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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第四章 图形的认识
4.3 等腰三角形与直角三角形
等腰三角形 等 腰 (边) 三 角 形 等腰三角形 等边三角形
定义 有两边相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫做腰，第三边为底边 三边都相等的三角形是等边三角形
性质 ①等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴； ②等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)； ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”) ①具有等腰三角形的一切性质； ②等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴； ③等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°
判定 ①有两边相等的三角形是等腰三角形； ②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”) ①三边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
图示
面积 (其中a是底边长，h是底边上的高) (a是三角形任意一边长，h是任意一边上的高)
直角三角形 直 角 三 角 形 定义 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.
性 质 (1)直角三角形的两个锐角互余； (2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； (3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； (4)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 常见的变式： ； (5)设a，b为直角三角形的两条直角边长，c为斜边长，r为直角三角形的内切圆半径，R为直角三角形的外接圆半径，那么 .
判 定 (1)有一个角是直角的三角形是直角三角形； (2)有两个角互余的三角形是直角三角形； (3)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足( ，那么这个三角形是直角三角形.
等腰直角三角形 等腰直角三角形 具体内容
图示
性质 (1)具有直角三角形的所有性质；(2)两直角边相等，即AC=BC；(3)两锐角相等且都等于45°
判定 (1)顶角为90°的等腰三角形是等腰直角三角形； (2)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形； (3)有一个角为45°的直角三角形是等腰直角三角形； (4)有两边相等的直角三角形是等腰直角三角形
面积
■考点一　等腰三角形的性质与判定
◇典例1：某平板电脑支架如图所示，，为了使用的舒适性，可调整的大小. 若，则AD的长度为（　　）
A．12 B．18 C． D．15
【答案】B
【解析】【解答】解：过点E作EH⊥AD于点H
∵
∴∠A=∠ADE，AD=2AH
∵∠AED=120°
∴
∵∠AHE=90°
∴
∴
∴AD=2AH=18
故答案为： B
【分析】过点E作EH⊥AD于点H，根据等腰三角形性质可得∠A=∠ADE，AD=2AH，，再根据含30°角的直角三角形可得，再根据勾股定理可得AH，即可求出答案.
◆变式训练
1.如图，在中，，为边上两点，且满足，，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．先求出，根据，得，，则，然后根据即可得出答案．
2.如图，在中，，于点．
（1）若，求的度数；
（2）若点在边上，交的延长线于点，请说明的形状．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：的形状是等腰三角形，理由如下：
∵，
∴；
由（）得，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【解析】【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余可得∠BAD，再根据等腰三角形三线合一性质即可求出答案.
（2）根据直线平行性质可得，则，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
■考点二 等边三角形的性质与判定
◇典例2：如图，是等边三角形，平分，点在的延长线上，且，，则的长为　 　．
【答案】4
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，
∵平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即．
故答案为：4．
【分析】本题考查等边三角形的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质以及等腰三角形的判定。解题时首先根据等边三角形的性质，得出，；因为平分，所以，且根据等边三角形“三线合一”，，即；又因为，所以；根据三角形外角的性质“”，代入已知角度可得，解得，此时，根据等腰三角形“等角对等边”，得出；在中，，根据直角三角形中“30°角所对的直角边是斜边的一半”，可得，而，因此。
◆变式训练
1.正三角形中，，与交于点P，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵正三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选：B．
【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定方法，是解题的关键．证明，进而得到，根据三角形的外角的性质，进行求解即可．
