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模块六 圆
专题2 垂径定理及其应用
【考点一】垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
如图2-1所示，垂径定理的条件与结论理解如下：
∵AB 是直径,AB⊥CD于点 E,
【要点提示】
(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论；
(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
【考点二】垂径定理推论
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
【要点提示】在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.
即如果一条直线具备①经过圆心（直径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中任意两条性质，就具备其他三条性质，简称“知二推三”．
（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
【考点三】常见辅助线做法：
1.过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度；
2.有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分
【解题技巧点拨】运用垂径定理解题或证明时，常常“连半径，作垂线，构造直角三角形”，通过勾股定理求值或证明.
重要公式：设半径为r，，=d，根据勾股定理：
【题型一】垂径定理和推论的理解
◇典例1：
下列判断正确的是（　　）
A．弦心距相等则弦也相等
B．不与直径垂直的弦，不可能被该直径平分
C．在两个圆中，若有两条弦相等，则这两条弦所对的弧一定相等
D．弦的垂直平分线必定经过圆心
【答案】D
【分析】本题考查了圆的相关性质，熟练掌握垂径定理及其推论是解题的关键．
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分弦经过圆心，并且平方弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直于平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．
解：A、在同圆或等圆中，弦心距相等则弦也相等，故该选项错误；
B、一个圆的两条直径，虽不垂直，但一条一定平分另一条，故该选项错误；
C、必须在同圆或等圆中，若有两条弦相等，则这两条弦所对的弧一定相等，故该选项错误；
D、根据垂径定理得到，故该选项正确．
故选：D．
◆变式训练
1.如图，是的弦，根据下列条件填空：
（1）如果是的直径，且于点，那么有 ， ， ；
（2）如果是的直径，且，那么有 ， ， ；
（3）如果，且，那么有 ， ， ．

【答案】 是的直径
【分析】（）根据垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧求解即可；
（）根据垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧求解即可；
（）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧求解即可．
解：（）∵是的直径，且于点，
∴，，；
（）∵是的直径，且，
∴，，；
（）∵，且，
∴是的直径，，．
2.下列说法正确的是（ ）
A．过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧
B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心
C．过弦中点的直径平分弦所对的两条弧
D．平分弦所对的两条弧的直线平分弦
【答案】D
【分析】本题考查对垂径定理的理解，解题的关键在于正确理解垂径定理及其推论的“知二推三”．根据相关定理逐项判断，即可解题．
解：A、过弦（弦不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧，故选项错误，不符合题意；
B、弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，一定过圆心，故选项错误，不符合题意；
C、过弦（弦不是直径）中点的直径平分弦所对的两条弧，故选项错误，不符合题意；
D、平分弦所对的两条弧的直线平分弦，选项正确，符合题意；
故选：D．
【题型二】利用垂径定理求半径
◇典例2：
如图，是的弦，为的中点，的延长线与交于点，若，，求的半径．
【答案】的半径为．
【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理及推论的应用，连接，由为的中点，则，故有，然后由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：连接，
∵为的中点，
∴，，
设的半径为，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，解得，
∴的半径为．
◆变式训练
1.如图，为的弦，于点．若，，则的半径长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，根据垂径定理得出，根据勾股定理求出，即可得出答案．
解：∵，
∴为的中点，
∴
在中，，
∴．
∴的半径为．
故答案为：
2.如图，把圆形纸片放在长方体纸盒内，纸片的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则圆形纸片的半径长是（　 ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，过点作于，则，，设圆形纸片的半径长为，则，，由勾股定理得，解方程即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
解：过点作于，则，，
设圆形纸片的半径长为，则，，
∵，
∴，
解得，
∴圆形纸片的半径长是，
故选：．
【题型三】利用垂径定理求弦长或弦心距
◇典例3：
如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴相交于点A，B，过点O，A的与该直线相交于点C，连结，．
(1)求点E到x轴的距离． (2)连结，求的长．
【答案】(1)； (2).
【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、勾股定理和一次函数图象上点的坐标特征．
（1）过点作轴于点，先确定，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出即可；
（2）连结，，如图，先求出，则可判断为等腰直角三角形，所以，再根据圆周角定理得到，所以为等腰直角三角形，于是根据等腰直角三角形的性质可求出的长．
解：（1）解：过点作轴于点，如图，
当时，，解得，
，
，
，
在中，，
点到轴的距离为；
（2）连结，，如图，
当时，，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
为等腰直角三角形，
．
◆变式训练
1.如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心，另一边所在直线与半圆相交于点，量出半径，弦，则直尺的宽度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理作出辅助线是解题的关键．连接，过点O作，垂足为H，在中，由勾股定理即可求出答案．
解：连接，过点O作，垂足为H，
∴，
在中，
∴
即直尺的宽度为．
故选：C．
2.如图，已知的直径，点是弦上一点，连接，，，则弦的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．过作于，求出，根据等腰三角形的判定得出，设，则根据垂径定理得出，然后根据勾股定理求出即可．
解：过作于，则，
，
，
，
设，
直径，
，
，过圆心，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：或（不符合题意，舍去），
，
，
故答案为：．
【题型四】利用垂径定理求角度或其他线段长
◇典例4：
如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E，连接．
(1)若，求的度数； (2)若，，求的长．
【答案】(1); (2).
