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(共34张PPT)
第二章
方程与不等式
第5讲
一次方程(组)及应用
广东省卷近年中考数学命题分析
命题点 2025 2024 2023 2022 2021
解一元一次方程
一元一次方程的应用
解二元一次方程组 题 16(2)，2 分 题 23(1)，2 分 题 11，4 分
二元一次方程组的应用 题 19，9 分
2022新课标
重要变化 ①能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程(改动)；理解方程解的意义(新增).
②掌握代入(删除)消元法和加减消元法(删除)，能解二元一次方程组.
1.若代数式 x＋2 的值为 7，则 x 等于(
)
C
A.9
B.－9
C.5
D.－5
2.(传统文化)(2025 连云港)《九章算术》中有一个问题：“今
有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，
问何日相逢？”(凫：野鸭.所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海
同时起飞，经过多少天能够相遇？”)如果设经过 x 天能够相遇，
)
根据题意，得(
A
3.下列四组数中，不是二元一次方程 2x＋y＝4 的解的是(
)
D
解：①＋②，得 5x＝15，解得 x＝3，
将 x＝3 代入①，得 3×3＋y＝8，解得 y＝－1，
类别 材料
彩色纸/张 细木条/捆
手工艺品 A 5 3
手工艺品 B 2 1
5.(2025 浙江)手工社团的同学制作两种手工艺品 A 和 B，需要
用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表.
如果一共用了 17 张彩色纸和 10 捆细木条，问他们制作的两
种手工艺品各有多少个？设手工艺品 A 有 x 个，手工艺品 B 有 y
个，则 x 和 y 满足的方程组是(
)
C
1.一元一次方程的有关概念
(1)只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 1 的整式方程，
叫做一元一次方程.其一般形式是 ax＋b＝0(a，b 为常数，且 a≠0).
(2)使方程中等号左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方
程的解.方程的解又叫做方程的根.
回练课本
不是
是
1.判断方程的解：(填“是”或“不是”)
(1)x＝2________方程 3x＋(10－x)＝20 的解；
(2)x＝2________方程 4x＋6＝7x 的解.
2.一元一次方程的解法
(1)解法的依据是等式的基本性质.
性质①：若 a＝b，则 a±m＝b±m；
性质②：若 a＝b，则 am＝bm；
(2)解法的一般步骤：
①去分母；②去括号；③移项；
④合并同类项；⑤未知数的系数化为 1.
回练课本
2.解下列方程：
(1)4x－2＝3－x；
(1)x＝1
(2)x＝8
3.二元一次方程组
(2)二元一次方程组的解法：
基本思想：消元思想，二元
一元.
①用代入法解二元一次方程组的一般步骤：
a.从方程组中任选一个方程，将方程中的一个未知数用含有另
一个未知数的代数式表示出来；
b.将这个代数式代入另一个方程，消去一个未知数，得到只含
有一个未知数的一元一次方程；
c.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
d.将所求得的未知数的值代入原方程组的任一方程中，求出另
一个未知数的值，从而得到方程组的解.
②用加减法解二元一次方程组的一般步骤：
a.方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数不互为相反
数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使它们中同一个未
知数的系数相等或互为相反数；
b.把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到
一个一元一次方程；
c.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
d.将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出
另一个未知数的值，从而得到方程组的解.
回练课本
3.解下列方程组：
4.一次方程(组)的应用
(1)解应用题的步骤：①审清题意；②找等量关系；③设未知
数；④列方程(组)；⑤解方程(组)；⑥验根；⑦作答.
(2)应用题的常见类型：
①工作(或工程)问题：工作量＝工作效率×工作时间；
②利息问题：利息＝本金×利率×期数；本息和＝本金＋利
息；
③行程问题：路程＝速度×时间；其中，相遇问题：s甲＋s乙
＝s总；
追及问题：(同地异时)前者走的路程＝追者走的路程；
(异地同时)前者走的路程＋两地间的距离＝追者走的路程；
④航行问题：v顺＝v静＋v水；v逆＝v静－v水；
利润
⑤利润问题：利润＝售价－进价；利润率＝
进价
×100%；
⑥数字问题：两位数＝10×十位数字＋个位数字；
三位数＝100×百位数字＋10×十位数字＋个位数字；
⑦增长率问题：增长后的量＝基础量×(1＋增长率).
