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(共29张PPT)
第11讲
反比例函数
广东省卷近年中考数学命题分析
命题点 2025 2024 2023 2022 2021
反比例函数的
图象和性质 题 9，3 分 题 21
求反比例函数的
解析式
反比例函数与
一次函数的交点 题 21(1)，
4 分
反比例函数与
几何知识的结合 题 23，6 分 题 23，14 分
反比例函数的实际应用 题 13，3 分
的图象上，则 k＝(
A.1
)
B.2
C.3
D.4
常数，且 k＞0，则点 M 一定在(
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
B
A
3.(2025 徐州)若点 A(6，y1)，B(5，y2)都在函数 y＝
－2
x
的图象
上，则 y1______y2.(填“＞”“＝”或“＜”)
＞
B
4.已知蓄电池两端电压 U 为定值，电流 I 与 R 成反比例函数
关系.当 I＝4 A 时，R＝10 Ω，则当 I＝5 A 时，R 的值为(
)
A.6 Ω
B.8 Ω
C.10 Ω
D.12 Ω
5.在同一平面直角坐标系中，一次函数 y＝kx＋1 和反比例函
(1)求一次函数的解析式；
1.反比例函数的定义
k≠0)的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数.
回练课本
1.下列式子表示 y 是 x 的反比例函数的是________(填序号).
①③
2.反比例函数的图象和性质
于坐标原点成中心对称，两个分支在第一、三象限或第二、四象
限.
函数 图象 所在象限 性质
(k≠0，k 为常数) k＞0 一、三象限
(x，y同号) 在每个象限内，y随x增大而减小
k＜0 二、四象限
(x，y异号) 在每个象限内，y随x增大而增大
回练课本
2.(1)下列函数中，其图象位于第一、三象限的有___________
(填序号)；
在其图象所在象限内，y 的值随 x 的增大而增大的有________
(填序号)；
①②③
④
y13.反比例函数的解析式的确定
求反比例函数的解析式跟求一次函数的解析式一样，也是待
定系数法.
回练课本
的解析式为____________.
y＝－
6
x
1.关于反比例函数 y＝ ，下列结论正确的是(
反比例函数的图象和性质
)
A.图象位于第二、四象限
B.图象与坐标轴有公共点
C.图象所在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小
D.图象经过点(a，a＋2)，则 a＝1
C
2(答案不唯一)
确定反比例函数的解析式
3
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求△ABC 的面积.
解：(1)∵点 B 是直线与反比例函数的交点，
∴点 B 的坐标满足一次函数解析式.
频率 f/MHz 10 15 50
波长λ/m 30 20 6
反比例函数的应用
5.(跨学科融合)笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电
磁波的波长λ(单位：m)会随着电磁波的频率 f(单位：MHz)的变化
而变化.已知波长λ与频率 f 是反比例函数关系，下表是它们的部分
对应值.
(1)求波长λ关于频率 f 的函数解析式；
(2)当 f＝75 MHz 时，求此电磁波的波长λ.
反比例函数与一次函数、几何图形的综合运用
6.(2025 常州)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y＝
－2)，且与 y 轴交于点 C.
(1)求一次函数、反比例函数的表达式；
(2)连接 OA，求△OAC 的面积.
(1)求直线 AB 和反比例函数的表达式；
(2)求△ABC 的面积.
(2)由一次函数表达式可知 C(0，4)，B(8，0)，A(2，3)，设点
P(0，x)，
解得 x＝－2，∴点 P 的坐标为(0，－2).
函数综合问题常与面积相结合进行考查，解决此类问题需根
据函数解析式设出点的坐标，再根据面积公式对点的坐标进一步
求解.
D
10.(2023 广州)已知正比例函数 y1＝ax 的图象经过点(1，－1)，
)
ax＋b 的图象一定不经过(
A.第一象限
C.第三象限
B.第二象限
D.第四象限
C
11.(2023 广东)某蓄电池的电压为 48 V，使用此蓄电池时，电
时，I 的值为________A.
4(共31张PPT)
第三章
函
数
第9讲
平面直角坐标系和函数的概念
广东省卷近年中考数学命题分析
命题点 2025 2024 2023 2022 2021
点的坐标特征 题 6，3 分
函数概念 题 10，3 分
函数图象的实
际应用 题 8，3 分
2022 新课标
重要变化 ①结合实例，(删除)了解函数的概念和三种(删除)表示
法，能举出函数的实例.
②理解函数值的意义.(新增)
1.(2025 成都)在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(－2，a2＋1)所
)
B
在的象限是(
A.第一象限
C.第三象限
B.第二象限
D.第四象限
2.如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐
标系，已知“車”所在位置的坐标为(－2，2)，则“炮”所在位置
的坐标为(
)
A
A.(3，1)
B.(1，3)
C.(4，1)
D.(3，2)
3.在平面直角坐标系中，若点 P 的坐标为(2，1)，则点 P 关于
y 轴对称的点的坐标为(
)
C
(2，2)
A
A.(－2，－1)
B.(2，－1)
C.(－2，1)
D.(2，1)
4.在平面直角坐标系中，点(－1，2)向右平移 3 个单位长度得
到的点的坐标是________.
5.(2025 内江)在函数 y＝中，自变量 x 的取值范围是(
)
A.x≥2 B.x≤2 C.x＞2 D.x＜2
6.(跨学科融合)如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水
槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高
度，则下列能反映弹簧测力计的读数 y(单位：N)与铁块被提起的
时间 x(单位：s)之间的函数关系的大致图象是(
)
A
A
B
C
D
1.平面直角坐标系
一一对应
(1)对应关系：坐标平面内的点与有序实数对是__________的.
