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(共33张PPT)
2026中考人教数学一轮复习 新考向情景题 讲解课件
2026中考人教数学一轮复习 考点突破 分层讲练
精讲本 导图梳理 考点精讲 针对训练
第二章　方程(组)与不等式(组)
第三节　一元二次方程及其应用
分层精讲本
2026湖北数学
节前复习导图
一元二次方
程的概念
一元二次方程的一般形式：
ax2+bx+c=0(a≠0)
一元二次
方程的解法
直接开平方法
因式分解法
公式法
配方法
根的判别式
根与系数的关系
实际应用
的常见类型
增长率(下降率)
等量关系
面积问题
常见图形
每每问题
一元二次方程
及其应用
考点精讲
一.一元二次方程的概念：形如x2＋12x－15=0这种只含有 个未知数
(一元)，并且未知数的最高次数是 的方程
二.一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c=0(其中a，b，c为常数，
a≠0)
一
2(二次)
三.一元二次方程的解法　
解法 适用情况
直接开 平方法 (1)当方程缺少一次项时，即方程ax2＋c=0(a≠0，ac＜0)；
(2)形如(x＋m)2=n(n≥0)的方程
因式分 解法 (1)常数项为0，即方程ax2＋bx=0(a≠0)；
(2)一元二次方程的一边为0，而另一边是易于分解成两个一次因
式的乘积
想一想：在解形如2x(x－3)=3(x－3)的方程时，等号两边含有未
知数的相同因式可以直接约去吗？
解法 适用情况
公式法
配方法 (1)二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程；
(2)各项的系数比较小且便于配方的情况
x=
要点提炼
使用求根公式前，必须先用判别式判断根的情况
适用于所有一元二次方程，求根公式为 (b2－4ac≥0)
四.根的判别式
1. 对于x的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根的判别式为 ___
(1)b2－4ac＞0 一元二次方程有两个 　 的实数根
(2) 一元二次方程有两个相等的实数根
(3) 一元二次方程无实数根
【满分技法】 根的判别式的两个作用：
(1)不解方程，直接判断一元二次方程根的情况；
(2)根据方程根的情况，确定某个未知系数的值(或取值范围)
b2－4ac
不相等
b2－4ac=0
b2－4ac＜0
五.根与系数的关系(2022课标调整为考查内容)
若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两根，则x1＋x2=－ ，x1x2=
要点提炼
与一元二次方程根与系数有关的代数式的常见变形：
(1)x21＋x22=(x1＋x2)2－2x1x2；
(2)(x1－x2)2=(x1＋x2)2－4x1x2；
(3)(x1＋m)(x2＋m)=x1x2＋m(x1＋x2)＋m2；
(4) ＋ = ；
(5) ＋ = = ；
(6)|x1－x2|= =
六.实际应用的常见类型
1. 增长率(下降率)等量关系
(1)增长率= ×100%
(2)设a为原来量，当m为平均增长率，2为增长次数，b为增长后的量
时，a(1＋m)2=b；当m为平均下降率，2为下降次数，b为下降后的量
时，a(1－m)2=b
2. 每每问题：总利润=(售价－成本)×数量
【满分技法】在每每问题中，若单价每涨a元，少卖b件，则涨价x元少
卖的数量为 b件
3. 面积问题常见图形
(1)如图①，设阴影部分的宽为x，则S空白=
(a－2x)(b－2x)
3. 面积问题常见图形
(2)如图②，设阴影部分的宽为x，则S空白=
(a－x)(b－x)
3. 面积问题常见图形
(3)如图③，设阴影部分的宽为x，则S空白=
(a－x)(b－x)
湖北真题、模拟题精选及新考法
一元二次方程的解法
命题点
1
1. (九上习题改编)解下列一元二次方程.
(1)4x2＝81；
解：∵4x2＝81，
∴x2＝ ，
∴x1＝ ，x2＝－
(2)x2－x－2＝0；
答题规范
得分要点
解：∵a＝1， b＝－1，c＝－2，
∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×(－2)＝9＞0，
∴x＝ ，
∴x1＝－1，x2＝2
先确定各项系数，需注意系数的符号
注意当方程有两个解时要分开写
当b2－4ac≥0时，方程才有解
(3)x2＋4x－2＝0；
解：由题意得a＝1，b＝4，c＝－2，
∴b2－4ac＝42－4×1×(－2)＝24＞0，
∴x＝ ＝ ，
∴x1＝－2－ ，x2＝－2＋
(4)3x(x－1)＝2(x－1).
解：∵3x(x－1)＝2(x－1)，
∴3x(x－1)－2(x－1)＝0，
∴(x－1)(3x－2)＝0，
∴x1＝1，x2＝ .
一元二次方程根的判别式
命题点
2
2. (2025宜昌模拟)一元二次方程x2－x＋2＝0的根的情况是(　C　)
A. 有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 无实数根
D. 只有一个实数根
C
3. (2025荆州模拟)若关于x的一元二次方程x2－4x＋c＝0有实数根，则
常数c的值不可能为(　D　)
A. －1 B. 0
C. 4 D. 5
D
4. (2025随州模拟)请写出一个常数c的值，使得关于x的方程x2＋2x＋c
＝0有两个不相等的实数根，则c的值可以是 .
