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2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题
单项选择题（每小题3分，共18分）
1．下列交通标志既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A．禁止驶入B．两侧变窄C．环岛行驶 D．两侧通行
2．下列成语所反映的事件中，是确定事件的是（　　）
A．十拿九稳 B．守株待兔 C．水中捞月 D．一箭双雕
3．若关于x的一元二次方程（x﹣2）2+k＝0有两个不相等的实数根，则常数k的值可以是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y≥t时，﹣n﹣3≤x≤﹣n+1．若A（3n，p），B（﹣n+4，q）是抛物线y＝ax2+bx+c上两点，且p＜q，则n的取值范围是（　　）
A． B．n＜﹣1或 C． D．或n＞1
5．如图，AB是⊙O的直径，C，D，E是⊙O上三点，连接AD，CD，CE，EB，若∠CEB＝25°，则∠D的度数是（　　）
A．50° B．60° C．65° D．70°
6．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．p与S的函数关系式为p
B．当S＝0.5m2时，p＝2000Pa
C．当S＞2m2时，p＞50Pa
D．p随S的增大而增大
二．填空题（每小题3分，共15分）
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD的度数为124°，则∠DCE的度数为 　 　 °．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝24°．将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A'B'C使得点A′恰好落在AB边上，则α等于 　 　 ．
9．如图，点A是y轴上一点，过点A作AB∥x轴交反比例函数于点B，点C、D是x轴上的两点，CD＝2AB，若四边形ABCD的面积是12，则k的值为 　 　 ．
10．如图，直线a∥b，直线m分别交a，b于点A，B．以点A为圆心，AB长为半径画弧，分别交b，a于直线m同侧的点C，D．连接BD，若∠ADB＝25°，AB＝6，则的长等于　 　 ．
11．生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数，满十进一，例如：12＝1×10+2；235＝2×10×10+3×10+5；在一种六进制计数法中，它是用0～5这6个数字来表示数，满6进一，例如：六进制数12对应十进制的数为1×6+2＝8，六进制数235对应十进制的数为2×62+3×6+5＝95，那么六进制数325对应十进制的数为　 　 ．
三．解答题（每小题6分，共18分）
12．（6分）一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，从中任意摸出1个球后，不放回，将袋中剩余的球搅匀，再从中任意摸出1个球．用画树状图或列表的方法，求2次都摸到红球的概率．
13．（6分）【数学材料】：“对数”是数学中的一个重要概念，通过将对数运算转化为指数运算的逆运算，进而简化了复杂运算，更方便地处理一些数学问题．定义：如果ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫作以a为底的N的对数，记作x＝logaN，其中a叫作对数的底．
【初步运用】：
（1）请把下列算式改写成对数的形式：23＝8，对数的形式为 　 　 ；，对数的形式为 　 　 ；
（2）若loga27＝3，则a＝ 　 　 ；loga，则a＝ 　 　 ；
【理解应用】：
（3）若，log4（3x+y﹣1）＝2，若logt（5x+y）＝3，求t的值．
14．（6分）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着长为3m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗．
问题：
（1）这只狗的最大活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？
（2）如果这只狗拴在夹角为120°的墙角，那么它最大的活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？
（3）如果这只狗拴在夹角为n°的墙角，那么它最大的活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？
小结：在半径为R的圆中，圆心角为n°，其所对的弧长的计算公式：　 　 ；
在半径为R的圆中，圆心角为n°，其所对的扇形的面积公式：　 　 ．
思考：根据以上公式，你发现弧长与扇形的面积具有怎样的关系呢？S扇＝　 　 l．
四．解答题（每小题7分，共21分）
15．（7分）在6×8的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C是⊙O与网格线的三个交点，仅用无刻度直尺在网格中完成作图，不写画法，保留作图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．
