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2026中考人教数学一轮复习 新考向情景题 讲解课件
2026中考人教数学一轮复习 考点突破 分层讲练
精讲本 导图梳理 考点精讲 针对训练
第三章　函　数
微专题　抛物线与系数a，b，c的关系
分层精讲本
2026湖北数学
一阶　画图微技能
例1　已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0).
(1)若a＜0，抛物线与x轴交于(－1，0)，(3，0)两点，请在图①中画出该
抛物线的大致图象；
图①
解：(1)画图如解图①
所示(作图不唯一)；
解图①
【作图思路】根据抛物线与x轴的交点确定对称轴，结合a＜0可画出大
致图象.
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0).
(2)若抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴交于点(－2，0)，与y轴的交点
在x轴上方，请在图②中画出该抛物线的大致图象；
图②
解：(2)画图如解图②所示(作图不唯一)；
解图②
【作图思路】根据抛物线的对称轴及与x轴的交点(－2，0)，确定抛物线
与x轴的另一个交点，结合与y轴的交点可画出大致图象.
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0).
(3)若抛物线的顶点坐标为(1，－2)，与x轴交于点(x1，0)，其中－1＜x1
＜0，请在图③中画出该抛物线的大致图象；
图③
解：(3)画图如解图③
所示(作图不唯一)；
解图③
【作图思路】根据抛物线的顶点坐标和x1的取值范围，判断抛物线与x轴
的另一个交点的大致位置可画出大致图象.
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0).
(4)若抛物线的开口方向向下，且经过(－2，1)，(m，1)两点，其中1＜m
＜2，请在图④中画出该抛物线的大致图象.
解：(4)画图如解图④
所示(作图不唯一).
解图④
图④
【作图思路】点(－2，1)和点(m，1)关于对称轴对称，结合m的取值范围
可确定对称轴的大致位置，结合抛物线的开口方向可画出大致图象.
二阶　方法训练
例2　如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，且图象过点
(3，0)，对称轴为直线x＝1.
【基础设问】结合图中信息，填空(填“＞”“＜”或“＝”).
(1)a 0，b 0，c 0，abc 0；
＜　
＞　
＞　
＜　
(2)b2－4ac 0；
(3)2a＋b 0；
(4)a＋b＋c 0，a－b＋c 0；
(5)4a－2b＋c 0，4a＋2b＋c 0.
＞　
＝　
＞　
＝　
＜　
＞　
【拓展设问】结合图中信息，判断下列结论的正误，在括号内正确的打
“√”，错误的打“ ”.
(1)3a＋c＞0； (　 　)
(2)c－4b＜0； (　√　)
(3)(a＋c)2＜b2； (　 　)
(4)若m为任意实数，则有a＋b≥m(am＋b)； (　√　)
(5)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1＝－2，x2＝3； (　 　)
(6)若y≥c，则0≤x≤2； (　√　)
(7)关于x的方程ax2＋bx＋c＋1＝0有两个不相等的实数根； (　√　)

√

√

√
√
(8)关于x的方程ax2＋bx＋c＝a＋1无实数根，则a的取值范围为
a＞－ ； (　 　)
(9)若1＜c＜2，则 ＜a＋b＋c＜ . (　√　)

