资源简介

河南省南阳市方城第一高级中学2025-2026学年高二（上）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为( )
A. B. C. D.
2.在空间直角坐标系中，已知点，，若点关于轴对称的点为，点关于平面对称的点为，则( )
A. B. C. D.
3.已知随机变量服从正态分布，且，则( )
A. B. C. D.
4.如图是某个闭合电路的一部分，每个元件的可靠性是，则从到这部分电路畅通的概率为( )
A. B. C. D.
5.夏老师从家到学校，可以选择走锦绣路、杨高路、张杨路或者浦东大道，由于夏老师不知道杨高路有一段在修路导致第一天上班就迟到了，所以夏老师决定以后要绕开那段维修的路，如图，假设夏老师家在处，学校在处，段正在修路要绕开，则夏老师从家到学校的最短路径有条．
A. B. C. D.
6.已知，分别是双曲线的左右焦点，为双曲线右支上一点，，的角平分线交轴于，，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知在的二项展开式中，第项为常数项，若在展开式中任取项，其中有理项的个数为，则( )
A. B. C. D.
8.定义：圆锥曲线的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆已知椭圆的方程为，是直线：上的一点，过点作椭圆的两条切线与椭圆相切于、两点，是坐标原点，连接，当为直角时，则( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有三个相同的箱子，分别编号，，，其中号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球，这些球除颜色外完全相同某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到红球”，事件表示“摸到白球”，则( )
A. B.
C. D.
10.抛物线：的焦点为，过的直线交于，两点，过，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的是( )
A. 以线段为直径的圆与轴相切 B.
C. D. 当时，
11.如图，在棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点含边界，则下列说法中正确的有( )
A. 直线与所成角的正切值为
B. 用平面截该正方体，所得截面周长为
C. 若平面，则长度的取值范围为
D. 若，则动点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，，若，则， ．
13.经过点，且与圆：相切于原点的圆的方程为 ．
14.学校举行德育知识竞赛，甲、乙、丙、丁、戊位同学晋级到了决赛环节，通过笔试决出了第名到第名甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对他们说：“决赛人的成绩各不相同，但你们俩的名次是相邻的”，丙、丁两名参赛者也去询问成绩，回答者对丙说：“很遗憾，你和丁都未拿到冠军”，又对丁说：“你当然不会是最差的“从这个回答分析，人的名次排列情况共有 种
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆：的圆心在直线上，圆与直线相交于，两点，且．
求圆的方程；
已知直线过点且与圆相切，求直线的方程．
16.本小题分
在二项式的展开式中．
若为满足的整数，且展开式中有常数项，求的值和常数项；
若展开式后三项的二项式系数的和等于，求展开式中系数最大的项．
17.本小题分
设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为，购买乙种商品的概率为，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．
求进入商场的位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
记表示进入商场的位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列及期望．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，满足，，底面，，，．
求证：平面平面；
若平面与平面的夹角的余弦值为，求到平面的距离．
19.本小题分
已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为，，，为椭圆上异于，的两点．
求椭圆的方程．
设直线，的斜率分别为，，且直线过定点．
设和的面积分别为，，求的最大值；
证明为定值，并求出该定值．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15解：根据题意，圆：的圆心为，
由圆心在直线上，可得，解得，即圆心的坐标为，
取中点为，连接、、，可得，
圆心到直线的距离，
由，可得，中，，
可得圆的方程为；
当直线斜率不存在时，方程为，
圆心到直线的距离，故直线与圆相切，符合题意；
当直线斜率存在时，设直线：，即，
根据直线与圆相切，可知圆心到直线的距离，
即，解得，
所以直线的方程为，即．
综上所述，满足条件的直线的方程为或．
16.解：设展开式的第项为常数项，
，
，
，
，，
，即常数项为；
由题意可知，
解得，
的展开式的通项，，，，，．
设展开式中第项的系数最大，则，
解得，
二项展开式中系数最大项的项为第项和第项，
，．
17.解：进入商场的位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的对立事件为，该顾客即不购买甲商品也不购买乙商品，则；
的取值有、、、，则
，，，，
故分布列为
．
18.解：证明：连接，，交于点，
在平面内，，，，
∽，
，，，，
，又，，，，
，，
，，，
又平面，平面，，
，平面，
平面，平面平面．
平面，，平面，，，
又，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
设，，则，，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，取，得，，
，
平面的法向量为，
平面与平面的夹角的余弦值为，，
解得，
，，
，
，
，，
，
设到平面的距离为，
由，得，
解得，
到平面的距离为．
19.解：依题意知：，解得，
所以椭圆的方程为：．
依题意由知，，直线的斜率不为．
设其方程为：，
联立，整理得，
则，
，
同理：，
所以．
令，则，
所以，
因为，则，
所以，结合函数单调性定义知，在时单调递增．
所以，则．
所以的最大值是．
证明：由知．
所以
．
第9页，共9页

展开更多......

收起↑