(2)坐标轴上的点：x 轴、y 轴上的点不属于任何象限.
回练课本
1.写出图中点 A，B，C，D，E，F 的坐标.
A(－2，－2)
C(5，－4)
E(2，5)
B(－5，4)
D(0，－3)
F(－3，0)
2.点的坐标特征
(－x，－y)
(1)各象限内点的坐标特征：①点 P(x，y)在第一象限，即 x>0，
y>0；②点 P(x，y)在第二象限，即___________；③点 P(x，y)在第
三象限，即 x<0，y<0；④点 P(x，y)在第四象限，即___________.
(2)坐标轴上点的特征：①x 轴上点的纵坐标为 0；②y 轴上点
的横坐标为______；③原点的坐标为________.
(3)对称点的坐标特征：①点 P(x，y)关于 x 轴的对称点为 P1(x，
－y)；②点 P(x，y)关于 y 轴的对称点为 P2___________；
③点 P(x，y)关于原点的对称点为 P3____________.
x＜0，y＞0
x＞0，y＜0
0
(0，0)
(－x，y)
(x－a，y)
(x，y－b)
|x|
(4)点的平移特征：已知点 P(x，y)，①向右平移 a 个单位长度
得点 P1(x＋a，y)；②向左平移 a 个单位长度得点 P2___________；
③向上平移 b 个单位长度得点 P3(x，y＋b)；④向下平移 b 个单位
长度得点 P4__________.
(5)点到坐标轴的距离：①点 P(x，y)到 x 轴的距离为|y|；②点
P(x，y)到 y 轴的距离为_______；③点 M1(x1，0)，M2(x2，0)之间
的距离为|x1－x2|；④点 M1(0，y1)，M2(0，y2)之间的距离为|y1－y2|.
回练课本
2.(1)点(－2，3)所在的象限是第________象限；点(0，－4)是
________上的点；
二
y 轴
(4，－5)
(2)点(4，5)关于 x 轴对称的点的坐标为__________，关于 y
轴对称的点的坐标为__________ ，关于原点对称的点的坐标为
__________；
(－4，5)
(－4，－5)
(1，1)
(3)将点(3，－2)向左平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位
长度，得到的点的坐标为________；
(4)在平面直角坐标系中，点 A(－2，3)到 x 轴的距离为______，
到 y 轴的距离为________.
3
2
3.函数的有关概念
(1)变量与常量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的
量为变量，数值始终不变的量为常量.
(2)函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变
量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与
其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.
(3)表示方法：解析式法、列表法、图象法.
(4)自变量的取值范围：考虑问题的实际意义和使解析式有
意义.
全体实数
分母不为 0 的实数
①解析式是整式时，自变量的取值范围是________________；
②解析式是分式时，自变量的取值范围是________________；
③解析式是二次根式时，自变量的取值范围是_____________
_________________.
大于等于 0 的实数
(5)函数值：对于一个函数，如果当 x＝a 时，y＝b，那么 b 叫
做当自变量的值为 a 时的函数值.
使被开方数
中自变量 x 的取值范围是__________；
回练课本
3.(1)函数 y＝x＋1 中自变量 x 的取值范围是____________；
函数 y＝
1
x＋1
函数 y＝ 中自变量 x 的取值范围是__________；
(2) 用解析式表示等边三角形的周长 l 关于边长 a 的函数为
____________；
全体实数
x≠－1
x≥1
l＝3a
(3)写出当 x＝5 时对应的函数值：
①y＝3x－5：________；
10
2
4.函数的图象
(1)函数图象的概念：一般地，对于一个函数，如果把自变量
与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内
由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
(2)画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线.
回练课本
4.画出函数 y＝0.5x 的图象.
平面直角坐标系内点的特征
1.在平面直角坐标系中，点 P(－1，m2＋1)位于(
)
B
1
A.第一象限
C.第三象限
B.第二象限
D.第四象限
2.已知 a 为正整数，点 P(4，2－a)在第一象限中，则 a＝____.
坐标的对称点及点的变化规律
3.(2025 青海一模)某中学的圆形花园中间有两条互相垂直的
小路，在 A，B 两处栽种了两棵小树，且两棵小树关于小路对称.
在如图所示的平面直角坐标系内，若点 B 的坐标为(6，3)，则点 A
的坐标为(
)
D
A.(3，6)
B.(3，－6)
C.(－6，－3)
D.(－6，3)
4.在平面直角坐标系中，将点(m，n)先向右平移 2 个单位长度，
)
D
再向上平移 1 个单位长度，最后所得点的坐标是(
A.(m－2，n－1)
B.(m－2，n＋1)
C.(m＋2，n－1)
D.(m＋2，n＋1)
5.如图，在平面直角坐标系中，△ABO 的三个顶点坐标分别
为 A(6，3)，B(6，0)，O(0，0)，若将△ABO向左平移 3 个单位长
度得到△CDE，则点 A 的对应点 C 的坐标是________.
(3，3)
6.(2025 云南)函数 y＝
函数自变量的取值范围
1
x－1
的自变量 x 的取值范围为(
)
A.x≠4 B.x≠3 C.x≠2 D.x≠1
判断函数的取值范围要求函数的各个部分都有意义，故应取
所有部分取值范围的公共部分.