【分析】本题考查了垂径定理，三角形的内角和定理，勾股定理、等腰三角形的性质等知识，掌握垂径定理和等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）连接，求出，再利用等腰三角形的性质解决问题即可．
（2）如图，过点A作，垂足为F．利用面积法求出，再利用勾股定理求出，进而利用垂径定理可得结论；
解：（1）解：如图所示，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图所示，过点A作，垂足为F．
∵，，，
∴，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∵，
∴．
◆变式训练
1.在中，点C为弦的中点，过点C的直径交于点D，E，如果，则长为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理和勾股定理求得，再分类讨论，结合图形求解即可．
解：如图1，连接，
∵点C为弦的中点，是的直径，，
∴，，又
∴，
∴；
同理，如图2，则，
综上，长为或，
故选：C．
2.如图，已知的半径为7，是的弦，点P在弦上．若，则的长为 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键．
如图：过O作于C，连接，由垂径定理可得，进而得到、，再运用勾股定理可得，最后再运用勾股定理即可解答．
解：如图：过O作于C，连接，则，
∵，
∴，
∵，过圆心O，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：5．
【题型五】利用垂径定理解决平行弦问题（分类讨论）
◇典例5：
已知的半径为13，弦平行于，，求和之间的距离．
【答案】和之间的距离为7或17
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，分当的圆心O位于、之间时，当的圆心O不在两平行弦、之间时，两种情况分别利用勾股定理和垂径定理求出点O到和的距离，据此可得答案．
解：如图，当的圆心O位于、之间时，作于点E，并延长，交于F点．分别连接、．
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴和之间的距离为17；
如图所示，当的圆心O不在两平行弦、之间（即弦、在圆心O的同侧）时，
同理可得：，
∴，
∴和之间的距离为7；
综上所述，和之间的距离为7或17．
◆变式训练
1.在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm
A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
【答案】D
【分析】分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为，可知，，，在中，由勾股定理得，解得的值，在中，由勾股定理得，解得的值，计算即可；②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，计算即可．
解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为
由题意知，，
在中，由勾股定理得
在中，由勾股定理得
∴
②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接
由题意知，，
在中，由勾股定理得
在中，由勾股定理得
∴
∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm；
故选D．
2.已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm．
【答案】2或14
【分析】作于E，延长交于F，连接、，如图，利用平行线的性质，根据垂径定理得到，，则利用勾股定理可计算出，，讨论：当点O在与之间时，；当点O不在与之间时，．
解：作于E，延长交于F，连接、，如图

∵，，
∴，
∴，
，
在中，，
在中，，
当点O在与之间时，如图1，，
当点O不在与之间时，如图2，，
故答案为：2或14．
【题型六】利用垂径定理解决同心圆问题
◇典例6：
如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点B、C．
(1)求证： (2)当时，求大圆与小圆的面积之差．
【答案】(1)见解析； (2).