回练课本
4. 一支部队第一天行军 4 h ，第二天行军 5 h ，两天共行军
98 km，且第一天比第二天少走 2 km.第一天和第二天行军的平均
速度分别是多少？
解：设第一天和第二天行军的平均速度分别是 x km/h，y km/h.
答：第一天和第二天行军的平均速度分别是 12 km/h，10 km/h.
一元一次方程及其应用
1.若关于 x 的一元一次方程 2x＋m＝5 的解为 x＝1，则 m 的值
为(
)
A
A.3
B.－3
C.7
D.－7
2.(2025 西安三模)太阳镜，也称遮阳镜，在光线较强的地方佩
戴太阳镜可以减轻强光对眼睛的刺激.一个太阳镜由两个镜片和一
个镜架组成.某工厂现共有 36 名工人，平均每人每天生产 70 个镜
架或 100 个镜片.应该如何分配工人才能使每天生产的镜架和镜片
恰好配套？
解：设分配 x 名工人生产镜架，则有(36－x)人生产镜片，
由题意得 70x＝
100(36－x)
2
，解得 x＝15，
∴36－15＝21(人).
答：分配 15 名工人生产镜架，21 名工人生产镜片.
二元一次方程组及其应用
解：①×2＋②，得 5x＝25，解得 x＝5，
将 x＝5 代入①，得 5－2y＝1，解得 y＝2，
解二元一次方程组的方法选择：①当方程组中某一个未知数
的系数是1 或者－1时，选用代入消元法；②当方程组中同一个未
知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法；③当两个方
程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法.
A.0
B.1
C.2
D.3
B
5.如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由 10 块形状大小相同的
长方形墙砖砌成.
(1)求一块长方形墙砖的长和宽；
(2)求电视背景墙的面积.
解：(1)设一块长方形墙砖的长为 x m，宽为 y m.
答：一块长方形墙砖的长为 1.2 m，宽为 0.3 m.
(2)2×1.2×1.5＝3.6(m2).
答：电视背景墙的面积为 3.6 m2.
6.(2025 吉林)吉林省长白山盛产人参.为促进我省特色经济的
发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、
乙两种商品的售价分别为每盒 25 元和 20 元.某游客购买了甲、乙
两种商品共10 盒，花费 230元.求该游客购买甲种商品和乙种商品
的盒数.
解：设游客购买甲种商品 x 盒，购买乙种商品 y 盒，
答：游客购买甲种商品 6 盒，购买乙种商品 4 盒.
7.(2022 深圳)张三经营了一家草场，草场里面种植有上等草和
下等草.他卖五捆上等草的根数减去 11 根，就等于七捆下等草的根
数；卖七捆上等草的根数减去 25 根，就等于五捆下等草的根数.设上
等草一捆为 x 根，下等草一捆为 y 根，则下列方程组正确的是(
)
C
8.(2022 广东)《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生
要凑钱购买 1 本.若每人出 8 元，则多了 3 元；若每人出 7 元，则
少了 4 元.问学生人数和该书单价各是多少？
解：设学生有 x 人，该书单价为 y 元，
答：学生有 7 人，该书单价为 53 元.
运算能力特训——计算能力
一次方程(组)的实际应用
9.中国陶瓷闻名世界，某陶瓷厂生产某种茶具，其茶具生产车
间共有 25 名工人生产茶壶和茶杯.
(1)该种茶具由 1 个茶壶和 6 个茶杯配成一套.已知一名工人一
天可以生产 3 个茶壶或 7 个茶杯，要使一天生产的茶壶和茶杯正
好配套，应分别安排多少名工人生产茶壶和茶杯？
解：设应安排 x 名工人生产茶壶，则安排(25－x)名工人生产
茶杯，
根据题意，得 6×3x＝7(25－x)，解得 x＝7，
∴25－x＝25－7＝18(名).
答：应安排 7 名工人生产茶壶，18 名工人生产茶杯.
(2)该陶瓷厂将生产完成的一批茶具用甲、乙两车运输到某市
场进行销售，甲车比乙车先出发 0.5 h，乙车出发 1 h 后，甲车在
乙车前方 15 km 处，假设运输过程中两车均匀速行驶，且乙车的
速度比甲车快 10 km/h，求两车的速度.
