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湘教版七年级数学上册
第4章 图形的认识
本章复习课
第2课时 巧用线段中点计算的三种思想
导入新课
问题：
(1)什么是线段的中点？
(2)由线段的中点你能得到哪些结论？
模型建立：
点M把线段AC分成相等的两条线段AM和CM，则点M是线段AC的中点，即AM＝MC＝ AC 或AC＝2MC＝2AM.
推理格式：因为M是线段AC的中点(已知)，
所以AM＝MC＝ AC或AC＝2MC＝2AM(线段中点的定义).
知识模块一：利用方程思想求线段的长度
例1 如图，C，D是线段AB上的两点，已知 M，N分别为AC，DB的中点，AB＝18 cm，且AC∶CD∶DB＝1∶2∶3，求线段MN的长.
(1)根据“M，N分别为AC，DB的中点”，能得到哪些结论？
(2)要求线段MN的长，需要确定哪些线段的长度？
(3)利用方程思想，如何根据“AC∶CD∶DB＝1∶2∶3”设未知数？
高效课堂
解 设AC，CD，DB的长分别为x cm，2x cm，3x cm.
因为AC＋CD＋DB＝AB，AB＝18 cm，所以x＋2x＋3x＝18.解得 x＝3.所以AC＝3 cm，CD＝6 cm，DB＝9 cm.因为M，N分别为AC，DB的中点，所以MC＝ AC＝1.5 cm，DN＝ BD＝4.5 cm.
所以MN＝MC＋CD＋DN＝12 cm.所以线段MN的长为12 cm.
高效课堂
【归纳总结】
解题时要充分运用线段中点的定义，学会观察图形，找出线段间的关系，弄清线段的和、差、倍、分关系；当问题中出现线段的比时，我们可以利用代数方法与几何方法相结合，通过设未知数，建立方程求解.
高效课堂
知识模块二：利用分类思想求线段的长度
例2 已知：点M，N，P在同一条直线上，线段MN＝6，且线段PN＝2.
(1)若点P在线段MN上，求MP的长.
(2)若点P在射线MN上，A是MP的中点，求线段AP的长.
思考：(1)若有一点在已知直线MN上，可能有哪些情况？
(2)画图时，MN确定后，如何在射线MN上确定点P的位置？ 这样点P 的位置有几个？
高效课堂
(1)可能有三种情况：
①点在线段MN上；②点在线段MN的延长线上；③点在线段NM的延长线上.
(2)位置有两个：
①点P在点N左侧；②点P在点N右侧.
高效课堂
解 (1)如图1.因为MN＝6，PN＝2，所以MP＝MN－NP＝6－2＝4.
(2)分两种情况讨论：
①当点P在点N左侧时，如图2.由(1)可知，MP＝4.
因为A为MP的中点，所以AP＝ MP＝2.
②当点P在点N右侧时，如图3.
由图形可知：MP＝MN＋NP＝6＋2＝8.
因为A为MP的中点，所以AP＝ MP＝4.
综上所述，线段AP的长为4或2.
高效课堂
【归纳总结】
解决与几何有关的问题时，如果没有图形，要根据已知条件画出图形，通常对此类问题进行分类讨论，注意不要漏解.
高效课堂
知识模块三：利用整体思想求线段的长度
例3 如图，点D是线段AB上的任意一点(不与点A和B重合)，C是线段AD的中点，AB＝4 cm.
(1)若D是线段AB的中点，求线段CD的长.
(2)在图中作线段DB的中点E，当点D在线段AB上从左向右移动时，试探究线段CE长度的变化情况.
高效课堂
思考：
①问题(1)的思路是什么？
②问题(2)中，线段CE的长，可以看作哪两条线段的和？ 这两条线段又分别与哪些线段有关系？ 有什么关系？
高效课堂
解 (1)因为AB＝4 cm，D是线段AB的中点，
所以AD＝ AB＝ ×4＝2(cm).
因为C是线段AD的中点，所以CD＝ AD＝ ×2＝1(cm).
(2)因为点D在线段AB上，C是线段AD的中点，E是线段BD的中点，所以CD＝ AD，DE＝ BD，
所以CE＝CD＋DE＝ AD＋ BD＝ (AD＋BD)＝ AB.
因为AB＝4 cm，所以CE＝2 cm，所以线段CE的长度不变.
高效课堂
【归纳总结】
已知线段AB上有一点C，M，N分别为线段AC，BC的中点，则MN＝ AB.
高效课堂
1.已知线段AB＝3 cm，延长BA到C使BC＝5 cm，则AC的长是(　 　)
A.2 cm B.8 cm
C.3 cm D.11 cm
　A　
课堂评价
2.如图，长度为12 cm的线段AB的中点为M，点C将线段MB分成MC∶CB＝1∶2，则线段AC的长度为　 　.
　8 cm　
3.如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOB＝40°，∠COE＝60°，那么∠BOD的度数为　 　.
　70°　
1.通过主题复习，你有哪些收获和体会？
2.你有哪些有疑问的地方？ 请与全班同学一起交流.
课堂总结
拓展性作业：利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴，我们发现了许多重要的规律：若数轴上A，B两点对应的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a－b|，线段AB的中点对应的数为 .如图，已知数轴上有A，B两点，对应的数分别为－2，6，另有数轴上一动点P对应的数为m.
(1)A，B两点之间的距离AB＝_____，若点P为线段AB的中点，则点P对应的数m为_____；若点A为线段BP的中点，则点P对应的数m为_____.
作业设计
(2)若A，B两点同时从图中的位置沿数轴向右匀速运动，点A的速度为每秒3 个单位长度，点B的速度为每秒1 个单位长度，经过多少秒，点A追上点B？此时它们在数轴上对应的数是多少？
作业设计
(3)若A，B两点同时从图中的位置沿数轴向右匀速运动，它们的速度都是每秒1 个单位长度，与此同时，点P从表示20的点处以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，请直接写出：经过多少秒时，A，B，P 三点中其中一点是另外两点为端点的线段的中点？
作业设计
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