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．
（1）过点作于点，利用垂径定理可得，，即可证明；
（2）连接，作于点E，根据垂径定理得，，再根据圆的面积公式，勾股定理和平方差公式计算即可．
解：（1）证明：如下图，过点作于点，
则，，
∴，
即；
（2）解：如图，连接，作于点E，则，，

大圆与小圆的面积之差为：
．
◆变式训练
1.如图，以为圆心的同心圆中，大圆的弦交小圆于两点，
求证：(1)；(2)．
【分析】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
（1）过作，由等腰三角形的性质可知，，由此可得出结论；
（2）根据垂径定理得到，，从而得到．
解：（1）证明：过作，
与均为等腰三角形，
，，
，即；
（2）证明：，
，，
，即．
2.如图，两个同心圆的半径分别为15和12，大圆的一条弦有一半在小圆内，则这条弦落在小圆内部分的弦长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是垂径定理的应用，先画出图形，再利用垂径定理与勾股定理计算即可．
解：如图，记弦与圆的交点分别为，连接，
过作于，
∴，，
∵大圆的一条弦有一半在小圆内，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故选：D
【题型七】利用垂径定理推论求值
◇典例7：
如图所示，D、E分别是的中点，交于M、交于求证：．
【分析】连结，，根据垂径定理的推论可得，，再由得到，根据等角的余角相等得到，即可证明结论．
解：证明：连结，，
是的中点，E是的中点，
，，
又，
，
，，
而，，
，
◆变式训练
1.如图，为⊙O的直径，是⊙O的弦，点是上的一点，且．若，，则的长为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，交于，根据垂径定理推论，再由垂径定理，再由勾股定理计算，的长，从而求得的长，此题考查了圆周角定理，垂径定理和勾股定理的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
解：连接，交于，

∵，
∴点是的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，故选：．
2.如图，已知，，依据尺规作图的痕迹可求出的长为 ．

【答案】
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图方法和勾股定理解直角三角形以及垂径定理的推论，“平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧．”熟悉角平分线的尺规作图方法，和理解垂径定理的推论是解题的关键．
解：依据尺规作图痕迹，可知该图是以A为圆心作圆弧交、交于、，然后分别以、圆心，相同半径作圆弧相交于一点，连接两圆弧交点和点交于，故所在直线为的角平分线．
，
（垂径定理推论：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧．）
在中，，
，
．
故答案为：．
【题型八】利用垂径定理进行证明
◇典例8：
如图，是的直径，C，D是上两点，且平分，作于E．
(1)求证：；(2)求证： ．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，垂径定理等知识，解题的关键是：
（1）根据角平分线定义和等腰三角形等边对等角性质可得出，然后根据平行线的判定即可得证；
（2）过点O作于M，由垂径定理可得出，利用证明，得出，即可得证．
解：（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：过点O作于M，
∴，
∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴．
◆变式训练
1.如图，点在上，直径于点，下列结论中不一定成立的是（）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知为垂直于弦的直径，根据垂径定理即可做出正确的判断．
解：根据为的直径，且，垂足为，则是垂直于弦的直径，满足垂径定理．
因而都是正确的．
所以选项B不一定成立．故选：B．
2.如图，是的直径，弦，垂足为M，下列结论不一定成立的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过审题， 根据是的直径，弦，依据垂径定理即可解答问题．
解：∵是的直径，弦，
由垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧知，
∴，故A正确；，
∴，故D正确；
∵，，
∴，故C正确；故选：B．
【题型九】垂径定理的应用
◇典例9：
明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（见图1，一种水利灌溉工具）的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为8米，半径长为6米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是多少？
【答案】米
【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
连接，交于点D，再由勾股定理得，然后计算即可求解．
解：连接，交于点D，如图，
即，
∵点C为运行轨道的最低点，，
∴，，
由勾股定理，得，
即，
∴，
故点C到弦所在直线的距离是米．
◆变式训练
1.如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查坐标与图形，垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，圆心的坐标是，

故选：A．
2.某品牌太阳能热水器的实物图和截面示意图如图所示，支架与地面垂直，真空集热管与地面水平线夹角为，直线与都经过水箱截面的圆心O．已知，，则水箱内水面宽度为 ．
【答案】
【分析】取与的交点为点G，由题意得，，，从而可得，，根据直角三角形的性质可得，，设，则，，进而可得，，再利用，列方程求解即可．
解：取与的交点为点G，
由题意得，，，
∴，，
∴，
设，则，，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：．
一、单选题
1．（2024·新疆·中考真题）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据垂径定理求得，再对运用勾股定理即可求，最后即可求解．
【详解】解：∵，是的直径，
∴，，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
故选：B．
2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及三角形的外角性质．先根据垂径定理，求得，利用圆周角定理求得，再利用三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：∵半径，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
3．（2024·四川遂宁·中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积，过点作于，由垂径定理得，由勾股定理得，又根据圆的直径为米可得，得到为等边三角形，即得，再根据淤泥横截面的面积即可求解，掌握垂径定理及扇形面积计算公式是解题的关键．
【详解】解：过点作于，则，，
∵圆的直径为米，
∴，
∴在中，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴淤泥横截面的面积，
故选：．
4．（2025·新疆·中考真题）如图，是的直径，是弦，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理．
先根据垂径定理得到，再根据圆周角定理即可得到．
【详解】解：连接．
∵是的直径，是弦，，
∴，
∴，
故选：C．
5．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．
【详解】解：∵是线段的垂直平分线，
∴直线经过圆心，设圆心为，连接．
中，，
根据勾股定理得：
，即：
，
解得：；
故轮子的半径为，