解：设甲车的速度为 a km/h，则乙车的速度为(a＋10)km/h，
根据题意，得 1.5a－1×(a＋10)＝15，解得 a＝50，
∴a＋10＝60(km/h).
答：甲车的速度为 50 km/h，乙车的速度为 60 km/h.
(3)某批次的茶具在销售时，若 2 个茶壶的售价与 5 个茶杯的
售价相同，3 个茶壶的售价比 7 个茶杯的售价多 3 元，求茶壶与茶
杯每个的售价各为多少元.
解：设每个茶壶的售价为 m 元，每个茶杯的售价为 n 元，
答：每个茶壶的售价为 15 元，每个茶杯的售价为 6 元.
(4)茶具销售分为套装销售和散装销售，套装销售即 1 个茶壶
与 6 个茶杯一起出售，套装售价为 45 元，已知茶壶和茶杯每个的
成本为 12 元和 3 元.国庆期间，厂家对套装销售进行打折促销，且
保证最终利润率为 20%，求厂家是按售价的几折进行销售.
解：设厂家是按售价的 y 折进行销售，
解得 y＝8.
答：厂家是按售价的八折进行销售.(共34张PPT)
第7讲
一元二次方程及应用
广东省卷近年中考数学命题分析
命题点 2025 2024 2023 2022 2021
一元二次方程的解 题 14，3 分 题 14，4 分
解一元二次方程
一元二次方程
根的判别式 题 13，3 分 题 13，3 分
一元二次方
程的应用 题 7，3 分
2022新课标
重要变化 了解一元二次方程的根与系数的关系.(删除“*”，改为必学)
1.方程 x2＝1 的根是(
)
C
A
A.x＝1
B.x＝－1
C.x＝±1
D.x＝±2
)
2.关于 x 的一元二次方程 x2＋mx－8＝0 的根的情况是(
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
3.若关于 x 的一元二次方程 x2＋3x－a＝0 有两个不相等的实
数根，则 a 的取值范围是________.
D
4.(2025 湖北)一元二次方程 x2－4x＋3＝0 的两个实数根为 x1，
)
x2，下列结论正确的是(
A.x1＋x2＝－4
C.x1x2＝4
B.x1＋x2＝3
D.x1x2＝3
5.解方程：x2－6x＋5＝0.
解：移项，得 x2－6x＝－5，
方程两边都加上 9，得 x2－6x＋9＝－5＋9，
即(x－3)2＝4，则 x－3＝±2，所以 x1＝5，x2＝1.
6.(传统文化)(2025 辽宁)中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘
除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，
问长多阔几何.”其大意是：一块矩形田地的面积为 864 平方步，
只知道它的长与宽共 60 步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形
的宽为 x 步，根据题意可列方程为(
)
A
A.x(60－x)＝864
C.x(60＋x)＝864
B.x(x－60)＝864
D.2[x＋(x＋60)]＝864
1.一元二次方程
(1)概念：只含有一个未知数，未知数的最高次数是二次，且
二次项系数不为 0 的整式方程，叫做一元二次方程.
(2)一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中 ax2
叫做二次项，bx 叫做一次项，c 叫做常数项，a 是二次项的系数，
b 是一次项的系数，注意 a≠0.
a≠－1
1
－1
－5
回练课本
1.(1)若(a＋1)x2－4x－1＝0 是关于 x 的一元二次方程，则 a 满
足________；
(2)方程 x2－x＝5 的二次项的系数是________，一次项的系数
是________，常数项是_________.
2.一元二次方程的解法
(1)基本思路：降次.
(2)方法：
①直接开平方法：(x＋m)2＝n(n≥0)的根是_______________；
②配方法：将 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)化成__________________
的形式，当____________时，用直接开平方法求解；
③公式法：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为 x＝__________
___________________________；
b2－4ac≥0
回练课本
2.解下列方程：
(1)x2＋2x＝0；
(2)x2＋x－12＝0.
(1)x1＝0，x2＝－2
(2)x1＝3，x2＝－4
④因式分解法：将方程右边化为 0，左边化为两个一次因式的
积，令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一
次方程就得到原方程的解.
3.一元二次方程根的判别式
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式是 b2－4ac.