2.如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，过点D作交的延长线于点F．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
【答案】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，
∴．
∵，，
∴，
∴．
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定及性质、平行线的性质和直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定及性质、平行线的性质、直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键．
（1）根据等边三角形的性质可得，然后根据平行线的性质可得，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求出结论；
（2）根据直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半可得，根据等边三角形的判定可证是等边三角形，从而即可求出结论．
■考点三 等腰直角三角形的性质与判定
◇典例3：（2025·广东广州·二模）如图，在中，，，是的角平分线，，垂足为点．若，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：，
，，
是的角平分线，，
，，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
故答案为：．
【分析】本题考查角平分线性质，等腰三角形性质，勾股定理的应用，根据角平分线性质得出，求出，根据勾股定理求出，即可求出答案．
◆变式训练
1.如图，中，，，为边上的高，E，F为，上的点，，若，则的面积为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【解析】【解答】解：在中，，，
∴，
∵为边上的高，
∴，，
∴，
∵，为边上的高，
∴，
∴
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴的面积为
故选B．
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，由等腰三角形三线合一的性质，以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半进一步证明，由全等三角形的性质得出，结合已知条件即可得出，即，再根据三角形面积公式即可得出答案．
2.如图，在直角三角形中，，D在边上，E在边上，且，则 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：在上截取，连接，
设，则由题意得，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5．
【分析】在上截取，连接，先根据三角形的外角性质和直角三角形锐角互余证明，再根据全等三角形的性质证明，最后由求解即可．
■考点四勾股定理
◇典例1：下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（ ）
A．2，3，3 B．2，3，4 C．2，3，5 D．3，4，5
【答案】A
【分析】根据勾股定理求出以较短的两条边为直角边的三角形的斜边的长度，然后与较长的边进行比较作出判断即可．
【详解】解：A、∵，，∴能组成锐角三角形；
B、∵，，∴不能组成锐角三角形；
C、∵，∴不能组成三角形；
D、∵，是直角三角形，∴不能组成锐角三角形．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理求出直角三角形的斜边是解题的关键．
◆变式训练
1.（2025·广东韶关·二模）在平面直角坐标系中，点坐标为，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：点坐标为，
，
以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的负半轴于点，
，
又点位于轴的负半轴，
点的横坐标为，
故选：D．
【分析】本题考查了勾股定理、坐标与图形，熟练掌握勾股定理是解题关键．先利用勾股定理可得，再根据点所在的位置即可得．
2.如图，在中，．小红作图过程如下：以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接，则的长是（ ）
A．4 B．2 C．2 D．3
【答案】A
【解析】【解答】解：过点作，垂足为，如图
根据题意可知，，
，
，
在，，，
，
，
在，，
，
，
．
故选：A．
【分析】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作，垂足为，根据等腰三角形三线合一可推出，再根据30度所对直角边等于斜边的一半求得，然后利用勾股定理求得，，最后由即可求得答案．
■考点五 直角三角形的判定
◇典例1：在中，、、的对边分别为a、b、c，下列所给数据中，不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】A、在中，,,
故是直角三角形，不符合题意；
B、在中，，设，
则，
故是直角三角形，不符合题意；
C、在中，，故是直角三角形，不符合题意；
D、在中，，，
设，
解得：，
，
故不是直角三角形，符合题意；
故选：D
【分析】据三角形内角和定理可得A、D是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出B、C是否是直角三角形．
◆变式训练
1.在下列条件中：①∠A﹣∠B＝90°；②∠A＝∠B﹣∠C；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A＝∠B∠C中，不能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B．
【解析】【解答】解：①当∠A＝100°，∠B＝10°，此时∠C＝70°，该三角形不是直角三角形，故满足∠A﹣∠B＝90°，不能确定△ABC是直角三角形；
②由∠A＝∠B﹣∠C，可得到∠A+∠C＝∠B，该三角形是直角三角形，故满足∠A＝∠B﹣∠C°，能确定△ABC是直角三角形；