故选：C．
6．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用。勾股定理的应用，如图，连接，先证明，，再进一步的利用勾股定理计算即可；
【详解】解：如图，连接，
∵为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，，
∴，，
设拱门所在圆的半径为，
∴，而，
∴，
∴，
解得：，
∴拱门所在圆的半径为；
故选B
7．（2025·四川南充·中考真题）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（ ）
A．4 B． C．6 D．
【答案】C
【分析】如图，延长交于点，连接，，，，由垂径定理得，进而得，点关于的对称点为点，根据两点之间线段最短得当，，三点共线时，最小，最小值为的长，在利用直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点，连接，，，
∵于点，交于点，为弧的中点，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点关于的对称点为点，
∴，
∴
当，，三点共线时，最小，最小值为的长，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了弧、圆心角的关系，垂径定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握弧、圆心角的关系，垂径定理是解题的关键．
8．（2025·四川广元·中考真题）如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查勾股定理，圆周角定理，垂径定理的应用以及求角的正弦值，关键是根据垂径定理和勾股定理解答．
只要证明，求出即可．
【详解】解：连接，如图，
是的弦，，
，
，
，
和所对的弧都为，
，
，
设，
，，
，，
，
．
故选：B．
二、填空题
9．（2025·四川内江·中考真题）如图，是的弦．半径于点D，且．则的长是 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
先根据垂径定理得到，在中，由勾股定理求解，再由即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
故答案为：2．
10．（2025·山东东营·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角函数的定义等知识点．如图，作交于，交圆弧于，利用垂径定理和勾股定理构建方程组求出，，利用余弦函数定义即可解决问题．
【详解】解：如图，作交于，交圆弧于，
由题意：，
设，由，
∴，
∵，为半径，
∴，
在中，
由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴．
故答案为：．
11．（2025·河南·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，进而证明是等边三角形，得到，再根据阴影部分的面积求解即可．
【详解】解：所在圆的圆心为点O，边与相切于点，
，，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
阴影部分的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求不规则图形面积，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积，掌握圆的相关性质是解题关键．
12．（2025·重庆·中考真题）如图，是的直径，点C在上，连接．以为边作菱形，交于点F，，垂足为G．连接，交于点H，连接．若，，则的长度为 ，的长度为 ．
【答案】 3 /
【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、菱形的性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线、运用解直角三角形解决问题成为解题的关键．
由垂径定理以及勾股定理可得，即、，由菱形的性质可得，进而得到、、；如图：连接， 由圆周角定理可得、，再解直角三角形可得、；由菱形的性质以及平行线的性质可得，如图：过H作于M，解直角三角形可得、，易得，最后根据垂直平分线的性质求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，即，
∴，
∵菱形，
∴，
∴，；
∴
如图：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，即，
解得：；
，即，
解得：；
∵菱形，
∴，
∴，
如图：过H作于M，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴．
故答案为：3；．
三、解答题
13．（2025·安徽·中考真题）如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)6
【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，熟知圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
（1）由圆周角定理可得，则可证明，据此可证明．
（2）连接，交于点E．由题意知，由直径所对的圆周角是直角得到，即，则可证明，由垂径定理可得点E为的中点，则是的中位线，即可得到．设半圆的半径为r，则．由勾股定理知，解方程即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴．
（2）解：连接，交于点E．由题意知，
∵是的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∴点E为的中点，
又∵O是的中点，
∴是的中位线，
∴．
设半圆的半径为r，则．
由勾股定理知，，
即，
解得，（舍去）．
∴．
14．（2025·青海西宁·中考真题）如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为G，H，交于点M，交于点N，连接．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是菱形；
(3)若，，则_______．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，垂径定理，勾股定理，菱形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键：
（1）根据弧，弦，角之间的关系以及垂径定理，即可得证；
（2）先证明四边形为平行四边形，等积法推出，即可得证；
（3）垂径定理结合勾股定理求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵半径分别与弦垂直，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵半径分别与弦垂直，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为菱形；
（3）∵，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
由（2）知：四边形为菱形，
∴设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得；
∴．
15．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，是的直径，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，且．
(1)如图1，若，，求的半径；
(2)如图2，若，求证：．（请用两种证法解答）
【答案】(1)3
(2)见解析
【分析】（1）利用等边对等角、三角形内角和定理求出，结合，可得出，在中，利用勾股定理求解即可；
（2）法一：过O作于F，利用垂径定理等可得出，然后利用定理证明，得出，然后利用平行线的判定即可得证；
法二：连接，证明，得出，然后利用平行线的判定即可得证
【详解】（1）解∶∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
解得，
即的半径为3；
（2）证明：法一：过O作于F，
∴，
∵
∴，
