学的解题思路，完成他的证明过程
1
2
3
4
选小亮：∵AD＝AC
∴∠3＝∠4
∵∠3＝∠B+∠BCD(三角形外角的性质)
∴∠3＞∠B
∴∠4＞∠B(等量代换)
∵∠ACB＞∠4
∴∠ACB＞∠B
证明：选小涛：∵AE平分∠BAC
∴∠1=∠2
AD=AC
在△ADE与△ACE中 ∠1=∠2
AE=AE
∴△ADE≌△ACE（SAS）
∴∠ADE＝∠C
∵∠ADE=∠B+∠BED(三角形外角的性质)
∴∠ADE＞∠B
∴∠C＞∠B(等量代换)
【类比分析】根据上述过程可以看出，利用轴对称的性质，可以把研究边与角之间的不等问题，转化为较大量的一部分与较小量相等的问题．为了帮助学生更好地感悟转化思想，王老师又提出下面的问题，请你解答．如图①，在△ABC中，∠ACB＞∠B.求证：AB＞AC.
1
2
证明：如图②，作∠BAC的平分线AE交BC于点E.
∴∠1＝∠2
∵∠ACB＞∠B
∴可在线段AB上取点D，使得∠ADE＝∠C
∠1=∠2
在△ADE与△ACE中 ∠ADE＝∠C
AE=AE
∴△ADE≌△ACE（AAS）
∴AD＝AC
∵点D在边AB上，AD＝AC
∴AB＞AD，即AB＞AC
【知识应用】
如图④，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AB＞AC＋CD.求证：∠C＞2∠B
1
2
∵AB＞AC＋CD，
∴如图，在EB上取点F，
使EF＝ED，连接DF
∴∠5＝∠6(等边对等角)
∴∠AED＝2∠5(三角形外角的性质)
∵∠5=∠B+∠BDF(三角形外角的性质)
∴∠5＞∠B
∴2∠5＞2∠B(不等式的性质)
即∠AED＞2∠B
∴∠C＞2∠B(等量代换)
E
F
证明：∵AD平分∠BAC
∴∠1＝∠2
如图，在AB上取点E，
使AE＝AC，连接DE
在△ADE和△ADC中
AE＝AC
∠1＝∠2
AD=AD
∴△ADE≌△ADC（SAS）
∴∠AED＝∠C，DE＝DC
5
6
下 课
Thanks!
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