③由∠A＝∠B＝2∠C，可得∠A＝∠B＝72°，∠C＝36°，该三角形不是直角三角形，故满足∠A＝∠B＝2∠C不能确定△ABC是直角三角形；
④由∠A＝∠B∠C，可得∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，该三角形是直角三角形，故满足∠A＝∠B∠C，能确定△ABC是直角三角形．
故选：B．
【分析】利用数值法判断①，利用直角三角形的性质判断②，利用三角形的内角和定理通过计算判断③④后得结论．
2.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．
（1）求AD的长；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：，
在Rt△BCD中，由勾股定理得，
（2）△ABC是直角三角形，
理由：由（1）知：AD＝16，
∴AB＝AD+DB＝16+9＝25，
在△ABC中，
∵AC2+BC2＝202+152＝625，AB2＝252＝625，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
【分析】（1）应用勾股定理，求出CD，再运用勾股定理即可求出AD；
判断出AC2+BC2＝AB2，即可判断△ABC为直角三角形．
■考点六 含30°角的直角三角形
◇典例1：如图，在中，，，点为边的中点，，则的长为（　　　）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理可得∠A=30°，由直角三角形斜边上的中线的性质得出AC=2BD=4，再利用含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵∠ABC=90°，∠C=60°，
∴∠A=30°，
∵点D为边AC的中点，BD=2
∴AC=2BD=4，
∴BC=，
故选：C．
【点睛】题目主要考查三角形内角和定理及直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
◆变式训练
1.如图，灯塔在海岛的北偏东方向，一条船从岛出发，由西向东航行海里到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东方向，若这条船继续由西向东航行，则该船与灯塔的最短距离为（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
【答案】D
【解析】【解答】解：依题得：，，，
中，，
，
作交延长线于点，
此时，
中，，
即该船与灯塔的最短距离为海里．
故选：．
【分析】结合方向角可得，，由三角形内角和定理、等角对等边可得，作交延长线于点，再根据含角的直角三角形特征即可得解．
2.如图，在中，，是高，，，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．6 D．12
【答案】D
【解析】【解答】解：∵是高，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故选：D．
【分析】本题主要考查了角直角三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
根据直角三角形锐角互余得到，然后在中运用角直角三角形的性质求解即可．
■考点七 直角三角形斜边上的中线
◇典例1：如图，在中，点D，E分别是，的中点，点F在线段上，且，，，则的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解析】【解答】解：∵
∴，
∵D是的中点，且，
∴，
∴
∵，
∴，
∵点D，E分别是边的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：B．
【分析】本题考查了三角形的中位线定理的应用，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到．利用三角形中位线定理得到即可．
◆变式训练
1.如图，在中，，是边上中线，是的中位线，若，则（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】【解答】解：在中，，是边上中线，，
∴，
∵是的中位线，
∴，
故选：D．
【分析】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟记各性质定理是解题的关键．根据直角三角形斜边上的直线的性质得出的长，再根据三角形中位线定理得出结果．
2.如图，是斜边的中线，E，F分别是，的中点，连接若，，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：，F分别是，的中点，，
，是的中位线，
，
在中，，
，
，
，
故选：B．
【分析】先根据含30度直角三角形的性质和勾股定理求出，再根据三角形中位线定理即可求出．
本题主要考查了含30度直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．
1．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由平行线的性质可得，再由等边对等角并结合三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
2．（2025·中山模拟）如图，等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先根据等腰三角形“等边对等角”的性质以及三角形内角和定理求出，然后由旋转的性质求出，再次根据等腰三角形“等边对等角”的性质以及三角形内角和定理求出，最后即可求得的度数．
3．（2025·广东深圳·模拟预测）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角度数为，则顶角的度数为（ ）
A． B． C．或 D．以上都不对
【答案】C
【解析】【解答】解：如图：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部，由题意可得，则顶角；
如图：当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，由题意可得，
则顶角．
故顶角的度数为或．