D
x≥－2且x≠1
函数图象的实际应用
8.一条小船沿直线从 A 码头向 B 码头匀速前进，到达 B 码头
后，停留一段时间，然后原路匀速返回 A 码头，在整个过程中，
这条小船与 B 码头的距离 S(单位：m)与所用时间 t(单位：min)之
间的关系如图所示，则这条小船从 A 码头到 B 码头的速度和从 B
)
D
码头返回 A 码头的速度分别为(
A.15 m/min，25 m/min
B.25 m/min，15 m/min
C.25 m/min，30 m/min
D.30 m/min，25 m/min
9.(跨学科融合)如图，取一根长 100 cm 的匀质木杆，用细绳
绑在木杆的中点 O 并将其吊起来，在中点 O 的左侧距离中点
25 cm(L1＝25 cm)处挂一个重 9.8 N(F1＝9.8 N)的物体，在中点 O
的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中
点 O 的距离 L(单位：cm)及弹簧秤的示数 F(单位：N)满足 FL＝
F1L1，以 L 的数值为横坐标，F 的数值为纵坐标建立直角坐标系.
则 F 关于 L 的函数图象大致是( )
A
B
C
D
答案：B
10.(2025 成都)小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时
间后又跑步到书店买书，然后步行回家(小明家、书店、体育馆依
次在同一直线上)，如图表示的是小明离家的距离与时间的关系.
下列说法正确的是(
)
C
A.小明家到体育馆的距离为 2 km
B.小明在体育馆锻炼的时间为 45 min
C.小明家到书店的距离为 1 km
D.小明从书店到家步行的时间为 40 min
11.向高为 10 的容器(形状如图)中注水，注满为止，则水深 h
与注水量 v 的函数关系的大致图象是(
)
D
A
B
C
D
12.(2016 广东)在平面直角坐标系中，点 P(－2，－3)所在的象
限是(
)
C
D
A.第一象限
C.第三象限
B.第二象限
D.第四象限
13.(2020 广东)在平面直角坐标系中，点(3，2)关于 x 轴对称的
点的坐标为(
)
A.(－3，2)
B.(－2，3)
C.(2，－3)
D.(3，－2)
14.(2022 广东)在平面直角坐标系中，将点(1，1)向右平移 2
个单位长度后，得到的点的坐标是(
)
A
C
A.(3，1)
B.(－1，1)
C.(1，3)
D.(1，－1)
15.(2022 广东)水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为 r，
则圆周长 C 与 r 的关系式为 C＝2πr.下列判断正确的是(
)
A.2 是变量
C.r 是变量
B.π是变量
D.C 是常量
运算能力特训——计算能力
16.在平面直角坐标系中，已知点 M(2－m，1＋2m).
(1)若点 M 在 y 轴上，求点 M 的坐标；
(2)若点 M 在第二、四象限的角平分线上，求点 M 的坐标.
解：(1)由题意得 2－m＝0，∴m＝2，
∴1＋2m＝1＋4＝5，∴M(0，5).
(2)∵点 M 在第二、四象限的角平分线上，
∴2－m＋1＋2m＝0，∴m＝－3，
∴2－m＝2－(－3)＝5，1＋2m＝1＋2×(－3)＝－5，
∴M(5，－5).
(1)已知 A(－2，3)，B(4，－5)，求 A，B 两点间的距离；
(2)若一个三角形各顶点的坐标为 A(－1，3)，B(0，1)，C(2，
2)，请判断此三角形的形状，并说明理由.(共23张PPT)
第13讲
二次函数的综合运用
广东省卷近年中考数学命题分析
命题点 2025 2024 2023 2022 2021
二次函数的
综合运用 题 18，
7 分 题 20，
9 分 题 10，3 分
题 23(3)，5 分 题 23，
12 分 题 25，
10 分
1.如图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在 l 时，
拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 3 m，水面宽 6 m.如图(2)所示，建立
平面直角坐标系，则抛物线的解析式是(
图(1)
)
图(2)
A
2.(2025 连云港)如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线 y＝
a(x－3)2＋2.5 运行，其中 x 是铅球离初始位置的水平距离，y 是铅
球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度 OA 为 1.6 m，则铅球
掷出的水平距离 OB 为________m.
8
3.如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴相交于点 A(1，0)，点
B(3，0)，与 y 轴相交于点 C，点 D 在抛物线上，当 CD∥x 轴时，
CD＝________.
4
4.(跨学科融合)为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队
在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余
质量 y(单位：g)随时间 x(单位：min)变化的数据(0≤x≤20)，并分
别绘制在平面直角坐标系中，如图.
选择适当的函数模型分别模拟两种场景下 y 随 x 变化的函数关系，
并求出相应的函数表达式；
(2)查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为 3 g.在
上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？
解：(1)场景 A：y＝－0.04x2＋bx＋c，
场景 B：y＝ax＋21(a≠0).
把(10，16)，(20，3)代入 y＝－0.04x2＋bx＋c，得
∴场景 A 的函数表达式为 y＝－0.04x2－0.1x＋21.
把(5，16)代入 y＝ax＋21，得 5a＋21＝16，解得 a＝－1，
∴场景 B 的函数表达式为 y＝－x＋21.
(2)当 y＝3 时，场景 A 中，x＝20；
场景 B 中，3＝－x＋21，解得 x＝18.
20>18.
答：该化学试剂在场景 A 下发挥作用的时间更长.