(1)当 b2－4ac＞0 时，方程有_______________的实数根；
(2)当 b2－4ac＝0 时，方程有____________的实数根；
(3)当 b2－4ac＜0 时，方程______________.
回练课本
3. 有下列方程：①x2 －4x －7 ＝0 ；②2x2 －
x ＋1 ＝0；
③x2－8x＋17＝0.其中有两个不相等的实数根的是__________，无
实数根的是__________.(填序号)
①
③
两个不相等
两个相等
无实数根
4.一元二次方程的根与系数的关系
回练课本
4.已知方程 x2－6x－15＝0 的两个根分别为 x1，x2，则：
(1)x1＋x2＝__________；
(2)x1·x2＝__________.
6
－15
5.一元二次方程的应用
解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程，最
后还要注意检验求出的未知数的值是否符合实际意义.
回练课本
5.两个数的和为 8，积为 9.75，求这两个数.若设其中一个数为
x，则列方程得__________________.
x(8－x)＝9.75
一元二次方程的解及其解法
1.若 x＝1 是关于 x 的一元二次方程 x2＋mx－6＝0 的一个根，
则 m＝________.
2.用配方法解方程 x2－4x－1＝0 时，配方后正确的是(
)
B.(x＋2)2＝17
D.(x－2)2＝17
A.(x＋2)2＝3
C.(x－2)2＝5
3.方程 x2＝2x 的解是(
)
A.x＝0
B.x＝2
C.x＝0 或 x＝2
D.x＝
5
C
C
4.(2025 齐齐哈尔)解方程：x2－7x＝－12.
解：整理得 x2－7x＋12＝0，
因式分解得(x－4)(x－3)＝0，
∴x－4＝0 或 x－3＝0，
解得 x1＝4，x2＝3.
解一元二次方程一般优先考虑直接开平方法，其次因式分解
法，最后公式法或配方法.若题目要求用特定方法，则按要求解题.
一元二次方程根的判别式
5.已知关于 x 的方程 x2－(2k－2)x＋k2－1＝0 有两个实数根，
A.－1
B.1
C.－1－2k
D.2k－3
6.(2025 广东)不解方程，判断一元二次方程 2x2＋x－1＝0 的
根的情况是________________________.
A
有两个不相等的实数根
7.已知关于 x 的一元二次方程 kx2－(2k＋4)x＋k－6＝0 有两个
不相等的实数根.
(1)求 k 的取值范围；
(2)当 k＝1 时，用配方法解方程.
一元二次方程根与系数的关系
9.(代数推理)(2025 南充)设 x1，x2 是关于 x 的方程(x－1)(x－2)
＝m2 的两根.
(1)当 x1＝－1 时，求 x2 及 m 的值；
(2)求证：(x1－1)(x2－1)≤0.
(2)方程(x－1)(x－2)＝m2可化简为x2－3x＋2－m2＝0.
∵Δ＝9－4(2－m2)＝4m2＋1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
∴x1＋x2＝3，x1·x2＝2－m2.
∴(x1－1)(x2－1)＝x1·x2－(x1＋x2)＋1
＝2－m2－3＋1＝－m2.
∵m2≥0，∴－m2≤0，即(x1－1)(x2－1)≤0.
一元二次方程的应用
10.电动自行车已成为市民日常出行的常用工具.据某市某品
牌电动自行车经销商 1 至 3 月份统计，该品牌电动自行车 1 月份
销售 150 辆，3 月份销售 216 辆.
(1)求该品牌电动自行车销售量的月均增长率；
(2)假设每月的增长率相同，预计 4 月份的销量会达到 300 辆
吗？
解：(1)设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为 x，
由题意得 150(1＋x)2＝216，
解得 x1＝－2.2(不合题意，舍去)，x2＝0.2＝20%，
答：该品牌电动自行车销售量的月均增长率为 20%.
(2)4 月份的销量为 216×(1＋20%)＝259.2(辆)，
∵259.2＜300，∴预计 4 月份的销量不会达到 300 辆.
