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2026中考人教数学一轮复习 新考向情景题 讲解课件
2026中考人教数学一轮复习 考点突破 分层讲练
精讲本 导图梳理 考点精讲 针对训练
第三章　函　数
微专题　二次函数中的线段、面积问题
分层精讲本
2026湖北数学
一阶　函数微技能
例　　　　　　　　 如图①，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，连接BC，P是直线BC上方抛物线上一点，设点P的横坐标为m.
一题多设问
(1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标
为 ，直线BC的解析式为 ；
(－1，0)　
(3，0)　
(0，3)　
y＝－x＋3　
图①
【解法提示】当y＝0时，得－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，
∵点A在点B左侧，∴A(－1，0)，B(3，0)，当x＝0时，y＝3，
∴C(0，3)，设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将B，C两点坐标
代入，得 ，解得 .
∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.
图①
能力点一　设函数解析式上的动点坐标
(2)点P的坐标为 (用含m的代数式表示)，m的取
值范围为 ；
(m，－m2＋2m＋3)　
0＜m＜3　
图①
能力点二　表示竖直方向的线段长
(3)如图②，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，则点D的坐标
为 ，点E的坐标为 ；PD的长为
，PE的长为 ；(用含m的代数式表示)；
图②
(m，0)　
(m，－m＋3)　
－m2＋
2m＋3　
－m2＋3m　
方法总结
特点：竖直方向直线上点的横坐标相等.
计算方法：结合函数图象，用上方点的纵坐标减去下方点的纵坐标可得
线段长.
能力点三　表示水平方向的线段长
(4)如图③，过点P作PF∥x轴分别交直线BC于点F，交y轴于点G，交
抛物线于另一点H，则点F的坐标为 ，点
G的坐标为 ，点H的坐标为
；并直接写出PF，PG，PH的长；(用含m的代数式表示)
(m2－2m，－m2＋2m＋3)　
(0，－m2＋2m＋3)　
(2－m，－m2＋
2m＋3)　
图③
解：PF＝－m2＋3m，PG＝m，PH＝2m－2；
方法总结
特点：水平方向直线上点的纵坐标相等.
计算方法：结合函数图象，用右侧点的横坐标减去左侧点的横坐标可得
线段长.
能力点四　表示斜线段的线段长
与y轴交于点C，连接BC，P是直线BC上方抛物线上一点，设点P的横
坐标为m.
(5)如图④，过点P作PM⊥BC于点M，用含m的代数式表示点M的坐标
及PM的长；
图④
解：如解图，过点P作PN⊥x轴于点N，
交BC于点Q，∴∠QNB＝90°，
∵PM⊥BC，∴∠PMQ＝90°，
∴∠PMQ＝∠QNB，
解图
又∵∠MQP＝∠NQB，
∴△PMQ∽△BNQ，
∴∠MPQ＝∠NBQ，
由(1)易得∠NBQ＝45°，
∴∠MPQ＝45°，
由(3)得PQ＝－m2＋3m，
∴PM＝ (－m2＋3m)，
解图
过点M作MI⊥PN于点I，
∴PI＝MI＝ PM＝ (－m2＋3m)，点I的横坐标为
m，
∴点M的纵坐标为－m2＋2m＋3－ ·(－m2＋3m)＝
－ m2＋ m＋3，
点M的横坐标为m－ (－m2＋3m)＝ m2－ m，
∴M( m2－ m，－ m2＋ m＋3)；
解图
方法总结
遇到斜直线的解题步骤
第一步：过动点作x轴的垂线，构造直角三角形；
第二步：找与其相似的直角三角形(一般情况下，二次函数图象与坐标轴
交点构成的直角三角形与其相似)；
第三步：利用三角函数或相似列等量关系求解.
能力点五　表示三角形、四边形的面积
与y轴交于点C，连接BC，P是直线BC上方抛物线上一点，设点P的横坐标为m.
(6)如图⑤，连接PC，PB，分别求出△PBC和四边形OBPC的面积(用含m的式子表示).
图⑤
解：由(1)易得OB＝3，OC＝3，BC＝3 ，由(5)得PM＝ (－m2＋3m)，
∴由题图④，得S△PBC＝ BC·PM＝－ m2＋ m(0＜m＜3)，
∵S△OBC＝ OB·OC＝ ，
∴S四边形OBPC＝S△PBC＋S△OBC＝－ m2＋ m＋ (0＜m＜3).
1. 如图，直线y＝－2x＋6与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线C1：y
＝ax2＋x＋c经过点A，B.
二阶 综合应用
(1)求抛物线C1的解析式；
解：(1)令－2x＋6＝0，解得x＝3，
∴A(3，0)，令x＝0，得y＝6，∴B(0，6)，
∵抛物线y＝ax2＋x＋c经过点A，B，
∴ ，解得 ，
∴抛物线C1的解析式为y＝－x2＋x＋6；
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直线y＝－2x＋6与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线C1：y＝ax2＋x＋c经过点A，B.
(2)点P为抛物线C1在第一象限内的一个动点，点P的横坐标为m，作PM⊥x轴于点M，交直线y＝－2x＋6于点N. 若PN长度随m增大而增大，求m的取值范围.
解：(2)∵PM⊥x轴，点P的横坐标为m，
∴点N的横坐标为m，∴PN＝yP－yN＝－m2＋m＋6－(－2m＋6)＝－m2＋3m＝－(m－ )2＋ ，
∵－1＜0，∴当m≤ 时，PN长度随m的增大而增大，
又∵P为抛物线C1在第一象限内的一个动点，
∴0＜m＜3，∴m的取值范围是0＜m≤ .
2. 　　　　　　　　　 定义：在平面直角坐标系xOy中，若点P，Q的坐标分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则称｜x1－x2｜＋｜y1－y2｜为点P，Q的“绝对距离”，表示为dPQ. 已知点P(1，2)，Q(a，b)为二次函数y＝x2－mx＋n图象上的点，且点Q在点P的右边.当b＝2时，dPQ＝4.
(1)求抛物线的解析式；
新考法
新定义
解：(1)由题意可得P(1，2)，Q(a，2)，dPQ＝4，
∴｜1－a｜＋｜2－2｜＝4，解得a＝5或a＝－3，
∵点Q在点P的右边，∴a＝5，∴Q(5，2)，
∴将P(1，2)，Q(5，2)代入y＝x2－mx＋n中，
得 ，解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝x2－6x＋7；
已知点P(1，2)，Q(a，b)为二次函数y＝x2－mx＋n图象上的点，且点
Q在点P的右边.当b＝2时，dPQ＝4.
(2)当b＜2时，求dPQ的最大值.
解：(2)∵二次函数的解析式为y＝x2－6x＋7，
∴b＝a2－6a＋7，
∵b＜2，
∴a2－6a＋7＜2，即a2－6a＋5＜0，
由图象法解得1＜a＜5，
∵dPQ＝｜a－1｜＋｜a2－6a＋7－2｜
＝｜a－1｜＋｜a2－6a＋5｜
＝a－1－a2＋6a－5
＝－a2＋7a－6
＝－(a－ )2＋ ，
∵－1＜0，
∴当a＝ 时，dPQ取得最大值，最大值为 .
Thanks!
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