二次函数的应用
1.如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边 AD是墙，且 AD
的长不能超过 26 m，其余的三边 AB，BC，CD 用篱笆，且这三边
的总长为 40 m，有下列结论：①AB 的长可以为 6 m；②AB 的长
有两个不同的值满足菜园 ABCD 的面积为 192 m2；③菜园 ABCD
面积的最大值为 200 m2.其中正确结论的个数是(
)
C
A.0
B.1
C.2
D.3
2.(2025 大庆)为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博
物馆新推出 A，B 两种文创纪念品.已知 2 个 A 纪念品和 3 个 B 纪念
品的成本和是 155 元；4 个 A 纪念品和 1 个 B 纪念品的成本和是 135
元.一套纪念品由一个 A 纪念品和一个 B 纪念品组成.规定：每套纪
念品的售价不低于 65 元且不高于 72 元(每套售价为整数).如果每套
纪念品的售价为 72 元，那么每天可销售 80 套.经调查发现，每套纪
念品的售价每降价 1 元，其销售量相应增加 10 套.设每天的利润为
W(单位：元)，每套纪念品的售价为 a 元(65≤a≤72 且 a 为整数).
(1)分别求出每个 A 纪念品和每个 B 纪念品的成本；
(2)求当 a 为何值时，每天的利润 W 最大.
解：(1)由题意，设每个 A 纪念品的成本为 x 元，每个 B 纪念
品的成本为 y 元，
答：每个 A 纪念品的成本为 25 元，每个 B 纪念品的成本为
35 元.
(2)由题意，得每套纪念品的成本为 25＋35＝60(元)，售价为
a 元，
∴每套纪念品的利润为 (a－60)元.
∵每套售价为 72 元时每天销量 80 套，每降价 1 元销量增加
10 套，
∴每天的销量为 80＋10(72－a)＝(800－10a)套.
∴每天的利润 W＝(a－60)(800－10a)
＝－10a2＋1 400a－48 000＝－10(a－70)2＋1 000.
∵－10<0，∴w 随 a 的增大而先增大再减小，
∵65≤a≤72 且 a 为整数，
∴当 a＝70 时，每天的利润 W 最大.
与二次函数相关的综合题
3.抛物线 y＝x2＋bx＋c 与 x 轴相交于 A(－1，0)，B 两点，与
y 轴相交于点 C(0，－3).
(1)求 b，c 的值；
(2)P 为第一象限抛物线上一点，△PBC 的面积与△ABC 的面
积相等，求直线 AP 的解析式.
解：(1)由点 C 的坐标知 c＝－3，
则抛物线的解析式为 y＝x2＋bx－3，
将点 A 的坐标代入上式得 0＝1－b－3，解得 b＝－2.
(2)由(1)得抛物线的解析式为 y＝x2－2x－3.
令 y＝0，则 x2－2x－3＝0，得 x1＝－1，x2＝3.
∴B 点的坐标为(3，0).∵S△PBC＝S△ABC，∴AP∥BC.
∵B(3，0)，C(0，－3)，∴直线 BC 的解析式为 y＝x－3，
∵AP∥BC，∴可设直线 AP 的解析式为 y＝x＋m.
∵A(－1，0)在直线 AP 上，∴0＝－1＋m.
∴m＝1.∴直线 AP 的解析式为 y＝x＋1.
4.(跨学科融合)一名运动员在 10 m 高的跳台进行跳水，身体
(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面 OB 的
高度 y(单位：m)与离起跳点 A 的水平距离 x(单位：m)之间的函数
关系如图所示，运动员离起跳点 A 的水平距离为 1 m 时达到最高
点，当运动员离起跳点 A 的水平距离为 3 m时离水面的距离为 7 m.
(1)y 关于 x 的函数解析式为____________；
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离 OB 的长.
5.(2025 广东)如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长 1.7 km，主
塔高 0.27 km，主缆可视为抛物线，主缆垂度 0.178 5 km，主缆最
低处距离桥面 0.001 5 km，桥面距离海平面约 0.09 km.请在示意图
中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式.
解：如图，建立平面直角坐标系，
即 A(0.85，0.18)，
6.(2023 广东)如图，抛物线 y＝ax2＋c 经过正方形 OABC 的三
个顶点 A，B，C，点 B 在 y 轴上，则 ac 的值为(
)
B
A.－1
B.－2
C.－3
D.－4
7.(2024 广东)广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工
程”，2023 年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销
欧美.某果商以每吨 2 万元的价格收购早熟荔枝，销往国外，若按
每吨 5 万元出售，平均每天可售出 100 吨.市场调查反映：如果每
吨降价 1 万元，每天销售量相应增加 50 吨.该果商如何定价才能使
每天的利润或销售收入最大？并求出其最大值.(题中“元”为人
民币单位)
解：设该果商按每吨 x 万元定价，每天的利润为 w 万元，每
天的销售收入为 y 万元，
w＝(x－2)[100＋50(5－x)]＝－50(x－4.5)2＋312.5，
y＝x[100＋50(5－x)]＝－50(x－3.5)2＋612.5，
∵－50＜0，∴w 和 y 随 x 的增大先增大再减小.
∴当 x＝4.5 时，w 有最大值，最大值为 312.5 万元.
∴当 x＝3.5 时，y 有最大值，最大值为 612.5 万元.
