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2026中考人教数学一轮复习 新考向情景题 讲解课件
2026中考人教数学一轮复习 考点突破 分层讲练
精讲本 导图梳理 考点精讲 针对训练
第三章　函　数
微专题　二次函数交点问题
分层精讲本
2026湖北数学
一阶　函数微技能
例1　(1)抛物线y＝x2＋c的对称轴为 ，顶点坐标为 ，
抛物线的顶点始终在 上，在图①的平面直角坐标系中画出草图；
y轴　
(0，c)　
y轴　
解：画出草图如解图①所示；
解图①
方法总结
对于二次函数的解析式，当参数在常数项时，则对称轴与开口方向确
定，函数图象沿对称轴上下平移.
(2)已知抛物线y＝x2－4x＋a＋3，配方后可得解析式为
，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，抛物线的
顶点在直线 上，在图②的平面直角坐标系中画出草图；
解：画出草图如解图②所示；
解图②
y＝(x－2)2＋a
－1　
x＝2　
(2，a－1)　
x＝2　
(3)抛物线y＝(x－h)2－1的对称轴为直线 ，顶点坐标
为 ，顶点在直线 上，在图③的平面直角坐标
系中画出草图；
x＝h　
(h，－1)　
y＝－1　
解：画出草图如解图③所示；
解图③
方法总结
当解析式为顶点式时，可直接找出对称轴及顶点坐标，函数图象的平移
实质是顶点的平移，找出顶点坐标中的变量和不变量，即可判断函数图
象的运动状态.
(4)抛物线y＝(x－t)(x－t－4)与x轴的交点坐标是 ，
在x轴上截得的线段长度为 ，对称轴为直线 ，顶
点在直线 上，在图④的平面直角坐标系中画出草图；
解：画出草图如解图④所示；
解图④
(t，0)和(4＋t，0)
4　
x＝2＋t　
y＝－4　
方法总结
当解析式为交点式时，可判断出二次函数图象与x轴的交点坐标及两交点
之间的距离，将其化为顶点式，找出顶点坐标中的变量和不变量，即可
判断函数图象的运动状态.
(5)抛物线y＝x2－2tx＋t2＋t，配方后可得解析式为 ，
对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，抛物线的顶点在
直线 上，在图⑤的平面直角坐标系中画出草图.
图⑤
y＝(x－t)2＋t
x＝t　
(t，t)　
y＝x　
解：画出草图如解图⑤所示.
解图⑤
方法总结
当解析式为一般式时，将其化为顶点式，找出顶点横坐标与纵坐标之间
的关系，即可判断函数图象的运动状态.
例2　　　　　　　　 如图，在平面直角坐标系中，点A(－2，5)，
B(－2，2)，C(3，2)，连接AB，AC，BC.
一题多设问
(1)若抛物线y＝x2＋2x＋a与线段AB有一个交点，则a的取值范围
为 ；
【解析】当抛物线经过点A时，将A(－2，5)代入，得5＝(－2)2＋2×(－2)＋a，解得a＝5，当抛物线经过点B时，将B(－2，2)代入，得2＝(－2)2＋2×(－2)＋a，解得a＝2，∵抛物线y＝x2＋2x＋a与线段AB有一个交点，∴a的取值范围为2≤a≤5；
2≤a≤5　
(2)若抛物线y＝(x－b)2－2与线段BC有两个交点，则b的取值范围
为 ；
【解析】当抛物线经过点B时，将B(－2，2)代入，得2＝(－2－b)2－2，解得b＝－4或b＝0，当抛物线经过点C时，将C(3，2)代入，得2＝
(3－b)2－2，解得b＝1或b＝5，∵抛物线与线段BC有两个交点，∴b的取值范围为0≤b≤1.
0≤b≤1　
(3)若抛物线y＝(x－c)(x－c－2)与线段AC只有一个交点，则c的取值范
围为 .
【解析】当抛物线经过点A时，将A(－2，5)代入，得5＝(－2－c)(－2－c－2)，解得c＝－3－ 或c＝－3＋ ，当抛物线经过点C时，将C(3，2)代入，得2＝(3－c)(3－c－2)，解得c＝2＋ 或c＝2－ ，∵抛物线与线段AC有一个交点，∴c的取值范围为2－ ＜c≤2＋ 或－3－ ≤c＜－3＋ .
