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第3章 一次方程（组）
3.2 等式的基本性质
第1课时 等式的基本性质
1.想一想：小学学习的等式的两个基本性质是什么？
等式的基本性质Ⅰ：等式两边都加上或减去同一个数，等式两边仍然相等.
等式的基本性质Ⅱ：等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式两边仍然相等.
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2.问题：还记得“曹冲称象”的故事吗？ 请说一说这个故事.
随着社会的进步，科学水平的发达，有越来越多的方法测量物体的质量.最常见的方法是用天平测量一个物体的质量.现在认识一下天平，然后回答下列问题：
问题1：天平有什么作用？
问题2：要让天平平衡，应该满足什么条件？
问题3：如果天平在平衡的条件下，左盘放着重(3x＋4)克的物体，右盘放着重4x 克的物体，怎样列式？
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提示：
1.天平是称量物体质量的仪器；
2.天平平衡的条件是：两盘中物体的质量相等；
3.3x＋4＝4x.
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主题一：等式的基本性质
问题1：方程5x＝4x－2与方程x＝－2的解相同吗？ 为什么？
如果利用小学学过的等式的基本性质，能进行判断吗？说过程，并叙述理由.
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设数a是方程5x＝4x－2的解，则5a＝4a－2.根据小学所学的等式的基本性质Ⅰ，两边都减去同一个数4a，得a＝－2.因此，－2是方程5x＝4x－2的唯一解.
又－2是方程x＝－2的唯一解，因此，方程5x＝4x－2与方程 x＝－2的解相同.
又5x＝4x－2
两边都减去4x
x＝－2.
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观察发现，小学学过的等式的基本性质Ⅰ对于含有未知数的等式同样成立.
由此得到等式的基本性质1：等式两边都加上或减去同一个数(或整式)，等式两边仍然相等.
能用符号表示等式的基本性质1吗？
如果a＝b，那么a±c＝b±c.
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问题2：方程 与方程x＝15的解相同吗？ 为什么？
根据前面探究问题1的思路，自主探究问题2.
小结：同样我们可以采用问题1的方法，如果设数b是方程 的解，则 .根据小学所学的等式的基本性质Ⅱ.两边都乘同一个数3，得b＝15.因此，15是方程 的唯一解.
又15是方程x＝15的唯一解，因此，方程 与x＝15的解相同.
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根据上面的推理过程，能得到什么结论？
对于含有未知数的等式也成立的等式的基本性质2：
等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式两边仍然相等.
能用符号表示等式的基本性质2吗？
如果a＝b，那么ac＝bc(c为任意数)；
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想一想：举例说明，如何借助天平推理得到等式的两个基本性质？
练一练：能辨析以下问题的正误吗？
(1)在等式ab＝ac两边都除以a，可得b＝c.这句话对吗？ 说出理由.
提示：这句话错误，没考虑到a是否为0的问题.
(2)在等式a＝b两边都除以c2＋1，可得 这句话对吗？ 说出理由.
提示：这句话正确，因为c2＋1大于1或等于1，不可能为0，所以上式正确.
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主题二：例题讲解
例1 填空，并说明理由.
(1)如果x＋2＝y＋7，那么x＝_____；
(2)如果3x＝9y，那么x＝_____；
(3)如果 ，那么3x＝_____.
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解 (1)因为x＋2＝y＋7，由等式的基本性质1可知，等式两边都减去2，得x＋2－2＝y＋7－2，即x＝y＋5.
(2)因为3x＝9y，由等式的基本性质2可知，等式两边都除以3，得 ，即x＝3y.
(3)因为 ，由等式的基本性质2可知，等式两边都乘－6，得 ，即3x＝－2y.
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例2 判断下列等式变形是否正确，并说明理由.
(1)如果2m－3n＝7，那么2m＝7－3n；
(2)如果 ，那么5(2x－1)＝4(4x－2).
解 (1)错误.由等式的基本性质1可知，等式两边都加上3n，得 2m－3n＋3n＝7＋3n，即2m＝7＋3n.
(2)正确.由等式的基本性质2可知，等式两边都乘20，得
即5(2x－1)＝4(4x－2).
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1.填空：
(1)在等式x＋5＝7的两边都　 　，
得x＝2，根据是　 　；
(2)在等式x－3＝8的两边都　 　，
得x＝11，根据是　 　；
　等式的性质1　
　加3　
　等式的性质1　
　减5　
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2.利用等式的性质解方程的目的是将方程一步一步地变形为x＝m(常数)的形式，步骤如下：
(1)方程两边加(或减)同一个数(或式子)，使一元一次方程左边是含　 　的项，右边是　 　项；
(2)方程两边乘同一个数或除以同一个不为0的数，使未知数的　 　化为1，从而得出方程的解；
　系数　
　常数　
　未知数　
(3)检验某数是不是某方程的解，方法是把这个数分别代入方程的左边和右边，注意“分别”看方程左、右两边的值是否　 　，若　 　，则是方程的解；若　 　，则不是.
　不相等　
　相等　
　相等　
3.(北师7上P140)用等式的性质解下列方程.
(1)x＋2＝5.
解：方程的两边同时　 　，
得　 　.于是，x＝　 　.
反思：这道题应用了等式的性质　 　来解决.
(2)－3x＝15.
解：方程的两边同时　 　，
得　 　.于是，x＝　 　.
反思：这道题应用了等式的性质　 　来解决.
　2　
　－5　
　－3x÷(－3)＝15÷(－3)　
　除以－3　
　1　
　3　
　x＋2－2＝5－2　
　减2　
4.填空：
(1)已知等式5m－3＝6，
根据等式的性质　 　， 两边同时　 　，
可以得到5m＝9；
(2)若－3x＝4.5，则x＝－1.5，
这是根据等式的性质　 　，
在等式两边同时　 　；
(3)等式3x＝2x＋1两边同时　 　，得　 　，
其根据是　 　.
　除以－3　
　2　
　加3　
　1　
　等式的性质1　
　x＝1　
　减2x　
(3)－x－5＝4.
5.【例3】(人教7上P116、北师7上P141)利用等式的性质解下列方程并检验：
(3)x＝－27
小结：利用等式的性质解方程，实质就是将方程一步步转化为x=m（m为常数）的形式.把x的值代入检验时，等号左右两边的值相等，否则x的值不是方程的解.
(1)x＋7＝26； (2)－5x＝20；
(1)x＝19
(检验略)
(2)x＝－4
6.【例4】列一元一次方程，不求解：
某超市销售甲、乙两种商品，甲商品每件进价10元，乙商品每件进价30元.若该超市同时一次购进甲、乙两种商品共80件，恰好用去1 600元，则能购进甲、乙两种商品各多少件？
　 　
小结：先设未知数，再找出相等关系列方程.
解：设购进甲商品x件，得10x＋30(80－x)＝1 600.　
1.等式的基本性质是什么？
2.你还有哪些收获和体会？ 与同学一起分享.
3.你是否有疑惑的地方？ 说一说.
课堂总结
基础性作业：教材练习第1~3题.
提高性作业：教材习题3.2第1，5，6题.
作业设计
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