0(答案不唯一)　
5. (2025襄阳模拟)已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0有两个实
数根.
(1)求m的取值范围；
解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0有两个实数根，
∴b2－4ac＝(－4)2－4×1×m≥0，
解得m≤4；
已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0有两个实数根.
(2)若该方程的两个实数根相等.请直接写出m的值，并解这个方程.
解：(2)若该方程的两个实数根相等，则m＝4，
故方程为x2－4x＋4＝0，
(x－2)2＝0，
解得x1＝x2＝2.
新考法
6. 探讨关于x的一元二次方程(a＋1)x2＋bx－1＝0(a≠－1)总有实数根的
条件，三名同学给出的条件：甲：a＝b；乙：ab＜0；丙：a＝－b.则
下列说法正确的是(　B　)
A. 只有甲正确
B. 只有乙不正确
C. 甲、乙、丙都不正确
D. 甲、乙、丙都正确
B
一元二次方程根与系数的关系(省卷：2025.4)
命题点
3
7. (2025省卷4题)一元二次方程 x2－4x＋3＝0的两个实数根为x1，x2，下
列结论正确的是(　D　)
A. x1＋x2＝－4 B. x1＋x2＝3
C. x1x2＝4 D. x1x2＝3
8. (2025宜昌模拟)已知一元二次方程x2＋3x＋m＝0的一个根为－1，则
它的另一个根是(　A　)
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
D
A
9. (2025孝感模拟)设x1，x2是方程x2－3x－4＝0的两个实数根，则 x2
＋x1 的值为 .
【解析】由题知，∵x1，x2是方程x2－3x－4＝0的两个实数根，∴x1＋
x2＝3，x1x2＝－4，则 x2＋x1 ＝x1x2(x1＋x2)＝－4×3＝－12.
－12　
10. (2025襄阳模拟)若关于x的一元二次方程x2＋2x＋p＝0两根为x1，
x2，且 ＋ ＝3，则p的值为 　－ 　.
【解析】∵x1＋x2＝－ ＝－2，x1x2＝p，∴ ＋ ＝ ＝ ，而
＋ ＝3，∴ ＝3，∴p＝－ .
－ 　
11. (2025黄石模拟)已知x2＋(a＋3)x＋a＋1＝0是关于x的一元二次方程.
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根：
(1)证明：由题意可知：b2－4ac＝(a＋3)2－4×1×(a＋1)
＝a2＋6a＋9－4a－4
＝a2＋2a＋5
＝(a＋1)2＋4＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
已知x2＋(a＋3)x＋a＋1＝0是关于x的一元二次方程.
(2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1－2)·(x2－2)＝2，求实数a的值.
(2)解：由题意可知：x1＋x2＝－(a＋3)，x1x2＝a＋1，
∵(x1－2)(x2－2)＝2，
∴x1x2－2x1－2x2＋4＝2，
∴x1x2－2(x1＋x2)＋4＝2，
∴a＋1－2[－(a＋3)]＋4＝2，
解得：a＝－3.
一元二次方程的实际应用[省卷：2024.22(2)]
命题点
4
12. (2025襄阳模拟)被誉为“蕴藏着人类上古文明密码的哲学之书”的古
老苗绣，在贵州文旅市场和时尚行业中，展现出匠人匠心的“针”功夫.
小星奶奶手绣了一幅长为38 cm、宽为23 cm的矩形绣品(如图所示)，为了
完好保存绣品，计划将其塑封，塑封时需四周留白(上下左右宽度相同)，
且塑封后整幅图的面积为1 000 cm2，设留白部分的宽度为x cm，则可列
方程为(　D　)
D
A. (38－2x)(23－2x)＝874
B. (38＋2x)(23＋2x)＝874
C. (38－2x)(23－2x)＝1 000
D. (38＋2x)(23＋2x)＝1 000
13. (2025恩施州模拟)某商品的价格为100元，连续两次降x％后的价格是
81元，则x为(　B　)
A. 9 B. 10
C. 19 D. 8
【解析】根据题意得：100(1－x％)2＝81，解得x1＝190(舍去)，x2＝10.
即平均每次降价率是10％.故x的值为10.
B
14. (2025天门模拟)我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录
了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔
及长各几步？”其大意是：矩形面积是八百六十四平方步，其中一条宽
与一条长的和为六十步，问宽和长各几步？若设矩形的长为x步，根据题
意可列方程 .
【解析】设矩形的长为x步，则宽为(60－x)步，∵矩形面积是八百六十
四平方步，∴x(60－x)＝864.
x(60－x)＝864　
15. (2025黄石模拟)在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯
105次，则参加酒会的人数为 .
【解析】设参加酒会的人数为x人，依题意，得： x(x－1)＝105，整
理，得：x2－x－210＝0，解得：x1＝15，x2＝－14(不合题意，舍去).
∴参加酒会的人数为15人.
15　
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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