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2026中考人教数学一轮复习 新考向情景题 讲解课件
2026中考人教数学一轮复习 考点突破 分层讲练
精讲本 导图梳理 考点精讲 针对训练
第三章　函　数
微专题　二次函数最值问题
分层精讲本
2026湖北数学
例1　　　　　　　 已知二次函数y＝－x2＋6x－5.
(1)该二次函数图象的对称轴为直线x＝ ；
(2)当1≤x≤3时，y的最大值为 ，最小值为 ；当3≤x≤6时，
y的最大值为 ，最小值为 ；
【解法提示】∵该二次函数的对称轴为直线x＝3，且－1＜0，∴当
1≤x≤3时，y随x的增大而增大，∴当x＝3时有最大值，为4，当x＝1
时有最小值，为0；当3≤x≤6时，y随x的增大而减小，∴当x＝3时有
最大值，为4，当x＝6时有最小值，为－5.
3　
4　
0　
4　
－5　
一阶　方法训练
一题多设问
(3)当－1≤x≤5时，y的最大值为 ，最小值为 ；
【解法提示】∵该二次函数的对称轴为直线x＝3，∴｜3－(－1)｜＞
｜5－3｜，对称轴在该取值范围之间，∵a＝－1＜0，∴当x＝－1时取得最小值为－12；当x＝3时有最大值为4.
4　
－12　
已知二次函数y＝－x2＋6x－5.
(4)当m≤x≤4时，y有最大值4，最小值3，求实数m的取值范围；
解：令y＝3，则－x2＋6x－5＝3，
解得x＝2或x＝4，
∵对称轴为直线x＝3，∴当x＝3时，y＝4，当m≤x≤4时，y有最大值
为4，最小值为3，
∴实数m的取值范围为2≤m≤3；
已知二次函数y＝－x2＋6x－5.
(5)当1≤x≤n时，函数的最大值与最小值的差为4，求n的取值范围.
解：令x＝1，解得y＝0，
∴函数过点(1，0)，
∵对称轴为直线x＝3，
∴抛物线经过点(5，0)，
由题意，当1＜n＜3 时，
当x＝1时，取得最小值，当x＝n时，取得最大值，
∴最大值与最小值的差为(－n2＋6n－5)－0＝－n2＋6n－5＝4，
解得n1＝n2＝3，不符合题意，舍去；
当3≤n≤5 时，当x＝1时，取得最小值，当x＝3时，取得最大值，
∴最大值与最小值的差为4－0＝4，符合题意；
当n＞5时，当x＝n时，取得最小值，当x＝3时，取得最大值，
∴最大值与最小值的差为4－(－n2＋6n－5)＝n2－6n＋9＝4，
解得 n1＝1或 n2＝5，不符合题意，舍去.
综上所述，n的取值范围为3≤n≤5.
例2　　　　　　　　 已知关于x的二次函数y＝x2－2tx＋1.
(1)该二次函数图象的对称轴为直线x＝ ；(用含t的代数式表示)
(2)当t≤x≤4时，则y的最小值为 ，最大值为 ；
(用含t的代数式表示)
【解法提示】∵对称轴为直线x＝t，∴当t≤x≤4时，y随x的增大而增
大，把x＝t代入二次函数y＝x2－2tx＋1得，y＝－t2＋1；把x＝4代入
y＝x2－2tx＋1得，y＝－8t＋17，则y的最大值为－8t＋17，最小值为
－t2＋1.
t　
－t2＋1　
－8t＋17
一题多设问
(3)当－3≤x≤t时，则y的最小值为 ，最大值为 ；
(用含t的代数式表示)
【解法提示】∵对称轴为x＝t，∴－3≤x≤t在对称轴左侧，∴y随x的
增大而减小，把x＝t代入二次函数y＝x2－2tx＋1得，y＝－t2＋1；把x
＝－3代入y＝x2－2tx＋1得，y＝6t＋10，则y的最大值为6t＋10，最小
值为－t2＋1.
－t2＋1　
6t＋10　
已知关于x的二次函数y＝x2－2tx＋1.
(4)当－1≤x≤1时，函数有最大值3t，求t的值.
解：由(1)得对称轴为直线x＝t，∵1＞0，
∴把x＝t代入，得最小值为－t2＋1，
∴①当t≥1时，在－1≤x≤1中，y随x的增大而减小，
∴当x＝－1时，y有最大值2＋2t＝3t，解得t＝2；
②当t≤－1时，在－1≤x≤1中，y随x的增大而增大，
∴当x＝1时，y有最大值2－2t＝3t，解得t＝ (舍去)；
③当－1≤t≤0时，在x＝1时，y有最大值2－2t＝3t，解得t＝ (舍
去)；
④当0＜t≤1时，在x＝－1时，y有最大值2＋2t＝3t，解得t＝2(舍去).
综上所述，t的值为2.
方法总结
根据取值范围与对称轴位置关系确定最值
确定抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在m≤x≤n(a＜0时，对应最值情况相
反)的最值，需分情况讨论：
(1)如图①，当对称轴在x＝m左侧时(－ ＜m)，y在x＝m时取得最小
值，在x＝n时取得最大值；
图①
(2)当对称轴在m，n之间时：
如图②，若更靠近m时(m＜－ ＜ )，y在x＝－ 时取得最小值
(顶点纵坐标)，在x＝n时取得最大值；
图②
如图③，若更靠近n时(＜－ ＜n)，y在x＝－ 时取得最小值(顶
点纵坐标)，在x＝m时取得最大值；
图③
(3)如图④，当对称轴在n右侧时(－ ＞n)，y在x＝n时取得最小值，
在x＝m时取得最大值.