2－ ＜c≤2＋ 或－3－ ≤c＜－3＋ 　
题后反思
若已知抛物线y＝ (x－1)2－2，将线段BC向下平移m(m＞0)个单位，针
对m的不同取值，抛物线与线段BC的交点情况是什么？解：将线段BC
向下平移，当点B在该抛物线上时，线段BC与抛物线有一个交点，将x
＝－2代入y＝ (x－1)2－2，得y＝1，此时m＝1；将线段BC继续向下平
移，当点C在该抛物线上时，抛物线与线段BC有两个交点，将x＝3代入
y＝ (x－1)2－2，得y＝－ ，此时m＝ ；
解：将线段BC向下平移，当点B在该抛物线上时，线段BC与抛物线有一
个交点，将x＝－2代入y＝ (x－1)2－2，得y＝1，此时m＝1；将线段BC
继续向下平移，当点C在该抛物线上时，抛物线与线段
BC有两个交点，将x＝3代入y＝ (x－1)2－2，得
y＝－ ，此时m＝ ；
将线段BC继续向下平移，当线段BC经过该抛物线的顶点时，抛物线与
线段BC有一个交点，该抛物线的顶点为(1，－2)，此时m＝4；故当
1≤m＜ 或m＝4时，线段BC与抛物线有一个交点；当 ≤m＜4时，线
段BC与抛物线有两个交点；当0＜m＜1或m＞4时，线段BC与抛物线没
有交点.
将线段BC继续向下平移，当线段BC经过该抛物线的顶点时，抛物线与
线段BC有一个交点，该抛物线的顶点为(1，－2)，此时m＝4；故当
1≤m＜ 或m＝4时，线段BC与抛物线有一个交点；当 ≤m＜4时，线
段BC与抛物线有两个交点；当0＜m＜1或m＞4时，线段BC与抛物线没
有交点.
方法总结
当遇到二次函数图象与线段的交点问题时，可求出线段所在直线的解析
式，联立方程，利用一元二次方程根的判别式求解，也可将线段端点坐
标代入二次函数的解析式求解.
1. 在平面直角坐标系中，已知线段AB的端点坐标为(1，8)和(3，8)，若
抛物线y＝ax2与线段AB有交点，则a可取的整数值有 个.
8　
二阶　综合应用
2. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(0，3)，(3，3)，
若抛物线y＝x2－x＋c与线段AB有交点，则c的取值
范围为 .
－3≤c≤
3. 已知直线AC：y＝x＋3，将抛物线y＝－(x＋1－m)2＋4中y随x增大
而增大的部分记为图象G，若图象G与直线AC只有一个交点，则m的取
值范围为 .
m＜2或m＝ 　
【解析】∵抛物线y＝－(x＋1－m)2＋4，∴顶点的坐标为(m－1，4)，若
图象G与直线AC只有一个交点，需分两种情况讨论，①当x＝m－1
时，y＞yAC，即4＞m－1＋3，解得m＜2；②y＝yAC，即－(x＋1－m)2
＋4＝x＋3，整理，得x2＋(3－2m)x＋m2－2m＝0，∴b24ac＝
(3－2m)2－4(m2－2m)＝0，解得m＝ ；综上所述，若图象G与直线AC
只有一个交点，m的取值范围为m＜2或m＝ .
4. 已知抛物线y＝x2－2bx＋b2－1，点A(－2，3)，点B(3，3).若该抛物
线与线段AB有两个交点，则b的取值范围为 .
0≤b≤1　
【解析】如解图，分两种情况：①当抛物线经过点A时，将点A(－2，3)
代入y＝x2－2bx＋b2－1中，得3＝4＋4b＋b2－1，解得b＝0或b＝－
4，当b＝0时，y＝x2－1，抛物线在对称轴的左侧部分过点A，此时抛物
线与线段AB有两个交点；当b＝－4时，y＝x2＋8x＋15，抛物线在对称
轴的右侧部分过点A，此时抛物线与线段
AB只有一个交点，不符合题意，舍去；
解图
②当抛物线经过点B时，将点B(3，3)代入y＝x2－2bx＋b2－1中，得3＝9－6b＋b2－1，解得b＝1或b＝5，当b＝1时，y＝x2－2x，抛物线在对称轴的右侧部分过点B，此时抛物线与线段AB有两个交点；当b＝5时，y＝x2－10x＋24，抛物线在对称轴的左侧部分过点B，此时抛物线与线段AB只有一个交点，不符合题意，舍去，
∵抛物线的对称轴为直线x＝－ ＝b，
∴当0≤b≤1时，该抛物线与线段AB有两个交点，
∴b的取值范围为0≤b≤1.
解图
5. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D的坐标分别为
(－1，1)，(2，1)，则二次函数y＝x2－2mx＋m2＋m＋1的图象与矩形
ABCD有交点时，m的取值范围是 .
≤m≤0　
几何画板动态演示
温馨提示：点击查看原文件
【解析】y＝x2－2mx＋m2＋m＋1＝(x－m)2
＋m＋1，∴二次函数图象的顶点坐标是
(m，m＋1)，a＝1，图象开口向上，开口大小
一定，则此二次函数图象的顶点在直线y＝x＋1
上运动，如解图①，当二次函数经过点A
(－1，1)时，m取最小值，代入得1＋2m＋m2＋
m＋1＝1，解得m1＝ ，m2＝
(舍去)，则m的最小值是 ；
解图①
如解图②，当二次函数图象的顶点为矩形与y轴的交
点(0，1)时，m取最大值，代入得m2＋m＋1＝1，
解得m1＝0，m2＝－1(舍去)，∴ ≤m≤0.
解图②
Thanks!
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