故选C．
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键．
分顶角是钝角和锐角两种情况，分别根据题意画图，运用三角形外角的性质和直角三角形两锐角互余即可解答．
4．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在中，，的平分线交于，是的垂直平分线，垂足为．若，则的长为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】【解答】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】本题主要考查含角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质及角平分线的性质，由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得，运用直角三角形中角所对直角边是斜边的一半可得，再利用角平分线的性质定理，从而可求得结论．
5．（2025·广东深圳·三模）某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形，正方形，正方形的面积分别记为，，，若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设图中八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边长为，则：，
由题意，得：，，，
，
，
，
即，
，
故选：A．
【分析】本题考查勾股定理的证明，正方形面积的计算，整式的运算等，掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理结合正方形的面积公式以及面积关系列出等式，即可求解．
6．（2025·拱墅模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点D在AB上，点E在BC上，连接AE、CD、DE，若AE＝AC＝CD，CE＝4，则BD的长为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥BC于点F，过点A作AG⊥BC于点G，如图所示，
则∠AGC=∠CFD=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BDF=∠BAG=45°，
∴DF=BF，AG=BG，
∵CA=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
∴∠CAD－∠BAG=∠CDA－∠ABC，
即∠CAG=∠DCF，
在△CAG和△DCF中，
∴△CAG≌△DCF（AAS），
∴CG=DF，
∵CA=EA，AG⊥CE，
∴CG=CE=2，
∴DF=BF=CG=2，
Rt△BDF中，BD=，故A正确．
故答案为：A．
【分析】过点D作DF⊥BC于点F，过点A作AG⊥BC于点G，易证△CAG≌△DCF（AAS）可得CG=DF，再根据等腰直角三角形的性质可得CG=2，最后根据勾股定理进行计算即可得到BD的长．
7．（2025·番禺模拟）如图，在等腰三角形中，，为边上中点，过点作交于，交于，若的长为8，则四边形的面积为（　　）
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
等腰直角三角形中，为边上中点，
∴，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴四边形的面积，
∵的长为8，
∴，
∴四边形的面积，
故答案为：B。
【分析】根据直角三角形的特点和证明等腰三角形三线合一的特点，易证，从而可得四边形的面积，最后再根据三角形的面积公式，代入数据即可去接
8．（2025·金平模拟）如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上点D处，
∴AD=AB=2，∠ADB=90°，
∵折叠纸片，使点C与点D重合，
∴CE=DE=AC－AE，∠C=∠CDE，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，AC==3，
∴∠ADB+∠CDE=90°，
∴∠ADE=90°，
∴AE2=AD2+DE2=AD2+（AC－AE）2，
即AE2=22+（3-AE）2，
解得：AE=，
故答案为：C.
【分析】根据折叠的性质可知AD=AB=2，∠ADB=90°，CE=DE=AC-AE，∠C=∠CDE，进而证明，再利用勾股定理求出，然后利用勾股定理建立方程求解即可得出结果．
9．（2025·荔湾模拟）如图，在中，，，的垂直平分线交于，交于，若，则的长为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：的垂直平分线交于，交于，
，，
，
，
根据勾股定理。
故答案为：。
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可求出AD=BD的值，进而可求出的值，然后再根据三角形的外角定理，即可求出的值，再根据直角三角形的性质，求出AC的值，最后再根据勾股定理： ，代入数据，即可求解。
10．（2025·广东广州·二模）等腰三角形中，，，点，为边上的两动点，且．
(1)若，求的长．
(2)若，求的面积．
(3)当点在边的什么位置时，线段，，满足．
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
，，
∴，
∴；
（2）解：如图，将绕点顺时针旋转至，使与重合，连接，过点作于点，过点作于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
由旋转得，，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∴，
∴；
（3）解：同（2）作法可得，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
同（2）可得，
∴，
∵，
∴，
是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即点在距离点 处．