11.(2025 广东)广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术
制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年 5 月产值达到
2 500 万元，预计 7 月产值将增至 9 100 万元.设该公司 6，7 两个
月产值的月均增长率为 x，可列出的方程为(
)
A
A.2 500(1＋x)2＝9 100
B.2 500(1－x)2＝9 100
C.2 500(1－2x)2＝9 100
D.2 500(1＋2x)2＝9 100
12.为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园
ABCD(如图)，生态园一面靠墙(墙足够长)，另外三面用 18 m 的篱
笆围成.生态园的面积能否为 40 m2？如果能，请求出 AB 的长；如
果不能，请说明理由.
13.(2022 广东)若 x ＝1 是方程 x2 －2x ＋a ＝0 的根，则 a ＝
________.
14.(2024 广东)若关于 x 的一元二次方程 x2＋2x＋c＝0 有两个
相等的实数根，则 c＝________.
15.(2019 广东)已知 x1，x2是一元二次方程 x2－2x＝0 的两个实
数根，下列结论错误的是( )
1
1
D
16.(2021 广东)若一元二次方程 x2＋bx＋c＝0(b，c 为常数)的
两根 x1，x2 满足－3＜x1＜－1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程
为____________________.
x2－2＝0(答案不唯一)
运算能力特训——计算能力
18.解方程：3x2＋4x－1＝0.(用配方法)
19.某社区利用一块矩形空地 ABCD 建了一个小型停车场，其
布局如图所示.已知 AD＝52 m，AB＝28 m，阴影部分设计为停车
位，要铺花砖，其余部分均为宽度为 x 米的道路.已知铺花砖的面
积为 640 m2.
(1)求道路的宽是多少米？
(2)该停车场共有车位50个，据调查分析，
当每个车位的月租金为 200 元时，可全部租
出；若每个车位的月租金每上涨 5 元，就会
少租出 1 个车位.当每个车位的月租金上涨多
少元时，停车场的月租金收入为 10 125 元？
解；(1)根据道路的宽为 x 米，根据题意得，
(52－2x)(28－2x)＝640，
解得 x1＝34(舍去)，x2＝6.
答：道路的宽为 6 米.
(2)设月租金上涨 a 元，∵停车场月租金收入为 10 125 元，
答：每个车位的月租金上涨 25 元时，停车场的月租金收入为
10 125 元.
教材难题生长——思维能力
20.(北师9上P33 问题解决改编)(运算能力、几何直观、应用
意识)(数学文化)从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿
都进不去，横着比门框宽 4 尺，竖着比门框高 2 尺，另一个醉汉
教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好
进去了.求竹竿的长.
解：设竹竿的长为 x 尺，由题意得
(x－4)2＋(x－2)2＝x2，即 x2－12x＋20＝0，
解得 x1＝2(不符题意，舍去)，x2＝10.
答：竹竿的长为 10 尺.
21.(人教9上P18 阅读与思考、P22 拓广探索改编)(运算能力、
几何直观、应用意识)人们把
这个数叫做黄金分割数.五角星
是常见的图案，如图，在正五角星中存在黄金分割数，有 BF2＝
FG·BG，已知 BG＝2，则 FG＝________.(共39张PPT)
第8讲
不等式与不等式组
广东省卷近年中考数学命题分析
命题点 2025 2024 2023 2022 2021
不等式的性质
解一元一次不等式
解一元一次不等式组 题 12，3 分 题 8，3 分 题 16，8 分 题 18，6 分
一元一次不等式的应用 题 14，3 分
＜
1.如果 a＞b，那么下列运算正确的是(
)
D
x＞2
A.a－3＜b－3
B.a＋3＜b＋3
C.3a＜3b
D.
a b
－3 －3
2.不等式 4x－8＞0 的解集为________.
A
C
B
D
C
解：解不等式①，得 x≥－4，
解不等式②，得 x＜5，
∴不等式组的解集为－4≤x＜5.
5.(2025 资阳)某社团计划开展手工制作活动，制作需使用 A，
B 两款材料包.购买 3 份 A 款材料包和 2 份 B 款材料包需 84 元，
购买 2 份 A 款材料包和 3 份 B 款材料包需 86 元.
(1)问购买一份 A 款材料包和一份 B 款材料包各需多少元？
(2)该社团打算购买 A，B 两款材料包共 50 份，总费用不超过
830 元，则至少购买 A 款材料包多少份？
解：(1)设购买一份 A 款材料包需 x 元，购买一份 B 款材料包
需 y 元，
答：购买一份 A 款材料包需 16 元，购买一份 B 款材料包需
18 元.
