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2026中考人教数学一轮复习 新考向情景题 讲解课件
2026中考人教数学一轮复习 考点突破 分层讲练
精讲本 导图梳理 考点精讲 针对训练
第四章　三角形
微专题　等面积法
分层精讲本
2026湖北数学
一阶　方法训练
例1　如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的高，若AB＝
2 ，AD＝2，CD＝4，求CE的长.
解：在Rt△ABD中，AB＝2 ，AD＝2，
由勾股定理可得BD＝4 ，
∵CD＝4，∴AC＝AD＋CD＝6，
∵BD，CE分别是边AC，AB上的高，
∴S△ABC＝ AB·CE＝ AC·BD，
∴2 ·CE＝6×4 ，∴CE＝ .
方法总结
基本模型——一般三角形
条件：如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，CD⊥AB于点D.
结论：BC·AE＝AB·CD.
例2　如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高，E是BC
上一点，连接DE，∠DAC＝∠CED，若AC＝3，BC＝4，求DE的长.
解：∵CD是边AB上的高，∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠DAC＝∠B＋∠DCE＝90°，
∴∠DAC＝∠DCE，
∵∠DAC＝∠CED，
∴∠DCE＝∠CED，
∴CD＝DE，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
由勾股定理，得AB＝5，
∴ AC·BC＝ AB·CD，
即3×4＝5CD，解得CD＝ ，
∴DE＝CD＝ .
方法总结
拓展模型——直角三角形
条件：如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于点D.
结论：AC·BC＝AB·CD.
例3　如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝45°，P为BC上一
点，且PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，求PM＋PN的值.
解：如解图，过点C作CD⊥AB于点D，连接AP，
在Rt△ACD中，∠DAC＝45°，AC＝4，
∴CD＝AC· sin ∠DAC＝4× ＝2 ，
∵S△ABC＝S△ABP＋S△ACP，
∴ AB·CD＝ AB·PM＋ AC·PN，
∵AB＝AC，∴CD＝PM＋PN，
∴PM＋PN＝2 .
解图
方法总结
拓展模型——等腰三角形
条件：如图，在△ABC中，AB＝AC，P为BC上一点，PD⊥AB于点
D，PF⊥AC于点C，CE⊥AB于点E.
结论：CE＝PD＋PF.
例4　如图，P是等边△ABC内一点，BD是△ABC的高，PM，PN，
PQ分别与直线AB，AC，BC垂直，垂足分别为M，N，Q，猜想此时
线段BD，PM，PN，PQ之间的数量关系，并说明理由.
解：BD＝PM＋PN＋PQ，理由如下：
如解图，连接PA，PB，PC，
∵BD是△ABC的高，PM，PN，PQ分别与直线AB，AC，BC垂直，
解图
∴S△ABC＝ AC·BD，S△PAB＝ AB·PM，S△PAC＝
AC·PN，S△PBC＝ BC·PQ，
∵S△ABC＝S△PAB＋S△PAC＋S△PBC，
∴ AC·BD＝ AB·PM＋ AC·PN＋ BC·PQ，
∵AB＝AC＝BC，
∴BD＝PM＋PN＋PQ.
解图
方法总结
拓展模型——等边三角形
条件：如图，在等边三角形ABC中，P为其内部一点，PD⊥AB于点
D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，AH⊥BC于点H.
结论：AH＝PD＋PE＋PF.
例5　如图，在菱形ABCD中，AD＝5.对角线AC，BD交于点O，过点
C作CE⊥AB交AB的延长线于点E. 若OA＝4，求CE的长.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD＝2OB，AC＝2OA＝8，AB＝AD＝5，
∴OB＝ ＝3，∴BD＝2OB＝6，
∵CE⊥AB，∴S菱形ABCD＝AB·CE＝ AC·BD，
∴5CE＝ ×8×6，∴CE＝ .
方法总结
拓展模型——菱形
条件：如图，在菱形ABCD中，AH⊥BC于点H，对角线AC，BD交于
点O.
结论：AC·BO＝BC·AH.
二阶　综合应用
1. 如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若DE＝4，DF＝8，则 的值为 　 　.
　
【解析】∵AD是边BC上的中线，∴BD＝CD，∴S△ABD＝S△ACD，∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴ AB·DE＝ AC·DF，
∵DE＝4，DF＝8，∴ ·AB·4＝ ·AC·8，∴2AB＝4AC，∴ ＝ .
2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的高，且AD＝BC＝
4，P为BC上一点，过点P分别作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，
则PE＋PF的值为 .
　
【解析】如解图，连接AP，∵AB＝AC，AD是边BC上
的高，BC＝4，∴BD＝CD＝2，在Rt△ABD中，由勾股
定理得AB＝ ＝2 ，∵PE⊥AB，
PF⊥AC，S△ABP＋S△ACP＝S△ABC，∴ AB·PE＋
AC·PF＝ BC·AD，∴AB·PE＋AC·PF＝BC·AD，
即2 PE＋2 PF＝4×4，∴PE＋PF＝ .
解图
3. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝7，BC＝24，P是△ABC
三条内角平分线的交点，且PD⊥BC于点D，则PD的长为 .
3　
【解析】设PD＝x，∵P是△ABC三条内角平分
线的交点，∴点P到△ABC三边的距离都为x，
∵S△ABP＋S△BCP＋S△ACP＝S△ABC，
∴ AB·x＋ BC·x＋ AC·x＝ AB·BC，
∵AC＝ ＝25，∴x＝ ＝3.
4. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点D作DH⊥BC于
点H，连接OH，若AB＝5，OH＝3，则DH的长为 .
　
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝AB＝5，AC＝2OC，BD＝2OB，AC⊥BD，∵DH⊥BC，∴BD＝2OH＝6，OB＝OH＝3，∴OC＝ ＝4，∴AC＝8，
∵S菱形ABCD＝ AC·BD＝BC·DH，
∴ ×8×6＝5DH，∴DH＝ .
5. 如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6.E为BC上一点，ED平分
∠AEC，求点A到DE的距离.
解：在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝10，AB＝CD＝6，∠B
＝∠C＝90°，
∴∠ADE＝∠CED，
∵ED平分∠AEC，
∴∠AED＝∠CED，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AD＝AE＝10，
在Rt△ABE中，根据勾股定理，得BE＝ ＝ ＝
8，
∴EC＝BC－BE＝10－8＝2，
在Rt△DCE中，根据勾股定理，得DE＝ ＝ ＝
2 ，
设点A到DE的距离为h，则 AD·CD＝ DE·h，
∴h＝ ＝ ＝3 ，
∴点A到DE的距离为3 .
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