√
方法解读
1. 根据二次函数图象判断相关结论
a的 符号 观察图象开口方向：
开口向上→a＞0；
开口向下→a＜0
b的 符号 观察对称轴位置：
对称轴在y轴→b＝0；
对称轴在y轴左侧→a，b同号；
对称轴在y轴右侧→a，b异号(简记：左同右异)
c的 符号 观察与y轴的交点位置：
在y轴正半轴→c＞0；
过原点→c＝0；
在y轴负半轴→c＜0
b2－ 4ac 的符 号 观察与x轴的交点个数：
与x轴有两个交点→b2－4ac＞0；
与x轴有一个交点→b2－4ac＝0；
与x轴没有交点→b2－4ac＜0
2. 二次函数图象与特殊代数式之间的关系
(1)如遇见2a＋b，2a－b类的式子，可利用对称轴与±1比较进行判断；
(2)如遇见a＋b＋c，a－b＋c类的式子，可利用x＝±1求出y值的大小
关系进行判断；
(3)如遇见只有a，c或b，c关系的式子，可利用对称轴的大小关系与x取
某个特殊值时y的式子联立进行判断，如2a＋c，b＋c等；
(4)如遇见含有系数平方形式的式子，如(a＋c)2＜b2，先因式分解，再利
用x取某两个特殊值时y的式子联立进行判断，如(a＋c)2＜b2，转化为(a
＋c－b)·(a＋c＋b)＜0的形式.
三阶　综合应用
1. (2024省卷10题)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
的顶点坐标为(－1，－2)，与y轴的交点在x轴上方，下列结论正确的
是(　C　)
A. a＜0 B. c＜0
C. a－b＋c＝－2 D. b2－4ac＝0
C
2. (2025荆州模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于点
A(－2，0)，B(6，0)，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①
b2－4ac＞0；②2a＋b＝0；③当y＜0时，－2＜x＜6；④5a＋c＜0.其
中正确的是(　B　)
A. ②③④ B. ①③④
C. ①③ D. ①②
B
3. (2025襄阳模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x
＝1，经过点(－1，0)，下列结论正确的是(　D　)
A. abc＜0 B. 4a＋2b＋c＞0
C. 3a＋c＞0 D. 4a2－4ac＞c
D
4. (2024模拟演练)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a＞0)
的对称轴为直线x＝1，与x轴交于(x1，0)，(x2，0)两点，2＜x2＜3，下
列结论正确的是(　D　)
A. x1x2＞0 B. x1＋x2＝1
C. b2＜4ac D. a－b＋c＞0
D
【解析】由题意知，－ ＝1，即b＝－2a，又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c
与x轴交于(x1，0)，(x2，0)两点，∴b2－4ac＞0，x1＋x2＝－ ＝2，
∴b2＞4ac，选项B，C错误，故不符合题意；
∵x1与x2关于直线x＝1对称，2＜x2＜3，∴2＜2－x1＜3，∴－1＜x1＜0，∴x1x2＜0，选项A错误，故不符合题意；
∵a＞0，图象开口向上，当x＜1时，y随着x的增大而减小，x1＞－1，
∴当x＝－1时，y＝a－b＋c＞0，选项D正确，故符合题意.
5. (2025孝感模拟)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
经过点(1，0)，开口向下，对称轴为直线x＝－1.下列结论正确的
是(　D　)
A. ac＞0 B. b2－4ac＜0
C. 9a－3b＋c＞0 D. at2＋bt＜a－b(t≠－1)
D
【解析】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)经过点
(1，0)，开口向下，对称轴为直线x＝－1，∴抛物线与y轴的正半轴相交，
∴a＜0，c＞0，∴ac＜0，故选项A不符合题意；
∵抛物线与x轴有两个不同交点，∴b2－4ac＞0，故选项B不符合题意；
∵对称轴是直线x＝－1，经过点(1，0)，∴抛物线经过点(－3，0)，
∴9a－3b＋c＝0，故选项C不符合题意；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝－1，∴x＝－1时y取最大值，
∴at2＋bt＋c＜a－b＋c(t≠－1)，
∴at2＋bt＜a－b(t≠－1)，故选项D符合题意.
6. (2025恩施州模拟)如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，其
顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间，则下
列结论：①a－b＋c＝0；②3a＋c＞0；③b2＝4a(c－n)；④一元二次
方程ax2＋bx＋c＝n－2没有实数根.其中正确的个数为(　B　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
B