(2)设购买 A 款材料包 m 份，则购买 B 款材料包(50－m)份，
由题意得 16m＋18(50－m)≤830，解得 m≥35，
∴m 的最小值为 35.
答：至少购买 A 款材料包 35 份.
1.不等式的基本性质
(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不
变.
(2)不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不
变.
(3)不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改
变.
回练课本
1.设 a＞b，用“＜”或“＞”填空：
(1)a＋2________b＋2；
(2)－4a________－4b；
＞
＜
＞
2.解不等式
求不等式解集的过程称为解不等式.
x＜1
回练课本
2.利用不等式的性质解不等式 3x＜2x＋1，得________.
3.解一元一次不等式的一般步骤
(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)未知数的
系数化为 1.
在(1)至(5)步的变形中，一定要注意不等号的方向是否需要改
变.
回练课本
3.解不等式：2(1＋x)＜3，并在数轴上表示解集.
4.一元一次不等式组
(1)一元一次不等式组的定义：一般地，关于同一个未知数的
几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.
(2)一元一次不等式组的解集：组成一元一次不等式组的各个
不等式的解集的公共部分，称为这个一元一次不等式组的解集.
(3)解一元一次不等式组：先求出各个不等式的解集，再确定
其公共部分，即为原不等式组的解集.
(4)借助数轴，熟练掌握以下四种基本不等式组的解集.(其中
ax≤a
a≤x≤b
回练课本
5.列一元一次不等式(组)解应用题
列不等式(组)解应用题的基本步骤和列方程解应用题的步骤
相类似，即：
(1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题目
中的不等关系，抓住题设中的关键字眼，如“大于”“小于”“不
小于”“不大于”“不少于”“不低于”“不多于”“至多”“超
过”“至少”“不足”等；
(2)设：设出适当的未知数；
(3)列：根据题目中的不等关系，列出不等式(组)；
(4)解：解出所列不等式(组)的解集；
(5)答：写出答案，并检验答案是否符合题意.
回练课本
5.小明准备用 26 元买火腿肠和方便面，已知一根火腿肠 2 元，
一盒方便面 3 元，他买了 5 盒方便面，他最多还能买多少根火腿
肠？
解：设他还能买 x 根火腿肠，根据题意，得
2x＋3×5≤26，解得 x≤5.5.
∵x 为整数，∴x 的最大值为 5.
答：他最多还能买 5 根火腿肠.
不等式的性质
1.已知 a－1＞0，则下列结论正确的是(
)
A.－1＜－a＜a＜1
C.－a＜－1＜a＜1
B.－a＜－1＜1＜a
D.－1＜－a＜1＜a
2.已知 a＞b，则下列各式中一定成立的是(
)
A.a－b＜0
B.2a－1＜2b－1
B
D
解一元一次不等式
3.不等式 x＋8＜4x－1 的解集是(
)
B
A.x＜3
B.x＞3
C.x＜－3
D.x＞－
1
3
A
C
B
D
C
解：去分母，得 10－4x＜1－x，
移项，得－4x＋x＜1－10，
合并同类项，得－3x＜－9，
系数化为 1，得 x＞3.
解一元一次不等式组
上表示出来.
解：解不等式①，得 x＞－1，解不等式②，得 x≤2，
∴原不等式组的解集为－1＜x≤2，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图：
解一元一次不等式组需先解各个不等式，然后根据“同大取
大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”的口诀对解
集进行推理.
－17≤P＜－7
一元一次不等式(组)的应用
8.快递运费通常按邮件质量计算，某快递公司规定：省内邮件
质量不超过 1 千克时收费 10 元；邮件质量超过 1 千克时，超过的
部分按每千克 3 元收费.若省内寄快递的费用不超过 28 元，则邮件
的质量最多为多少千克？
解：设邮件的质量为 x 千克，根据题意得
10＋3(x－1)≤28，解得 x≤7，
∴x 的最大值为 7.
答：邮件的质量最多为 7 千克.
9.创建文明城市，构建美好家园.为提高垃圾分类意识，幸福
社区决定采购 A，B 两种型号的新型垃圾桶.若购买 3 个 A 型垃圾
桶和 4 个 B 型垃圾桶共需要 580 元，购买 6 个 A 型垃圾桶和 5 个
B 型垃圾桶共需要 860 元.