又，，
∴，
∴，
∴；
法二：连接，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解题是解题的关键．
一、单选题
1．如图，是的弦，半径于点，若，，则的长是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点．
连接，如图，先根据垂径定理得到，设的半径为r，则，，再利用勾股定理得到，然后解方程即可．
【详解】解：连接，如图，
半径于点D，
，
设的半径为r，则，，
在中，，
解得，
即的长为．
故选：D．
2．如图，是的直径，是弦（不是直径），于点E，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定，掌握相关知识点是解题的关键．
根据垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定对各选项依次判断，即可求解．
【详解】解：A、是的直径，，，故选项A错误，不符合题目要求；
B、由图形可知，，，，故选项B错误，不符合题目要求；
C、由图形可知，故选项C错误，不符合题目要求；
D、，，故选项D正确，符合题目要求．
故选：D．
3．如图，的半径为，为弦，为的中点，若，则弦的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理及推论，圆周角定理，直角三角形的性质，设与交于点，由为的中点，为半径，得，所以，，又，然后通过直角三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，设与交于点，
∵为的中点，为半径，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：．
4．将半径为的如图折叠，折痕长为，为折叠后的中点，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【分析】本题主要考查了图形的折叠变换，圆的对称性，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆的对称性及折叠前后的对应关系．延长交于点D，交于点E，连接、、、，根据圆心角、弧、弦、的关系由得到，可以判断是的垂直平分线，则，再利用勾股定理求出，所以，然后利用点C和点D关于对称得出，最后计算即可得出答案．
【详解】解：延长交于点D，交于点E，连接、、、，如图，
∵C为折叠后的中点，
∴，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
在中，,
∴，
∵沿折叠得到，，
∴点C和点D关于对称，
∴，
∴，
故选：D．
5．如图，线段是的直径，弦于点E．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是垂径定理及圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
连接，利用垂径定理可知，故可得出，再由圆周角定理即可得出结论．
【详解】解：，，
连接，
∵线段是的直径，弦于点E．
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
6．球形烧瓶底部呈球状（如图1），在化学实验中的主要作用是盛放液体或作反应容器．图2是一球形烧瓶底部的截面图，瓶内液体的最大深度，液面所在的弦，则其截面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理．根据垂径定理得出，设截面圆的半径为，则，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
设截面圆的半径为，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴截面圆的半径为．
故选：D．
7．如图1是直径为圆形干果盘，其示意图如图2，四条隔板长度相等，横纵隔板互相垂直且交于隔板的三等分点，则该干果盘的隔板长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要运用垂径定理和勾股定理求解．过点O作于点K，连接，由垂径定理求出，确定，根据题意，最后利用勾股定理即可计算．
【详解】解：∵直径为圆形干果盘，
∴，
如图，过点O作于点K，连接，
则，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：
，即，
解得：．
故选∶A．
8．如图，四边形为的内接四边形．延长与相交于点．，垂足为，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、垂径定理、圆周角定理．延长交于M，根据垂径定理得到，得到，根据圆内接四边形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：延长交于M，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
9．如图，为的直径，点在上，连接，以为边作菱形，交于点，垂足为，若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4.2
【答案】B
【分析】本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、勾股定理和菱形性质等知识，熟记垂径定理及勾股定理求线段长的方法是解决问题的关键．
先由垂径定理得到，，则，在中，由勾股定理求出，进而由菱形性质得到，最后数形结合表示出线段求解即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
，为的直径，
，，
则，
在中，，则由勾股定理可得，
四边形为菱形，
，
则，
故选：B．
10．如图，是半径，是中点，在上从点开始沿逆时针方向匀速运动一周停止，运动时间是，线段的长度是，图2是随变化的关系图象，则当点运动到使时，的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据图象，得时，线段的长度是，此时，继而得到半径，根据垂径定理，解答即可．
本题考查了圆的性质，垂径定理，勾股定理，弧长公式，熟练掌握性质和公式是解题的关键．
【详解】解：根据图象，得时，线段的长度是，此时，
又是中点，
故，
当时，连接，
则，
，
故，
根据题意，得运动一周的时间为4秒，路程为，
故点Q的运动速度为：，
此时，运动时间；
当Q运动到时，，
此时，运动时间，
故选：D．
二、填空题
11．如图，在中，是直径，弦，垂足为E，若，，则的半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理，解直角三角形等知识，熟练掌握圆周角定理，由垂径定理求出是解决问题的关键．连接，由圆周角定理得出，根据垂径定理求出，解直角三角形求解即可．
【详解】解：连接，如图所示，
是直径，，
，，
，
，
在中，，
∴，
∴的半径为，
故答案为：2．
12．如图，内接于，是的直径，D为劣弧上的点，连接，且，连接．与交于点M．若的半径是6．．则的长是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了垂径定理的推理，弧与弦之间的关系，勾股定理和三角形中位线定理，根据，得到，则由，证明为的中位线，得到，则可求出，利用勾股定理求出，即可利用勾股定理求出．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，点M为的中点，
∵点O为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵的半径是6，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
故答案为：．
13．如图，的直径为10，弦，P是弦上一动点，那么长的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆中求半径，勾股定理，垂径定理，解决本题的关键是确定的最小值，所以求的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，利用勾股定理求解．
先求出圆的半径，进而求出的最大值，的最小值就是弦的弦心距的长，过点作弦的弦心距，利用勾股定理求解．
【详解】解：如图：连接，作于．
∵的直径为，
∴半径为5，
∴的最大值为5，
∵与，
．
，
．
在中，
，
的长即为的最小值，