答：该果商定价为每吨 4.5 万元时，才能使每天的利润最大，
其最大值为 312.5 万元；该果商定价为每吨 3.5 万元时，才能使每
天的销售收入最大，其最大值为 612.5 万元.(共36张PPT)
第12讲
二次函数
广东省卷近年中考数学命题分析
命题点 2025 2024 2023 2022 2021
二次函数的
图象和性质 题 8，3 分 题 10，题 23(3) 题 10，题 12，
题 22，题 25
二次函数图象
的平移 题 12，4 分
二次函数的
解析式
(待定系数) 题 15，3 分 题 23(3)，2 分 题 23(1)，4 分
命题点 2025 2024 2023 2022 2021
二次函数图象的顶点坐标、对称轴 题 10，1 分 题 23(2)，2 分
二次函数与一元二次方程、不等式
(二次函数图象与x轴的交点坐标) 题 15，3 分 题 25(1)，5 分
二次函数的
最值 题 23(2)，6 分 题 10，3 分
题 22(2)，4 分
2022新课标
重要变化 ①能用描点法(删除)画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质.
②知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系.(新增)
③会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题.(新增)
④知道二次函数和一元二次方程之间的关系.(新增)
⑤*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.(删除)
B
1.二次函数 y＝－(x＋1)2＋2 图象的顶点所在的象限是(
)
A.第一象限
C.第三象限
B.第二象限
D.第四象限
2.如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为 x＝－2，下
列结论正确的是(
)
C
＜
A.a＜0
B.c＞0
C.当 x＜－2 时，y 随 x 的增大而减小
D.当 x＞－2 时，y 随 x 的增大而减小
3.已知点 A(x1 ，y1)，B(x2 ，y2)在抛物线 y＝x2 －3 上，且 0＜
x1＜x2，则 y1________y2.(填“＜”“＞”或“＝”)
4.将抛物线 y＝x2 先向右平移 3 个单位长度，再向上平移 4 个
单位长度，得到的抛物线的表达式是(
)
A.y＝(x－3)2＋4
C.y＝(x－3)2－4
B.y＝(x＋3)2＋4
D.y＝(x＋3)2－4
5.已知抛物线 y＝ax2＋2x(a≠0)的图象经过点 A(1，3)，则该
抛物线的解析式为____________.
A
y＝x2＋2x
6.已知抛物线 y＝x2－6x＋m 与 x 轴有且只有一个交点，则 m＝
________.
9
7.(2025 徐州)二次函数 y＝x2＋x＋1 的最小值为________.
1.二次函数的定义
y＝ax2＋bx＋c
形如__________________(a，b，c 是常数，a≠0)的函数，叫
做 x 的二次函数.
回练课本
1.若关于 x 的函数 y＝(a－2)x2－x 是二次函数，则 a 的取值范
围是________.
a≠2
函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
图象 a＞0 a＜0
2.二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质
回练课本
2.(1)已知函数 y＝2(x＋1)2＋1.
上
直线 x＝－1
①抛物线的开口向________；
②抛物线的对称轴为______________；
③抛物线的顶点坐标为________；
(－1，1)
－1
④当 x＝________时，函数有最______值，最值为_______；
⑤当 x________时，y 随 x 的增大而增大；
⑥当 x________时，y 随 x 的增大而减小.
小
1
＞－1
＜－1
(2)已知函数 y＝－2x2＋x－4.
①抛物线的开口向________；
②抛物线的对称轴为__________；
③当 x________时，y 随 x 的增大而增大；
④当 x________时，y 随 x 的增大而减小.
下
3.抛物线 y＝a(x－h)2＋k 与 y＝ax2 的关系
(1)二者的形状相同，位置不同，y＝a(x－h)2＋k 是由 y＝ax2
通过平移得来的，平移后的顶点坐标为________.
(2)y ＝ax2 的图象
的图象
y ＝a(x －h)2
y＝a(x－h)2＋k 的图象.
(h，k)
右
左
上
下
回练课本
3.已知二次函数 y＝2x2.
(1) 把它的图象向左平移 1 个单位长度，就得到抛物线 y ＝
______________；
2(x＋1)2
2x2－1
2(x－1)2＋3
(2) 把它的图象向下平移 1 个单位长度，就得到抛物线 y ＝
______________；
(3)把它的图象先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 3 个单
位长度，就得到抛物线 y＝_________________.
4.二次函数的解析式的确定
要确定二次函数的解析式，就是要确定解析式中的待定系数
(常数)：
(1)当已知抛物线上一点或两点时，通常将函数的解析式设为
一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)(通常 a，b，c 中有一至两个是已知
的)；
(2)当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常将函
数的解析式设为顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0).
回练课本
4.(1)已知二次函数y＝ax2＋c的图象经过点(2，3)，(－1，－3)，
则这个二次函数的解析式为______________；
(2)已知二次函数图象的顶点坐标是(－1，1)，且经过点(1，
－3)，则这个二次函数的解析式为__________________.
y＝2x2－5
y＝－(x＋1)2＋1
Δ＝b2－4ac ax2＋bx＋c＝0的根 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点
Δ＞0 两个不相等的实数根 两个交点
Δ＝0 ____________________ __________
Δ＜0 ____________________ __________
5.二次函数与一元二次方程的关系
二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴的交点有三种情况：有
两个交点、有一个交点、没有交点.当图象与 x 轴有交点时，令 y
＝0，解方程 ax2＋bx＋c＝0 就可求出图象与 x 轴交点的横坐标.
无实数根
两个相等的实数根
一个交点
无交点
回练课本
5.(1)二次函数 y＝x2＋x－2 的图象与 x 轴有______个公共点；
(2)二次函数 y＝x2－6x＋9 的图象与 x 轴有______个公共点；
(3)二次函数 y＝x2－4x 的图象与 x 轴的交点坐标为_________
和__________.