(1)求两种型号垃圾桶的单价.
(2)若需购买两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15 000
元，至少需购买 A 型垃圾桶多少个？
解：(1)设 A 型垃圾桶的单价为 x 元，B 型垃圾桶的单价为 y
元，
答：A 型垃圾桶的单价为 60 元，B 型垃圾桶的单价为 100 元.
(2)设购买 A 型垃圾桶 a 个，由题意得
60a＋100(200－a)≤15 000，解得 a≥125.
答：至少需购买 A 型垃圾桶 125 个.
10.(2025 内蒙古)智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋
势之一.某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行
采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作.在正常工作状态
下，该机器人的每一个机械手平均 a 秒采摘一个成熟的苹果，它
的一个机械手用 800 秒采摘苹果的个数比用 600 秒采摘苹果的个
数多 25 个.
(1)求 a 的值.
(2)现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人
共同完成.每个机器人搭载 4 个相同的机械手，那么至少需要多少
个这样的机器人同时工作 1 小时，才能使采摘的苹果个数不少于
10 000 个？
解：(1)由题意得 25a＝800－600，解得 a＝8.
答：a 的值为 8.
(2)设需要 x 个这样的机器人，
又∵x 为正整数，∴x 的最小值为 6.
答：至少需要 6 个这样的机器人同时工作 1 小时，才能使采
摘的苹果个数不少于 10 000 个.
A.－1＜x＜4
B.x＜4
C.x＜3
D.3＜x＜4
12.(2024 广东)关于 x 的不等式组中，两个不等式的解集如图
所示，则这个不等式组的解集是________.
D
x≥3
由①得 x＞1，由②得 x＜2，
∴不等式组的解集为 1＜x＜2.
15.(2023 广东)某商品进价 4 元，标价 5 元出售，商家准备打
折销售，但其利润率不能少于 10%，则最多可打______折.
8.8
16.(2019 广东)某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮
球、足球共 60 个，已知每个篮球的价格为 70 元，每个足球的价
格为 80 元.
(1)若购买这两类球的总金额为 4 600 元，求篮球、足球各买
了多少个？
(2)若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可
购买多少个篮球？
解：(1)设购买篮球 x 个，购买足球 y 个，
答：购买篮球 20 个，购买足球 40 个.
(2)设购买 a 个篮球，则购买(60－a)个足球.
依题意，得 70a≤80(60－a)，解得 a≤32.
答：最多可购买 32 个篮球.
运算能力特训——计算能力
17.新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解
集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，
①②
教材难题生长——思维能力
18.(北师 8 下 P63 联系拓广改编)(运算能力、应用意识、创新
意识)观察下列式子：
①32＋42＞2×3×4；
②32＋32＝2×3×3；
③(－2)2＋42＞2×(－2)×4；
④(－5)2＋(－5)2＝2×(－5)×(－5).
＞
(1)填空：(－2)2＋(－3)2_______2×(－2)×(－3)；(填“＞”
“＝”或“＜”)
(2)探究：观察以上各式，它们有什么规律吗？请用含 a，b 的
式子表示你发现的规律；
解：∵(a－b)2≥0，∴a2－2ab＋b2≥0，
∴用含 a，b 的式子表示发现的规律为 a2＋b2≥2ab.
2(共25张PPT)
第6讲
分式方程
广东省卷近年中考数学命题分析
命题点 2025 2024 2023 2022 2021
解分式方程 题 16，7 分 题 9，3 分
分式方程的
应用 题 17，7 分 题 22(1)，4 分
1.方程
＝1 的解是(
2
x＋3
)
B
A.x＝1
B.x＝－1
C.x＝5
D.x＝－5
2.解方程：
＝5＋
3
x－1
3x
1－x
.
解：原方程两边同乘(x－1)，去分母，得 3＝5(x－1)－3x，
去括号，得 3＝5x－5－3x，
移项，合并同类项，得－2x＝－8，
系数化为 1，得 x＝4，
检验：将 x＝4 代入(x－1)中，得 4－1＝3≠0，
故原分式方程的解为 x＝4.
解：原方程两边同时乘(x＋1)(x－1)，
得 3(x－1)－(x＋1)＝0，
去括号，得 3x－3－x－1＝0，
解得 x＝2，
检验：把 x＝2 代入(x＋1)(x－1)≠0，
∴分式方程的解为 x＝2.