．
故答案为：．
14．我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】由矩形的性质得，由切线的性质得，则，由，根据圆周角定理得，由，根据垂径定理得，则，求得，即可由，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵边与相切于点，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∵于点，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，切线的性质，平行线的性质，垂径定理，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，扇形的面积公式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
15．如图，已知的半径为4，一条直线经过圆心，另一条直线与分别交于点和点，，，则弦的弦心距等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质．
连接，，过作，根据已知得出，根据勾股定理求得，进而求得的长，即可求解．
【详解】解：，，
，
连接，，过作，
，
，
，
为等腰，
，
，
．
故答案为：．
16．如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了轴对称、垂径定理、勾股定理和圆的有关知识，解题的关键是通过作辅助线，根据三角形三边关系确定的取值范围．
把所在的圆补全为，可知点与点关于对称，求出，长，的最小值为．
【详解】解：如图，把所在的圆补全为，连接，，，，交于点，可知点与点关于对称，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点是弧的中点，
∴，
∴，
∵，
在中，，
∵，
∴的最小值为．
故答案为：．
三、解答题
17．如图，在中，过半径的中点作交于，两点，连接．
(1)求的度数；
(2)若，计算阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了垂径定理、扇形面积公式、等边三角形的判定与性质，利用垂径定理结合勾股定理求出圆的半径是解题的关键．
（1）由为中点，，根据垂直平分线性质得，结合圆的半径，推出，故是等边三角形，即可得；
（2）由垂径定理得，由角所对的直角边等于斜边的一半得，由勾股定理列方程求得、（即半径）长，由即可得出．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵为中点，，
∴，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，即；
（2）解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得（舍负），
∴，
∴．
18．如图，一个残缺圆形工件，小明在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，
(1)尺规作图：作出该残缺圆形工件的圆心；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)图见解析
(2)的长为
【分析】本题考查作图—垂直平分线，垂径定理，勾股定理，作出正确的图象是解决本题的关键．
（1）连接，以点A和点C为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点E和点F，连接直线交的垂直平分线于点O，此时点O即为所求；
（2）连接，根据垂直平分线的性质可得，进而可根据勾股定理求出的长．
【详解】（1）解：如图，圆心即为所求，
（2）解：连接，如图，
垂直平分，，
，
，，
，
，
，
，
解得，
的长为．
19．如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若的半径，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由，是的切线，即，则有，所以，证明是等腰直角三角形，从而求证；
（）先证明是等腰直角三角形，所以，由（）得，连接，然后通过勾股定理得，最后根据线段的和与差即可求解．
【详解】（1）证明：∵，是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，即是等腰直角三角形，
∴，
由（）得，
如图所示，连接，
∴在中，，
∴，
∴，
∴．
20．筒车亦称为“水转筒车”，是一种以水流作为动力，取水灌田的工具，据史料记载筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是中国古代人民的杰出发明．这种靠水力自动的筒车，在家乡郁郁葱葱的山涧、溪流间构成了一幅幅优美的田园春色图，下面是一个筒车灌田的示意图．如图所示，筒车在水流的动力作用下将水沿筒车运送到点A处，在点A处人们修筑了一条木制水道，将水流从A处引导至与在同一水平线的P处的田地，由于水在筒车上做圆周运动，速度方向与圆相切，为了便于水流的输送，木制水道也与圆O相切．小花在查阅资料后发现，如图所示的筒车灌田系统，筒车半径为5米，点P到Q的距离为42米，筒车上的盛水桶在水面之下的最大深度为2米，请你解答下列问题：

(1)求的长度；
(2)连接和，求证：；
(3)求木制水道的长度．
【答案】(1)8
(2)见解析
(3)米
【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）延长交于点F，连接，则，求得，根据余角的性质即可得到；
（3）连接，，过点O作于点G，则，根据勾股定理得到，求得，由（1）知，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】（1）解：∵筒车上的盛水桶在水面之下的最大深度为2米，
，，
在中，，
，
，
；
（2）证明：延长交于点F，连接，则，
，
由题意可得：，
，
，
又，
；
（3）解：连接，，过点O作于点G，
则，
，
，
，
，
，
由（1）知，
又，
，
，
，
．
木制水道的长度为米．
【点睛】本题主要考查了圆的切线定理，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，并灵活应用．
21．如图，为的直径，弦于点，是上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接，其中与交于点．
(1)求证：；
(2)若，请判断的形状，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，已知，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)是等腰三角形，理由见解析
(3)
【分析】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点，灵活应用相关知识是解题的关键．
（1）由为的直径，弦，得，再根据圆周角定理即可的结论；
（2）由垂径定理求得，结合已知求得，根据题意证得，即可得到结论；
（3）连结，由及角的关系得，设根据列方程，再根据即可求出的长．
【详解】（1）解：∵为的直径，弦，
∴，，
∴；
（2）解：是等腰三角形，理由如下，
连接，
，，
，
，
，
，
，
，
∴是等腰三角形；
（3）解：连接，
，
，，
，
∴，设，
，
解得：，
，
，
，
，
，
．
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2026年中考数学一轮复习精讲精练
模块六 圆
专题2 垂径定理及其应用
【考点一】垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
如图2-1所示，垂径定理的条件与结论理解如下：
∵AB 是直径,AB⊥CD于点 E,
【要点提示】
(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论；
(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
【考点二】垂径定理推论
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
【要点提示】在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.