（1）如图1，画劣弧的中点D，并在圆上画出一点E，使得CE∥AB；
（2）如图2，将线段AB绕圆心O逆时针旋转90°得到线段MN（点M与点B对应）；并过点A作圆O的切线．
16．（7分）如图所示，一次函数y1x+3和反比例函数y2（x＞0）的图象交于点B（m，4），与y轴交于点A．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线AB向下平移使其经过原点，与y2（x＞0）的图象交于点C，连接AC，BC，求△ABC的面积．
17．（7分）如图，四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝BC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
（1）如果筝形的两条对角线长分别为6cm、8cm，求筝形的面积？
（2）已知筝形ABCD的对角线AC，BD的长度为整数值，且满足AC+BD＝6．试求当AC，BD的长度为多少时，筝形ABCD的面积有最大值，最大值是多少？
五．解答题（每小题8分，共16分）
18．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A（2，m）和B两点，
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标．
（3）直接写出x+1的自变量x的取值范围．
19．（8分）如图，点O是△ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE、OD并延长交CB的延长线于点F，D为弧AE中点．
（1）连接AF，求证：AF是⊙O的切线；
（2）若FC＝15，AC＝9，求FD的长．
六．解答题（每小题10分，共20分）
20．（10分）如图，Rt△ABC中，AB＝BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转，旋转角为α，A、B的对应点分别为D、E．连接BE并延长与AD交于点F．
（1）如图1，若α＝45°，则EF与DF的数量关系是　 　 ；
（2）如图2，求证：；
（3）如图3，在射线AB上分别取点H、G（H、G不重合），使得BG＝BH＝1，在△ABC旋转过程中，当的值最大时，直接写出△AFG的面积．
21．（10分）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形EFGH是平行四边形．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接AC、BD， ∵H，G分别为AD，CD的中点， ∴HG∥AC．（依据1） ∵E，F分别为AB，BC的中点， ∴EF∥AC． ∴HG∥EF 同理：HE∥GF ∴四边形EFGH是平行四边形．（依据2） 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnon，Pierte1654 1722）是法国数学家，力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．例如：瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系．
任务：
（1）填空：材料中的依据1是：　 　 ．依据2是：　 　 ．
（2）如图2，猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC，BD长度的关系，并证明你的结论．
（3）请用刻度尺，三角板等工具，画出四边形ABCD的对角线AC与BD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，且四边形ABCD的对角线AC与BD的夹角为60°，求瓦里尼翁平行四边形EFGH中∠HEF的度数．
七．解答题（共12分）
22．（12分）已知函数y＝﹣x2+bx+c（其中b，c是常数），
（1）若（﹣1，0），（0，5）两点在该函数图象上，求此函数的表达式；
（2）在（1）的条件下，函数y＝﹣x2+bx+c的图象顶点为A，与x轴正半轴交点为B，与y轴的交点为C，若将该图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；
（3）若c＝2b2，当﹣2≤x≤0时，函数y＝﹣x2+bx+c的最大值为8，直接写出b的值．
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A C D D C A
二．填空题
7．62．
8．48°．
9．8．
10．．
11．125．
三．解答题
12．解：画树状图如下：
一共有6种等可能的结果，其中2次都摸到红球有2种可能的结果，
∴P（2次都摸到红球）．
13．解：（1）根据题意可知，对数的形式为log28＝3，
∵，
∴对数的形式为．
故答案为：log28＝3；；
（2）根据题意可知，a3＝27，
解得：a＝3，
，
解得：或（负数舍去）．
故答案为：3；；
（3）根据题意可知，，
42＝3x+y﹣1＝16，
解得：或，
∵logt（5x+y）＝3，
∴t3＝5x+y，
当x＝5，y＝2时，t3＝5x+y＝5×5+2＝27，