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理的判定与性质，含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．
（1）利用，，得出，再证明，得出，判定是等边三角形，得出，，再求得，即可求出，即可求解；
（2）将绕点顺时针旋转至，使与重合，连接，过点作于点，过点作于点，先利用等腰三角形的性质求出，，则，由旋转得，，，，再证明，得出，求出，得，，设，则，在中，，列式求解，再求面积即可；
（3）同（2）作法可得，，，，由，得，可得，再求得，即可得，则可求出，即可求解．
1．（2025·广东韶关·一模）如图，在等腰中，，AD平分，点E为AC的中点，则DE的长等于（　　）
A．8 B．6 C．4 D．5
【答案】D
【解析】【解答】解在等腰三角形中，，AD平分，为的中位线，对应的第三边为即可求解．
D为的中点（等腰三角形三线合一）．
点E为的中点，
为连接两边中点的线段，符合中位线定理．
根据中位线定理，连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于其一半，
此处，D是的中点，E是的中点，
为的中位线，对应的第三边为．
，
故选D．
【分析】本题考查等腰三角形的性质和中位线定理的性质，根据已知条件求出
2．（2025·广东·一模）由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵，∴，∴以a为斜边的三角形是直角三角形；
B、∵，∴三角形是直角三角形；
C、∵，∴以c为斜边的三角形是直角三角形．
D、设，则，∴，∴，∴三角形不是直角三角形．
故选：D．
【分析】本题考查勾股定理的逆定理和三角形内角和定理．通过验证各选项是否满足勾股定理或角度是否为90度来判断即可．
3．（2025·广东深圳·模拟预测）一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，点在上，， ， ， ．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点作，垂足为，
， ， ，
，，
，
，
在中，，，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
故选：B
【分析】本题考查了三角板中的角度计算，含30度角的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造直角三角形是解题关键．过点作，垂足为，由平行线的性质可得，，在中，，，再证明是等腰直角三角形，得到，即可求解．
4．（2025·广东云浮·一模）我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是（ ）尺．（丈和尺是长度单位，1丈尺）

A．5，6 B．10，11 C．11，12 D．12，13
【答案】D
【解析】【解答】解：设尺，则：尺，
由题意，得：尺，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
∴，
即水深为12尺，芦苇长13尺；
故选D．
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设尺，则：尺，在中，利用勾股定理进行求解即可．
5．（2025·广东梅州·模拟预测）如图，在等边三角形中，是边上的中线，延长至点E，使，点F，G 分别是 ，的中点．若 则的长为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】A
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，
∵是边上的中线，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵F，G 分别是 ，的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：A．
【分析】由等边三角形的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，进而可得，，在中，利用三角函数求得，根据三角形中位线的性质可得．
6．（2025·广东东莞·二模）如图，点D在等边三角形ABC边BC延长线上，，连接AD，则AD的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：为等边三角形，，
，，
，，
，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：
故答案为：
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据等边三角形的性质及三角形的外角定理分别求出，，，进而得，然后在中由勾股定理即可求解．
7．（2025·从化模拟）如图，等边三角形的顶点，点在第一象限内，点在边上且，点为边上一动点（不与点重合），连接，将沿折叠得到，当的面积最小时，点到的距离为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵等边三角形的顶点，，
∴，，
∵，
∴，
∵点为边上一动点（不与点重合），连接，将沿折叠得到，
∴，
∴点在以为圆心，2为半径的圆上，作交于，交于，如图，
，
此时最小，
∵，
∴此时的面积最小，
∵，
∴，
∴，
∴当的面积最小时，点到的距离为．
故答案为：D。
【分析】根据等边三角形的性质可得，，进而可求出，由折叠的性质可得，据此可知在以为圆心，2为半径的圆上，过C点作交于，交于，此时最小，据此可知的面积最小，然后根据正弦函数的定义，可得出，进而可得。
8．（2025·广东广州·一模）如图，在中，，为中线，，，若，，则 ．
【答案】4
【解析】【解答】解∶∵，，，
∴，
∵为中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为∶4．
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，三角形中位线定理等知识，根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边上中线的性质可得出，根据三线合一的性质得出，然后根据三角形中位线定理即可求出．
9．（2025·广东汕头·三模）如图，在中，是的平分线，，，，则的长为 ．