即如果一条直线具备①经过圆心（直径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中任意两条性质，就具备其他三条性质，简称“知二推三”．
（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
【考点三】常见辅助线做法：
1.过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度；
2.有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分
【解题技巧点拨】运用垂径定理解题或证明时，常常“连半径，作垂线，构造直角三角形”，通过勾股定理求值或证明.
重要公式：设半径为r，，=d，根据勾股定理：
【题型一】垂径定理和推论的理解
◇典例1：
下列判断正确的是（　　）
A．弦心距相等则弦也相等
B．不与直径垂直的弦，不可能被该直径平分
C．在两个圆中，若有两条弦相等，则这两条弦所对的弧一定相等
D．弦的垂直平分线必定经过圆心
◆变式训练
1.如图，是的弦，根据下列条件填空：
（1）如果是的直径，且于点，那么有 ， ， ；
（2）如果是的直径，且，那么有 ， ， ；
（3）如果，且，那么有 ， ， ．

2.下列说法正确的是（ ）
A．过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧
B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心
C．过弦中点的直径平分弦所对的两条弧
D．平分弦所对的两条弧的直线平分弦
【题型二】利用垂径定理求半径
◇典例2：
如图，是的弦，为的中点，的延长线与交于点，若，，求的半径．
◆变式训练
1.如图，为的弦，于点．若，，则的半径长为 ．
2.如图，把圆形纸片放在长方体纸盒内，纸片的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则圆形纸片的半径长是（　 ）
A． B． C． D．
【题型三】利用垂径定理求弦长或弦心距
◇典例3：
如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴相交于点A，B，过点O，A的与该直线相交于点C，连结，．
(1)求点E到x轴的距离． (2)连结，求的长．
◆变式训练
1.如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心，另一边所在直线与半圆相交于点，量出半径，弦，则直尺的宽度为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，已知的直径，点是弦上一点，连接，，，则弦的长为 ．
【题型四】利用垂径定理求角度或其他线段长
◇典例4：
如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E，连接．
(1)若，求的度数； (2)若，，求的长．
◆变式训练
1.在中，点C为弦的中点，过点C的直径交于点D，E，如果，则长为（ ）
A． B． C．或 D．或
2.如图，已知的半径为7，是的弦，点P在弦上．若，则的长为 ．
【题型五】利用垂径定理解决平行弦问题（分类讨论）
◇典例5：
已知的半径为13，弦平行于，，求和之间的距离．
◆变式训练
1.在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm
A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
2.已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm．
【题型六】利用垂径定理解决同心圆问题
◇典例6：
如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点B、C．
(1)求证： (2)当时，求大圆与小圆的面积之差．
◆变式训练
1.如图，以为圆心的同心圆中，大圆的弦交小圆于两点，
求证：(1)；(2)．
2.如图，两个同心圆的半径分别为15和12，大圆的一条弦有一半在小圆内，则这条弦落在小圆内部分的弦长等于（ ）
A． B． C． D．
【题型七】利用垂径定理推论求值
◇典例7：
如图所示，D、E分别是的中点，交于M、交于求证：．
◆变式训练
1.如图，为⊙O的直径，是⊙O的弦，点是上的一点，且．若，，则的长为（　　）

A． B． C． D．
2.如图，已知，，依据尺规作图的痕迹可求出的长为 ．

【题型八】利用垂径定理进行证明
◇典例8：
如图，是的直径，C，D是上两点，且平分，作于E．
(1)求证：；(2)求证： ．
◆变式训练
1.如图，点在上，直径于点，下列结论中不一定成立的是（）

A． B． C． D．
2.如图，是的直径，弦，垂足为M，下列结论不一定成立的是（ ）

A． B． C． D．
【题型九】垂径定理的应用
◇典例9：
明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（见图1，一种水利灌溉工具）的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为8米，半径长为6米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是多少？
◆变式训练
1.如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是（ ）

A． B． C． D．
2.某品牌太阳能热水器的实物图和截面示意图如图所示，支架与地面垂直，真空集热管与地面水平线夹角为，直线与都经过水箱截面的圆心O．已知，，则水箱内水面宽度为 ．
一、单选题
1．（2024·新疆·中考真题）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·四川遂宁·中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·新疆·中考真题）如图，是的直径，是弦，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·四川南充·中考真题）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（ ）