t3＝33，
解得：t＝3；
当x＝﹣4，y＝29时，t3＝5x+y＝5×（﹣4）+29＝9，
t3＝9，
；
∴t＝3或．
14．解：（1）π×32＝9π（m2），2π×3＝6π（m），
答：这只狗的最大活动区域有9π m2，这个区域的边缘的长是6π m；
（2）3π（m2），2π（m），
答：这只狗的最大活动区域有3π m2，这个区域的边缘的长是2π m；
（3）（m2），（m），
答：这只狗的最大活动区域有m2，这个区域的边缘的长是m；
小结：在半径为R的圆中，圆心角为n°，其所对的弧长的计算公式：；
在半径为R的圆中，圆心角为n°，其所对的扇形的面积公式：．
思考：根据以上公式，发现弧长与扇形的面积的关系为S扇Rl．
四．解答题
15．解：（1）如图1中，点D，线段CE即为所求；
（2）如图2中，线段MN，直线AG即为所求．
16．解：（1）对于一次函数y1x+3，代入点B得，m+3＝4，
解得：m＝2，即B（2，4），
将B点代入反比例函数y2中得，4，
解得：k＝8，
y2；
（2）由于平移经过原点可得，AB∥OC，
∴S△ABO＝S△ABC，
对于一次函数y1x+3，令x＝0，则y＝3，即A（0，3），
∵3，
∴S△ABC＝3，
答：△ABC的面积为3．
17．解：（1）∵AD＝CD，
∴点D在AC的垂直平分线上．
同理点B在AC的垂直平分线上．
∴BD垂直平分AC．
∴AC⊥BD．
∴S筝形＝S△ADC+S△ABC
．
又∵筝形的两条对角线长分别为6cm，8cm，
∴（cm2）．
（2）令AC＝xcm，则BD＝（6﹣x） cm，
由（1）知，
S筝形ABCDx （6﹣x）
3x
（x﹣3）2，
又∵AC，BD的长度为整数值，
则当AC＝3时，
S筝形ABCD有最大值，最大值为．
此时BD＝6﹣3＝3（cm）．
即当AC＝3，BD＝3时，S筝形ABCD有最大值，最大值为．
五．解答题
18．解：（1）∵一次函数yx+1的图象过点A（2，m），
∴m2+1＝2，
∴点A（2，2），
∵反比例函数y的图象经过点A（2，2），
∴k＝xy＝2×2＝4，
∴反比例函数的解析式为：y；
（2）联立方程组可得：，
解得：或，
∴点B（﹣4，﹣1）；
（3）观察图象，不等式x+1的解集为﹣4＜x＜0或x＞2．
19．（1）证明：在△AOF和△EOF中，
，
∴△AOF≌△EOF（SAS），
∴∠OAF＝∠OEF，
∵BC与⊙O相切，
∴OE⊥FC，
∴∠OAF＝∠OEF＝90°，
即OA⊥AF，
∵OA是⊙O的半径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△CAF中，∠CAF＝90°，FC＝15，AC＝9，
∴AF12，
∵∠OCE＝∠FCA，∠OEC＝∠FAC＝90°，
∴△OEC∽△FAC，
∴，
设⊙O的半径为r，则，
解得r＝4，
在Rt△FAO中，∠FAO＝90°，AF＝12，AO＝4，
∴OF4，
∴FD＝OF﹣OD＝44，
即FD的长为44．
六．解答题
20．（1）解：如图1，当α＝45°时，△ABC绕点C顺时针旋转45°得到△DEC，
则∠BCE＝∠ACD＝45°，∠DEC＝∠ABC＝90°，CE＝CB，CD＝CA，DE＝AB，∠CDE＝∠BAC，
∵Rt△ABC中，AB＝BC＝2，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，DE＝CE＝2，
∴∠CDE＝45°，
∴∠ACB＝∠BCE，即点E落在AC上，
∴∠CBE＝∠CEB67.5°，∠CAD＝∠CDA＝67.5°，
∴∠DEF＝180°﹣∠CEB﹣∠DEC＝22.5°，∠ADE＝∠CDA﹣∠CDE＝22.5°，
∴∠DEF＝∠ADE，
∴EF＝DF，
故答案为：EF＝DF；
（2）证明：如图2，过点C作CN⊥BE于点N，过点D作DM⊥BE，交BE的延长线于点M，
则∠M＝∠CNE＝90°，
∴∠ECN+∠CEN＝90°，
由旋转得：∠CED＝∠ABC＝90°，CE＝BC＝DE＝AB＝2，∠BCE＝∠ACD，
∴∠DEM+∠CEN＝90°，
∴∠ECN＝∠DEM，
在△CEN和△EDM中，
，
∴△CEN≌△EDM（AAS），
∴CN＝EM，EN＝DM，
∵BC＝CE，CN⊥BE，
∴BN＝EN，
∴DM＝BN，
∵∠BCE＝45°+∠ACE＝∠ACD，1，
∴△BCE∽△ACD，
∴∠FBC＝∠FAC，
∴∠AFB＝∠ACB＝45°，
∴∠DFM＝∠AFB＝45°，
∴△DFM是等腰直角三角形，
∴DM＝MF，
∴DFFM，
∵DM+EF＝EN+EF，
∴MF+EF＝EN+EF，即ME＝FN，
∵ME＝CN，
∴CN＝FN，
∴FCFN，
∵CB＝CE，CN⊥BE，
∴BN＝EN＝DM，
∴BF＝BN+FN＝DM+FN，
∴BFDMFN，
∴BF＝DF+CF；
（3）解：如图3，取AC的中点O，连接OH，OF，OG，在OG上取OQ，连接FQ，
∵Rt△ABC中，AB＝BC＝2，
∴AC＝2，
由（2）知：∠DFM＝∠DFN＝45°，
∴∠CFA＝90°，
∵O为AC的中点，
∴OFAC，
∵BG＝BH＝1，
∴AH＝BH＝1，又AO＝OC，
∴OH是△ABC的中位线，
∴OHBC＝1，OH∥BC，
∴∠OHG＝90°，
∴OG，
∵OF2＝（）2＝2，OQ OG2，
∴OF2＝OQ OG，
∴，
又∵∠FOQ＝∠GOF，
∴△FOQ∽△GOF，
∴，
∴FQFG，