【解析】由图象知抛物线开口向下，∵抛物线顶点坐标为(1，n)，∴抛
物线对称轴为直线x＝1，∵图象与x轴的一个交点在(3，0)和(4，0)之
间，∴图象与x轴另一交点在(－1，0)和(－2，0)之间，∴x＝－1时，y
＞0，即a－b＋c＞0，故①错误，不符合题意；
∵抛物线对称轴为直线x＝－ ＝1，∴b＝－2a，
∴y＝ax2－2ax＋c，∴x＝－1时，y＝3a＋c＞0，故②正确，符合题意；∵抛物线顶点坐标为(1，n)，∴ax2＋bx＋c＝n有两个相等的实数根，∴b2－4a(c－n)＝0，∴b2＝4a(c－n)，
故③正确，符合题意；∵y＝ax2＋bx＋c的最大函
数值为y＝n，∴ax2＋bx＋c＝n－2有两个不相等
的实数根，故④错误，不符合题意.
7. (2025黄冈模拟)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的
自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … －2 －1 0 1 2 …
y＝ax2＋bx＋c … t m －2 －2 n …
且当x＝－0.5时，其对应的函数值y＞0.有下列结论：①abc＞0；②－2
和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝t的两个根；③b2－4ac＞0；④当0＜x
＜1时，y＜－2；⑤0＜m＋n＜ ，其中，正确结论的个数是(　D　)
D
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【解析】当x＝0和x＝1时，y＝－2，∴对称轴为直线x＝ ，
∵当x＝－0.5时，y＞0，x＝0，y＝－2，
∴在对称轴左侧，y随x增大而减小，∴抛物线的开口方向向上，
∴a＞0.当x＝0，y＝－2，可得c＝－2.
∵对称轴为直线x＝ ，∴b＝－a＜0，∴abc＞0.故①正确；
x … －2 －1 0 1 2 …
y＝ax2＋bx＋c … t m －2 －2 n …
当x＝－2时，ax2＋bx＋c＝t.设另一个根是m，则 ＝ ，解得m＝3，∴－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝t两个根.故②正确；
∵a＞0，∴b2－4ac＝a2＋8a＞0，故③正确；
∵当x＝0和x＝1时，y＝－2，∴当0＜x＜1时，y＜－2，故④正确
∵当x＝－0.5时，y＞0，∴ a＋ a－2＞0，解得a＞ .当x＝－1时，m＝2a－2，当x＝2时，n＝2a－2，∴m＋n＝4a－4，∴4a－4＞ ，即m＋n＞ ，故⑤错误.∴正确的有4个.
x … －2 －1 0 1 2 …
y＝ax2＋bx＋c … t m －2 －2 n …
8. (2024武汉)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a＜0)经过
(－1，1)，(m，1)两点，且0＜m＜1.下列四个结论：
①b＞0；
②若0＜x＜1，则a(x－1)2＋b(x－1)＋c＞1；
③若a＝－1，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝2无实数解；
④点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，若x1＋x2＞－ ，x1＞x2，总有
y1＜y2，则0＜m≤ .
其中正确的是 (填写序号).
②③④　
【解析】∵y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a＜0)经过(－1，1)，
(m，1)两点，且0＜m＜1，∴对称轴为直线x＝－ ＝ ，－ ＜ ＜0，∵x＝－ ＜0，a＜0，∴b＜0，故结论①错误；
∵0＜m＜1，∴m－(－1)＞1，即(－1，1)，(m，1)两点之间的距离大于1，∵a＜0，∴x＝m－1时，y＞1，∴若0＜x＜1，则a(x－1)2＋b(x－1)＋c＞1，故结论②正确；
由①可得－ ＜ ＜0，∵a＝－1，∴－ ＜ ＜0，即－1＜b＜0，抛
物线解析式为y＝－x2＋bx＋c，设顶点纵坐标为t＝ ＝ ，
∵抛物线y＝－x2＋bx＋c(a，b，c是常数，a＜0)经过点(－1，1)，
∴－1－b＋c＝1，∴c＝b＋2，∴t＝ ＝ ＝ b2＋c＝ b2＋b
＋2＝ (b＋2)2＋1，∵－1＜b＜0， ＞0，对称轴为直线b＝－2，∴当b
＝0时，t取得最大值为2，而b＜0，∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋
c＝2无解，故结论③正确；
∵a＜0，抛物线开口向下，点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，x1＋x2
＞－ ，x1＞x2，总有y1＜y2，又∵x＝ ＞－ ，∴点A(x1，y1)离
直线x＝－ 较远，∴对称轴直线满足－ ＜ ≤－ ，解得0＜
m≤ ，故结论④正确.
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

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