A．4 B． C．6 D．
8．（2025·四川广元·中考真题）如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2025·四川内江·中考真题）如图，是的弦．半径于点D，且．则的长是 ．
10．（2025·山东东营·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为 ．
11．（2025·河南·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ．
12．（2025·重庆·中考真题）如图，是的直径，点C在上，连接．以为边作菱形，交于点F，，垂足为G．连接，交于点H，连接．若，，则的长度为 ，的长度为 ．
三、解答题
13．（2025·安徽·中考真题）如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
14．（2025·青海西宁·中考真题）如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为G，H，交于点M，交于点N，连接．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是菱形；
(3)若，，则_______．
15．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，是的直径，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，且．
(1)如图1，若，，求的半径；
(2)如图2，若，求证：．（请用两种证法解答）
一、单选题
1．如图，是的弦，半径于点，若，，则的长是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
2．如图，是的直径，是弦（不是直径），于点E，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，的半径为，为弦，为的中点，若，则弦的长为（ ）
A． B． C． D．
4．将半径为的如图折叠，折痕长为，为折叠后的中点，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
5．如图，线段是的直径，弦于点E．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．球形烧瓶底部呈球状（如图1），在化学实验中的主要作用是盛放液体或作反应容器．图2是一球形烧瓶底部的截面图，瓶内液体的最大深度，液面所在的弦，则其截面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
7．如图1是直径为圆形干果盘，其示意图如图2，四条隔板长度相等，横纵隔板互相垂直且交于隔板的三等分点，则该干果盘的隔板长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，四边形为的内接四边形．延长与相交于点．，垂足为，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，为的直径，点在上，连接，以为边作菱形，交于点，垂足为，若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4.2
10．如图，是半径，是中点，在上从点开始沿逆时针方向匀速运动一周停止，运动时间是，线段的长度是，图2是随变化的关系图象，则当点运动到使时，的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
二、填空题
11．如图，在中，是直径，弦，垂足为E，若，，则的半径为 ．
12．如图，内接于，是的直径，D为劣弧上的点，连接，且，连接．与交于点M．若的半径是6．．则的长是 ．
13．如图，的直径为10，弦，P是弦上一动点，那么长的取值范围是 ．
14．我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ．
15．如图，已知的半径为4，一条直线经过圆心，另一条直线与分别交于点和点，，，则弦的弦心距等于 ．
16．如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为 ．
三、解答题
17．如图，在中，过半径的中点作交于，两点，连接．
(1)求的度数；
(2)若，计算阴影部分的面积．
18．如图，一个残缺圆形工件，小明在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，
(1)尺规作图：作出该残缺圆形工件的圆心；
(2)若，，求的长．
19．如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若的半径，，求的长．
20．筒车亦称为“水转筒车”，是一种以水流作为动力，取水灌田的工具，据史料记载筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是中国古代人民的杰出发明．这种靠水力自动的筒车，在家乡郁郁葱葱的山涧、溪流间构成了一幅幅优美的田园春色图，下面是一个筒车灌田的示意图．如图所示，筒车在水流的动力作用下将水沿筒车运送到点A处，在点A处人们修筑了一条木制水道，将水流从A处引导至与在同一水平线的P处的田地，由于水在筒车上做圆周运动，速度方向与圆相切，为了便于水流的输送，木制水道也与圆O相切．小花在查阅资料后发现，如图所示的筒车灌田系统，筒车半径为5米，点P到Q的距离为42米，筒车上的盛水桶在水面之下的最大深度为2米，请你解答下列问题：

(1)求的长度；
(2)连接和，求证：；
(3)求木制水道的长度．
21．如图，为的直径，弦于点，是上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接，其中与交于点．
(1)求证：；
(2)若，请判断的形状，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，已知，，求的长．
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