【答案】8
【解析】【解答】解：在截取一点，使得，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：8．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先在截取一点，使得，再运用外角性质得，然后证明，则，即可作答．
10．（2025·广东佛山·三模）综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，王老师展示了一个问题：
如图1，是等边三角形，点是边上一动点（点不与点重合），连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接，并提出了如下问题：
【初步探究】
（1）请在图1中利用尺规作图按上述要求补全图形，猜想与之间的数量关系，并说明理由；
【拓展研究】
（2）若，求的长．
【解答】解：（1）如图1所示，线段、即为所求．
猜想：；
理由如下：如图1，连接，由旋转得，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）如图2，作于点，则，
∵，
∴，，
∴，，
∵，且，，
∴．
整理得：，解得：或，
∴或，
即的长为2或6．
【分析】本题考查尺规作一个角等于已知角、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，正确作出图形是解答的关键．
（1）根据等边三角形的性质，利用尺规作一个角等于已知角的步骤作再作可补全图形；根据等边三角形的判定与性质，证明可得；
（2）作于点，则，利用锐角三角函数定义得到，，利用勾股定理得到，解方程求得或，进而可求解．
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2026年中考数学一轮复习精讲精练
第四章 图形的认识
4.3 等腰三角形与直角三角形
等腰三角形 等 腰 (边) 三 角 形 等腰三角形 等边三角形
定义 有 的三角形是等腰三角形，相等的两边叫做腰，第三边为底边 的三角形是等边三角形
性质 ①等腰三角形是轴对称图形，有 对称轴； ②等腰三角形的两个 相等(简写成“ ”)； ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“ ”) ①具有等腰三角形的一切性质； ②等边三角形是轴对称图形，有 对称轴； ③等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于
判定 ①有两边相等的三角形是等腰三角形； ②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”) ① 的三角形是等边三角形； ② 都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是 的等腰三角形是等边三角形.
图示
面积 (其中a是底边长，h是底边上的高) (a是三角形任意一边长，h是任意一边上的高)
直角三角形 直 角 三 角 形 定义 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.
性 质 (1)直角三角形的两个锐角互余； (2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； (3)直角三角形斜边上的中线等于 ； (4)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 常见的变式： ； (5)设a，b为直角三角形的两条直角边长，c为斜边长，r为直角三角形的内切圆半径，R为直角三角形的外接圆半径，那么 .
判 定 (1)有一个角是 的三角形是直角三角形； (2)有两个角 的三角形是直角三角形； (3)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足( ，那么这个三角形是直角三角形.
等腰直角三角形 等腰直角三角形 具体内容
图示
性质 (1)具有直角三角形的所有性质；(2)两直角边相等，即AC=BC；(3)两锐角相等且都等于45°
判定 (1)顶角为 的等腰三角形是等腰直角三角形； (2)有 的三角形是等腰直角三角形； (3)有一个角为45°的 是等腰直角三角形； (4)有 直角三角形是等腰直角三角形
面积
■考点一　等腰三角形的性质与判定
◇典例1：某平板电脑支架如图所示，，为了使用的舒适性，可调整的大小. 若，则AD的长度为（　　）
A．12 B．18 C． D．15
◆变式训练
1.如图，在中，，为边上两点，且满足，，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在中，，于点．
（1）若，求的度数；
（2）若点在边上，交的延长线于点，请说明的形状．
■考点二 等边三角形的性质与判定
◇典例2：如图，是等边三角形，平分，点在的延长线上，且，，则的长为　 　．
◆变式训练
1.正三角形中，，与交于点P，的度数为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，过点D作交的延长线于点F．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
■考点三 等腰直角三角形的性质与判定
◇典例3：（2025·广东广州·二模）如图，在中，，，是的角平分线，，垂足为点．若，则 ．
◆变式训练
1.如图，中，，，为边上的高，E，F为，上的点，，若，则的面积为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
2.如图，在直角三角形中，，D在边上，E在边上，且，则 ．
■考点四勾股定理
◇典例1：下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（ ）
A．2，3，3 B．2，3，4 C．2，3，5 D．3，4，5
◆变式训练
1.（2025·广东韶关·二模）在平面直角坐标系中，点坐标为，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在中，．小红作图过程如下：以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接，则的长是（ ）