两
一
(0，0)
(4，0)
6.二次函数与不等式的关系
x＞x2 或 x＜x1
x1＜x＜x2
设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与x轴交于(x1，0)，(x2，0)两点，
其中 x1＜x2，则不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集为_______________，
不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集为______________.
回练课本
6.已知函数 y＝x2－2x－3.
x1＝3，x2＝－1
(1)方程 x2－2x－3＝0 的解是__________________；
(2)当 x 满足________________时，函数值大于 0；
(3)当 x 满足________________时，函数值小于 0.
x＞3 或 x＜－1
－1＜x＜3
二次函数的图象和性质
1.(2025 陕西)在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2－2ax＋
a－3(a≠0)的图象与 x 轴有两个交点，且这两个交点分别位于 y 轴
)
D
两侧，则下列关于该函数的结论正确的是(
A.图象的开口向下
B.当 x＞0 时，y 的值随 x 值的增大而增大
C.函数的最小值小于－3
D.当 x＝2 时，y＜0
2.已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则点 P(a，b)
)
D
所在的象限是(
A.第一象限
C.第三象限
B.第二象限
D.第四象限
二次函数图象的平移
3.在平面直角坐标系中，将二次函数 y＝(x＋1)2＋3 的图象先
向右平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，所得抛物线
)
对应的函数表达式为(
A.y＝(x＋3)2＋2
C.y＝(x－1)2＋4
B.y＝(x－1)2＋2
D.y＝(x＋3)2＋4
B
二次函数的解析式
4.如图，已知二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图象经过点 A(1，－2)
和 B(0，－5).
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标；
(2)当 y≤－2 时，请根据图象直接写出 x 的取值范围.
解：(1)把 A(1，－2)和 B(0，－5)代入 y＝x2＋bx＋c，
∴二次函数的表达式为 y＝x2＋2x－5.
∵y＝x2＋2x－5＝(x＋1)2－6，∴顶点坐标为(－1，－6).
(2)∵点 A(1，－2)关于对称轴 x＝－1 的对称点为(－3，－2)，
∴当 y≤－2 时，x 的取值范围是－3≤x≤1.
求解二次函数的解析式，若已知图象的顶点坐标，可采用顶
点式；若已知图象与 x 轴的交点坐标，可采用交点式；若已知任
意三点坐标，可采用一般式.
5.(2025 甘肃一模)在平面直角坐标系中，点(1，m)和(3，n)都
在二次函数 y＝ax2＋bx(a≠0，a，b 是常数)的图象上.
(1)若 m＝n＝－6，求该二次函数的解析式；
(2)若 a＝－1，b＝2，直接写出该抛物线的对称轴.
解：(1)由题意，得 a＋b＝m，9a＋3b＝n.
又∵m＝n＝－6，解得 a＝2，b＝－8，
∴二次函数的解析式为 y＝2x2－8x.
(2)对称轴是直线 x＝1.
二次函数与一元二次方程、不等式的关系(抛物线与 x
轴的交点)
－2＜x＜3
x＝3
x1＝－2，x2＝3
6.如图，在平面直角坐标系中，直线 y1＝mx＋n 与抛物线 y2
＝ax2＋bx－3 相交于点 A(－2，5)，B(3，0)，则 y1＞y2 的解集为
_________，方程 ax2＋bx－3＝0 的正数解为_______，方程 ax2＋
bx－3＝mx＋n 的解为______________.
7.(2025 浙江三模)在平面直角坐标系中，已知二次函数 y＝
x2＋bx＋c(b，c 为常数)图象的对称轴为直线 x＝2，且过点(0，1).
(1)求该二次函数的表达式；
(2)若将该函数图象向上平移 m 个单位长度后，所得图象与 x
轴只有一个交点，求 m 的值.
解：(1)∵对称轴为直线 x＝2，
∵二次函数的图象经过点(0，1)，∴c＝1，
∴二次函数的表达式为 y＝x2－4x＋1.
(2)设平移后的二次函数表达式为 y＝x2－4x＋1＋m，
∵平移后的图象与 x 轴只有一个交点，
∴Δ＝b2－4ac＝16－4(1＋m)＝0，
解得 m＝3.
求二次函数的最值
8.(2025 黑龙江模拟)二次函数 y ＝－x2 ＋2x －1 的最大值为
________.
0
9.已知二次函数 y＝－x2＋bx＋c.
(1) 当 b ＝4 ，c ＝3 时，①求该函数图象的顶点坐标；②当
－1≤x≤3 时，求 y 的取值范围.
(2)若当 x≤0 时，y 的最大值为 2；当 x＞0 时，y 的最大值为
3，则二次函数的表达式为______________.
解：(1)①∵b＝4，c＝3，
∴y＝－x2＋4x＋3＝－(x－2)2＋7，
∴顶点坐标为(2，7).
②∵－1≤x≤3 且顶点坐标为(2，7)，
∴当 x＝2 时，y 有最大值 7，
∵2－(－1)＞3－2，
∴当 x＝－1 时，y 有最小值为－(－1)2＋4×(－1)＋3＝－2，
∴当－1≤x≤3 时，y的取值范围为－2≤y≤7.