A
5.(2025 深圳)某社区植树 60 棵，实际种植人数是原计划人数
的 2 倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了 3 棵.若设原计划人
数为 x 人，则下列方程正确的是(
)
A
1.分式方程
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
回练课本
不是
是
2.分式方程的解法
(1)解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程.
(2)常用方法：①去分母法；②换元法.
(3)去分母法的步骤：①去分母，将分式方程转化为整式方程；
②解所得的整式方程；③检验作答.
(4)换元法的步骤：①设辅助未知数；②得到关于辅助未知数
的新方程，求出辅助未知数的值；③把辅助未知数的值代回原式
中，求出原来未知数的值；④检验作答.
(5)解分式方程，在把分式方程转化为整式方程时，有时可能
产生不适合原方程的根(我们把这个根叫做方程的增根)，所以解分
式方程时要验根.
回练课本
2.解下列方程：
(1)x＝3 (2)无解
3.分式方程的应用
(1)解分式方程应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列
出分式方程，最后要验根.
(2)温馨提示：双验根，既要检验是否为分式方程的增根(增根
舍去)，又要检验是否符合实际意义.
回练课本
3.一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它以最大航速沿江
顺流航行 90 km 所用时间，与以最大航速逆流航行 60 km 所用时间
相等.若设江水的流速为 v km/h，则可列出方程为________________.
分式方程的解与解法
C
x＝1
解：原方程去分母得 3x＝2x＋2，
解得 x＝2,
检验：当 x＝2 时，x(x＋1)≠0，
故原方程的解为 x＝2.
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.方法是
方程两边都乘最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有
时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根，
因此解分式方程时必须检验.
分式方程无解
4.(2025 凉山州)若关于 x 的分式方程
x＋m
x－2
＋
1
2－x
＝3 无解，则
m＝________.
－1
分式方程的应用
5.某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动.纪念馆距学校
72 千米，一部分学生乘坐大型客车先行，出发 12 分钟后，另一部
分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达.已知小型客车的速度是
大型客车速度的 1.2 倍，求大型客车的速度.
经检验，x＝60 是原方程的根.
答：大型客车的速度是 60 千米/时.
6.水碧万物生，岳阳龙虾好.小龙虾产业已经成为岳阳乡村振
兴的“闪亮名片”.已知翠翠家去年龙虾的总产量是 4 800 kg，今
年龙虾的总产量是 6 000 kg，且去年与今年的养殖面积相同，平均
亩产量去年比今年少 60 kg，求今年龙虾的平均亩产量.
解：设今年龙虾的平均亩产量为 x kg，
经检验，x＝300 是所列方程的解，且符合题意.
答：今年龙虾的平均亩产量为 300 kg.
处理(x＋10)GB 数据，由题意得
，解得 x＝20，
7.(2025 大庆)某公司开发了两款 AI 模型，分别为模型 A 和模
型 B.由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据.已知模型
B 比模型 A 每小时多处理 10 GB 数据，模型 B 处理 300 GB 数据
的时间与模型 A 处理 200 GB 数据的时间相同，求模型 A 每小时
能处理多少 GB 数据？(备注：GB 为数据的存储单位)
解：设模型 A 每小时能处理 x GB 数据，则模型 B 每小时能
经检验，x＝20 是原方程的解，且符合题意.
答：模型 A 每小时能处理 20 GB 数据.
＝
300
x＋10
200
x
A.x＝－3
C.x＝3
B.x＝－9
D.x＝9
D
小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断
小李的解答过程是否正确.若不正确，请写出你的解答过程.
解：小李的解法中，第一步是去分母.
去分母的依据是等式的基本性质.
小李的解答过程第一步不正确.正确的解答过程如下：
整理得 1－x＝－1－2x＋4，移项、合并同类项，得 x＝2.
检验：当 x＝2 时，x－2＝0，
∴原分式方程无解.
运算能力特训——计算能力
去分母得 x2－4x＋4－16＝x2－4＋4x＋8，
移项、合并同类项得 8x＝－16，解得 x＝－2，
经检验，x＋2＝0，分式方程无解，则不存在实数 x 使得两代
数式相等.

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