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2026中考人教数学一轮复习 新考向情景题 讲解课件
2026中考人教数学一轮复习 考点突破 分层讲练
精讲本 导图梳理 考点精讲 针对训练
第三章　函　数
微专题　二次函数整点问题
分层精讲本
2026湖北数学
例　在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做
整点.
一阶　方法训练
(1)已知抛物线y＝x2－2，将该抛物线与x轴围成的区域(包含边界)记作
W，求区域W内整点的个数；
图①
解：(1)∵抛物线的解析式为y＝x2－2，
∴令y＝0，解得x1＝ ，x2＝－ ，
如解图①，当－ ≤x≤ 时，在x轴上有
(－1，0)，(0，0)，(1，0)三个整点；
在区域W内部有(0，－1)一个整点；
在抛物线上有(－1，－1)，(0，－2)，(1，－1)三
个整点，
∴区域W内(包含边界)整点的个数为7个；
解图①
在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.
(2)将直线y＝x与抛物线y＝x2－x－3围成的封闭区域(不包含边界)记作
W，求区域W内整点的个数；
图②
解：根据题意，联立 ，
解得 或 ，
如解图②所示，画出直线y＝x与抛物线y＝x2－x
－3的图象，
在区域W内有(0，－2)，(0，－1)，(1，0)，
(1，－1)，(1，－2)，(2，0)，(2，1)共7个整点，
∴区域W内(不包含边界)整点的个数为7个；
解图②
在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.
(3)将抛物线y＝x2－4x＋3沿x轴翻折得到新的抛物线y1，将原抛物线与
新抛物线围成的封闭区域(包含边界)记为W，求区域W内整点的个数；
图③
解：抛物线y＝x2－4x＋3沿x轴翻折得到新的抛物线y1＝－x2＋4x－3，
如解图③所示，画出抛物线y＝x2－4x＋3与抛物线
y1的图象，由图象可知，两抛物线交点为(1，0)，
(3，0)，∴区域W内(包含边界)有
(1，0)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)，
(3，0)，共5个整点，
∴区域W内(包含边界)整点的
个数为5个；
解图③
在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.
(4)[2024省卷24(3)题考法]抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于点A，B(点A
在点B的左侧)，顶点为C，将抛物线沿x轴方向向左平移n(n＞0)个单位
长度得到新抛物线y'，y'与△ABC围成的区域(不包含边界)记为W，若区
域W内恰有2个整点，求n的取值范围.
图④
解：∵原抛物线解析式为y＝x2－2x－3，
易得A(－1，0)，B(3，0)，C(1，－4)，∴△ABC内部区域(不含边界)有
(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(1，－2)，(1，－3)，共5个整点，如解图
④所示.
由题可得，新抛物线为y'＝(x＋n)2－2(x＋n)－3，且区域W内恰有2个
整点，则考虑代入临界点，
当y'经过点(1，－2)时，－2＝(1＋n)2－2(1＋n)－3，
解得n＝ (负值已舍去)，
当y'经过点(1，－1)时，－1＝(1＋n)2－2(1＋n)－3，
解得n＝ (负值已舍去)，
∴n的取值范围为 ≤n＜ .
解图④
方法总结
1. 求整点个数一般步骤：
(1)根据函数的解析式画出函数图象；
(2)选取区域内为整数的横坐标，依次确定纵坐标可以取得整数的点，若
包含边界则需加上边界上的整点；
(3)边界上的整点确定方法：在自变量x的取值范围内取整数，代入函数
解析式，确定纵坐标是否为整数值；
(4)写出这些整点，确定个数.
2. 已知整点个数求字母的取值范围一般步骤：
(1)由二次函数解析式确定图象的对称轴及顶点坐标；
(2)取特殊点(顶点、交点、对称轴上的点)，使得区域内的整点个数接近题
目所给的整点个数，将特殊点代入解析式求出字母的值；
(3)画出抛物线；
(4)根据题干描述，大致画出封闭区域，根据抛物线的特征，移动抛物线
使其满足题目所给整点的个数；
(5)找临界点代入解析式中确定字母的值，结合二次函数的性质确定字母
的取值范围.
1. 如图，一次函数y＝－x＋3的图象交x轴于点B，交y轴于点
C，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y
轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式；
二阶　综合应用
解：(1)∵直线y＝－x＋3交x轴于点B，交y轴于点C，
∴点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，3).
∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点B，与y轴交于点C，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3；
抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交
于点C.
(2)在平面直角坐标系xOy中，我们称横、纵坐标都是整数的点为整点，
则直线BC和抛物线围成的封闭图形中(包括边界)共有多少个整点？写出
整点坐标.
解：(2)∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
∴抛物线的顶点坐标为(2，－1).
易知抛物线y＝x2－4x＋3与x轴的两个交点坐标分别为A(1，0)，B(3，0)，
∵直线y＝－x＋3交x轴于点B(3，0)，交y轴于点C(0，3)，
∴线段BC上(不包括端点B，C)的整点为(1，2)，(2，1)，
封闭图形中抛物线边界上的整点为A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)，顶点
(2，－1)，
封闭图形内部的整点为(1，1)和对称轴与x轴的交点(2，0)，
∴直线BC和抛物线围成的封闭图形中(包括边界)共有8个
整点，坐标分别是(1，2)，(2，1)，(1，0)，(3，0)，(0，3)，
(2，－1)，(1，1)，(2，0).
2. (2025襄阳模拟改编)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－
3a(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.
(1)求A，B两点的坐标；
解：(1)由题意y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，
当y＝0时，得a(x＋1)(x－3)＝0，
∵a≠0，
∴x＝－1或x＝3，
∴A(－1，0)，B(3，0)；
抛物线y＝ax2－2ax－3a(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左
侧)，与y轴交于点C.
(2)我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点.若抛
物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内
(不含边界)恰有6个整点，试结合函数图象直接写出a
的取值范围.
解：(2)a的取值范围是－ ≤a＜－ 或 ＜a≤ .
【解法提示】如解图，当a＝－1时，点C的坐标为(0，3)，顶点坐标为(1，4)，此时抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内(不含边界)恰有7个整点，同理，当a＝1时，点C的坐标为(0，－3)，顶点坐标为(1，－4)，此时抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内(不含边界)恰有7个整点，若要使抛物线在点A，B之间的部分与线
段AB所围成的区域内(不含边界)恰有6个整点，
解图
分两种情况讨论：①当a＜0时，C(0，－3a)，顶点
(1，－4a)应满足2＜－3a≤3且2＜－4a≤3，解得
－ ≤a＜－ ；②当a＞0时，C(0，－3a)，顶点
(1，－4a)应满足－3≤－3a＜－2且－3≤－4a＜－
2，解得 ＜a≤ ；∴a的取值范围是－ ≤a＜－
或 ＜a≤ .
解图
Thanks!
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