(2)y＝－x2＋2x＋2
10.(2025 广东)已知二次函数 y＝－x2＋bx＋c 的图象经过点(c，
0)，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是_____________
______________. (写出一个即可)
11.(2024 广东)若点(0 ，y1) ，(1 ，y2) ，(2 ，y3) 都在二次函数
)
A
y＝x2 的图象上，则(
A.y3＞y2＞y1
C.y1＞y3＞y2
B.y2＞y1＞y3
D.y3＞y1＞y2
(答案不唯一)
y＝－x2＋1
12.(2024广东)如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的对称轴是 x＝1，
有下列结论：①abc＞0；②b2－4ac＞0；③8a＋c＜0；④5a＋b＋
2c＞0.其中正确的有(
)
B
A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个
当(
)时，y1，y2 均随着 x 的增大而减小.
A.x＜－1
C.0＜x＜2
B.－1＜x＜0
D.x＞1
D(共34张PPT)
第10讲
一次函数
广东省卷近年中考数学命题分析
命题点 2025 2024 2023 2022 2021
一次函数的
图象和性质 题 10，3 分
一次函数的
解析式
(待定系数) 题 23(2)，1 分 题 16(2)，5 分 题 20，9 分 题 21(2)，4 分
一次函数与几何知识的结合 题 23，5 分 题 23，2 分
1.一次函数 y＝x＋1 的图象不经过(
)
D
D
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.在同一平面直角坐标系中，函数 y＝ax 和 y＝x＋a(a 为常数，
a＜0)的图象可能是(
)
A
B
C
D
3.将函数 y＝2x＋1 的图象向下平移 2 个单位长度，所得图象
)
A
对应的函数表达式是(
A.y＝2x－1
C.y＝4x－3
B.y＝2x＋3
D.y＝4x＋5
4.(2025 南通)已知直线 y＝kx＋b 经过第一、第二、第三象限，
)
则 k，b 的取值范围是(
A.k＜0，b＜0
C.k＞0，b＜0
B.k＜0，b＞0
D.k＞0，b＞0
D
5.(2025 天津)将直线 y＝3x－1 向上平移 m 个单位长度，若平
移后的直线经过第三、第二、第一象限，则 m 的值可以是_______
________ (写出一个即可).
不唯一)
2(答案
6.如图，一次函数 y＝kx＋b 的图象经过 A(2，4)，B(0，2)两
点，与 x 轴交于点 C.
(1)求 k，b 的值；
(2)求△AOC 的面积.
解：(1)把 A(2，4)，B(0，2)代入 y＝kx＋b，
(2)直线的解析式为 y＝x＋2，
当 y＝0 时，x＝－2，即 OC＝2，
1.一次函数与正比例函数的定义
如果 y＝kx＋b(k≠0)，那么 y 是 x 的一次函数，当 b＝0 时，
一次函数 y＝kx 也叫正比例函数.正比例函数是一次函数的特例，
具有一次函数的性质.
回练课本
1.下列函数中，__________是一次函数，_______是正比例函
数.(填序号)
①④
①
2.一次函数与正比例函数的关系
一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象是过点(0，b)且与直线 y＝kx
平行的一条直线.它可以由直线 y＝kx 平移得到.它与 x 轴的交点为
，与 y 轴的交点为(0，b).
回练课本
2.直线 y＝－x＋3 与 x 轴的交点坐标为________，与 y 轴的交
点坐标为________，它可以看作由直线 y＝－x 向________平移
________个单位长度而得到.
(3，0)
(0，3)
上
3
函数 系数取值 大致图象 经过的象限 函数性质
y＝kx
(k≠0) k＞0 一、三 y 随 x 增大而
增大
k＜0 二、四 y 随 x 增大而
减小
3.一次函数的图象与性质
函数 系数取值 大致图象 经过的象限 函数性质
y＝kx＋b
(k≠0) k＞0
b＞0 一、二、三 y 随 x 增大而
增大
k＞0
b＜0 一、三、四
k＜0
b＞0 一、二、四 y 随 x 增大而
减小
k＜0
b＜0 二、三、四
回练课本
3.(1)函数 y＝－5x 的图象在第________象限内，经过点(0，
________)与点(1，________)，y 随 x 的增大而________；
(2)一次函数 y＝2x－2 的图象经过第___________象限，y 随
x 的增大而______；
二、四
0
－5
减小
(3)已知一次函数 y＝kx＋b 的图象如图所示，则 k_______0，
b________0.
一、三、四
增大
＜
＜
4.确定一次函数的解析式
用待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤：
(1)由题意设出函数的关系式；
(2)根据图象所过的已知点或函数满足的自变量与函数的对应
值列出关于待定系数的方程组；
(3)解关于待定系数的方程或方程组，求出待定系数的值；
(4)将求出的待定系数代回到原来设的函数关系式中即可求
出.
回练课本
4.(1)已知正比例函数的图象经过点(1，2)，则这个函数的解析
式为____________；
(2)已知一次函数的图象经过点(3，0)，(0，2)，则这个函数的
解析式为____________.
y＝2x
一次函数的图象和性质
1.(2025 新疆)在平面直角坐标系中，一次函数 y＝x＋1 的图象
是(
)
D
A
B
C
D
)
2.关于一次函数 y＝5x－1，下列说法正确的是(
A.图象经过第一、三、四象限
B.图象与 y 轴交于点(0，1)
C.函数值 y 随自变量 x 的增大而减小
D.当 x＞－1 时，y＜0
A
5
3.若直线 y＝x 向上平移 3 个单位长度后经过点(2，m)，则 m
的值为________.
求一次函数的解析式
4.如图，过点 A(－4，2)的直线 l 交 y 轴于点 B，将点 A 先向
右平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度得到点 C，点 C
恰好也在直线 l 上.求直线 l 的解析式及点 B 的坐标.