图④
1. 抛物线y＝ax2－2ax＋1不经过第三象限，当1≤x≤4时，函数的最大
值为9，则a的值为(　A　)
A. 1 B. －1
【解析】∵抛物线y＝ax2－2ax＋1不经过第三象限，∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝－ ＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，∴当x＝4时，y＝9，∴将(4，9)代入得9＝16a－8a＋1，解得a＝1.
A
二阶　综合应用
2. 已知关于x的二次函数y＝x2－2ax＋3，当1≤x≤3时，函数有最小值
2a，则a的值为 .
【解析】函数的对称轴为直线x＝－ ＝－ ＝a，∵当1≤x≤3时，
函数有最小值2a，∴当a≤1时，x＝1时函数取得最小值，即1－2a＋3
＝2a，解得a＝1；当1＜a＜3时，x＝a时函数取得最小值，即a2－
2a·a＋3＝2a，整理得，a2＋2a－3＝0，解得a1＝1(舍去)，a2＝－3(舍
去)；当a≥3时，x＝3时函数取得最小值，即9－6a＋3＝2a，解得a＝
(舍去)，综上所述，a的值为1.
1　
3. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)经过点
A(3，0)，与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称.
(1)求该抛物线的解析式；
解：(1)∵抛物线经过点A(3，0)，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴－ ＝1，∴b＝－2a，∴y＝ax2－2ax＋3，
将点A(3，0)代入y＝ax2－2ax＋3中，得9a－6a＋3＝0，
解得a＝－1，
∴b＝2，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；
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已知抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)经过点A(3，0)，与y轴交于点B，且关
于直线x＝1对称.
(2)当－1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t－1，求t的值.
解：(2)当x＝－1时，y＝0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴点(－1，0)关于对称轴对称的点是(3，0)，
当－1＜t＜1时，y随x增大而增大，
∴当x＝－1时，y＝0，取得最小值，
当x＝t时，y取得最大值，
∴2t－1＝－t2＋2t＋3，
解得t＝－2或t＝2，均不符合题意，舍去；
当1≤t≤3时，
当x＝1时，y取得最大值，为4＝2t－1，
解得t＝2.5，
∴t的值为2.5.
4. (2025河南)在二次函数 y＝ax2＋bx－2中，x与y的几组对应值如下表
所示.
x … －2 0 1 …
y … －2 －2 1 …
(1)求二次函数的表达式；
解：(1)把点(－2，－2)，(1，1)代入y＝ax2＋bx－2，
得 ，解得 ，
∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－2；
在二次函数 y＝ax2＋bx－2中，x与y的几组对应值如下表所示.
(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系(如图)中画出
二次函数的图象；
解：(2)∵y＝x2＋2x－2＝(x＋1)2－3，
∴二次函数图象的顶点坐标为(－1，－3)，对称轴为直线x＝－1，
∴点(1，1)关于直线x＝－1的
对称点为(－3，1)，
画出函数图象，如解图①；
解图①
在二次函数 y＝ax2＋bx－2中，x与y的几组对应值如下表所示.
(3)将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对
应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值.
解：(3)n的值为1＋ 或4－ .
【解法提示】根据题意得，平移后的抛物线的解析式为y＝(x＋1－n)2－
3，∴平移后的抛物线的对称轴为直线x＝n－1， ①当n－1＜0，即n＜
1时，x＝0，y取得最小值，为y＝(1－n)2－3，x＝3，y得取最大值，
为y＝(4－n)2－3，则(4－n)2－3－(1－n)2＋3＝5，
解得n＝ ＞1(舍去)；②当n－1＞3，即n＞4时，
x＝0，y取得最大值，为y＝(1－n)2－3，x＝3，
y取得最小值，为y＝(4－n)2－3，则(1－n)2－3－
(4－n)2＋3＝5，解得n＝ ＜4(舍去)；
③当0≤n－1≤3，即1≤n≤4时，分为三种情况
讨论，情况1：当平移后抛物线的对称轴在直线
x＝ 左侧时，如解图②，此时y的最小值为－
3，0≤n－1＜ ，即1≤n＜ ，当x＝3时，y取
得最大值，为(3＋1－n)2－3＝n2－8n＋13，
∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，
∴n2－8n＋13－(－3)＝5，解得n＝4－ 或n＝4
＋ (舍去)；
解图②
情况2：当n－1＝ ，即n＝ 时，此时y的最小值为－3，当x＝0或x＝3时，y取得最大值，为(－ )2－3，∵(－ )2－3－(－3)＝ ≠5，
∴不符合题意；情况3：当平移后抛物线对称轴在直线x＝ 右侧时，如解图③，此时y的最小值为－3， ＜n－1≤3，
即 ＜n≤4，当x＝0时，y取得最大值，为
(1－n)2－3＝n2－2n－2，∵图象对应的函数
最大值与最小值的差为5，∴n2－2n－2－(－3)
＝5，解得n＝1＋ 或n＝1－ (舍去)，
综上所述，n的值为1＋ 或4－ .
解图③
Thanks!
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