当F、H、Q三点共线时，FG﹣FH＝FQ﹣FH＝HQ的值最大，如图4，
过点F作FK⊥AB于点K，过点Q作QL⊥AB于点L，过点O作OR⊥FK，交FK的延长线于R，
则∠GLQ＝∠QLH＝∠FKH＝∠AKF＝90°，
∵O、H分别为AC、AB的中点，
∴OH∥BC，OHBC＝1，
∴∠OHG＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴FK∥OH∥QL，
∵OG，
∴GQ＝OG﹣OQ，
∵QL∥OH，
∴△GQL∽△GOH，
∴，
∴GLGH，QLOH，
∴LH＝GH﹣GL＝2，
在Rt△HQL中，HQ1，
∵FK∥QL，
∴△HFK∽△HQL，
∴，
设HK＝4x，FK＝3x，
∵∠R＝∠HKR＝∠OHK＝90°，
∴四边形OHKR是矩形，
∴OR＝HK＝4x，KR＝OH＝1，
∴FR＝FK+KR＝3x+1，
在Rt△FOR中，OR2+FR2＝OF2，
∴（4x）2+（3x+1）2＝2，
解得：x，
∵x＞0，
∴x，
∴FK＝3x，
S△AFGAG FK3．
21．（1）证明：如图2，连接AC、BD，
∵H，G分别为AD，CD的中点，
∴HG∥AC．（三角形中位线定理）
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF∥AC．
∴HG∥EF，
同理：HE∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形．（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
故答案为：三角形中位线定理；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）解：瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于对角线AC与BD长度之和．
证明：∵H，G分别为AD，CD的中点，
∴，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴，
∴，
同理：，
∴瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长为HG+EF+HE+GF
＝AC+BD；
（3）解：四边形ABCD的对角线AC与BD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，如图2，图3即为所求；
当四边形ABCD的对角线AC与BD的夹角为60°时，分两种情况讨论：
①如图2，当∠AO1B＝60°时，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF∥AC，
∴∠BP1E＝∠AO1B＝60°，
∵H，E分别为AD，AB的中点，
∴HE∥BD，
∴∠HEF＝∠BP1E＝60°；
②如图3，当∠AO2D＝60°时，则∠AO2B＝120°，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF∥AC，
∴∠BP2E＝∠AO2B＝120°，
∵H，E分别为AD，AB的中点，
∴HE∥BD，
∴∠HEF＝∠BP2E＝120°；
综上，瓦里尼翁平行四边形EFGH中∠HEF的度数为60°或120°．
七．解答题
22．解：（1）已知（﹣1，0），（0，5）两点在函数y＝﹣x2+bx+c图象上，把（﹣1，0），（0，5）代入得：
，
解得，
∴此函数的表达式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）函数y＝﹣x2+4x+5的图象顶点为A，与x轴正半轴交点为B，与y轴的交点为C，
令y＝0，得：﹣x2+4x+5＝0，
解得：x＝5或﹣1，
∴B（5，0）
令x＝0，得：y＝5，
∴C（0，5），
∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴顶点A的坐标为（2，9），
平移后顶点坐标为（2，9﹣m）．
过点A作y轴的平行线交BC于点H，如图，
设直线BC的解析式为y＝kx+5，把点B的坐标代入得：
5k+5＝0，
解得k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5，
当x＝2时，y＝3，
∴H（2，3），
函数图象的顶点落在△ABC的内部，则3＜9﹣m＜9，
解得0＜m＜6；
（3）b的值为2或．理由如下：
若c＝2b2，则y＝﹣x2+bx+2b2，
∴函数的对称轴为直线，
当，即b≥0时，
x＝0时，y取得最大值，即2b2＝8，
解得：b＝2或﹣2（不合题意，舍去）；
当，即﹣4＜b＜0时，
时，y取得最大值，即，
解得：或（不合题意，舍去）；
当，即b≤﹣4时，
x＝﹣2时，y取得最大值，即﹣（﹣2）2﹣2b+2b2＝8，
解得：b＝3（舍去）或﹣2（舍去）；
综上所述，b的值为2或．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/25 15:40:02；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353

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