A．4 B．2 C．2 D．3
■考点五 直角三角形的判定
◇典例1：在中，、、的对边分别为a、b、c，下列所给数据中，不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1.在下列条件中：①∠A﹣∠B＝90°；②∠A＝∠B﹣∠C；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A＝∠B∠C中，不能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．
（1）求AD的长；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
■考点六 含30°角的直角三角形
◇典例1：如图，在中，，，点为边的中点，，则的长为（　　　）
A． B． C．2 D．4
◆变式训练
1.如图，灯塔在海岛的北偏东方向，一条船从岛出发，由西向东航行海里到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东方向，若这条船继续由西向东航行，则该船与灯塔的最短距离为（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
2.如图，在中，，是高，，，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．6 D．12
■考点七 直角三角形斜边上的中线
◇典例1：如图，在中，点D，E分别是，的中点，点F在线段上，且，，，则的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
◆变式训练
1.如图，在中，，是边上中线，是的中位线，若，则（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2.如图，是斜边的中线，E，F分别是，的中点，连接若，，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．
1．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·中山模拟）如图，等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·广东深圳·模拟预测）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角度数为，则顶角的度数为（ ）
A． B． C．或 D．以上都不对
4．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在中，，的平分线交于，是的垂直平分线，垂足为．若，则的长为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2025·广东深圳·三模）某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形，正方形，正方形的面积分别记为，，，若，则的长是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·拱墅模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点D在AB上，点E在BC上，连接AE、CD、DE，若AE＝AC＝CD，CE＝4，则BD的长为（　　）
A．2 B． C．4 D．
7．（2025·番禺模拟）如图，在等腰三角形中，，为边上中点，过点作交于，交于，若的长为8，则四边形的面积为（　　）
A．14 B．16 C．18 D．20
8．（2025·金平模拟）如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·荔湾模拟）如图，在中，，，的垂直平分线交于，交于，若，则的长为　 　．
10．（2025·广东广州·二模）等腰三角形中，，，点，为边上的两动点，且．
(1)若，求的长．
(2)若，求的面积．
(3)当点在边的什么位置时，线段，，满足．
1．（2025·广东韶关·一模）如图，在等腰中，，AD平分，点E为AC的中点，则DE的长等于（　　）
A．8 B．6 C．4 D．5
2．（2025·广东·一模）由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·广东深圳·模拟预测）一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，点在上，， ， ， ．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·广东云浮·一模）我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是（ ）尺．（丈和尺是长度单位，1丈尺）

A．5，6 B．10，11 C．11，12 D．12，13
5．（2025·广东梅州·模拟预测）如图，在等边三角形中，是边上的中线，延长至点E，使，点F，G 分别是 ，的中点．若 则的长为（ ）
A．2 B． C． D．4
6．（2025·广东东莞·二模）如图，点D在等边三角形ABC边BC延长线上，，连接AD，则AD的长为 ．
7．（2025·从化模拟）如图，等边三角形的顶点，点在第一象限内，点在边上且，点为边上一动点（不与点重合），连接，将沿折叠得到，当的面积最小时，点到的距离为（　　）
A． B．2 C． D．
8．（2025·广东广州·一模）如图，在中，，为中线，，，若，，则 ．
9．（2025·广东汕头·三模）如图，在中，是的平分线，，，，则的长为 ．
10．（2025·广东佛山·三模）综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，王老师展示了一个问题：
如图1，是等边三角形，点是边上一动点（点不与点重合），连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接，并提出了如下问题：
【初步探究】
（1）请在图1中利用尺规作图按上述要求补全图形，猜想与之间的数量关系，并说明理由；
【拓展研究】
（2）若，求的长．
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