解：∵将点 A(－4，2)先向右平移 2 个单位长度，再向下平移
3 个单位长度得到点 C，∴C(－2，－1)，
设直线 l 的解析式为 y＝kx＋b，∵直线 l 过点 A，C，
令 x＝0，则 y＝－4，∴B(0，－4).
5.如图，已知直线 l：y＝kx＋b 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两
点，且 OA＝2OB＝8，x 轴上一点 C 的坐标为(6，0)，P 是直线 l
上一点.
(1)求直线 l 的函数解析式；
(2)连接 OP 和 CP，当点 P 的横坐标为 2 时，△COP 的面积
为________.
解：(1)∵OA＝2OB＝8，∴A(8，0)，B(0，4)，
∵y＝kx＋b 的图象过点 A，B，
(2)9
用待定系数法求解一次函数解析式，可先通过平行关系或垂
直关系求出 k 的值.
一次函数与方程(组)、不等式的关系
6.(2025 北京模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y＝
kx＋b(k≠0)的图象由函数 y＝x 的图象平移得到，且经过点(1，2).
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当 x＜1 时，对于 x 的每一个值，函数 y＝mx(m≠0)的值小
于一次函数 y＝kx＋b 的值，直接写出 m 的取值范围.
解：(1)∵一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象由直线 y＝x 平移得
到，∴k＝1，
将点(1，2)代入 y＝x＋b，
得 1＋b＝2，解得 b＝1，
∴一次函数的解析式为 y＝x＋1.
(2)把点(1，2)代入 y＝mx，求得 m＝2，
∵当 x＜1 时，对于 x 的每一个值，函数 y＝mx(m≠0)的值小
于一次函数 y＝x＋1 的值，
∴1≤m≤2.
7.已知一次函数 y＝ax＋2 的图象与 x 轴的交点坐标为(3，0)，
则一元一次方程 ax＋2＝0 的解为(
)
A
A.x＝3
B.x＝0
C.x＝2
D.x＝a
8.(2025 宁夏)如图，直线 l1：y＝k1x＋b1 与直线 l2：y＝k2x＋b2
9.如图，正比例函数 y＝－3x 与一次函数 y＝kx＋4 的图象交
于点 P(a，3)，则不等式 kx＋4＞－3x 的解集为(
)
B
A.x＜－1
B.x＞－1
C.x＞－2
D.x＞0
一次函数的应用
10.(跨学科融合) “中国石化”推出促销活动，一张加油卡的
面值是 1 000 元，打九折出售.使用这张加油卡加油，每升油的单
价降低 0.3 元.假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完.
(1)打折后实际花了________元钱购买加油卡.
(2)降价后每升油的单价为 y 元/升，原价为 x 元/升，求 y 关于
x 的函数解析式(不用写出 x 的范围).
(3)若油的原价是 7.3 元/升，优惠后油的单价比原价便宜多少
元？
解：(1)900
(2)由题意知 y＝0.9(x－0.3)＝0.9x－0.27，
∴y 关于 x 的函数解析式为 y＝0.9x－0.27.
(3)当 x＝7.3 时，y＝0.9×7.3－0.27＝6.3，
∵7.3－6.3＝1，
∴优惠后油的单价比原价便宜 1 元.
11.(2025 宿迁)甲、乙两人从同一地点 M 出发沿同一路线匀速
步行前往 N 处参加活动.甲比乙早出发 6 min，两人途中均未休息，
先到达 N 处的人在原地休息等待，直到另一人到达 N 处.两人之间
的路程 y(单位：m)与甲行走的时间 t(单位：min)的函数图象如图
所示.
(1)乙步行的速度为______m/min，MN 之
间的路程为______m.
(2)当 18≤t≤50 时，求 y 关于 t 的函数表
达式.
(3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为 450 m？
解：(1)90 3 960
(2)由题图可知，点 C 的纵坐标为 3 960－60×50＝960，
∴C(50，960)，
当 18≤t≤50 时，设 y＝kt＋b，将 B(18，0)，C(50，960)代入，
∴y＝30t－540(18≤t≤50).
(3)当 18≤t≤50 时，令 y＝30t－540＝450，
即 30t＝990，解得 t＝33；
当 t＞50 时，60t＝3 960－450，
即 60t＝3 510，解得 t＝58.5.
综上，当甲出发 33 min 或 58.5 min 时，两人之间的路程为
450 m.
12.(2024 广东)已知不等式 kx＋b＜0 的解集是 x＜2，则一次函
数 y＝kx＋b 的图象大致是(
)
B
A
B
C
D
13.(2020 广州)一次函数 y ＝－3x ＋1 的图象过点(x1 ，y1) ，
)
(x1＋1，y2)，(x1＋2，y3)，则(
A.y1＜y2＜y3
C.y2＜y1＜y3
B.y3＜y2＜y1
D.y3＜y1＜y2
B
14.(2025 广东)在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定
功率运行，其电池剩余的能量 y(单位：W·h)与
骑行里程 x(单位：km)之间的关系如图.当电池
剩余能量小于 100 W·h 时，摩托车将自动报警.
根据图象，下列结论正确的是(
)
C
A.电池能量最多可充 400 W·h
B.摩托车每行驶 10 km 消耗能量 300 W·h
C.一次性充满电后，摩托车最多行驶 25 km
D.摩托车充满电后，行驶 18 km 将自动报警

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